Độ trơn, tính giải tích, tính chính quy Gevrey của nghiệm của phương trình nửa tuyến tính Elliptic suy biến

Header Page of 126 trì ứ ủ t ết q ết t ợ t trí ủ t ết q ủ từ ợ ố tr t ỳ trì ọ ủ õ ị ề Footer Page of 126 Header Page of 126 ó tt r ú t ứ ộ tr tí tí tí í q r ủ ệ ủ trì tế tí t s ế Ga,b k,c f + x, y, f, f k f ,x = 0, x y a, b, c C, k số iaxk ibxk + icxk1 Ga,b k,c = x y x y y r ú t ét trì k ự ợ tứ ể ủ ệ ủ t ủ Ga,b k,c ứ ợ tí Ga,b k,c ệ ủ trì tí r ề ệ tí r t ứ r sử ụ ế ổ rr ú t t ợ ệ ủ Ga,b k,c k ợ tí tí tí í q r ủ ệ ủ trì strt ts tss rtt t stss tt r rrt sts t t sr rt t qt Ga,b k,c f + x, y, f, f k f = ,x x y r a, b, c C, k st tr k1 k k + icx Ga,b = iax ibx k,c x y x y y tr sr qt k s strt a,b t t st Gk,c t rsts tt Ga,b k,c r tt sts qt r t ts r ts r s t t r t r st tr s t rr trsr t t t s t Ga,b k,c r k t r t tt r rrt sts t qt Footer Page of 126 Header Page of 126 ợ tự ệ t t ệ ọ tộ ệ ọ ệ ệt t tì ủ P ễ rí trề tụ t ế tứ ệ ọ t ứ ọ tỏ ò ết t s s ố r q trì ọ t ứ t ũ ợ ó ý ộ ủ ễ ễ ự P ế ễ ọ t q t ú ỡ ủ t t t ù ị ọ tr sr Pò P trì ú ỡ ộ t tr ứ ọ ộ số t ệ ọ r t t ọ ù t tể ộ ệ ọ t ọ ề ệ t ợ t tr q trì tự ệ tr trọ ủ ết rờ ết ý ọ ộ ố ò t ọ ề ệ ú ỡ t tr q trì ọ t ứ t ệ ệt ù ữ t tr ì ú ỡ ộ t tr q trì tự ệ Footer Page of 126 Header Page of 126 ụ ụ ó tt ụ ụ ột số ý ệ ù tr í í q r ủ ệ ủ ột trì t s ế tế s ế Ga,b k,c ệ ủ t tử í ù ủ ệ í í q r ủ ệ ế ổ rr tí í q r ủ ệ ủ ột trì t s ế tế s ế ệ ủ t tử Ga,b k,c ệ ủ t tử Ga,b k,c k ệ ủ t tử Ga,b k,c k ố ệ í í q r ủ ệ ết ế ị ụ trì ố ủ t ệ t Footer Page of 126 Header Page of 126 ột số ý ệ ù tr A() : tí tr , C k () : tụ ế k tr , D() : ù ó tr , D () : ố ủ D(), C () : ù tr , Gs () : r s tr , Lploc : tí ị p, Rn : é t n ề Footer Page of 126 Header Page of 126 ổ s ủ ý tết trì r t q t tớ tí t ị tí ủ ệ ủ trì ệ trì r tr ó ộ tr tí tí ợ ề t ọ q t ệt ộ tr ủ ệ ợ t tr t tử t ý tết t tử tế tí t ợ t tr ữ trì ủ r rt o ărr t tết ợ ề ệ ủ ể t tử ệ số ứ t ế t tử P (D) t ề trở P (x, D) ó ệ số ế t ệ ỉ ó ề ệ ủ ể ị tí t ủ ột số t tử ệt t tử ự ổ ự ế t t tử í tr trì ủ r o ărr ề ứ tí tí ủ ệ rst t ợ t ề tí tí ủ ệ ủ trì t tế ế số ố trì ết q ủ rst ợ ề t ọ q t t trể r ứ í ết q ó ết q ủ rst ợ r ứ trì t tế số ế t ỳ ế s ó Ptrs ét tớ ệ trì t số ế t ỳ ũ t ợ ết q ề tí Footer Page of 126 Header Page of 126 tí ủ ệ ủ ệ trí tr ó ế tr r ứ ết q ề tí tí tí í q r ột ệ trì t tế tổ qt số số ế t ỳ ết q ủ r ết q tổ qt t ề tí í q r ủ ệ ủ ột ệ trì t tế tổ qt t ề ộ tr tí tí ủ ệ ợ qết trọ ẹ tr trì t ó t ọ tế tụ ứ t ề ộ tr tí tí trì t ó ề ứ t ứ trì t ứ trì t tế tí ết q trọ ẹ ó ề ết q t tế t ợ ó tể ể ế ết q ủ rs rs ễ rí rs ét ột t tử t s ế t ủ ó Gk, tr ó 2k + ixk1 , = +x x y y (x, y) ề tr R2 , C, i ị k số r ề ệ ủ ể t tử tí t tr trờ ợ trờ ợ tử Gk, t k k ề ệ Gk, trờ ợ ệt ủ t tử k1 Ga,b k,c = X2 X1 + icx , y a = 1, b = r ó X2 = iaxk , X1 = ibxk x y x y rs tr ét t tử t s ế Ga,b k,c a, b số tự tỏ ab < ọ r ề ệ Footer Page of 126 Header Page of 126 ủ ể Ga,b k,c t ỉ k số s trờ ợ k số ợ ét tớ tr ũ r ề ệ ủ ể r ễ rí ũ ét t tử Ga,b k,c t Gk, ự ợ tứ ể ệ ề t ố tọ ộ ệ tr t ể s ế ủ t tử ù ệ ễ rí r ề ệ ể Gk, t ết q ủ rs ết q ợ ễ rí rộ t tử Ga,b k,c tr ó a, b, c số ứ tù ý Re(a) < 0, Re(b) > ó tr trì ễ rí ứ trì tế t s ế Gk, f + x, y, f, f k f ,x x y = 0, k số ết q t ợ tr trì ự ợ tứ ể ủ ệ ề t ọ ể ủ t tử Gk, ứ ợ ề ệ ủ ể t tử Gk, t ứ ợ tí ủ ột ệ s rộ ủ trì ề ệ ợ ủ t số tí ủ ứ ợ tí í q r ủ ệ ề ệ ợ ủ t số ề ệ r ủ ét trì Ga,b k,c f + x, y, f, Footer Page of 126 f k f ,x x y = Header Page of 126 ết r a = 1, b = 1, c = + k tì Ga,b k,c = Gk, trì ợ ét tr trờ ợ ệt a = 1, b = k số ễ rí trì ủ rs rs t ủ trờ ợ k k trờ ợ k ứ t k ũ từ ữ trì ủ ễ rí rs ú t t trờ ợ a, b số ứ t ỳ ứ t ề s a = 1, b = ệ tì ệ ề t ọ ể ó t ột ể ứ tí tí ủ ệ ủ ột trì tế tì ó trì tế tí ì rộ ứ trì trờ ợ a, b, c số ứ tù ý k số tết t t r ứ ộ tr tí tí tí í q r ệ ủ trì r t s ế tế s Ga,b k,c f + x, y, f, f k f ,x x y = a, b, c số ứ tù ý Re(a) < 0, Re(b) > k số (x, y) ột ề tr R2 í í q r ủ ệ ủ ột trì t s ế tế s ế ế ổ rr tí í q r ủ ệ ủ ột trì t s ế tế s ế ộ ủ từ P tệ s ợ ị sử ề ứ t ể ộ Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 ứ ủ trì ột số ế tứ ó q r ụ trì ệ ự ệ ủ t tử Ga,b k,c tr trờ ợ k ị ý r ú t ò t ợ ệ q q trọ ề ể ễ tí ủ ột t ỳ tộ q ệ ủ t tử Ga,b r ụ ú t ứ C () k,c ợ ị ý ề tí t ế ủ t tử ứ ợ t ủ Ga,b k,c m Gm k,loc () Sloc () ổ ề sử ụ ị ý ú ú t ứ ợ tí ủ ệ ủ trì ị í ụ trì ết q ề tí í q r ủ ệ ủ ệ ủ trì ị ý í ủ ụ ũ ủ ị ý ị ý ể ứ ị ý ợ rõ r ú t ứ ổ ề ề ệ r ủ ó tr ột ì ổ ề ì ỹ tt ứ ứ ị ý ợ trì t q ệ ề r ứ ị ý tr sử ụ ề ỹ tt tí t ì t ố ợ tệ tết ứ ủ ị ý s tr ổ é ủ ột ết q ủ ợ ết ự tr ủ trì ết q ề tí tí tí í q r ủ ệ ủ trì k số tự trú ủ ệ trờ ợ ợ k tr ú t sử ụ ế ổ rr ể tì ệ ủ t tử tử k ò ù ợ tr trờ Ga,b k,c ự ệ ủ t Ga,b k,c k số tự ú t ũ tì ợ ệ Footer Page 10 of 126 Header Page 112 of 126 từ ó ú t ó 2k+1 E(() ) = C k+1 2k+1 2k+2 2k+1 (1 + | |) R3 || k+1 (1 + ||) 2k+2 2k+1 (1 + ||) 2k+2 xu , ( ) ddxd ì ||2 ì E(() ) tớ ó E() = lim E( () ) = lim E( () )dxd = lim \Br E(x, y, u, v)(x, y)dxdy, tí ố ù ộ tụ t ó ề ứ ú t t ứ ổ ề ệ q sử R2 ột ề ị tr từ ú a, b, k, c ợ ó f C () f (x, y) = f (u, v)B2 (E(x, y, u, v), a, b, k, c)ds E(x, y, u, v)Ga,b k,c f (u, v)dudv E(x, y, u, v)B1 (f (u, v), a, b, k, c)ds + B1 (f (u, v), a, b, k, c) = (1 iauk )X1 f (u, v) + icuk1 f (u, v), B2 (E(x, y, u, v), a, b, k, c) = (1 ibuk )X2 E(x, y, u, v) ổ ề sử r ợ ó ọ tr ột t ủ + t ó Footer Page 112 of 126 R4 , (x, y) = (u, v) ọ (, ) s Header Page 113 of 126 + E(x, y, u, v) + E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) k , u , , max x x y u v x u + + + E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) k k xk u (xu) , , u y x v y v k + k+1 C, |x k+1 u k++ k+1 | + |y v| ứ + = t ổ ề t ó ề ứ = 1, = E(x, y, u, v) = x x e iy E(x, , u, v)d = R e iy E(x, , u, v) d x R > 0, x > u E(x, , u, v) x + e i(yv)+ i(yv)+ e a (uk+1 xk+1 ) F (x, , u, v) k+1 || k+1 x k+1 i(|yv|+ e + e b (uk+1 xk+1 ) k+1 || k+1 F1 (x, , u, v)|x|k i(yv)+ Im(b)|u x k+1 k+1 | k+1 ) Re(b)(u xk+1 ) k k+1 e k+1 F1 (x, , u, v)|x|k Im(b)(uk+1 xk+1 ) Re(b)(uk+1 xk+1 ) k k+1 k+1 e k+1 d F1 (a1 , c1 , z)|x|k dz ì E(x, y, u, v) = x x e iy E(x, , u, v)d R k C|x| e i(|yv|+ (b) |u k+1 xk+1 | k+1 ) k k+1 || d R | k k+1 C |y v| + |uk+1 xk+1 | k k+1 k+1 C |y v| + |u k+1 x = C |y v| + |uk+1 xk+1 | Footer Page 113 of 126 |x|k |y v| + |uk+1 xk+1 | k k+1 Header Page 114 of 126 ú t ó ề ứ = 0, = E(x, y, u, v) = y y e iy E(x, , u, v)d e iy E(x, , u, v)d = R C e R i((yv)+Im(b)(uk+1 xk+1 )) k k+1 || d R k+1 C (y v) + (u k+1 x ) k k+1 ì |x|k E(x, y, u, v) C |y v| + |uk+1 xk+1 | y C |y v| + |uk+1 xk+1 | k k k+1 1+ k+1 trờ ợ ú t ũ ứ t tự ú t t ứ ổ ề í í q r ủ ệ ị í k số t số a, b, c, k ợ ó ế tộ Gs s tì ọ Gs () t tử tế a,b k,c rờ ợ ệt ế C () ệ ủ trì st rộ tí tì ọ trì ũ tí tr C () ệ ủ a,b k,c tí t tử t rộ ứ ể ứ ị ý ú t ỉ ứ ổ ề ề ệ tr ì Footer Page 114 of 126 V T Header Page 115 of 126 ổ ề r ì VT a, b, k, c ợ k số ú t ó x ọ + E(x, y, u, v) C |xk+1 uk+1 |2 + (k + 1)2 (y v)2 x y (, , ) 1k ứ ế + = tì k + E(x, y, u, v) x y x VT C E(x, y, u, v) ú t ứ tồ t k+1 |x ế k+1 u | + |y v| k k+1 VT C |x k+1 k+1 u |+|yv| k k+1 C > ể k+1 C |x k+1 u 2 | + (k + 1) (y v) x = u y = v tì ề t k+1 |x k+1 u 2 | + (k + 1) (y v) C |x k+1 k+1 u | + |y v| k k+1 ú t ó |xk+1 uk+1 |2 + (k + 1)2 (y v)2 (k + 1)2 |xk+1 uk+1 | + |y v| , 2 |xk+1 uk+1 |2 + (k + 1)2 (y v) (k + 1) |xk+1 uk+1 | + |y v| |xk+1 uk+1 | + |y v| C |xk+1 uk+1 | + |y v| ì k k+1 , |xk+1 uk+1 | + |y v| ó k+1 |x Footer Page 115 of 126 k+1 u 2 | + (k + 1) (y v) k+1 C |x k+1 u | + |y v| k k+1 Header Page 116 of 126 trờ ợ ế + = ợ ứ = 1, = ú t ứ x E(x, y, u, v) x VT C |x k+1 k+1 u 2 | + (k + 1) (y v) ổ ề x E(x, y, u, v) x VT C |x k+1 k+1 u | + |y v| ú t ỉ ứ k+1 |x k+1 u | + |y v| k+1 C |x k+1 u 2 | + (k + 1) (y v) k+1 |x k+1 u 2 C |xk+1 uk+1 | + |y v| | + (k + 1) (y v) ề ợ tỏ ế = 0, = ú t ứ x E(x, y, u, v) y VT C |x k+1 k+1 u 2 2 | + (k + 1) (y v) ổ ề ú t ó x E(x, y, u, v) y VT xk E(x, y, u, v) y C |xk+1 uk+1 | + |y v| C |x k+1 k+1 u | + (k + 1) (y v) ú t t ứ ổ ề ổ ề tì r SN (x,y) (x, y) |u| N (x, y) x Footer Page 116 of 126 k+1 ế |x| 2N (x, y) k+1 + X2 E(x, y, u, v) C (, , ) 1k k+2 x y Nk+1 (x, y) Header Page 117 of 126 ứ ý ủ ổ ề ợ ứ tr ổ ề ú t ứ ý s ủ ổ ề rớ t ú t ét trờ ợ + = + X2 E(x, y, u, v) xk iauk E(x, y, u, v) x y u v E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) + |a| uk x u v x ổ ề x E(x, y, u, v) u E(x, y, u, v) u SN (x,y) (x,y) k+1 C (x k+1 = C (x C (x tr k+1 SN (x,y) (x,y) k+1 u k+1 u ) + |y v| ) + |y v| k+1 u C (x = CR +u 2 ) + (k + 1) (y v) CN (x, y) ì C k+2 k+1 N (x, y) Footer Page 117 of 126 k+2 CN k+1 (x, y), < N (x, y) x X2 E(x, y, u, v) ) + (k + 1) (y v) |xk+1 uk+1 |2 + (k + 1)2 (y v)2 k+1 2 SN (x,y) (x, y) tồ t C ể k+1 k+1 k+1 Header Page 118 of 126 x = 1, = tì X2 E(x, y, u, v) x x C |x E(x, y, u, v) k E(x, y, u, v) + u xu xv k+1 k+1 u k+1 C |x k+2 k+1 | + |y v| k+1 +u 2 | + (k + 1) (y v) k+2 2(k+1) k+2 k+2 C R 2(k+1) CN k+1 (x, y) x = 0, = ụ ổ ề ú t ó X2 E(x, y, u, v) y E(x, y, u, v) k E(x, y, u, v) x + |a| x u yu yv 2 E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) C x + x uk yu yv C |x k+1 k+1 u | + |y v| k+2 k+1 k+2 CN k+1 (x, y) ú t t ứ ổ ề ổ ề r SN (x,y) (x, y) ế |x| (2N (x, y)) k+1 tì x + X2 E(x, y, u, v) C (, , ) 1k k |u| x y N (x, y) ứ (, , ) 1k + ==0 x +X2 E(x, y, u, v) C E(x, y, u, v) k E(x, y, u, v) + |a||u| |u|k x y |u|k u v C k |xk+1 uk+1 | + |y v| |u| tr trờ ợ ụ ổ ề t ợ C R Footer Page 118 of 126 k 2k+2 |u|k C R k 2k+2 Header Page 119 of 126 t (x, y) R N k |u|k CNk+1 (x, y) ù ú t ó C k |u|k k+1 N (x, y) ==0 C x + X2 E(x, y, u, v) C 2k+1 k (x, y) |u| x y 2k+2 N N (x, y) = 1, = 0, t ó iauk v E(x, y, u, v) x + X2 E(x, y, u, v) x u = |u|k x y |u|k x |x | E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) C k + |uk | |u| xu xv 2 E(x, y, u, v) E(x, y, u, v) C k + |a||uk | |u| xu xv k+2 k k+1 C k+1 k+1 k+1 CN (x, y) |x u | + |y v| N (x, y) = 0, = t t r x X2 E(x, y, u, v) |u|k y 2 k E(x, y, u, v) k k E(x, y, u, v) C k x + |a||x ||u | |u| yu yv k k+2 C CN k+1 (x, y) N k+1 (x, y) N (x, y) ú t t ứ ổ ề ổ ề ú t ợ E(x, y, u, v) ết q t ợ ũ ị ý ợ ứ ị í ợ sử r k m 2k + ó Footer Page 119 of 126 số t số a, b, c, k Header Page 120 of 126 ế Gs tì ọ Gm k,loc () ệ ủ trì tộ Gs () t tử tế a,b k,c st r trờ ợ ệt ế tí tì ọ ệ ủ trì ũ tí tr C m () t tử tế a,b k,c tí t ứ ị ý ế trì C tì f C () ết ợ ị ý t ó ề ứ Footer Page 120 of 126 f ột ệ tộ Gm k, () ủ Header Page 121 of 126 ết ế ị ữ ết q í ủ ì ợ ệ ủ t tử t s ế a,b Gk,c = iaxk x y ibxk + icxk1 , x y y a, b, c số ứ t ỳ Re(a) < 0, Re(b) > k số ợ tí tr ủ ệ ủ trì tế tí t s ế a,b k,c f = Ga,b k,c f + x, y, f, f k f ,x x y = (1) ứ ợ tí tí tí í q r ủ ệ ủ trì ứ ợ tí t tí t st ủ t tử tế a,b k,c ữ ề tế tụ ứ ứ tí í q r trì tế tí t s ế Footer Page 121 of 126 Header Page 122 of 126 ụ trì ố ủ t r tt sts sr qts t rtrsts t r rr trsr stss sts ss sr t rt qts t rtrsts ss r tt Pss ết q ủ ợ t Pò P trì ệ ọ ộ tí rờ ọ ộ ộ ị ứ s ủ ệ ọ Footer Page 122 of 126 Header Page 123 of 126 ệ t ế ệt ễ ế ễ rí r P trì r ụ ộ ễ ợ P trì r t ụ ộ ễ ù P trì r ọ ụ tự tí ọ ố ộ ộ r ứ ý tết trì r ọ ố ộ ộ ế rrst t sts t r rtr t rrst t sts t r rtr t rrst t sts t r rtr t Footer Page 123 of 126 Header Page 124 of 126 t r rst t r r ttr rt t r tt r ss srt rtrs t t r trsts Prt q r st rtrs s t r t rrt t sts r t r ssts r rt qts t r ts Prss r rs t st tr r s r t r r st r rt rt rtrs t t rtrtsts t t rs ss t srt rtrs rt s t r s s r sts r ss rs t rtrs Pr r t r ssr ts tt r s t rt rtrs r tt r r t qts r tt sts sr qts t rtrsts t Footer Page 124 of 126 Header Page 125 of 126 r rr trsr stss sts ss sr t rt qts t rtrsts ss r tt Pss o ărr t s rr rt r trs t t o ărr r Prt rt rtrs rr r r r r o ărr ss r Prt rt rtrs rr r r r r o ărr t rtrs r rts ts r Prt rt qts t ts Prt rst Prss Prt rs o ărr t tr r rt rt qts t t Prt rt qt rr r r r r r a ă t ts r tt r rs rtrs P s st t t rt rt qts t ss r rt rt rtrs r r t r t P t t rt rtrs tt rs t t Footer Page 125 of 126 Header Page 126 of 126 rt ér s strts r r r r t sts st sts s sss rt rtrs t rtrsts t r t ssr ts tt r s sss rt rtrs t rtrsts t r r rtrts rs t t rtr Prt qt r t r tt sts sr rtrts rs t t rtr t Pt r r t r rrt sts ss sr t rt qts t t r t r tt sts s r t sr r strt ss r P r r t rtrs t t r trsts rs r t t rt rt tt t r t t t t st r t r t qt t r rt qts Footer Page 126 of 126