Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-stokes

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN **************** TRIỆU QUỲNH NHƯ SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Cung Thế Anh Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Cung Thế Anh đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Triệu Quỳnh Như 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác. Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Triệu Quỳnh Như 3 Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . 8 1.2. Các toán tử . . . . . . . . 9 1.2.1. Toán tử A . . . . . . 9 1.2.2. Toán tử B . . . . . . . . . . . 10 1.3. Các bất đẳng thức thường dùng. . . . . . 12 1.3.1. Bất đẳng thức H¨older. . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy . . 12 1.3.3. Bất đẳng thức Young . . 12 1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . 13 1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions. . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều . . 14 2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp ba chiều 18 Chương 3. Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục trong trường hợp hai chiều 22 4 3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh địa phương trong trường hợp ba chiều . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . .Hệ phương trình Navier- Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng được viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng: u t ν∆u u ∇ ∆p f ∇ u 0 ở đó u u x, t là hàm vectơ vận tốc, p p x, t là hàm áp suất, ν là hệ số nhớt, f là ngoại lực. Những vấn đề lí thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes là: • Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Các kết quả nhận được là phụ thuộc theo số chiều của không gian. • Tính chính qui của nghiệm: Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tả tập điểm kì dị, . . .). • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn. Trong các vấn đề kể trên trên, vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Navier- Stokes là vấn đề quan trọng đầu tiên, là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề khác về nghiệm của hệ Navier-Stokes và vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là trong trường hợp ba chiều. Đây vẫn là vấn đề thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes trong cả hai trường hợp hai chiều và ba chiều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh. Nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Hệ phương trình Navier-Stokes. Phạm vi nghiên cứu : Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại : Phương pháp Galerkin. Nghiên cứu tính duy nhất : phương pháp Lions, phương pháp Serrin. 6. Giả thiết khoa học Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh. Tìm được điều kiện đủ để nghiệm là duy nhất trong lớp hàm thích hợp. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R d , d 2, 3 với biên Ω trơn. Xét bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes u t ν∆u u ∇ u ∇p f, x Ω, t 0 ∇ u 0, x Ω, t 0 u x, t 0, x Ω, t 0 u x, 0 u 0 x , x Ω (1.1) Ở đó u u 1 , , u d T , d 2, 3 là hàm vectơ vận tốc, p : Ω R là hàm áp suất, v const 0 là hệ số nhớt. 1.1. Các không gian hàm Kí hiệu V u C 0 Ω d : ∇ u 0 . Để nghiên cứu bài toán, ta giới thiệu các không gian hàm sau: V V H 1 0 Ω d bao đóng của V trong H 1 0 Ω d u H 1 0 Ω d : ∇ u 0 , H V L 2 Ω d bao đóng của V trong L 2 Ω d . 8 Khi đó V và H là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là u, v u, v H Ω u.vdx Ω d i 1 u i v i dx, u, v u, v V Ω d i 1 ∇u i .∇v i dx Ω d i,j 1 u i x j v j x j dx, ở đó u u 1 , , u d T , v v 1 , , v d T . Gọi H là phần bù trực giao của H trong L 2 Ω d . Từ kết quả trong Temam [4], ta có H u L 2 Ω d : u gradp, p H 1 Ω . Gọi V là không gian đối ngẫu của V . Kí hiệu |.|, ||.|| lần lượt là chuẩn trong H và V, . kí hiệu chuẩn trong V . 1.2. Các toán tử 1.2.1. Toán tử A Giả sử A : V V là toán tử xác định bởi Au, v u, v , với mọi u, v V. Kí hiệu D A là miền xác định của A, ta có: D A u H : Au H H 2 Ω d V. Dễ thấy toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch đảo A 1 : H D A compact vì phép nhúng H 1 0 Ω L 2 Ω là compact. Do đó phổ của A gồm toàn giá trị riêng λ j j 1 với 0 λ 1 λ 2 λ n , λ n khi n , và các hàm riêng tương ứng w j j 1 D A lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H. 9 [...]... ca h Navier-Stokes: 1 S tn ti v tớnh duy nht ca nghim yu v nghim mnh ton cc ca h Navier-Stokes trong trng hp hai chiu 2 S ton cc (cú th khụng duy nht) ca nghim yu ca h Navier-Stokes trong trng hp ba chiu 3 S tn ti v duy nht nghim mnh a phng ca h Navier-Stokes trong trng hp ba chiu Ti liu tham kho [1] Cung Th Anh, C s lớ thuyt h ng lc vụ hn chiu, NXB i hc S phm, 2012 [2] V.Barbu, Stabilization of Navier-Stokes. .. p0qq vi mi v do ú up0q  u0 Chỳ ý 2.2.1 Trong trng hp 3 chiu tn ti nghim ton cc nhng tớnh duy nht vn cũn l vn m setcounterchapter2 21 Chng 3 Nghim mnh ca h Navier-Stokes 3.1 S tn ti v duy nht nghim mnh ton cc trong trng hp hai chiu nh lớ 3.1.1 Cho trc u0 V v f L2p0, T ; H q Khi ú tn ti duy nht mt nghim mnh ca h Navier-Stokes 6 du 8 Au B pu, uq  f dt 7 up0q  u0 tha món u L2 p0, T ; DpAqq C pr0,... Bng cỏch so sỏnh vi, ta cú (3.10), ta c pup0q Ă u0, vqp0q  0 Ta cú th chn vi p0q $ 0, do ú up0q  u0 Bc 4 Tớnh duy nht nghim v s ph thuc liờn tc vo d kin ban u ca nghim mnh Chng minh tng t nh i vi nghim yu ta cng cú s duy nht v ph thuc liờn tc vo d kin ban u ca nghim mnh 3.2 S tn ti v duy nht ca nghim mnh a phng trong trng hp ba chiu V v f L2p0, T ; H q tho món 1 ||u0||2 2 ằ T |f ptq|2dt Ô c nh... chng minh c s duy nht ca nghim mnh ca h phng trỡnh Navier-Stokes trong c hai trng hp l khụng gian hai chiu v ba chiu Chỳ ý 3.2.1 Theo chng minh trờn ta thy rng nu trng hp u1 , u2 cú mt nghim l nghim yu, mt nghim l nghim mnh thỡ ta vn chng minh c chỳng l trựng nhau Tuy nhiờn trong trng hp c hai nghim l nghim yu thỡ vn ny cũn l vn m 30 Kt lun Lun vn trỡnh by mt s kt qu c bn v s tn ti v tớnh duy nht ca... ; E1 q, u 1 Lp p0, T ; E0qu Khi ú phộp nhỳng sau l compact W p1 ,p0 p0, T ; E1 , E0 q Lp1 p0, T ; E q 13 0 Chng 2 Nghim yu ca h Navier-Stokes 2.1 S tn ti v duy nht ca nghim yu ton cc trong trng hp hai chiu nh lớ 2.1.1 Cho trc u0 H v f L2p0, T ; V q Khi ú Bi toỏn 1 cú duy nht 1 mt nghim u tha món u C pr0, T s; H q L2 p0, T ; V q, du dt L2p0, T ; V q 1 Chng minh Ta chng minh s tn ti nghim bng phng... Stabilization of Navier-Stokes Flows, Springer, London, 2011 [3] P Constantin and C Foias, Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1988 [4] R Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis,2nd edtion, Amsterdam: North-Holland, 1979 [5] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, SIAM, Philadelphia, 2nd edition,... qua gii hn khi m ẹ V ta c ằT ằT Ă puptq, ptqqdt puptq, ptqqdt 0 0 ằT pup0q, p0qq xf ptq, ptqydt 1 ằT 0 bpuptq, uptq, ptqqdt 0 T ú suy ra pup0q, p0qq  pu0 , p0qq vi mi v do ú up0q  u0 Bc 4 Tớnh duy nht v s ph thuc liờn tc ca nghim vo iu kin ban u Gi s u1 , u2 l hai nghim ca bi toỏn ó cho vi d kin ban u ln lt ln lt l u01 , u02 t u  u1 Ă u2 ta cú 6 8 u Au  ĂBu1 Bu2 7 up0q  u01 Ă u02 1 17... ra |uptq| đ |up0q| exp 2 2 Âằ t 1 0 ||u2psq|| ds 2  õy l iu phi chng minh 2.2 S tn ti nghim yu ton cc trong trng hp ba chiu nh lớ 2.2.1 Cho f L2p0, T ; V Iq, u0 H Khi ú tn ti mt nghim yu u ca h Navier-Stokes tha món u L2 p0, T ; V q Cw pr0, T s; H q, du dt L4{3p0, T, V Iq, u l liờn tc yu t r0, T s vo H: u Cw pr0, T s; H q Chng minh Ta chng minh s tn ti nghim bng phng phỏp xp x Galerkin Bc... cú d m 2 ||u || c|Aum|2 dt |f 2|ds ||ump0q||2 Ô c Ô 2 |f| 2 Bc 3 Chuyn qua gii hn Lp li cỏc lớ lun tng t nh trong trng hp hai chiu ta c um óu trong L2 p0, T ; DpAqq, v u l nghim ca bi toỏn Bc 4 Tớnh duy nht ca nghim Gi s hai nghim l u1 , u2 t w  u1 Ă u2, t (3.11) ta suy ra du1 dt Au1 B pu1, u1q  f du2 dt Au2 B pu2, u2q  f v 29 Ă1{2 2 1{2 1 2 Tr hai v ca phng trỡnh ta c dw dt Aw B pu1, . chọn đề tài của luận văn là: Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes. 3. Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục trong trường hợp hai chiều 22 4 3.2. Sự tồn tại và duy nhất của. 13 Chương 2. Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều . . 14 2.2. Sự tồn tại nghiệm