Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ

Nhân dịp luận văn được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. TRAN ĐÌNH KẾ đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đồ tài và ngliicn cứu khoa học. Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Đức Nhật Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Đức Nhật LỜI CẢM ƠN Mục lục MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi tích phân dạng x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)a;(s)<ís] + g(t, x(t,)), t G J := [0, T], J 0 (1) là mô hình tổng quát của nhiều bài toán thực tế. Một trong số đó là bài toán truyền nhiệt "có nhớ" được mô tả bởi phương trình d 2 [ f X t { t , v ) = Q - ị [ x { t , y ) + Ị b ( t - s ) x ( s , y ) d s ] + g ( t , y ) . (2) Phương trình (1.1) kết hợp với điều kiện không cục bộ (nonlocal): x(0) + h(x) = x ữ (3) trở thành bài toán Cô-si tổng quát, được nhiều nhà toán học quan tâm trong những năm gần đây. về phương diện toán học, bài toán Cô-si không cục bộ (1.1)-(1.2) đặt ra hai khó khăn cơ bản. Trước tiên, việc tìm giải thức cho bài toán tuyến tính thuần nhất tương ứng khó thực hiện. Tiếp theo, điều kiện không cục bộ (1.2) tạo ra rào cản về kỹ thuật khi nghiên cứu toán tử nghiệm. Với mục ticu tìm hiểu một cách tiếp cận mới cho bài toán Cô-si không cục bộ đối với phương trình vi tích phân, chúng tôi lựa chọn đề tài "Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ" làm mục tiêu nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu 2 - Nghiên cứu tính giải được và tính chất tập hợp nghiệm của bài toán Cô-si không cục bộ với phương trình vi tích phân tổng quát trong không gian Banach; Tìm hiểu một số phương pháp của giải tích hàm phi tuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén; 2. Tìm hiểu lý thuyết giải thức; 3. Nghiên cứu tính giải được của bài toán Cô-si không cục bộ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là bài toán Cô-si không cục bộ đối với phương trình vi tích phân. • Phạm vi nghiên cứu: tính giải được, cấu trúc hình học của tập hợp nghiệm. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các công cụ và các kết quả của lý thuyết nửa nhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact, (MNC). 6. Dự kiến đóng góp mới Sử dụng cách tiếp cận tương tự, luận văn có thổ tiếp tục phát triển để giải quyết bài tọán với phương trình vi tích phân có trễ. Chương 1 Tính giải được của bài toán Xét bài toán x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)x(s)ds] + g(t, x(t,)), í E J := [0, T], J() (1.1) x(0) + h(x) = X( ) . (1-2) Trong đó x(t) lấy giá trị trong không gian Banach X; F(t), với t £ J, là một toán tử tuyến tính trên X; hàm g J X X X vh h : C(J;X) —> X cho trước. Trong mô hình trôn, A là phần tử sinhcủa một nửa MỤC 4 nhóm liên tục mạnh S(') trên X. Ta đã biết phương trình (1.1) với g = g(t) phát sinh từ ứngdụng thực tế. Chăng hạn, phương trình truyền nhiệt có nhớ d 2 Ị 1 = Q ~ ĩ [ x { t , y ) + J b { t - s ) x ( s , y ) d s \ + g ( t , y ) , x ( 0 , y ) = x 0 , (1.3) ở đó t E M+ và y G [0,a] c M (xem [3]). Hơn nữa, nếu ta thay thế điều kiện ban đầu x(0, y ) = X Q bởi điều kiện không cục bộ (1.2), ta có được một mô tả tốt hơn về thông tin ban đầu của hệ. Một ví dụ của h là: i=l MỤC 5 trong đó Kị : X —V X là các toán tử tuyến tính. Liên quan đến (1.3), trong trường hợp X = L 2 (0,a), các toán tử Ki có thể cho bởi K i x ( t i , v ) = f k i ( ị , y ) x ( t i , ị ) d ị , (1.6) với kị (i = 1, ,£>) là các hàm liên tục. Bài toán (1.1)-(1.2) với F = 0 đã được nghiên cứu trong nhiều công trình. Trong các công trình [4, 5, 6] các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm đã được chứng minh nhờ vào các định lý điểm bất động Banach, đối với g và h thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Với giả thiết Carathéodory trên g, các tác giả trong bài báo [7] đã chứng minh tính giải được khi S(t) là compact. Mặc dù vậy, như đã chỉ ra trong công trình [8], nếu điều kiện Lipschitz không đặt ra, việc chứng minh tính compact của toán tử nghiệm gặp rất nhiều khó khăn do t S(t), trong trường hợp tổng quát, không liên tục đều trên [0,T], ngay cả khi S(t) compact. Ta biết rằng, trong trường hợp F = 0, nghiệm của (1.1)-(1.2) trên J được định nghĩa bởi x(t) = 5(í)[x 0 — h(x)] + f S(t — s)g(s,x(s))ds, t € J. J 0 Trong trường hợp F Ỷ để xác định nghiệm của bài toán ta cần xác định giải thức của hệ thuần nhất x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)x(s)ds\ì t E J. (1.7) J() Họ toán tử R(-) : J I—> L ( X ) được gọi là giải thức của (1.7) nếu nó thỏa mãn 1. R(0) = /, toán tử đồn nhất trên X, 2. Với mỗi V € X, hàm t \-ì R(t)v liôn tục trcn J, 3. Nến Y là không gian Banach xác định bởi D(A) (miền xác định của A), với chuẳn đồ thị, thì R(t) G L{Y), R{‘)y GC l ( J \ X ) n C Ụ \ Y ) với y e Yv ầ CJ ~^R{t)y = A[R{t)y + j F(t — s)R(s)yds] 6 = R(t)Ay + Í R(t — s)AF(s)ds, t 6 J. J 0 Sự tồn tại của họ giải thức này được đề cập trong công trình [15]. Chú ý rằng từ định nghĩa của giải thức và nguyên lýbị chặn đều, ta có thể tìm được hằng số Cfí < +oo sao cho sup ||fi(í)||i(A') < C R . (1.8) teJ Khi đó nghiệm của bài toán ban đầu được cho bỏi x(t) = R(t)[x0 — h(x)] + í Rịt — s)g(s,x(s))ds, t (1.9) J 0 1.1 Tính giải được Định nghĩa 1.1. Cho £ ỉà không gian Danach (A, là một tập sắp thứ tự từng phần. Một hàm, ß : V ( 8 ) —> A đĩỉỢc gọi là một độ đo không co m pact (MNC) trên 8 nếu n ó thỏa mẫn ß(cö íì) = ß(Si) với mọi tập bị chặn Q G V ( £ ) , trong đócõũ, ỉ,à bao lồi đốnq của Q. Độ đo ß được qọi là i) đơn điệu, nếu íío?^i £ ^(£) thỏa mãn Qq c ííi, kéo theo ii) không kỳ dị, nếu ß({a} UQ) = /3(0) với mọi a E £, £ V ( S ) ; Ui) bất biến với nhiễu compacẦ, nếu ß(K ufì) = ß(£l) với mọi t,ậ,p compact tương đối K c £ và Q G V ( 8 ) ; Giả sử A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói ß là iv) nửa cộng tính đại số, nếu ß ( Q f ) + ííi ) ^ ß(ü0) + ß(tti) với mọi Q 0 J ^1 £ ^(£)/ v) chính quy, nếu đẳng thức /3(ũ) = 0 tương đương với tính com- pact tương đối của Q. 7 Ví dụ tiêu biểu về MNC là độ đo không compacẦ HausdorỊỊ’ một đô đo thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên: x(íì) = inf{e : íì có e-lưới hữu hạn}. Các ví dụ khác về MNC trcn không gian các hàm liên tục C ( J ; X ) (xác định trên J, lấy giá trị trong X ) : (i) mô-đun không compact theo lát cắt 7(fi) = snpỵ( í ì( t)) (1.10) teJ trong đó X là độ đo không compact Hausdorff trcn X và íì(t) = {y(t.) : y e ũ } \ (ii)mô-đun liên tục đồng bậc modc(ft) = limsup max \\y(ti) - y(t 2 )\\. (1.11) £->•0 y£Q \ti — t2\<ỗ Như đã chỉ ra trong cuốn chuycn khảo [16], các độ đo này thỏa mãn tất cả các tính chất trong Định nghĩa 1.1 trừ tính chính quy. Giả sử T G L ( Ẽ ) và /9 là một MNC trên Ẽ. Ta nhắc lại khái niệm /3- chuấn của toán tử tuyến tính (xem [17]) như sau: lini/ĩ := inf{M : ị3(T£l) ^ A//?(Í2), Q c £ là tập bị chặn}. (1.12) Khi đó /3- clmẩn của r xác định bởi IITII, = p{TSi) = 0(TB,), trong đó Si và Bi lần lượt là mặt cầu và hình cầu trong s. Có thể thấy rằng IITIU < \ \ T \ \ L { X ) . (1.13) Định nghĩa 1.2. Một hàm liên tục T : z c 8 —> £ được gọi là nén ứng với MNC ị3 (73-nén) nếu với mọi tập bị chặn Q c z không là tập com,pacẦ tương đối, ta có ạựm ỉ P(ũ). Giả sử Ị3 là một MNC đơn điệu và không kỳ dị. ứng dụng lý thuyết bậc tô-pô cho ánh xạ nén (xem [17, 16]) ta có các định lý điểm bất động sau đây. Định lý 1.1 ([16, Bổ đồ 3.3.1]). Giả sử Ai là một tập con lồi, đóng và bị chặn của £ và T : M. —» M. là Ị3-nén. Khi đố VixT = {x = F { x ) } là tập khác rỗng và compact. 8 Định lý 1.2. Cho V c £ là một lân cận của, /3 là một MNC đơn điệu, không kỳ dị trong £, và T : V £ là /3-nén thỏa mẫn điều kiện biên X ^ \ T(x) với mọi X G dv và 0 < A ^ 1. Khi đó tập các điểm bất động Fix(T) = {x = T ( x ) } c V là khác rỗng và compacẦ. Quay lại bài toán (1.1) - (1.2), ta giả thiết các hàm gvà, h thỏa mãn những điều kiện sau đây: (Gl) hàm g : J X X —» X liên tục; (G2) tồn tại /i G L l Ụ ) và hàm đơn điệu tăng T : —)• R+ saocho HíKi.^lU < Mí)T(IMU) với hầu khắp t € J và với mọi r j £ X \ (G3) tồn tại hàm k £ L l ( J ) sao cho với mọi tập con bị chặn í] c I ta có với hầu khắp í G J, trong đó X là độ đo không compact Hausdorff trong X ; (Hl) hàm h : C Ụ \ X ) X liên tục và tồn tại hàm đơn điệu tăng 0 : R+ —)• R+ sao cho IIM*)IU ^ 0(IMIc), với mọi X G C(J;X), trong đó ||x||c = H^||c(j-X)? 9 (H2) tồn tại hằng số C h sao cho x(hm < chl(íì) với mọi tập bị chặn Í2 c C ( J ; X ), ở đó 7 được định nghĩa bởi (1.10). (H3) nếu Q c C ( J \ X ) là tập bị chặn thì mo d c { R { - ) h ( Q ) ) = 0. Nhận xét 1.1. 1. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì ta có thể bỏ quo, điều kiện (G3) bởi nó được suy ra từ (G2). 2. Ta biết Tằng (xem [17, 16]) điều kiện (G3) sẽ được thỏa mãn nếu 9 {t,n) = 9 i(t,v) + Ũ 2 {t,n) trong đó gi là hàm, Lipschitz ứng với biến thứ hai: llsi(í.í) - 9 ỉ ( t , v ) \ \ x < fc(í)||Ệ - 7j||x v ớ i h ầ u k h ắ p t £ J v à Ị , r ì G X v ớ i k 6 L ' ị J ) v à $2 l à á n h x ạ com,pact theo nghĩa với mỗi t € J và c X bị chặn, tập Ọĩitì ỉà corn,pact tương đối trong X. 3. Nếu ta giả thiết h hoàn toàn liên tục, nghĩa là, nó liên tục và com,pact trên các tập bị chặn, thì (H2)-(H3) được thỏa mãn. Nếu h trong (1.4) thỏa mẫn (H1)-(H2) và hàm, t I—y R ( t ) liên tục đều thì (H3) cũng được thỏa mẫn. Chú ý rằng h trong ví dụ (1.5)-(1.6) thỏa mãn (Hl)-(HS). Ta sử dụng các giả thiết sau, như trong [3]: (FI) F ( t ) G L ( X ) với t G J và x ( - ) liên tục với giá trị trong Y = D ( A ) ~ A F ( - ) x { - ) e L ' l J i X ) ; (F2) Với X G X, hàm t I—>• F ( t ) x khả vi liên tục trên J . Ta biết rằng, với điều kiện (F1)-(F2) giải thức cho (1.7) hoàn toàn xác định. Ta giả thiết thêm rằng (HA) t I—R ( t ) liên tục theo chuẩn với t > 0. 1.1. TÍNH G IẢI [...]... rỗng và compact Chứnq minh Với giả thiết (G2") và (Hl"), điều kiện (1.28) tương đương với (1.27) và ta có kết luận của Định lý 1.4 □ Chú ý rằng, nếu q = 0 trong (HT), tức là hàm cục bộ bị chặn đều, ta không cần giả thiết về độ tăng của T, như lý luận trong công trình của [18] Định lý 1.5 Trong Định lý l.s, điều kiện ( H l ) được thay bởi (Hlb) h liên tục và ||/z(x)||x < Mh với mọi X € C Ụ \ X ) , trong... gọi là bị chặn tích phân nếu tồn tại một hàm, [I G L l ( J ) s a o c h o №(011* ^ ỉi{t) với hầu khắp t G J, và với mọi g £ Q Mệnh đề 1.1 Toán tử $ biến các tập bị chặn trong L l Ụ \ X ) thành tẠp liên tục đồng bậc trong C Ụ \ X ) Chứng minh Giả sử Q c L l ( J ; X ) là một tập bị cliặn tích phân Khi đó tồn tại hàm /1 É L l ( J ) sao cho \ \ f ( t ) \ \ x ^ ịi(t) với hầu khắp t G J và với mọi / GỖ-... ri(s)\\x 0 compact, ta có x ( { £ n ( £ > 5 ) } ) = v ớ i h ầ u k h ắ p s E [ 0 , t ] K h i đ ó s ử d ụ n g [ 1 6 , B ổ đ ề ị 2 5 ] , t a đ ư ợ c Định lý 1.4 Với giả thiết của Định lý 1.3, nếu c / fT... \ f ( t ) \ \ x ^ ịi(t) với hầu khắp t G J và với mọi / GỖ- Cho trước € > 0, điều kiện (HA) suy ra rằng tồn tại ô > 0 sao cho với 0 < tị < t 2 < T, t 2 — tị < ố, trong đó C f l = j‘Ị fi(s)ds Hơn nữa ta có thể giả thiết rằng với 0 < t 2 — tị < ỗ ta có Với 0 < t ị < t 2 < T, t 2 — t ị < ố, lấy 0 < ( < t ị đủ nhỏ sao cho ta có với mọi f e Q : lM/)(*2) - $(/)(íi)IU = < [ II / R(h- s)f(s)ds s)f(s)ds\\ J0... sử Q c C ( J ; X ) thỏa mãn điều kiện 7/(^(Q)) > j y ( Q ) (1.19) Ta sẽ chứng tỏ rằng Q là tập cornpact tương đối trong C ( J ; X ) Theo định nghĩa của độ đo 7/, tồn tại một dãy {zn} c sao cho ỉ/(Ý(n)) = (7({z„}),modc({z„})) Theo cách xây dựng ta có thể chọn được một dãy{xn} c íl sao cho = $•(*») + $($»), (1-20) trong đó 9n(t) = g ( t , x n ( t ) ) , t G J Sử dụng điều kiện (G3), ta có x({ũ ,.(«)})... 1.2 Sự PHỤ THUỘC Nếu fT í‘°° dz C R / n ( s ) d s < ị -Гf r, Jo J M т(г) (1.29) với м = Ся ( I |хо I Ix + hlh), thì Шр nghiệm, của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng và compact Chứng minh Tasử dụng Dịnh lý 1.2 Chỉ cần kiểm tra điều kiện biên trong Địnhlý 1.2 Ta sẽ chỉ ra rằng, nếu X = \ty(x) với Л G (о, 1], thì X phải nằm trong một tập bị chặn Thật vậy, giả sử x(t) = XR(t)[xo — h(x)] + A í R(t — s)g(s, x(s))ds... (iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact là compact Ta có điều kiện đủ sau đây cho tính nửa licn tục trcn của hàm đa trị Bổ đề 1.1 ([16]) Giả sử G : Y —> J C ( Z ) ỉà hàm, đa trị đóng và tựa compacẦ Khỉ đố G ỉ,à nửa liên tục trên Xét hàm đa trị w : X -o CỤ\X) W ( v ) = { x : X là nghiệm của (1.1)-(1.2) với điều kiện X ị ) = v} (1.30) Như đã chứng minh trong mục trước, hàm w có giá trị... , x ( s ) ) với hầu khắp s G J Sử dụng định lý hội tụ trội Lebesgue, ta có 9 ( - , x „ ( - ) ) - g ( - , x ( - ) ) 0 trong L l ( J \ X ) do ta đã có { . nghiệm. Với mục ticu tìm hiểu một cách tiếp cận mới cho bài toán Cô-si không cục bộ đối với phương trình vi tích phân, chúng tôi lựa chọn đề tài " ;Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện. được của bài toán Cô-si không cục bộ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là bài toán Cô-si không cục bộ đối với phương trình vi tích phân. • Phạm vi nghiên cứu: tính giải. kiện ban đầu không cục bộ& quot; làm mục tiêu nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu 2 - Nghiên cứu tính giải được và tính chất tập hợp nghiệm của bài toán Cô-si không cục bộ với phương trình vi tích