Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-stokes

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN **************** TRIfiU QUỲNH NHƯ SU TON TAI VÀ TÍNH DUY NHAT NGHIfi CÚA Hfi NAVIERSTOKES LU¾N VĂN THAC SY Chuyên ngành : Tốn Giái tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc PGS.TS Cung The Anh Hà N®i, 2013 LèI CÁM ƠN Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo PGS TS Cung The Anh đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng Sau đai hoc, thay cô day cao hoc chuyên ngành Tốn Giái tích trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p Qua tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ó bên, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Hà Nđi, thỏng 11 nm 2013 Tỏc giỏ Triắu Qunh Nh LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Cung The Anh lu¾n văn đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kì cơng trình khoa hoc khác Trong thnc hi¾n lu¾n văn tác giá sú dung tham kháo thành tnu cna nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân H Nđi, thỏng 11 nm 2013 Tỏc giỏ Triắu Quỳnh Như Mnc lnc Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Các không gian hàm .8 1.2 Các toán tú 1.2.1 Toán tú A 1.2.2 Toán tú B 10 1.3 Các bat thúc thưòng dùng 12 1.3.1 Bat thúc Hăolder 12 1.3.2 Bat thúc Cauchy 12 1.3.3 Bat thúc Young 12 1.3.4 Bat thúc Poincaré 13 1.3.5 Bat thúc Gronwall 13 1.4 Bo đe compact Aubin-Lions .13 Chương Nghi¾m yeu cúa h¾ Navier-Stokes 14 2.1 Sn ton tai nhat cna nghi¾m yeu tồn cuc trưòng hop hai chieu 14 2.2 Sn ton tai nghi¾m yeu tồn cuc trưòng hop ba chieu 18 Chương Nghi¾m manh cúa h¾ Navier-Stokes 22 3.1 Sn ton tai nhat nghi¾m manh tồn cuc trưòng hop hai chieu 22 3.2 Sn ton tai nhat cna nghi¾m manh đ%a phương trưòng hop ba chieu 27 Ket lu¾n 31 Tài li¾u tham kháo 32 Má đau Lý chon đe tài H¾ phng trỡnh Navier-Stokes xuat hiắn mụ tỏ chuyen đng cna chat lóng khí nưóc, khơng khí, dau mó, dưói nhung đieu ki¾n tương đoi tong quát, chúng xuat hi¾n nghiên cúu nhieu hi¾n tưong quan trong khoa hoc hàng khơng, khí tưong hoc, cơng nghi¾p dau mó, v¾t lí plasma, H¾ phương trình Navier- Stokes đưoc xây dnng tù sn báo tồn cna khoi lưong, đ®ng lưong, lưong đưoc viet cho m®t the tích xem xét bat kì, có dang: u ❇ ❇ t ✁ ν∆u ♣u ☎ ∇q ∆p ✏ f ∇☎u✏0 ó u ✏ u♣x, tq hàm vectơ v¾n toc, p ✏ p♣x, tq hàm áp suat, ν h¾ so nhót, f ngoai lnc Nhung van đe lí thuyet bán đ¾t nghiên cúu hắ phng trỡnh Navier-Stokes l: Sn ton tai v tính nhat cúa nghi¾m: Nghi¾m ó có the nghi¾m yeu ho¾c nghi¾m manh Các ket nh¾n đưoc phu thu®c theo so chieu cna khơng gian • Tính qui cúa nghi¾m: Tính qui ó có the tính qui theo bien thòi gian (tính giái tích, tính Gevrey) ho¾c tính qui theo bien khơng gian (tính qui Hilbert, tính qui Holder, mơ tá t¾p điem kì d%, ) Dỏng iắu tiắm cắn cỳa nghiắm: Nghiờn cúu dáng đi¾u cna nghi¾m thòi gian t vơ Vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n rat quan cho phép dn đốn xu the phát trien tương lai cna h¾ xét, tù có nhung đieu thích hop đe đat muc đích mong muon Trong van đe ke trên, van đe ton tai nhat nghi¾m cna h¾ Navier- Stokes van đe quan đau tiên, só cho vi¾c nghiên cúu van đe khác ve nghi¾m cna h¾ Navier-Stokes van nhieu van đe mó, đ¾c bi¾t trưòng hop ba chieu Đây van van đe thòi sn, thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc ngồi nưóc Vì v¾y, chúng tơi chon đe tài cna lu¾n văn là: “Sn ton tai tính nhat nghi¾m cna h¾ Navier-Stokes” Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu sn ton tai tính nhat cna nghi¾m yeu nghi¾m manh cna h¾ Navier-Stokes cá hai trưòng hop hai chieu ba chieu Nhi¾m nghiên cNu Sn ton tai cna nghi¾m yeu nghi¾m manh Nghiên cúu tính nhat cna nghi¾m yeu nghi¾m manh Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu : H¾ phương trình Navier-Stokes Pham vi nghiên cúu : Sn ton tai tính nhat cna nghi¾m yeu nghi¾m manh Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu sn ton tai : Phương pháp Galerkin Nghiên cúu tính nhat : phương pháp Lions, phương pháp Serrin Giá thiet khoa hoc Chúng minh đưoc sn ton tai cna nghi¾m yeu nghi¾m manh Tìm đưoc đieu ki¾n đn đe nghi¾m nhat lóp hàm thích hop Chương Kien thNc chuan b% Giá sú Ω m®t mien b% ch¾n Rd, d ✏ 2, vói biên ❇ Ω trơn Xét tốn biên ban đau đoi vói h¾ phương trình Navier-Stokes ✩✬ ✬ u ν∆u ❇ ♣u ☎ ∇→qu0 t ✬ ✬✬❇ ✬✫ ∇ ☎ u ✏ 0, ♣x, tq ✏ 0, u ∇p ✬ ✬✬✬✪ ✬ u♣x, 0q ✏ u ♣xq, ✬ 0 é u ✏ ♣u , , T, d ✏ f, x P Ω, t x P Ω, t → x P ❇Ω, t → x PΩ (1.1) ✏ 2, hàm vectơ v¾n toc, p : Ω Đ suat, q v ✏ const → h¾ so nhót R hàm áp ud 1.1 Các khơng gian hàm Kí hi¾u ✽ ✏ u P ♣C ♣Ωqq V d :∇ ☎ u ✏ q Đe nghiên cúu tốn, ta giói thi¾u khơng gian hàm sau: V ✏V ♣H1♣Ωqqd ✏ bao đóng cna V ♣H ♣Ωqq d d ✏tu P ♣H : ∇ ☎ u ✏ 0✉, ♣Ωqq H ✏V ✏ bao đóng cna V ♣L ♣Ωqq ♣L2♣Ωqqd d Lay tích phân (3.3) tù đen T , ta đưoc ⑤u ♣T q⑤ m T ⑤⑤uν ➺ m ♣⑤suq⑤⑤ ⑤ ds ↕ ↕ ⑤u ⑤ T ✏ ta suy K1 ν 2 ⑤f ♣sq⑤ ds T νλ1 ⑤⑤u ♣sq⑤⑤ ds ↕ K m ➺ ➺ T νλ1 0m ➺ 2 ⑤f ♣sq⑤ ds (3.5) tu ✉ b% ch¾n L ♣0, T ; V q M¾t khác, nhân vơ hưóng (3.2) vói Au ♣tq ta có , m m d m ♣tq, ♣tqq ⑤Au ♣tq ✏ ✁♣Bu ♣tq, ♣tqq ♣f u ⑤ Au ♣tq, Au m dt ♣♣u m m m ♣tqq m ✏ cho ta ♣tq⑤ ♣tq⑤⑤⑤Au ♣tq⑤ ⑤⑤u Áp dung Bo đe 1.2.2 bat thúc Young vói s ⑤b♣ ♣tq, ♣tq, ♣tqq⑤ ↕ u Au c ⑤u um m m1 m d ⑤⑤u dt m ↕8 ⑤Au♣tq⑤ Do m 2 4 ⑤ ♣ q⑤ ⑤⑤u♣tq⑤⑤ 2c1 u t ♣tq⑤⑤ ⑤Au ♣tq ↕ ⑤f ♣tq⑤⑤Au ♣tq⑤ ⑤Bu ♣tq⑤⑤A ♣tqq⑤ ⑤ u ↕ ⑤f ♣tq ♣tq 2c ⑤u ♣tq⑤ ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ , ♣tq⑤ ⑤Au ⑤ ⑤Au ⑤ m 2 m m tù d 4c4 m ⑤⑤u dt ♣tq⑤⑤ m 2 m m ♣tq ↕ 2⑤f ⑤ Au ⑤ ♣tq⑤ m 4c4 m α ⑤u m m 2 m m ♣tq⑤ ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ , (3.6) đ¾t c2 ✏ α , ta có d m ⑤⑤♣u ♣tq⑤⑤ ↕ 2⑤f dt ♣tq⑤ 2 ⑤ ♣ q⑤ ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ ⑤⑤u ♣tq, ♣tq⑤⑤ c2 um t m m m u Ta áp dung ky thu¾t cna bat thúc Gronwall vói ♣q ✏ ⑤⑤u y t m ♣tq⑤⑤ ; g♣tq ✏ ♣tq⑤ ⑤⑤u c ⑤u 2 m m ♣tq⑤⑤ ; h♣tq ✏ 2⑤f ♣tq⑤ , 2 (3.7) ➺ ➺ ♣y♣tq exp♣✁ g♣sqdsqq ↕ h♣tq exp♣✁ g♣sqdsq, ☎ dt ➺ ➺ ➺ ➺ ☞ y♣tq ↕ y♣0q exp♣ g♣sqdsq h♣sq exp g♣sqds ✁ g♣rqdr ✆ ✌ ds, d t hay ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ ↕ ⑤⑤u ⑤⑤ m t t t t 0 ➺ t s 0 ♣sq⑤ ⑤⑤u ♣sq⑤⑤ dsq ♣ c ⑤u exp ☎➺ ☞ ➺ ➺ 2⑤f ♣sq⑤ exp ✆ c ⑤u ♣tq⑤ ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ dt ✁ c ⑤u ♣rq⑤ ⑤⑤u ♣rq⑤⑤✌ dr ds, m 2 t m t s 2 m m 2 m m tù (3.4), (3.5) suy sup tPr0,T s ⑤⑤u♣tq⑤⑤ ↕ Lay tích phân (3.6) tù đen T, ta có ⑤⑤u ♣T q⑤⑤ ➺ T ➺ T ♣sq⑤ ds ↕ ⑤⑤u ⑤⑤ m (3.8) K3 ⑤Au m ➺ T 2c2 ⑤f ♣sq⑤ ds 2 ⑤u ♣sq⑤ ⑤⑤u ♣sq⑤⑤ ds, m m hay ➺ T ⑤Au ♣sq⑤ ds ↕ K ✏ ⑤⑤u ⑤⑤ m 0 ➺ T ⑤f ♣sq⑤ ds Ta thay (3.2) tương đương vói dum♣tq m dt ✏ ✁Au♣tq ✁ B♣u ➺ T 2c2 ⑤u ♣sq⑤ ⑤⑤u ♣sq⑤⑤ ds m m (3.9) ♣tqq f ♣tq Do đó, tù Bo đe 1.2.4 ta có t♣u q ✉ b% ch¾n L ♣0, T ; Hq m ✶ Bưóc Chuyen qua giói han Tù ưóc lưong tiên nghi¾m ó trên, ta ket lu¾n ton tai u D ♣Aqq ❳ L P L ♣0, T ; ♣0, T ; V q ✽ m m®t dãy u t ✉ cho ♣0, T ; V q; u h®i tu yeu đen u L ♣0, T ; D♣Aqq; Au h®i tu yeu đen Au L ♣0, T ; Hq ; ♣u q h®i tu yeu đen u L ♣0, T ; Hq Áp dung Bo đe compact Aubin-Lions suy ton tai dãy tu ✉ cho h®i tu u manh đen u L ♣0, T ; V q, h®i tu manh L ♣0, T ; Hq Chuyen qua giói han so hang phi tuyen tính b♣☎, ☎, ☎q nhò Bo đe 2.1.1 Ta chúng minh u♣0q ✏ u Cho ψ m®t hàm vi liên tuc r0, T s ó ψ♣T q ✏ Ta nhân (3.2) vói ψ♣tq tích phân tùng phan, ta có ✝ um h®i tu yeu đen u L✽ m m 2 m ✶ m m 2 ✁ ➺ T T ♣u ♣tq, ψ ♣tqw qdt ✶ m ➺ ➺ j T ♣Au ♣tq, w ψ♣tqqdt m j T ♣u ♣tq, u ♣tq, w ψ♣tqqdt ✏ ♣u ♣0q, w qψ♣0q w ψ♣tqqdt m b m m j j ➺ ♣f ♣tq, j 0 ➺ Chuyen qua giói han, ta có ✁ T ➺ T ♣u♣tq, vψ ♣tqqdt ✶ T ➺ ♣Au♣tq, vψ♣tqqdt T ♣u♣tq, u♣tq, vψ♣tqqdt ✏ ♣u , vqψ♣0q b ➺ ♣f ♣tq, vψ♣tqqdt (3.10) vói moi v P V, theo nghĩa phân bo ♣0q ✏ u Ta nhân (3.2) vói Cuoi cùng, ta phái chúng minh rang u thoá mãn u ψ ♣tq ➺ ➺ lay tích phân Lay tích phân tùng phan so hang đau tiên ta đưoc ✁ T ➺ T ♣u♣tq, vψ ♣tqqdt ✶ T ♣Au♣tq, vψ♣tqqdt T ♣u♣tq, u♣tq, vψ♣tqqdt ✏ ♣u♣0q, vqψ♣0q b 0 ➺ ♣f ♣tq, vψ♣tqqdt Bang cách so sánh vói, ta có (3.10), ta đưoc ♣u♣0q ✁ u , vqψ♣0q ✏ Ta có the chon ψ vói ψ♣0q ✘ 0, u♣0q ✏ u 0 Bưóc Tính nhat nghi¾m sn phu thuđc liờn tuc vo du kiắn ban au cna nghi¾m manh Chúng minh tương tn đoi vói nghi¾m yeu ta có sn nhat phu thu®c liên tuc vào du ki¾n ban đau cna nghi¾m manh 3.2 SN ton tai nhat cúa nghi¾m manh đ%a phương trưàng hap ba chieu Đ%nh lí 3.2.1 Giá sú u0 P V f P L ♣0, T ; Hq thoá mãn ⑤⑤u ⑤⑤ ➺ ❄ f ♣tq⑤ dt ↕ ⑤ C 2 T ν2λ 1④2 ν3λ 1④2 Khi ú ton tai mđt nghiắm u cỳa hắ Navier- Stokes ✩ ✫ ✏ du f,dt νAu B♣ u, uq ✪ u♣0q ✏ u , ✽ P ♣0, T ; V q ❳ L ♣0, T ; D♣Aqq ⑤⑤ u♣tq⑤⑤ ➺ Au♣sq⑤ ds ↕ ❄ ⑤ C ν λ νλ vói moi ↕ t ↕ T thoá mãn u L 2 T 2 1④ 1 1④2 Chúng minh Bưóc Xây dnng dãy nghi¾m xap xí Cho um nghi¾m cna h¾ Galerkin dum (3.11) ✩ ✫ νAu P B♣u , dt u ✪u♣0q ✏ P u m m m m m m q✏ Pmf, (3.12) Bưóc Xây dnng ưóc lưong tiên nghi¾m đoi vói um Nhân vơ hưóng vói (3.12) um ta đưoc d dtu ⑤⑤ ⑤⑤ ✏ ♣f, q⑤↕ f ⑤ m ⑤ ⑤ ν um m νλ1 um u 2νλ1 ⑤u ⑤ ➤ ⑤⑤u ⑤⑤ , ta có Tù λ1 ⑤⑤ m m d dtu m ⑤⑤ ⑤⑤ ✏ ♣f, q ↕ f ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ν um m ν ⑤⑤u 2νλ1 d ⑤⑤ ⑤⑤ m ⑤u ⑤ dt ➺ ta có ν ν um ↕νλ m t ⑤f ⑤ e e (3.14) ds νλ1 ✁νλ1♣t✁sq ✁νλ1t (3.13) ➺ ⑤u ♣tq⑤ ↕ ⑤u ⑤ m ➺ Áp dung bat thúc Gronwall ta đưoc ⑤f ⑤ , ⑤⑤u ⑤⑤ ds ↕ ⑤u ⑤ t m u Suy ⑤⑤ ⑤f ⑤ (3.15) νλ ds t Nhân vơ hưóng (3.12) vói Aum ta đưoc 1d m ⑤⑤u ⑤⑤ dt Giá sú f P L ♣0, T, Hq ⑤ ν Au m ⑤b♣u , m ♣ q ✏ ♣f, q b um , , um Aum Au m → u P V Đánh giá (3.16) ta đưoc v ⑤♣f, Au ⑤f ⑤ q⑤ ➔ ⑤Au ⑤ v q⑤ sú dung Bo đê 1.2.2 ta có , vói T m Đánh giá so hang ⑤ um Aum m (3.16) ⑤b♣u q⑤ ↕ c⑤⑤u ⑤⑤ ⑤Au ⑤ m, m u m , Aum m ⑤f ⑤ 2 Tù (3.16) ta có v 1d m ⑤⑤u ⑤⑤ dt ⑤Au ⑤ v m ↕ ⑤Au ⑤ d Giá sú m ⑤⑤u ⑤⑤ ⑤⑤u ♣0q⑤ ⑤ ❅0 ↕ t ↕ ⑤ ν Au m m ν2 ➺ ↕ 2f⑤ ⑤ ν ⑤ T c ν3 ν ⑤f ♣tq⑤ ↕ 2 ⑤⑤ ⑤Au ⑤ m ⑤⑤u ⑤⑤ m c m ⑤⑤u ν ⑤⑤ (3.17) 1④2 (3.18) c✁1④2 ν λ , dt T ⑤⑤u ⑤⑤ ➔ c m ta có Vì tù (3.18) suy m ⑤f ⑤ m ↕2 ⑤Au ⑤ dt c v ν Suy ⑤⑤u m ⑤⑤u ⑤⑤ m m ✁ ➔ 1④2 ν 1④2 λ1 1④2 1④2 λ1 ν ✁1④2 1④2 ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ hàm trơn nênc ♣tq⑤⑤ ➔ ν λ vói t đn nhó ⑤⑤u c Tù ⑤⑤u ♣tq⑤⑤ ➔ λ suy ν c c ν⑤ Au ⑤ → 0, ✁ ν ⑤⑤u ⑤⑤ Tù m m ✁ 1④2 1④2 m m ⑤ ⑤ ν Au m c cm ✁ ν ⑤⑤u ⑤⑤ ➙νλ ⑤⑤u ⑤⑤ ✁ ν ⑤⑤uc⑤⑤ m m m tù (3.17) ta có m ➙νλ ⑤⑤u ⑤⑤ ♣1 ✁ ν λ ⑤⑤u 41 m ⑤⑤ q, ➺ ⑤⑤u ♣⑤tq⑤ ↕ ⑤f ν ⑤ds ⑤⑤u ♣⑤0q⑤ Do ta có d dt 2 m t m ⑤⑤u ⑤⑤ T ➺↕ ν m ⑤f ⑤ds ⑤⑤u ♣0q⑤⑤ ↕ ↕ 2f⑤ ν ⑤ ⑤ c Aum ⑤ c Bưóc Chuyen qua giói han L¾p lai lí lu¾n tương tn trưòng hop hai chieu ta đưoc um ã u L2 ♣0, T ; D♣Aqq, u nghi¾m cna tốn Bưóc Tính nhat cna nghi¾m Giá sú hai nghi¾m u1, u2 Đ¾t w du1 dt ✏ u ✁ u , tù (3.11) ta suy νAu1 B ♣u , u q ✏ f du2 dt νAu2 B 1 ♣u , u q ✏ f 2 ✁ 1④2 1④2 λ1 ν Trù hai ve cna phương trình ta đươc dw ♣u , wq B♣w, u q ✏ (3.19) (Vì B♣u , w q B♣ w, u q ✏ B♣ u , u ✁ u q B♣u ✁ u , u q ✏ B♣ u , u q ✁ B♣u , u qq Tù (3.11) ta suy q♣0q ✏ u ♣0q ✁ u ♣0q ✏ u ✁ u ✏ dt νAw B 2 1 2 2 1 2 ♣ q✏ Nhân vơ hưóng (3.19) vói w ta đưoc dw ① dt , w② ν⑤⑤w⑤⑤ (vì b b w, u2, w 0, (3.20) ♣u , w, wq ✏ 0) Ta có đánh giá sau ⑤b♣w, u , wq⑤ ↕ c⑤w⑤⑤w⑤⑤⑤⑤u ⑤⑤ ⑤Au ⑤ 2 1④ 2 1④ Áp dung bat thúc Cauchy ta có ⑤ ⑤⑤⑤w⑤⑤⑤⑤u ⑤⑤ cw 1④ ⑤Au ⑤ c2 1④ 2 ⑤⑤u ⑤⑤⑤w 2ν ⑤⑤Au ⑤q 2 ↕ ♣2ν⑤⑤w⑤⑤ Tù ta suy d c2 ⑤ ⑤ ↕ ⑤⑤u ⑤⑤⑤w⑤ ⑤Au ⑤ w dt 2ν Theo bat thúc Gronwall ta suy 2 c2 ➩t ⑤⑤u ♣sq⑤⑤⑤Au ♣sq⑤ds ⑤w♣tq⑤ ↕ ⑤w♣0q⑤ e Tù u P L ♣0, T ; D♣Aqq ❳ C ♣0, T ; V q nên tích phân xác đ%nh Do tù ⑤w♣0q⑤ ✏ nên w ✏ V¾y u ✑ u 2ν 02 2 w V¾y ta chúng minh đưoc sn nhat cna nghi¾m manh cna h¾ phương trình Navier-Stokes cá hai trưòng hop khơng gian hai chieu ba chieu Chú ý 3.2.1 Theo chúng minh ta thay rang neu trũng hop u1, u2 cú mđt nghiắm l nghiắm yeu, mđt nghiắm l nghiắm manh thỡ ta van chúng minh đưoc chúng trùng Tuy nhiên trưòng hop cá hai nghi¾m nghi¾m yeu van đe van đe mó Ket lu¾n Luắn trỡnh by mđt so ket quỏ c bỏn ve sn ton tai tính nhat cna nghi¾m yeu nghi¾m manh cna h¾ Navier-Stokes: Sn ton tai tính nhat cna nghi¾m yeu nghi¾m manh tồn cuc cna h¾ Navier-Stokes trưòng hop hai chieu Sn tồn cuc (có the khơng nhat) cna nghi¾m yeu cna h¾ NavierStokes trưòng hop ba chieu Sn ton tai nhat nghi¾m manh đ%a phương cna h¾ Navier-Stokes trưòng hop ba chieu Tài li¾u tham kháo [1] Cung The Anh, Cơ sú lớ thuyet hắ đng lnc vụ han chieu, NXB Đai hoc Sư pham, 2012 [2] V.Barbu, Stabilization of Navier-Stokes Flows, Springer, London, 2011 [3] P Constantin and C Foias, Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1988 [4] R Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis,2nd edtion, Amsterdam: North-Holland, 1979 [5] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, SIAM, Philadelphia, 2nd edition, 1995 32 ... chớnh qui cỳa nghiắm: Tớnh qui ó có the tính qui theo bien thòi gian (tính giái tích, tính Gevrey) ho¾c tính qui theo bien khơng gian (tính qui Hilbert, tính qui Holder, mơ tá t¾p điem kì d%,... cúa h¾ Navier-Stokes 14 2.1 Sn ton tai nhat cna nghi¾m yeu tồn cuc trưòng hop hai chieu 14 2.2 Sn ton tai nghi¾m yeu tồn cuc trưòng hop ba chieu 18 Chương Nghi¾m manh cúa h¾ Navier-Stokes. .. tài cna lu¾n văn là: “Sn ton tai tính nhat nghi¾m cna h¾ Navier-Stokes Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu sn ton tai tính nhat cna nghi¾m yeu nghi¾m manh cna h¾ Navier-Stokes cá hai trưòng hop hai