Tính duy nhất nghiệm nhớt của một lớp phương trình vi tích phân (LV02071)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN VN KIT TNH DUY NHT NGHIM NHT CA MT LP PHNG TRèNH VI - TCH PHN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 02 NGI HNG DN KHOA HC: TS TRN VN BNG H Ni Nm 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Trn Vn Bng, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ phũng Sau i hc, cựng cỏc thy cụ giỏo dy lp thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, 22 thỏng 11 nm 2016 Tỏc gi Nguyn Vn Kit Li cam oan Tụi xin cam oan lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Tớnh nht nghim nht ca mt lp phng trỡnh vi tớch phõn l kt qu ca quỏ trỡnh tỡm hiu, nghiờn cu ca tỏc gi di s hng dn ca TS Trn Vn Bng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, 22 thỏng 11 nm 2016 Tỏc gi Nguyn Vn Kit Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 Nghim nht ca phng trỡnh o hm riờng cp mt 1.2 Nghim nht ca phng trỡnh vi tớch phõn Tớnh nht nghim nht ca mt lp phng trỡnh vi tớch phõn 10 2.1 Trng hp > 2.2 Trng hp = 22 2.3 Tớnh chớnh qui ca nghim nht 25 2.4 ng dng 42 10 2.4.1 Phng trỡnh phi tuyn li vi h s bin thiờn 42 2.4.2 Phng trỡnh phi tuyn khụng li vi h s bin thiờn 42 2.4.3 Phng trỡnh elliptic u tng quỏt khụng a phng i vi L0 43 2.4.4 Phng trỡnh tng quỏt khụng a phng vi mt h o Levy tha (2.41) 43 Kt lun 45 Ti liu tham kho 46 i M u Lớ chn ti Lý thuyt phng trỡnh vi tớch phõn xut hin nhiu mụ hỡnh toỏn, thuc nhiu lnh vc khỏc Nú bt ngun t nhng cụng trỡnh ca Abel, Lotka, Fredholm, Malthus, Verhulst and Volterra v cỏc bi toỏn c khớ, sinh toỏn v kinh t Cụng trỡnh ca Volterra v cnh tranh gia cỏc loi cú vai trũ nn tng s phỏt trin ca cỏc mụ hỡnh toỏn ca cỏc thc tin T nhng cụng trỡnh ban u ny, ó cú rt nhiu nh toỏn hc quan tõm, nghiờn cu, phỏt trin lý thuyt v ng dng ca phng trỡnh vi tớch phõn Volterra cng nh nhng lp phng trỡnh vi tớch phõn khỏc, xem [5], [1], [2], [6] v cỏc ti liu ú Lý thuyt nghim nht ca phng trỡnh o hm riờng c Crandall v Lions gii thiu t u nhng nm 80 ca th k trc cho phng trỡnh phi tuyn cp mt khụng gian hu hn chiu, sau ú phỏt trin cho trng hp vụ hn chiu v c phng trỡnh cp hai Khỏi nim nghim suy rng ny c bit thớch hp cho lp phng trỡnh phi tuyn Lý thuyt nghim ny cng ó c chng minh l phự hp cho c cỏc phng trỡnh vi tớch phõn phi tuyn, xem [3], [4] v cỏc ti liu ú Trong khuụn kh ca mt Lun Thc s toỏn hc, c s hng dn ca TS Trn Vn Bng, tụi chn ti: Tớnh nht nghim nht ca mt lp phng trỡnh vi tớch phõn Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v khỏi nim nghim nht ca phng trỡnh vi tớch phõn cựng vi mt s tớnh cht nh tớnh ca chỳng, c bit l tớnh nht nghim i vi lp phng trỡnh vi tớch phõn khụng a phng Nhim v nghiờn cu + i tng nghiờn cu: Nghim nht ca phng trỡnh vi tớch phõn v tớnh cht nh tớnh ca chỳng + Phm vi nghiờn cu: Nghiờn cu i vi lp phng trỡnh vi tớch phõn khụng a phng Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca Phng trỡnh o hm riờng, phng trỡnh vi tớch phõn v ca lý thuyt nghim nht úng gúp ca ti H thng húa cỏc tớnh cht, kt qu v nghim nht ca phng trỡnh vi tớch phõn, hỡnh thnh mt ti liu tham kho v ch ny Chng Kin thc chun b 1.1 Nghim nht ca phng trỡnh o hm riờng cp mt Mc ny trỡnh by ý tng v cỏch tip cn lý thuyt nghim nht ca phng trỡnh o hm riờng cp mt v nhng kt qu chớnh lm c s cho vic m rng khỏi nim nghim nht cho phng trỡnh vi tớch phõn.Ni dung ca mc ny c tham kho t [3], [4] Gi s RN l mt m, F : ì R ì RN R l mt hm liờn tc ca ba bin (x, r, p) Kớ hiu C() l khụng gian tt c cỏc hm thc liờn tc trờn ; C k (), k = 1, 2, l khụng gian tt c cỏc hm thuc C() cú cỏc o hm riờng n cp k liờn tc trờn Vi mt hm u C (), thỡ Du(x) l gradient ca u ti x Xột phng trỡnh HR phi tuyn cp mt (thng gi l phng trỡnh Hamilton-Jacobi): F (x, u(x), Du(x)) = 0, x (HJ) nh ngha 1.1 Hm u C() l mt nghim nht di ca phng trỡnh (HJ) nu vi mi C () ta cú: F (x0 , u(x0 ), D(x0 )) ti mi im cc i a phng x0 ca u Hm u C() l mt nghim nht trờn ca phng trỡnh (HJ) nu vi mi C () ta cú: F (x1 , u(x1 ), D(x1 )) ti mi im cc tiu a phng x1 ca u Hm u l mt nghim nht nu nú va l nghim nht trờn va l nghim nht di ca phng trỡnh ú Hm (x) nh ngha trờn thng c gi l hm th Vớ d 1.2 Hm s u(x) = |x| l mt nghim nht ca phng trỡnh: |u (x)| + = 0, x (1, 1) Tht vy, ta xột hai trng hp: nu x = l mt cc tr a phng ca u thỡ (x) = u (x) = Vỡ vy ti nhng im ny iu kin nghim nht trờn, nghim nht di c tha Nu l cc tiu a phng ca u , thỡ ta tớnh c | (0)| nờn iu kin nghim nht trờn ỳng Bõy gi ta chng minh khụng th l cc i a phng ca u vi C ([0, 1]) Tht vy, nu l cc i a phng ca u thỡ ta cú (u )(0) (u )(x) mt lõn cn ca 0, hay (x) (0) u(x) mt lõn cn ca 0, t ú ta cú: (0) = lim+ x0 v (0) = lim x0 (x) (0) u(x) lim+ =1 x0 x0 x (x) (0) u(x) lim+ = x0 x0 x Vụ lý, vy khụng th l cc i a phng ca u ý rng, hm s u(x) = |x| khụng phi l nghim nht ca phng trỡnh: |u (x)| = 0, x (1, 1) Tht vy iu kin nghim trờn khụng tha ti x0 = l im cc tiu a phng ca |x| (x2 ) Nghim nht l mt loi nghim suy rng vỡ núi chung chỳng ch l hm liờn tc nờn s tn ti ca chỳng thng d t c (xem phng phỏp Perron [3]) Vn ỏng quan tõm hn l tớnh nht Trong lý thuyt nghim nht, chng minh tớnh nht, ta thng ch nguyờn lý so sỏnh nghim T tng c bn ca nguyờn lý so sỏnh l: nu nghim nht di nh hn hoc bng nghim nht trờn trờn biờn thỡ iu ú cng xy ton Nu cú kt qu so sỏnh thỡ s nht nghim ch l mt h qu trc tip Tht vy, nu u1 , u2 l nghim ca bi toỏn ang xột thỡ ta coi u1 l nghim di, u2 l nghim trờn ta s cú u1 = u2 trờn biờn ú u1 u2 trờn ton i vai trũ ca chỳng ta li nhn c u2 u1 Vy u1 = u2 Di õy l mt kt qu v nguyờn lý so sỏnh nghim Xột hm F cú dng F (x, r, p) = r + H(x, p) nh lý 1.3 Cho l mt m b chn ca RN Gi s u1 , u2 C() tng ng l nghim nht trờn v di ca u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x , v u1 u2 trờn V hm H tha món: |H(x, p) H(y, p)| (|x y| (1 + |p|)) vi x, y , p RN , ú : [0, +) [0, +) l liờn tc khụng gim vi (0) = Khi ú u1 u2 1.2 Nghim nht ca phng trỡnh vi tớch phõn Trong Lun ny, chỳng ta s nghiờn cu nguyờn lý so sỏnh nghim, tớnh nht nghim nht cho lp phng trỡnh vi tớch phõn khụng a phng G(x, u, I[x, u]) = , (1.1) ú l mt b chn Rn v I[x, u] l mt toỏn t vi tớch phõn, nghim cn tỡm u l hm giỏ tr thc Hm G : ì R ì R R l mt hm liờn tc, elliptic suy bin, tc l vi mi x , r R, l1 , l2 R G(x, r, l1 ) G(x, r, l2 ) nu l1 l2 , (1.2) v cú tớnh cng bc, tc l cú mt hng s khụng õm cho vi mi x , r s, l R (r s) G(x, r, l) G(x, s, l) (1.3) Toỏn t khụng a phng I cú dng I[x, u] := Rn [u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z]àx (dz), (1.4) ú 1B1 (0) l hm ch ca hỡnh cu n v B1 (0), nu z B1 (0), 1B1 (0) (z) = + nu trỏi li, v {àx : x } l mt h cỏc o Levy, tc l cỏc o Borel khụng õm trờn Rn \ {0} cho min{|z|2 , 1}àx (dz) < + vi mi x (1.5) Rn Chỳng ta s m rng àx thnh cỏc o trờn Rn bng cỏch t àx ({0}) = Do ú ớt nht toỏn t I[x, u] hon ton xỏc nh u C (B (x)) B( x), nờn ta cú vi |z| < , |z|2 sup D2 n |z|2 un , ( x + z) un , ( x) y x + Dn ( x) z (2.37) Ngoi ra, t nh ngha ca un , , n , u | x y|2 ( x + z) u( y + z) n ( y + z) + n ( x + z) , nờn u( y +z)u( y )(un , ( x+z)un , ( x)) n ( y +z)n ( y )(n ( x+z)n ( x)) (2.38) Nh vy t (2.36), (2.37) v (2.38), ta cú G( x, un , ( x), I 1, x, Dun , ( x), un , + I 2, x, Dun , ( x), un , ) G y, u( y ), I 1, y, |z|< y x | x ã|2 y x + Dn ( y ), + n + I 2, y, + Dn ( y ), u 2 |z| + (n (y + z) n (y) Dn (y) z) ày (dz) + |z|< |z| + sup D2 n u (y + z) u (y) 1B1 (0) (z) + |z|2 àx (dz) (y x) + Dn (y) z (ày (dz) àx (dz)) |z| n (y + z) n (y) 1B1 (0) (z)Dn (y) z + |z| n (x + z) n (x) 1B1 (0) (z)Dn (x) z Bõy gi chỳng ta li t n = n v n àx (dz) + 1 n = n v s dng cỏc ỏnh giỏ Trng hp ca nh lý 2.1, cú vi bt k > 0, ta cú th tỡm 32 > 0, > v r0 < cho nu r0 < r < thỡ G( x, un , n ( x), I 1,n x, Dun , n ( x), un , n + I 2,n x, Dun , n ( x), un , n ) | xã| x x 2,n G y, u( y ), I 1,n y, y + D ( y ), y, y + Dn ( y ), u n n + n + I n n ( ) n vi mt mụ un Do u l mt nghim nht di ca (1.1), nờn G( x, un , n ( x), I x, un , n = G( x, un , n ( x), I 1,n x, Dun , n ( x), un , n +I 2,n x, Dun , n ( x), un , n ) ( ) n Hon ton tng t ta cú kt qu sau cho cỏc nghim nht trờn B 2.18 Gi s rng cỏc gi thit ca B 2.17 l ỳng Khi ú, vi bt k < < 2, tn ti mt hng s r0 < (r0 nu > 1) r cho nu r0 < r < 2, > max {0, r} , l mt m, u Cloc () l mt nghim nht trờn ca (1.1), thỡ cú mt dóy hm s n n C (Rn ) BU C(Rn ) vi mụ un liờn tc u, mt dóy s dng { n }n vi n v mt mụ un cho un , n l mt nghim nht trờn ca = ( ) n G x, un , n , I x, un , n T chng minh ca cỏc B 2.17 v 2.18 m chỳng ta luụn cú (2.39) n = n B 2.19 Cho {un }n l mt dóy cỏc hm s liờn tc u v b chn trờn Rn cho: i) un l mt nghim nht di ca ML (un ) = fn trờn ii) Dóy {un } hi t u n u Rn , vi u BU C(Rn ) iii) Dóy {fn } hi t u n f , vi f C() Khi ú u l mt nghim nht di ca ML (u) = f nh lý 2.20 Cho cỏc gi thit ca B 2.17, G elipptic u i vi L Khi ú, vi bt k < < 2, tn ti mt hng s dng r0 < (r0 33 nu > 1) Sao cho nu r0 < r < 2, > max {0, r} , u Crloc () l mt r () l mt nghim nht trờn ca (1.1), nghim nht di ca (1.1) v v Cloc thỡ u v l mt nghim nht di ca ML (u v) = (2.40) {u v > 0} Nu G(x, r, l) l c lp vi bin th hai r thỡ (2.40) tha Chng minh Vi bt k , ly x , un , n (x) > , n (x) v cho C (Rn ) BU C(Rn ) l mt hm th tip xỳc vi th ca un , n , n t phớa trờn ti x Do un , n v , n l na li mt lõn cn ca x nờn mi chỳng cú mt paraboloid tip xỳc vi th ca nú t phớa di ti x Vỡ vy, un , n v , n phi thuc C 1,1 (x) BU C(Rn ) T Mnh 2.13 v B 2.17, 2.18, ta cú n , G x, un , n (x), I x, u n v G x, , n (x), I x, , n ( ) n ( ) n vi mt mụ un Do ú, t (1.3) v tớnh eliptic u, ta cú c ML (un , n , n )(x) 2( ) n Vỡ th ta cú: ML (x) 2( ) n Vy ta ó chng minh c un , n , n l nghim nht di ca ML (un , n , n ) = 2( ) n un , n , n > Theo Nhn xột 2.16, ta cú un , n , n hi t u n u v Rn Do vy, vi bt k 34 > 0, tn ti n ln sau cho {u v > } un , n , n > nu n > n Vỡ vy, un , n , n l mt nghim nht di ca ML (un , vn, n ) = 2( n1 ) {u v > } nu n > n , v ú t B 2.19, u v l mt nghim nht di ca ML (u v) = {u v > } Vỡ v >0 l tựy ý, nờn u v l mt nghim nht di ca ML (u v) = {u v > 0} Tip theo chỳng tụi trỡnh by mt s kt qu v tớnh chớnh qui ca nghim nht lm iu ny, ta cn iu kin b sung > max {0, } nh lý 2.21 Cho l mt b chn Gi s rng hm G (1.1) l liờn tc v tha (1.3) vi = v (H1) vi > vi mi Gi s rng h cỏc o Lộvy {àx } tha gi thit (H2) vi > max {0, } v tn ti mt hng s C > cho vi bt k x , d S n1 , (0, 1), (0, 1), |z|2 àx (dz) C n1 (2.41) {z:|z|,|dãz|(1)|z|} Khi ú, ta cú: r (1) Nu < 1, thỡ mi nghim nht u ca (1.1) u thuc Cloc () vi r < 0,1 (2) Nu < , thỡ mi nghim nht u ca (1.1) u thuc Cloc () nh lý 2.22 Cho l mt b chn Gi s rng (1.6), h cỏc o Lộvy x tha gi thit (H2) vi > max {0, } , u theo A, B v f, liờn tc u , u theo A, B Gi s rng tn ti mt hng s C > cho vi bt k x , d S n1 , (0, 1), (0, 1), A, B, {z:|z|,|dãz|(1)|z|} |z|2 x (dz) C n1 Khi ú, ta cú: r (1) Nu < 1, thỡ mi nghim nht u ca (1.6) u thuc Cloc () vi 35 mi r < 0,1 () (2) Nu < , thỡ mi nghim nht u ca (1.6) u thuc Cloc Bõy gi chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim v cỏc nh lý v tớnh chớnh quy Xột cỏc phng trỡnh khụng a phng u I [x, u] = f (x) , (2.42) ú 0, l mt b chn, f l hm b chn v liờn tc ,I [x, u] l toỏn t khụng a phng cú dng I [x, u] = inf supI [x, u] A B := inf sup A B Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z K (x, z)dz Chỳng ta s kớ hiu I,x0 [x, u] := Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z K (x0 , z)dz Nhn xột 2.23 D thy rng nu K (x, z) = a(x,z) n+ , |z| a (x, z) v |a (x1 , z) a (x2 , z)| h(|x1 x|) vi mt mụ un h, vi bt k x, x1 , x2 , z Rn , A, B, thỡ toỏn t khụng a phng I [x, u] tha cỏc tớnh cht sau õy: (1) I [x, u] hon ton xỏc nh u C 1,1 (x) v u L1 (Rn , 1+|z|1 n+ ) (2) Nu u C () L1 (Rn , 1+|z|1 n+ ) thỡ I [x, u] liờn tc nh l mt hm ca x Vỡ vy I [x, u] thuc lp cỏc toỏn t khụng a phng c xột [13,23,25] Hn na khỏi nim nghim nht di/ trờn [13,23,25] khỏc mt chỳt vi nh ngha 1.5 vỡ h cho phộp nghim nht trờn/ di l khụng b chn v khụng yờu cu chỳng liờn tc u Chỳng ta núi rng cỏc toỏn t khụng a phng I nờu trờn l elliptic u 36 i vi mt lp L cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng a phng nu ML (u v)(x) I [x, v] I [x, u] ML+ (u v)(x) Chun I ca mt toỏn t khụng a phng I c nh ngha theo cỏch sau nh ngha 2.24 I := sup |I [x, u]| : x , u C 1,1 (x), u 1+M L1 Rn , 1+|z|n+ M, |u(x + z) u(x) Du(x).z| M |z|2 , z B1 (0) Cỏc lp sau õy ca cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng a phng L0 () v L (), < < ó c gii thiu [13,25] Cho < l cỏc hng s c nh Mt toỏn t tuyn tớnh khụng a phng L L0 () nu Lu = Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z K(z)d(z) (2.43) ú hm hch K l i xng v tha vi tt c z Rn \ {0} , (2 ) K(z) (2 ) |z|n+ |z|n+ (2.44) Do K l i xng nờn ta cú [u(x + z) + u(x z) 2u(x)] K(z)dz Lu = Rn B 2.25 Lp L0 () tha (H3) i vi bt k < < Chng minh Chỳng ta s s dng dng ca L (2.43) Ly R cho R > max {3R, + R} v BR (0) Chỳng ta nh ngha (x) = min(R3 , |x|2 ) T nh ngha ca R, tớnh i xng ca K ta cú vi mi 37 x ( BR (0)) |z|2 K(z)dz + L((x)) B1 (0) + (x+z) Chỳng ta chỳ ý rng lp L0 () v L () cú t l Mt lp L L0 () gi l cú t l nu bt c toỏn t khụng a phng vi ht nhõn K(z) thuc L, thỡ mi toỏn t vi hch n+ K(z) cng thuc L vi bt k < nh ngha sau õy v khong cỏch gia hai toỏn t khụng a phng s ly t l nh ngha 2.26 Vi bt k < < v bt k toỏn t khụng a phng I, ta nh ngha toỏn t tỏi t l Ià, [x, u] = àI x, à1 u( ã) Chun vi t l c nh ngha l (1) I (1) I (2) (2) = sup I1, I1, ph thuc vo , , n, nh lý 2.28 Gi s < < < Gi I = inf A supB I l mt toỏn t khụng a phng cho {I,x0 : A, B, x0 B1 (0)} L0 () Ta kớ hiu Ix0 = inf A supB I,x0 Khi ú tn ti hng s r > 1, > cho nu vi bt k x0 B 21 (0), I Ix0 < v u l mt nghim nht ca I [x, u] = f (x) B1 (0) vi mt hm liờn tc b chn f, thỡ u C r (B 21 (0)) v u C r (B (0)) C u L (B1 (0)) + u L1 (Rn , 1+|z|n+0 ) + f L (B1 (0)) vi mt hng s C > nh lý 2.29 Cho {I }A l mt lp cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng a phng I [x, u] = Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z K (x, z)dz cho {I,x0 : A, x0 B1 (0)} L () vi mt > v < < Gi s rng vi mi x1 , x2 B1 (0), z Rn \ {0} , A, |K (x1 , z) K (x2 , z)| |x1 x2 | 39 (2 ) |z|n+ Khi ú tn ti r > cho nu (0, r], (0, ) v u l mt nghim nht ca I [x, u] = inf I [x, u] = B1 (0), A thỡ u C + (B 12 (0)) v u C + (B (0)) C u L (Rn ) vi mt hng s C > nh lý 2.30 Gi s < < < Gi I = inf A supB I0 l mt toỏn t khụng a phng cho I A,B L, ú L L0 () cú t l v cú ỏnh giỏ C r phn vi mi s r > Gi I = inf A supB I l mt toỏn t khụng a phng, elliptic u i vi L0 () Khi ú vi mi r < {r, } cú > cho nu I0 I < v u l nghim nht ca I [x, u] = f (x) trờn B1 (0) vi mt hm f liờn tc, b chn thỡ u C r (B 21 (0)) v u C r (B (0)) C( u L (Rn ) + f L (B1 (0)) ) vi mt hng s C > H qu 2.31 Cho < < v cho u l mt nghim nht ca (2.42) B1 (0), ú 0, f B1 (0) v I [x, u] = infA (2 ) Rn u (x + z) u(x) 1B1 (0) (z)du(x).z a (x,z) n+ dz |z| (x,ã) Gi s rng a (x, ã) i xng, a (x, z) , a|ã| n+ L () v |a (x1 , z) a (x2 , C |x1 x2 | vi bt k A, x, x1 , x2 B1 (0), z Rn \ {0} , v cỏc hng s > 0, > max {0, } Khi ú vi bt k r < , u C r (B 12 (0)) 40 Chng minh Vi < 1, vỡ a (x, z) vi mi x B1 (0) v z Rn , nờn h cỏc o Lộvy a(x,z) n+ dz |z| tha (2.41) Do ú theo x, nh lý 2.22 ta cú iu phi chng minh Vi > 1, nu ta c nh x0 B 21 (0), thỡ toỏn t I,x0 u = (2) Rn u(x + z) u(x) thuc L () Do ú theo nh lý 2.29 ta cú ỏnh giỏ C r phn trpng vi mt r > Do tớnh liờn tc H oălder ca a (ã, z) vi z Rn \{0} c nh, ta cú th tỡm c mt hỡnh cu nh Br0 (x0 ) cho |a (x, z) a (x0 , z)| < T y bng mt phộp tớnh n gin ta cú c I Ix0 < C Br0 (x0 ), ú C l hng s dng v Ix0 = inf A I,x0 Cui cựng, ỏp dng nh lý 2.30 vi I = Ix0 v f := f u, vi t l Br0 (x0 ) ta cú iu phi chng minh H qu 2.32 Cho < < Gi u l mt nghim nht ca u inf sup {I [x, u]} = f (x) B1 (0), A B ú 0, f C(B1(0)) v I [x, u] = (2 ) Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)du(x).z a (x, z) dz |z|n+ Gi s a (x, ã) i xng, a (x, z) v |a (x1 , z) a (x2 , z)| |x1 x2 | vi bt k A, B, x, x1 , x2 B1 (0), z Rn \ {0} v mt hng s > max {0, } Khi ú, nu > thỡ u C r (B 21 (0)), ú r l t nh lý 6.4, v nu thỡ u C r (B 12 (0)) vi mi r < Chng minh Vi < 1, chng minh hon ton tng t nh H qu 2.31 Vi > 1, tớnh liờn tc H oălder ca a (ã, z) vi z Rn \{0} c nh, ta cú th tỡm c mt hỡnh cu nh Br0 (x0 ) cho |a (x, z) a (x0 , z)| < Vỡ vy ging nh chng minh ca H qu 2.31, ta cng cú I Ix0 < C Br0 (x0 ) vi hng s C > Sau ú ỏp dng nh lý 2.28 vi f := f u 41 vi t l Br0 (x0 ) ta cú iu phi chng minh 2.4 ng dng Trong phn ny chỳng tụi cung cp mt s vớ d c th, ú ta cú tớnh nht ca nghim nht 2.4.1 Phng trỡnh phi tuyn li vi h s bin thiờn nh lý 2.33 Cho l b chn Xột phng trỡnh phi tuyn khụng a phng sau u + sup {I [x, u]} = f (x) , (2.45) A ú 0, < < 2, f C() v I [x, u] = (2 ) Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z a (x, z) dz |z|n+ (x,ã) Gi s rng a (x, ã) l i xng, a (x, z) , a|ã| n+ L () v |a (x1 , z) a (x2 , z)| C|x1 x2 | , A, x, x1 , x2 , z Rn \ {0} v mt s > 0, > Gi s > max {0, } Khi ú, nu u l nghim nht ca (2.45), v l nghim nht trờn (tng ng, nghim nht di) ca (2.45) v u v (tng ng u v) c , thỡ ta cú u v (tng ng, u v ) Rn Chng minh nh lý sau t nh lý 2.9, H qu 2.32 v B 2.25 vỡ ta cú th ly gn tựy ý 2.4.2 Phng trỡnh phi tuyn khụng li vi h s bin thiờn nh lý 2.34 Cho l mt b chn Xột phng trỡnh phi tuyn khụng a phng sau u + sup inf {I [x, u]} = f (x) , A B 42 (2.46) vi 0, < < 2, f C() v I [x, u] = (2 ) Rn u(x + z) u(x) 1B1 (0) (z)Du(x).z a (x, z) dz |z|n+ Gi s rng a (x, ã) l i xng, a (x, z) v |a (x1 , z) a (x2 , z)| C|x1 x2 | , A, B, x, x1 , x2 , z Rn \ {0} Khi ú, nu u l mt nghim nht ca (2.46), v l nghim nht trờn (tng ng nghim nht di) ca (2.46) v u v (tng ỳng, u v) trờn c thỡ ta cú i) Vi < < 1, nu > thỡ u v (tng ng, u v) Rn (2r) , ú r < c cho H ii) Vi < < 2, nu < (3r)+(42r) qu 2.32 thỡ ta cú u v (tng ng, u v) Rn Chng minh Chng minh nh lý suy t nh lý 2.9, H qu 2.10, B 2.25 v H qu 2.32 2.4.3 Phng trỡnh elliptic u tng quỏt khụng a phng i vi L0 nh lý 2.35 Cho l b chn > Gi s rng G (1.1) l liờn tc, eliptic u i vi L0 , v tha (1.3) vi v (H1) Gi s rng h cỏc o Levy {àx } tha gi thit (H2) Gi s u l mt nghim nht ca (1.1) v u v (tng ng u v) c Khi ú, nu < (2r) 2r+ + r, > r vi r < cho bi nh lý 2.27, thỡ ta cú u v (tng ng u v) Rn 2.4.4 Phng trỡnh tng quỏt khụng a phng vi mt h o Levy tha (2.41) nh lý 2.36 Cho l mt b chn Gi s G (1.1) l liờn tc v tha (1.3) vi > v (H1) vi > vi mi Gi s rng h cỏc o Levy {àx } tha gi thit (H2) v tn ti mt hng s C > cho vi mi x , d S n1 , , (0, 1), ta cú (2.41) Nu u l nghim nht ca (1.1), v l nghim nht trờn ca (1.1) (tng ỳng, nghim 43 nht di) ca (1.1) v u v (tng ng u v) c thỡ ta cú: i) Vi < 1, nu > , ta cú u v (tng ng, u v) Rn ii) Vi < < 2, nu < v < 1+ , ta cú u v (tng ng u v) Rn nh lý 2.37 Cho l mt b chn Gi s rng G (1.1) l liờn tc, eliptic u i vi L0 v tha (1.3) vi = v (H1) vi > vi mi Gi s rng h cỏc o Levy {àx } tha gi thit (H2) v tn ti hng s C > cho vi mi x , d S n1 , , (0, 1), ta cú (2.41) Nu u l nghim nht ca (1.1), v l nghim nht trờn ca (1.1) (tng ỳng, nghim nht di) ca (1.1) v u v (tng ng u v) c thỡ ta cú i) Vi < 1, nu > , ta cú u v (tng ng, u v) Rn ii) Vi < < 2, nu < v < u v) Rn 44 1+ , ta cú u v (tng ng Kt lun Ni dung ca lun tỡm hiu v lý thuyt nghim nht ca phng trỡnh o hm riờng cp mt, ca mt lp phng trỡnh vi tớch phõn khụng a phng v mt s tớnh cht nh tớnh ca chỳng C th: Chng tỡm hiu v ý tng chớnh ca lý thuyt nghim nht cho phng trỡnh o hm riờng cp mt; kt khỏi nim nghim nht ca mt lp phng trỡnh vi tớch phõn khụng a phng Chng trỡnh by mt s kt qu liờn qua ti tớnh nht, tớnh chớnh qui nghim nht ca mt lp phng trỡnh vi tớch phõn phi tuyn khụng a phng 45 Ti liu tham kho [1] N Alibaud (2007), Existence, uniqueness and regularity for nonlinear parabolic equations with nonlocal terms, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 14, no 34, 259 289 [2] O Alvarez and A Tourin (1996), Viscosity solutions of nonlinear integrodifferential equations, Ann Inst H Poincarộ Anal Non Linộaire 13, no 3, 29331 [3] M.G Crandall, H Ishii and P.L Lions (1992), Users Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations, Bull A.M.S., 27, 1-67 [4] M G Crandall, P.-L Lions (1983): Viscosity solutions of HamiltonJacobi equations, Trans Amer Math Soc 277, 1-42 [5] V Lakshmikantham and M Rama Mohana Rao, Theory of integrodifferential equations, Gordon and Breach science Publishers, 1995 [6] C Mou, A Swiech (2015), Uniqueness of viscosity solutions for a class of integro-differential equations, Nonlinear Differential Equations and Applications, NoDEA 22, Issue 6, pp 1851 1822 46 ... nhớt lớp phương trình vi tích phân Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm nghiệm nhớt phương trình vi tích phân với số tính chất định tính chúng, đặc biệt tính nghiệm lớp phương trình vi tích phân. .. 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp 1.2 Nghiệm nhớt phương trình vi tích phân Tính nghiệm nhớt lớp phương trình vi tích phân 10 2.1 Trường hợp γ... địa phương Nhiệm vụ nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt phương trình vi tích phân tính chất định tính chúng + Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lớp phương trình vi tích phân không địa phương