Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải một số lớp phương trình vi - tích phân

Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ KIM ANH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ KIM ANH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 i Lời cảm ơn Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, người tận tâm hướng dẫn, động viên tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới phòng sau đại học, khoa tốn, thầy giáo giảng dạy cao học chun ngành Tốn Giải tích - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám đốc Trung tâm GDNNGDTX Lập Thạch huyện Lập Thạch tỉnh Vĩnh Phúc giúp đỡ tác giả tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành khóa học Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tác giả, đồng nghiệp tác giả, bạn học viên cao học Tốn Giải Tích khóa 20 - Đợt động viên, cổ vũ, tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Đỗ Thị Kim Anh Footer Page of 128 Header Page of 128 ii Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân tác giả hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Trong thực đề tài nghiên cứu tác giả tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tác giả xin khẳng định kết đề tài “Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi – tích phân” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Đỗ Thị Kim Anh Footer Page of 128 Header Page of 128 iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu Nội dung KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Footer Page of 128 Một số kiến thức chuỗi lũy thừa không gian hàm 1.1.1 Chuỗi hàm 1.1.2 Chuỗi lũy thừa 1.1.3 Chuỗi Taylor 1.1.4 Không gian Banach C[a,b] 1.1.5 m Không gian định chuẩn C[a,b] Một số khái niệm phương trình vi phân 1.2.1 Phương trình vi phân thường 1.2.2 Phương trình vi phân thường cấp n 1.2.3 Bài toán Cauchy phương trình vi phân cấp n 1.2.4 Điều kiện Lipschitz 1.2.5 Định lý tồn nghiệm 1.2.6 Định lý nghiệm 1.2.7 Định lý tồn nghiệm Một số kiến thức phương trình tích phân Header Page of 128 iv 1.4 1.3.1 Phương trình tích phân tuyến tính loại hai 1.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến tính loại hai Một số kiến thức phương trình vi - tích phân 10 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN 11 2.1 Một số kiến thức phương pháp nhiễu đồng luân 11 2.1.1 Định nghĩa đồng luân 12 2.1.2 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tốn tử 12 2.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân 13 2.3 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tích phân 18 2.4 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình vi - tích phân tuyến tính 2.5 22 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình vi – tích phân phi tuyến 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Footer Page of 128 Header Page of 128 Mở đầu Lý chọn đề tài Một phương pháp để giải xấp xỉ phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính phi tuyến phương pháp nhiễu đồng luân (Homotopy Pertubation Method) viết tắt HPM Phương pháp phát triển năm cuối kỉ 20 Đó kết hợp phương pháp nhiễu truyền thống kỹ thuật đồng luân tôpô Theo phương pháp nhiễu đồng luân việc giải phương trình phi tuyến ban đầu đưa giải dãy phương trình tuyến tính Với mong muốn tìm hiểu sâu Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng phương pháp này, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài: “Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi - tích phân” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi - tích phân Footer Page of 128 Header Page of 128 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân tuyến tính phi tuyến Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số - Thu thập tài liệu liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân - Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống lại số ứng dụng Phương pháp nhiễu đồng luân vào giải số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi - tích phân Footer Page of 128 Header Page of 128 Nội dung Luận văn dự kiến gồm hai chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức chuỗi lũy thừa không gian hàm 1.2 Một số khái niệm phương trình vi phân 1.3 Một số khái niệm phương trình tích phân 1.4 Một số khái niệm phương trình vi - tích phân • Chương 2: Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân 2.1 Một số khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân 2.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân 2.3 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tích phân 2.4 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình vi - tích phân tuyến tính 2.5 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân phi tuyến Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức không gian hàm C[a,b] , m , phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi C[a,b] tích phân Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 Một số kiến thức chuỗi lũy thừa không gian hàm 1.1.1 Chuỗi hàm Cho dãy hàm {un } xác định tập U ⊂ R Chuỗi hàm tổng vô hạn có dạng ∞ u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + + un (x) + = un (x) (1.1) n=1 ∞ Nếu x0 ∈ U chuỗi số un (x0 ) hội tụ ta nói x0 điểm hội tụ n=1 ∞ un (x0 ) phân kì ta nói chuỗi hàm (1.1) chuỗi hàm (1.1), n=1 phân kỳ x0 Tập hợp tất điểm hội tụ chuỗi hàm gọi miền hội tụ chuỗi hàm Footer Page 10 of 128 Header Page 28 of 128 22 Tiếp tục, ta có nghiệm xấp xỉ phương trình u (x) ≈ sn (x) n (−1)i λi xi sn (x) = i=0 Chuỗi chuỗi hội tụ với λ 2.4 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Xét phương trình vi-tích phân tuyến tính Volterra cấp n có dạng x u(n) (x) = f (x) + λ K(x, t)u(t)dt, ∀x ∈ [0, 1], (2.28) u(0) = a0 , u (0) = a1 , , u(n−1) (0) = an−1 Phương trình (2.28) kết hợp tốn tử vi phân tốn tử tích phân, u(0), u (0), , u(n−1) (0) điều kiện ban đầu cho trước, K(x, t) hạch tốn tử tích phân Phương pháp giải Để giải phương pháp nhiễu đồng ln, xét tốn tử vi tích phân sau x L(u) = u(n) (x) − f (x) − λ K(x, t)u(t)dt (2.29) phương trình L(u) = Ký hiệu nghiệm phương trình H(u, p) cho H(u, 0) = F (u), H(u, 1) = L(u) F (u) tốn tử với nghiệm v0 , mà dễ dàng có Trong phương pháp nhiễu đồng luân, ta định nghĩa xấp xỉ v0 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an−1 xn−1 , Footer Page 28 of 128 Header Page 29 of 128 23 phụ thuộc vào bậc phép lấy vi phân Thơng thường xét phương trình đồng luân lồi cho H(u, p) ≡ (1 − p)F (u) + pL(u) = 0, (2.30) phương trình F (u) = dễ dàng tìm nghiệm Giải phương trình đồng luân ta tìm đường cong theo tham số p Khi tham số p tăng dần từ đến Bài toán tầm thường F (u) = biến đổi liên tục thành toán gốc L(u) = Khi p thay đổi liên tục từ đến 1, nghiệm phương trình F (u) = biến đổi liên tục thành nghiệm phương trình L(u) = Tham số p ∈ [0; 1] gọi tham số nhúng tham số nhiễu đồng luân Phương pháp nhiễu đồng luân sử dụng tham số nhiễu đồng luân p tham số mở rộng Giả sử nghiệm phương trình đồng luân khai triển thành chuỗi lũy thừa tham số p up = v0 + pv1 + p2 v2 + (2.31) Khi p → 1, nghiệm u trở thành nghiệm gần (2.29), tức u = lim up = v0 + v1 + v2 + (2.32) p→1 Ví dụ 2.4.1 Xét phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra bậc x u(4) (x) = x(1 + ex ) + 3ex + u(x) − u(t)dt, (2.33) u(0) = 1, u(1) = + e, u (0) = 2, u (1) = 3e (2.34) Với điều kiện biên Phương trình có nghiệm xác u(x) = + xex Giải Footer Page 29 of 128 Header Page 30 of 128 24 Đặt x L(u) = u(4) (x) − x(1 + ex ) + 3ex + u(x) − u(t)dt, (4) F (u) ≡ u (x) − g (x) = 0, v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 , Sử dụng phương pháp HPM, ta xây dựng đồng luân lồi sau H(u, p) = (1 − p)(u(4) (x) − x(1 + ex ) − 3ex − u(x))+ x + p(u(4) (x) − x(1 + ex ) − 3ex − u(x) + u(t)dt = (2.35) Thế u = v0 + pv1 + p2 v2 + vào (2.33) cân hệ số lũy thừa bậc p, ta có (4) p0 : v0 (x) = xex + x + v0 (x) + 3ex , (2.36) x p1 : (4) v1 (x) = v1 (x) − v0 (t)dt, (2.37) v1 (t)dt, (2.38) x (4) p2 : v2 (x) = v2 (x) − Từ biểu thức (2.36) - (2.38) ta thu v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 , 1 v1 (x) = 6d + ax+ bx2 + cx3 + dx4 , 1 v2 (x) = 2c + 12dx + ax + bx + cx4 + dx5 , 12 20 (2.39) (2.40) (2.41) Nghiệm xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính bậc p → 1, có dạng: f (x) = v0 (x) + v1 (x) + v2 (x) (2.42) Kết hợp với điều kiện ban đầu, phương trình (2.17), f (x) ta có: f (0) = a + b + 2c = 2, Footer Page 30 of 128 (2.43) Header Page 31 of 128 25 f (0) = a + 6d + 2c = 1, (2.44) f (1) = 5c + 10d + 2b + a + 3e, 5 41 193 f (1) = a + b + c + d=1+e 12 10 (2.45) (2.46) Giải phương trình (2.43) - (2.46) ta b = 1.599415315, a = −1.970351743, d = 0, 999025525e−1 , c = 1.185468215 Do nghiệm xấp xỉ ví dụ (2.33) xác định u(x) = f (x) = 1.000000002 + 0.827894202x + 1.000000001x2 +0.7616278434x3 + 0.1237646560x4 + 0.004995127625x5 Trong trường hợp, tổng số hạng chuỗi f (x) = ∞ n=0 (x) (2.47) xác định ta sử dụng nghiệm xấp xỉ cho chuỗi sau: m−1 ϕm (x) = vm (x) n=0 với f (x) = lim ϕm (x) m→∞ Kết cho Bảng 2.1, kết số nghiệm xác nghiệm theo phương pháp HPM, rõ ràng kết phù hợp Footer Page 31 of 128 Header Page 32 of 128 26 x Nghiệm xác Nghiệm gần (HPM) Sai số 1.000000002 0.2.E − 0.1 1.110517092 1.093563476 0.16953616E − 0.2 1.244280552 1.211871486 0.32409066E − 0.3 1.404957642 1.359946847 0.45010795E − 0.4 1.596729879 1.543121390 0.53608489E − 0.5 1.824360636 1.767041972 0.57318664E − 0.6 2.093271280 2.037676457 0.55594823E − 0.7 2.409626895 2.361319719 0.48307176E − 0.8 2.780432742 2.744599627 0.35833115E − 0.9 3.213642800 3.194483047 0.19159753E − Bảng 2.1: Ví dụ 2.4.2 Xét phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra x u (x) = −1 + λ (x − t)u(t)dt, (2.48) Giải Phương trình tương đương với phương trình tích phân Volterra λ x2 + u(x) = − 2! 3! x (x − t)3 u(t)dt, (2.49) Đặt x2 λ sn+1 (x) = − + 2! 3! x (x − t) sn (t)dt, x2 s0 = − 2! Khi dãy (sn (t)) hội tụ giới hạn dãy nghiệm phương trình cho Xét phương trình đồng luân x2 λ u(x) = − + p 2! 3! Footer Page 32 of 128 x (x − t)3 u(t)dt, p ∈ [0, 1] Header Page 33 of 128 27 x2 u0 (x) = − 2! Giả sử nghiệm phương trình tích phân phân tích thành chuỗi lũy thừa u = u0 + pu1 + p2 u2 + Thay nghiệm vào phương trình phương trình (2.49) cân hệ số lũy thừa bậc p, ta có p p1 p2 p3 x2 : u0 (x) = − , 2! λ x x4 x6 t2 : u1 (x) = − (x − t) (1 − )dt = λ, 3! 2! 4! 6! x8 x10 t4 t6 λ x (x − t)3 ( − )λdt = − λ, : u2 (x) = 3! 4! 6! 8! 10! x12 x14 t10 λ x t (x − t) ( − )λ dt = − λ, : u3 (x) = 3! 8! 10! 12! 14! Tiếp tục ta có n x4i λ − (4i)! n i sn (x) = i=0 x4i+2 λ (4i + 2)! i i=0 Nghiệm xấp xỉ phương trình n x4i − λ (4i)! n i u(x) ≈ sn (x) = i=0 x4i+2 λ (4i + 2)! i i=0 Chuỗi chuỗi hội tụ với λ Chú ý với λ = chuỗi hội tụ tới nghiệm xác cosx Footer Page 33 of 128 Header Page 34 of 128 28 2.5 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi – tích phân phi tuyến Ví dụ 2.5.1 Xét phương trình vi - tích phân phi tuyến bậc có nghiệm xác u(x) = ex : 1 u (x) = e − e2x + − 2 (4) x x u(t)u (t)dt, (2.50) Với điều kiện biên: u(0) = 1, u (1) = e, u (0) = 1, u (0) = (2.51) Phương trình có nghiệm xác u(x) = ex Giải Ta xây dựng phương trình đồng luân sau 1 H(u, p) ≡ (1 − p) u(4) (x) − ex + e2x − 2 x 1 +p u(4) (x) − ex + e2x − + u(t)u (t)dt = 2 (2.52) với v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 , Thế u = v0 + pv1 + p2 v2 + vào (2.50), cân hệ số lũy thừa bậc p, ta có (4) p0 : v0 (x) = p : p : (4) v1 (x) (4) v2 (x) 1 + ex − e2x , 2 (2.53) x =− =− v0 (t)v0 (t)dt, (2.54) v1 (t)v1 (t)dt, (2.55) x Nghiệm phương trình (2.53) - (2.55) viết lại: v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 , −1 v1 (x) = acx5 − x bc − x6 ad − x bd− 60 360 420 1 − xc − cdx8 − dx, 1260 840 2520 Footer Page 34 of 128 (2.56) (2.57) Header Page 35 of 128 29 −1 1 a2 c2 x13 − a2 c2 x13 − 27799200 27799200 1854391226688000 (1624350b2 c2 + (53603550a2 cd + 17867850bac2 )x14 − 2528715309120000 + 27010620bacd + 5754840ac3 )x15 − (1021020bc3 + 3371620412160000 2 + 14619150a d + 3063060b cd + 12762750ac2 d + 9189180bad2 )x16 (2.58) v2 (x) = Nghiệm xấp xỉ phương trình vi tích phân phi tuyến thu p → có dạng u(x) ≈ f (x) = v0 (x) + v1 (x) + v2 (x) (2.59) Kết hợp với điều kiện ban đầu ta b = 1, c = 0, 5, a = 1, d = 0.2308342493 Do đó, nghiệm xấp xỉ phương trình (2.50) viết dạng u(x) ≈ f (x) = + x + 0, 5x2 + 0.2308342493x3 − 0.008333333334x5 − 0.003312507633x6 − 0.0007480180539x7 − 0.0001374013388x8 − 0.00002114462327x9 − 0.8993064548 × 10−8 x13 − 0.574513617 × 10−8 x14 − 0.1985950713 × 10−8 x15 − 0.5063789010 × 10−9 x16 − 0.1061913876 × 10−9 x17 − 0.1674502694 × 10−10 x18 − 0.2049878884 × 10−11 x19 − 0.1998830099 × 10−12 x20 − 0.1318281272 × 10−13 x21 Nói chung ta xác định tất số hạng chuỗi f (x) = ∞ n=0 (x) nghiệm xấp xỉ cho tổng riêng chuỗi: m−1 ϕm (x) = vm (x) n=0 với f (x) = lim ϕm (x) m→∞ (2.60) Kết cho Bảng 2.2, kết số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ tìm HPM Rõ ràng kết phù hợp Footer Page 35 of 128 Header Page 36 of 128 30 x Nghiệm xác Nghiệm gần (HPM) Sai số 1 0.1 1.105170918 1.105230748 0.59830E − 0.2 1.221402758 1.221843785 0.440127E − 0.3 1.349858808 1.351209687 0.1350879E − 0.4 1.491824698 1.494673169 0.2848471E − 0.5 1.648721271 1.653535684 0.4814413E − 0.6 1.822118800 1.829034189 0.6915389E − 0.7 2.013752707 2.022315475 0.8562768E − 0.8 2.225540928 2.234405354 0.8864426E − 0.9 2.459603111 2.466171899 0.6568788E − 2.718281828 2.718281826 0.2E − Bảng 2.2: Ví dụ 2.5.2 Xét phương trình vi - tích phân phi tuyến với nghiệm xác u(x) = e−x (4) −x u (x) = e −3x +e x u3 (t)dt, −1+3 (2.61) Với điều kiện ban đầu u(0) = 1, u (0) = −1, u (0) = 1, u (0) = (2.62) Giải Ta xây dựng phương trình đồng luân H(u, p) ≡ (1 − p) u(4) (x) − e−x − e−3x + (4) + p u (x) − e −x −3x −e x u3 (t)dt = +1−3 (2.63) Giả sử v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 Thế vào (2.61), đồng hệ số lũy thừa bậc Footer Page 36 of 128 Header Page 37 of 128 31 p, ta có (4) p0 : v0 (x) = e−x + e−3x − 1, (2.64) x (4) p1 : v1 (x) = v03 (t)dt, (2.65) v13 (t)dt, (2.66) v0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 , (2.67) p : (4) v2 (x) =3 x Giả sử v1 (x) = 1 a x + a2 bx6 + (840b2 a + 840ca2 )x7 40 80 235200 (1260cab + 210b3 + 630da2 )x8 470400 + (540ac2 + 504b2 c + 1008dab)x9 846720 (420bc2 + 840acd + 420b2 d)x10 + 1411200 + (720bcd + 360ad2 + 120c3 )x11 2217600 1 (315c2 d + 315bd2 )x12 + cd2 x13 + d3 x14 , (2.68) + 3326400 17160 80080 v2 (x) = a4 x10 + a3 bx11 + 134400 492800 2131024896000 (3363360ca2 b + 720720ab3 (5765760ca3 + 3243240b2 a2 )x12 + 3078147072000 + 4724720da3 )x13 + (2426424da2 b + 72072b4 + 1105104cb2 a 4309405900800 + 672672c2 a2 )x14 + (524160ac2 + 152880b3 c + 742560db2 a 5876462592000 + 808080dca2 )x15 + (202020d2 a2 + 87360ac3 + 644280dcab 7835283456000 (151200db2 c + 43680bc3 + 120120b2 c2 + 100100db3 )x16 + 10246139904000 + 159600dac2 + 179760d2 ab)x17 + (6240c4 + 45240b2 d2 13173608448000 + 82680dbc2 + 94080acd2 )x18 + (51408bcd2 + 16016c3 d 16686570700800 + 18816ad3 )x19 + + (10815bd3 + 15435c2 d2 )x20 20858213376000 + Footer Page 37 of 128 Header Page 38 of 128 32 + 1 cd3 x21 + d4 x22 3834230400 28117689600 (2.69) Kết hợp với điều kiện ban đầu (2.68) ta tìm b = −1, c = 0.5, d = 0.1666666667, a = Do đó, nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.3.3 viết dạng u(x) ≈ f (x) = − x + 0.5x2 + 0.1666666667x3 + 0.025x5 − 0.0125x6 + 0.005357142857x7 − 0.0015625x8 + 0.2480158730 × 10−3 x9 + 0.3224206351 × 10−4 x10 − 0.2187049063 × 10−4 x11 + + 0.4189965126 × 10−5 x12 + 0.2847268481 × 10−6 x13 + 382060 × 10−6 x14 − 0.2787391178 × 10−8 x15 − 030663 × 10−8 x16 + 0.858347015 × 10−9 x17 − 0.3039 − 0.3732209500 × 10−10 x18 + 0.1479 − 0.1757234772x19 + 0.2738396362 × 10−11 x20 + 0.6037234528 × 10−12 x21 + 0.2744197514 × 10−13 x22 (2.70) Do ta không xác định tất số hạng chuỗi f (x) = ∞ n=0 (x) ta sử dụng nghiệm xấp xỉ cho dãy tổng riêng m−1 ϕm (x) = vm (x) với f (x) = lim ϕm (x) n=0 m→∞ Kết cho Bảng 2.3 giá trị số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ tìm phương pháp nhiễu đồng luân, rõ ràng kết phù hợp Footer Page 38 of 128 Header Page 39 of 128 33 x Nghiệm xác Nghiệm gần (HPM) Sai số 1 0.04 0.9607894392 0.9608106692 0.212300E − 0.08 0.9231163464 0.9232854120 0.1690656E − 0.12 0.8869204367 0.8874885866 0.5681499E − 0.16 0.8521437890 0.8534850921 0.13413031E − 0.20 0.8187307531 0.8213405980 0.26098449E − 0.24 0.7866278611 0.7911217470 0.44938859E − 0.28 0.7557837415 0.7628963355 0.71125940E − 0.32 0.7261490371 0.7367334755 0.105844384E − 0.36 0.6976763261 0.7127037390 0.150274129E − Bảng 2.3: Footer Page 39 of 128 Header Page 40 of 128 34 Kết luận Dựa tài liệu tham khảo luận văn trình bày số vấn đề sau: Kiến thức chuẩn bị phương trình vi phân phương trình tích phân Phương pháp nhiễu đồng ln ứng dụng phương pháp giải phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi – tích phân tuyến tính phi tuyến Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân vào giải số lớp phương trình vi-tích phân nhiều điều mẻ nhiều câu hỏi mở chưa trình bày khóa luận Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót cách trình bày Tác giả mong góp ý thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Footer Page 40 of 128 Header Page 41 of 128 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2000), Tập Phép tính vi phân hàm biến, Chuỗi số- Dãy hàm- Chuỗi hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] D D Ganji, G A Afrouzi, H Hosseinzadeh, R A Talarposhti (2007) Application of Homotopy pertubation method to the second kind nonlinear integral equations, Physics Letters A [6] D D Ganji, G A Afrouzi, H Hosseinzadeh, R A Talarposhti (2011), Fourth order Volterra integral - differential equations using modified homotopy perturbation method, The Journal of Mathematics and Computer Science, Vol.3, No.2, 179 -191 Footer Page 41 of 128 Header Page 42 of 128 36 [7] J.H He, An approximate solution technichque depending upon an artificial parameter Communications in nonlinear sciences an Numerical Simulation, Vol 3, No.2, 92 - 97, 1998 [8] J H He, (1999), Homotopy perturbation technique, Computer Methods in Mechanics and Engineering, V178, pp 257 – 262 [9] J H He, (2000), A coupling method of a homotopy technique and a perturbation technique for nonlinear problems, International Journal of Nonlinear Mechanics, V 35, PP 37 – 43 [10] J H He, (2003), Homotopy pertubation method: A new nonlinear analytical technique, Applied Mathematics and Computations V 135, pp 73 – 79 [11] A F Verlan, V.C Sizikov (1986), Integral Equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev [12] A.M Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer Footer Page 42 of 128 ... - tích phân 2.1 Một số khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân 2.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân 2.3 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân 2.4 Phương pháp. .. phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân tuyến tính phi tuyến Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi phân, phương trình. .. ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi - tích phân để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giải số lớp phương trình vi phân, phương trình