độ trơn, tính giải tích, tính chính quy gevrey của nghiệm của phương trình nửa tuyến tính elliptic suy biến

[...]... f C ( ) (x, f )||m A( )(Gs ( )) suy ra f A( )(Gs ( )) Chương 1 Tính chính quy Gevrey của nghiệm của một lớp phương trình elliptic suy biến phi tuyến cấp hai với bậc suy biến lẻ 1.1 Nghiệm cơ bản của toán tử a,b Gk,c Trong mục này chúng tôi giới thiệu việc xây dựng công thức nghiệm cơ bản của toán tử elliptic suy biến Ga,b Xét toán tử k,c Ga,b = X2 X1 + icxk1 k,c ở đây: , y (x, y) R2 ; a, b,... nghiệm tìm được là nghiệm cơ bản được trình bày trong Bổ đề 2.2.1, nghiệm này thuộc lớp L1 (R2 ) đối với biến x, y được giới thiệu trong Bổ đề 2.2.2, và các loc đánh giá với các đạo hàm được trình bày trong Bổ đề 2.2.3 Mục 2.3 của Chương 2 trình bày các kết quả về tính chính qui Gevrey của nghiệm của phương trình (1) Để chứng minh Định lý 2.3.1, 2.3.2 là các định lý chính của mục và cũng là của chương này,... 1.2 Tính khả vi vô cùng của nghiệm Trong mục này chúng tôi muốn khảo sát tính khả vi vô cùng của nghiệm của phương trình (1), với các điều kiện nào đó của hàm Định lí 1.2.1 Giả sử rằng liptic yếu nếu và chỉ nếu Chứng minh Nếu k là số lẻ Khi đó toán tử vi phân a, b, c, k Ga,b k,c là hypoel- chấp nhận được a, b, c, k không chấp nhận được, thì trong [34] Nguyễn Minh Trí đã chỉ ra rằng, Ga,b không hypoelliptic... xây dựng nghiệm một cách hình thức được trình bày trong Mục 2.1 Mục 2.2 dành cho việc chứng minh nghiệm tìm được là nghiệm cơ bản Do phương pháp tìm nghiệm cơ bản trong Chương 2 khác hẳn so với Chương 1, nghiệm cơ bản tìm được không có công thức hiển nên các đánh giá của nghiệm thực chất là đánh giá các tích phân nhưng rất may mắn chúng tôi vẫn thu được các kết quả như Chương 1 Chứng minh nghiệm tìm... (s-hypoelliptic) trên nếu với mọi miền con , có một hằng số dương M sao cho từ f C M ( ) và (x, f )||m A( )(Gs ( )) suy ra f A( )(Gs ( )) Định nghĩa 10 tử (x, )||m mở rộng) và trên Giả sử (x, )||m A( ì )(Gs ( ì )), toán được gọi là giải tích hypoelliptic mở rộng (s-hypoelliptic nếu với mọi miền con , sao cho từ f C ( ) (x, f )||m A( )(Gs ( )) suy ra f A( )(Gs ( )) Chương 1 Tính chính. .. phi tuyến 13 bậc m được định nghĩa như sau (x, )||m : f (x) (x, f (x))||m , ở đây (x, )||m C ( ì ) Toán tử phi tuyến Định nghĩa 8 trên nếu với mọi miền con (x, )||m được gọi là hypoelliptic có một hằng số dương M sao cho từ f C M ( ) và (x, f )||m C ( ) suy ra f C ( ) Định nghĩa 9 tuyến Giả sử (x, )||m (x, )||m A( ì )(Gs ( ì )), toán tử phi được gọi là giải tích hypoelliptic... này, chúng tôi phải đánh giá nghiệm cơ bản của Ga,b trên hình một hình vuông, kết quả được trình bày ở các Bổ đề 2.3.1, k,c 2.3.2, 2.3.3 Các kết quả này đạt được tương tự như Bổ đề 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 Nội dung của Chương 2 được viết dựa trên bài báo [20] Trong phần Mở đầu, luận án dành một phần cho việc trình bày một số kiến thức cơ bản có liên quan: Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp m trong miền Rn... x1 x2 xn n với: Định nghĩa 1 x0 trong Một hàm F (x) L1 () được gọi là nghiệm cơ bản tại điểm loc của toán tử vi phân P (x, D) nếu F (x) thỏa mãn phương trình sau Rn P (x, D)F (x) = (x x0 ) 12 Định nghĩa 2 Một hàm F (x, y) L1 () loc F (x, y) với (x, y) ( ì ) mà với mỗi y Rn thì theo biến của toán tử vi phân x được gọi là nghiệm cơ bản đều tại mọi điểm P (x, D) nếu P (x, D)F (x, y) = (x y) Định... (x) C () được gọi là hypoelliptic yếu trên nếu với mọi tồn tại một số nguyên dương M sao cho từ u C M ( ) và , P (x, D)u C ( ) suy ra u C ( ) Định nghĩa 4 với mọi Toán tử vi phân , từ u D ( ) và P (x, D)u C ( ) suy ra u C ( ) Định nghĩa 5 Toán tử vi phân tích hypoelliptic suy ra P (x, D) được gọi là hypoelliptic trên nếu P (x, D) với a (x) A() được gọi là giải , từ u D ( ) và P (x,... được a, b, c, k không chấp nhận được, thì trong [34] Nguyễn Minh Trí đã chỉ ra rằng, Ga,b không hypoelliptic bằng cách tìm được tất cả k,c 30 các nghiệm không bị chặn của phương trình Ga,b f = 0 Từ đó chúng ta chỉ k,c a, b, c, k chấp nhận được, thì Ga,b là hypoelliptic yếu k,c a,b Giả sử rằng, f C 2 () và Gk,c f (x, y) = h(x, y), ở đây h C () Chúng cần chứng minh nếu ta phải chứng minh bất kỳ thuộc