Luận văn một số bài toán của phương trình parabolic tuyến tính cấp ha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– TRƯƠNG THỊ VIỆT HỒNG MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– TRƯƠNG THỊ VIỆT HỒNG MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn Trong suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn thầy tận tình bảo tác giả hoàn thiện nhiều mặt kiến thức phương pháp nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Tốn Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trương Thị Việt Hồng Lời cam đoan Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trương Thị Việt Hồng Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Phương trình truyền nhiệt 1.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt 1.2 Nguyên lý cực đại cho trường hợp miền không gian bị chặn 11 1.3 Nguyên lý cực đại cho không gian 13 1.4 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 15 1.4.1 Công thức biểu diễn nghiệm 16 1.4.2 Tính nghiệm toán Cauchy 18 1.4.3 Một nghiệm khác khơng tốn Cauchy 1.5 21 Bài toán biên–giá trị ban đầu 23 1.5.1 Công thức biểu diễn nghiệm 23 1.5.2 Tính nghiệm toán biên–giá trị ban đầu 25 Phương trình parabolic tuyến tính chiều dạng tổng quát 2.1 26 Bài toán Cauchy 26 2.2 2.1.1 Đặt toán 26 2.1.2 Phương pháp sai phân giải gần toán Cauchy 27 2.1.3 Đánh giá nghiệm hàm lưới 28 2.1.4 Đánh giá nghiệm toán Cauchy 29 Sự tồn nghiệm toán Cauchy 31 2.2.1 Đánh giá toán tử sai phân 31 2.2.2 Sự hội tụ toán tử sai phân 33 2.2.3 Định lý tồn nghiệm toán Cauchy 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, phương trình loại parabolic dạng phương trình mơ tả tượng tự nhiên truyền nhiệt, khuếch tán, đối lưu, Việc tổng quan khía cạnh lý thuyết ứng dụng toán phương trình loại việc cần thiết để hiểu sâu môn học Với mong muốn tìm hiểu sâu phương trình parabolic tuyến tính cấp hai ứng dụng tốn phương trình loại này, hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, chọn đề tài “Một số tốn phương trình parabolic tuyến tính cấp hai” để thực luận văn Tài liệu tham khảo luận văn [1] [2] Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày cách đặt loại tốn cách giải phương trình truyền nhiệt, tốn Cauchy cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng qt đường thẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Ngồi tốn biên - giá trị ban đầu, Luận văn chủ yếu tập trung vào toán Cauchy bao gồm phương pháp giải, tính nghiệm lớp không gian khác Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu loại tốn cách giải phương trình truyền nhiệt, tốn Cauchy cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát đường thẳng Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Giải tích hàm biến số thực Dự kiến đóng góp đề tài Xây dựng Luận văn thành tài liệu tham khảo loại toán cho phương trình loại parabolic tuyến tính cấp hai Chương Phương trình truyền nhiệt 1.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt Xét vật thể rắn mà nhiệt độ điểm (x, y, z) thời điểm t hàm u(x, y, z, t) Nếu phần vật thể có nhiệt độ khác nhau, bên vật thể có trao đổi nhiệt lượng từ phần nóng sang phần lạnh Lấy phần diện tích ∆S vật thể Theo lý thuyết truyền nhiệt nhiệt lượng ∆Q truyền qua ∆S thời gian ∆t, tỉ lệ ∂u với n pháp tuyến phần mặt ∆S hướng với tích ∆S.∆t với ∂n theo chiều truyền nhiệt Nói khác đi: ∆Q = −k ∂u ∆S.∆t, ∂n (1.1) k hệ số dương gọi hệ số truyền nhiệt Vật coi đẳng hướng điểm (x, y, z) xác định, nhiệt truyền theo phương nhau, nói khác đi, hệ số k phụ thuộc (x, y, z) mà không phụ thuộc vào phương mảnh ∆S kể Để thiết lập phương trình truyền nhiệt, ta xét thể tích V vật thể giới hạn mặt kín trơn S tính thay đổi nhiệt lượng thể tích V khoảng thời gian từ t1 đến t2 hai cách Một mặt, gọi γ (x, y, z) nhiệt dung ρ (x, y, z) tỉ khối vật thể (x, y, z) rõ ràng phần thể tích ∆V vật thể khoảng thời gian từ t1 đến t2 hấp thụ thêm nhiệt lượng ∆Q1 là: ∆Q1 = [u (x, y, z, t2 ) − u (x, y, z, t1 )] γ (x, y, z) ρ (x, y, z) ∆V Như tồn thể tích V hấp thụ nhiệt lượng là: [u (x, y, z, t2 ) − u (x, y, z, t1 )] γ (x, y, z) ρ (x, y, z) dV Q1 = V hay: t2 Q1 = dt t1 γρ ∂u dV ∂t V Mặt khác, nhiệt lượng Q1 kể nhiệt lượng Q2 từ ngồi truyền vào thể tích V qua mặt S cộng với nhiệt lượng Q3 tự sinh thể tích V nguồn nhiệt khác thể tích V (chẳng hạn tác dụng dòng điện hay phản ứng hóa học vật thể) Từ (1.1), rõ ràng là: t2 Q2 = − dt t1 k (x, y, z) ∂u dS, ∂n S với n pháp tuyến mặt S Gọi F (x, y, z, t) mật độ nguồn nhiệt vật thể (x, y, z) thời điểm t (nhiệt lượng tỏa hay đơn vị thể tích đơn vị thời gian), thì: t2 Q3= dt t1 F (x, y, z, t) dV V Rõ ràng từ hệ thức: Q1 = Q2 + Q3 , 23 rằng: lim u(x, t) = theo x với x phức bị chặn Chuỗi (1.25) t→0 chuỗi lũy thừa theo x làm trội chuỗi lũy thừa:  x2 1−α  − t ,t > exp U (x, t) = t θ  0, t ≤ Vì U (x, t) bị chặn với x phức bị chặn t thực, chuỗi (1.25) hội tụ theo x, t với x bị chặn t thực, điều tương tự cho chuỗi thu đạo hàm theo biến x chuỗi(1.25) Đặc biệt chuỗi: ∞ k=2 g (k) (t) 2k−2 x = (2k − 2)! ∞ k=0 g (k+1) (t) 2k x (2k)! hội tụ Chuỗi thu đạo hàm hình thức u theo t Ta thấy ut = uxx g (k) (0) = với k ≥ Do đó, u(x, t) nghiệm toán Cauchy hiển nhiên u(x, t) = Tổng quát hơn, hệ thức ∂ ∂t k u= ∂ ∂x 2k u kéo theo u ∈ C ∞ (Rn+1 ) Ta thu u hàm giải tích nguyên x với t thực bất kì, khơng giải tích theo t; u(0, t) triệt tiêu với t ≤ không triệt tiêu với t > 1.5 1.5.1 Bài toán biên–giá trị ban đầu Công thức biểu diễn nghiệm Với n = 1, tốn biên–giá trị ban đầu có dạng: Tìm nghiệm u(x, t) thỏa mãn: ut = uxx , < x < L, t > 0, (1.28a) u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (1.28b) 24 u(x, 0) = f (x), ≤ x ≤ L (1.28c) Ở u(x, t) nhiệt độ bị cô lập với hai đầu giữ nhiệt độ cố định Bài tốn giải phương pháp phản xạ Ta mở rộng f (x) với x để trở thành hàm lẻ x 2L − x: f (x) = −f (−x), f (x) = −f (2L − x) (1.29) Sau ta giải toán giá trị ban đầu (1.20a), (1.20b) với hàm f mở rộng công thức (1.22) Kết u(x, t) thỏa mãn ut − uxx = điều kiện ban đầu (1.28c) Nó thỏa mãn (1.28b) từ u(x, t) + u(−x, t) u(x, t) + u(2L − x, t) lại nghiệm bị chặn phương trình truyền nhiệt với giá trị ban đầu 0, triệt tiêu cách đồng định lý tính Giả sử Φ(x) với x ∈ R xác định bởi: f (x) với < x < L với x < x > L Φ (x) = Khi f mở rộng thỏa mãn (1.29) cho bởi: +∞ (Φ (2nL + x) − Φ (2nL − x)) f (x) = n=−∞ Nghiệm (1.22) tương ứng là: +∞ u(x, t) = K(x, y, t)f (y)dy −∞ +∞ = +∞ (Φ (2nL + y) − Φ (2nL − y)) dy K(x, y, t) n=−∞ −∞ Phép 2nL + y = ξ, tương ứng 2nL − y = ξ, cho ta: +∞ u(x, t) = +∞ (K (x, ξ − 2nL, t) − K (x, 2nL − ξ, t)) dξ Φ(ξ) −∞ n=−∞ 25 L = G(x, ξ, t)f (ξ)dξ, từ (1.23d) thì: +∞ (K (x, ξ − 2nL, t) − K (x, 2nL − ξ, t)) G(x, ξ, t) = n=−∞ +∞ =√ 4πt n=−∞  (x − ξ + 2nL)2 (x + ξ − 2nL)2 −  −  4t 4t −e e   G biểu diễn số hạng hàm têta cổ điển v3 (z, τ ) = √ −iτ +∞ −iπ(z + n)2 exp τ n=−∞ Ta có: G(x, ξ, t) = 1.5.2 v3 2L x − ξ iπt , 2L L2 − v3 x + ξ iπt , 2L L2 Tính nghiệm tốn biên–giá trị ban đầu Định lý 1.5.1 Nghiệm toán (1.28a) – (1.28c) Chứng minh Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm tốn (1.28a) – (1.28c) Đặt: u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) Khi u(x, t) nghiệm toán (1.20a), (1.20b) với f (x) ≡ Áp dụng nguyên lý cực đại cho trường hợp miền không gian bị chặn (Định lý 1.2.1 với ω = (0, L), Ω = ω × (0, T )), ta có: max u = max u = Ω ∂Ω max(−u) = max(−u) = Ω ∂Ω Do đó, u(x, t) ≡ u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) 26 Chương Phương trình parabolic tuyến tính chiều dạng tổng quát Trong chương ta xét phương trình parabolic tuyến tính dạng tổng qt đường thẳng với hệ số biến thiên Bài toán Cauchy nghiên cứu phương pháp sai phân hữu hạn 2.1 2.1.1 Bài toán Cauchy Đặt toán Xét phương trình dạng: Lu = ut − a (x, t) uxx − 2b (x, t) ux − c (x, t) u = d (x, t) (2.1) Ta xét nghiệm miền đóng: Ω = {(x, t) |x ∈ R, ≤ t ≤ T } , (2.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu: u(x, 0) = f (x) (2.3) Ta giả sử hệ số a, b, c thuộc C ∞ (Ω) chúng đạo hàm riêng chúng bị chặn Ω (Thực tế có số hữu 27 hạn đạo hàm đòi hỏi định lý) Quan trọng giả thiết thêm hệ số a(x, t) dương bị chặn từ Ω < inf a(x, t) (2.4) (x,t)∈Ω 2.1.2 Phương pháp sai phân giải gần toán Cauchy Cho hai số dương h, k Ta xét lưới gồm điểm (x, t) mà: x = nh, t = mk, ≤ t ≤ T, (2.5) với số nguyên n, m Ta thay (2.1) phương trình sai phân: v (x, t + k) − v (x, t) v (x + h, t) − 2v (x, t) + v (x − h, t) − a (x, t) − k h2 v (x + h, t) − v (x − h, t) − 2b (x, t) − c (x, t) v (x, t) = d (x, t) , 2h (2.6) Λv = với hàm v(x, t) xác định lưới thỏa mãn điều kiện ban đầu v(x, 0) = f (x) với x = nh (2.7) Ta viết (2.6) dạng: v (x, t + k) = (λa + hλb)v (x + h, t) + − 2λa + h2 λc v (x, t) + (λa − hλb) v (x − h, t) + h2 λd (x, t) , (2.8) đây: k h2 a, b, c lấy điểm (x, t) Ta xây dựng chuẩn: λ= g = sup |g(x)| (2.9) x với hàm bị chặn g (ở xác định với x = nh nhất) Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển E, η cho bởi: Ev(x, t) = v(x + h, t), ηv(x, t) = v(x, t + k) 28 Một nghiệm (2.8) rõ ràng thỏa mãn: |ηv| ≤ |λa + hλb| + − 2λa + h2 λc + |λa − hλb| v +k d (2.10) 2.1.3 Đánh giá nghiệm hàm lưới k nhỏ đến mức mà điều kiện ổn định h2 2λ sup a(x, t) < (2.11) Bây giả sử λ = (x,t)∈Σ thỏa mãn Khi từ (2.4) từ b, c bị chặn suy ra: |λa + hλb| + − 2λa + h2 λc + |λa − hλb| = + h2 λc = + kc với h đủ nhỏ Đặt: C = max 0, sup c(x, t) , Ω ta tìm từ (2.10) rằng: ηv ≤ (1 + kC) v + k d , v d phụ thuộc vào t = mk Ta xây dựng chuẩn: | d | = sup d = sup |d (x, t)| t (x,t)∈Σ Sau lặp lại bất đẳng thức: ηv ≤ (1 + kC) v + k | d | , sử dụng điều kiện ban đầu (2.7), ta đến với t = mk ước lượng: v ≤ (1 + kC)m f + ((1 + kC)m − 1) | d | C mkC ≤ emkC f + e −1 | d | C ≤ eCt f + teCt | d | Điều chứng tỏ: 29 k thỏa mãn điều kiện ổn định (2.11) h h2 đủ nhỏ nghiệm v (2.6), (2.7) thỏa mãn nguyên lý cực đại: Bổ đề 2.1.1 Nếu λ = | v | ≤ eCT f + T eCT | d | (2.12) (Điều kéo theo trường hợp d = 0, c ≤ cận |v| 2.1.4 giống cận trên đường vơ hạn) Đánh giá nghiệm tốn Cauchy Bây cho u(x, t) nghiệm (2.1), (2.3) với u, ut , ux , uxx bị chặn liên tục với (x, t) ∈ Ω Chọn λ cố định thỏa mãn (2.11) Xét dãy đơn điệu tăng lưới Σν tương ứng với việc chọn h = 2−ν , k = λ2−2ν với ν = 1, 2, Kí hiệu v ν nghiệm (2.6), (2.7) tương ứng với Σν Nếu U hợp tất Σν (x, t) điểm U v ν (x, t) xác định tốt với ν đủ lớn Với giả thiết này, ta có: Bổ đề 2.1.2 Với (x, t) ∈ U thì: lim v ν (x, t) = u (x, t) ν→∞ (2.13) Chứng minh Theo Định lý Taylor giả thiết tính liên tục đều, ta có: u (x, t + k) − u (x, t) − ut (x, t), k u (x + h, t) − u (x − h, t) − ux (x, t) , 2h u (x + h, t) − 2u(x, t) + u (x − h, t) − uxx (x, t) h2 dần đến cho h → 0, k → với (x, t) ∈ Ω Điều với ε > |Λu − d| < ε, 30 với (x, t) ∈ ν với ν đủ lớn (Ở toán tử sai phân Λ tương ứng với lưới ν ) Từ v ν thỏa mãn (2.6), kéo theo: |Λ (u − v ν )| < ε Sử dụng u − v ν = với t = áp dụng (2.12) với u − v ν , ta có: |u(x, t) − v ν (x, t)| ≤ εT eCT , với (x, t) ∈ ν với ν đủ lớn Điều chứng minh Bổ đề 2.1.2 Từ v ν (x, t) thỏa mãn (2.12) với (x, t) ∈ ν ν đủ lớn, ta thấy từ (2.13) rằng: |u(x, t)| ≤ eCT sup |f | + T sup |d| , R (2.14) Ω với (x, t) ∈ U Bất đẳng thức giống xảy với (x, t) ∈ Ω giả thiết tính liên tục u Chúng ta ý điều kiện ổn định (2.11) đòi hỏi ‘tỉ số bước lưới’ k tiến tới ta làm mịn độ nhỏ cho h, k dần tới Yêu cầu h kì vọng từ tiêu chuẩn Courant - Friendrichs - Lewy, ta muốn h nghiệm sơ đồ sai phân xấp xỉ phương trình vi phân Thật vậy, k bị chặn tương ứng với miền bị chặn phụ thuộc v ν (x, t) vào f , u(x, t), ví dụ phương trình truyền nhiệt miền phụ thuộc u(x, t) vào giá trị ban đầu tồn trục x Tiêu chuẩn cho tính ổn định kéo theo ak ranh giới số có lý lẽ từ tổ hợp khơng có thứ h x2 nguyên (a(x, t) có thứ nguyên phương trình vi phân (2.1)) t Ta phân chia theo giả thiết tính liên tục (2.14) Định lý 2.1.1 (Nguyên lý cực đại cho phương trình khơng nhất) 31 Giả sử u(x, t) nghiệm (2.1), (2.3) mà u, ut , ux , uxx liên tục u, ux bị chặn Ω Khi u(x, t) thỏa mãn bất đẳng thức (2.14) Chứng minh Ta xây dựng ‘hàm cắt’ Φ (x) ∈ C ∞ (R) mà < Φ ≤ với x, Φ = với |x| > Φ = với |x| < Khi đó, với r > hàm: x u(x, t) r đồng với u |x| < r triệt tiêu |x| > 2r Đồng thời ur (x, t) = Φ ur , urt , urx , urxx liên tục bị chặn Ω Hơn nữa, ur thỏa mãn: Lur = Φd − 2ar−1 Φ u(x) − ar−2 Φ + 2br−1 Φ u = d∗ , |ur (x, 0)| ≤ |u(x, 0)| = |f (x)| Do đó, áp dụng (2.14)) với ur ta có: |ur (x, t)| ≤ eCT sup |f | + T sup |d∗ | R (2.15) Ω Từ u, ux bị chặn đều, ta có: lim sup |d∗ | = sup |d| , r→∞ Ω Ω từ (2.15) ta suy (2.14) Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.1.1 Từ Định lý 2.1.1 suy nghiệm (nếu có) toán (2.1), (2.3) ta hạn chế với nghiệm u cho u ux bị chặn 2.2 2.2.1 Sự tồn nghiệm toán Cauchy Đánh giá toán tử sai phân Ta chứng minh tồn nghiệm phương pháp sai phân hữu hạn Giả sử hàm f (x) d(x, t) với đạo hàm riêng cấp ≤ 32 chúng liên tục bị chặn với x ∈ R (tương ứng (x, t) ∈ Ω) Ta sử dụng kí hiệu: f = sup |f (x)| , | d | = sup |d(x, t)| , R Ω trường hợp hàm xác định với x (tương ứng (x, t) ∈ Ω) Cận hàm lưới không vượt giá trị Giả sử lại v kí hiệu cho nghiệm (2.6), (2.7), giả thiết (2.11) xảy h đủ nhỏ Khi ta có đánh giá (2.12) cho v(x, t) Ta thu đánh giá tương tự cho tỉ sai phân v Cho w(x, t) xác định w = δv = bởi: v(x + h, t) − v(x, t) (E − 1)v = h h Sử dụng công thức: δ(ab) = (Ea) δb + (δa) b, ta tìm từ (2.8) Ω thỏa mãn phương trình: w(x, t + k) = E (λa + hλb) w (x + h, t) + E − 2λa + h2 λc w (x, t) +E (λa − hλb) w (x − h, t) + δ (λa + hλb) v (x + h, t) +δ − 2λa + h2 λc v (x, t) + δ (λa − hλb) v (x − h, t) + kδd (x, t) =E (λa + hλb) w (x + h, t) +E − 2λa + h2 λc + hE −1 δ (λa + hλb) w (x, t) +E λa − hλb − hE −1 δ (λa − hλb) w (x − h, t) +k((δc) v + δd) Từ δa, δb, δc bị chặn | ax | , | bx | , | cx | tương ứng, ta thấy với λ thỏa mãn (2.11) h đủ nhỏ thì: |w (x, t + k)| ≤ (1 + kEc + 2kδb) w + k (|δc| |v| + |δd|) ≤ (1 + kC + 2k | bx |) w + k (| cx | | v | + | dx |) 33 Từ w(x, 0) = f , ta có: | δv | = | w | ≤ e(C+2| bx |)T ( fx + T (| cx | | v | + | dx |)) , với | v | ta đánh giá (2.12) theo số hạng f | d | Đánh giá tương tự rõ ràng thu với tỉ sai phân cao δ v, δ v, δ v Và (2.6) với τv = v (x, t + k) − v (x, t) (η − 1) v = , k k với δτ v, δ τ v τ v Tất bị chặn 2.2.2 Sự hội tụ toán tử sai phân Như trước ta định nghĩa dãy tăng ứng v ν xác định ν ν lưới nghiệm tương Sau v ν , δv ν , δ v ν , δ v ν , τ v ν , δτ v ν xác định bị chặn ν µ với µ ≤ ν Với dãy thích hợp số nguyên ν thì: lim v ν (x, t) = u(x, t), ν→∞ lim δ v ν (x, t) = u (x, t), ν→∞ tồn với (x, t) hợp U 2.2.3 lim δv ν (x, t) = u (x, t), ν→∞ • lim τ v ν (x, t) = u(x, t), ν→∞ ν Định lý tồn nghiệm toán Cauchy Cho (x, t), (y, t) hai điểm U ν, với ν đủ lớn Khi với < y − x = hn = n2−ν thì: v ν (y, t) − v ν (x, t) − δv ν (x, t) y−x ν v (x + nh, t) − v ν (x, t) v ν (x + h, t) − v ν (x, t) = − nh h 34 = En − E − ν − v nh h (E − 1)2 E n−2 + 2E n−3 + 3E n−4 + + n − v ν = nh h n−2 E + 2E n−3 + + n − δ v ν n |y − x| (n − 1)h δ2vν ≤ δ v ν ≤ K |y − x| , ≤ 2 = với số k không phụ thuộc vào ν Trong giới hạn với ν → ∞ dãy ta thu bất đẳng thức: u(y, t) − u(x, t) − u (x, t) ≤ C |y − x| , y−x (2.16) với (x, t), (y, t) U Từ v ν , δv ν , δ v ν , τ v ν Lipschitz • ν , giới hạn u, u , u , u Lipschitz U , mở rộng hàm liên tục Ω Do tính liên tục nên (2.15) với (x, t), (y, t) Ω Cho y → x ta thấy ux (x, t) tồn và: ux (x, t) = u (x, t) • Tương tự ta có uxx = u , ut = u phương trình vi phân (2.1) thỏa mãn Điều chứng tỏ định lý sau: Định lý 2.2.1 Nếu f, d đạo hàm cấp ≤ chúng liên tục bị chặn tốn Cauchy (2.1), (2.3) có nghiệm u(x, t) với u, ut , ux , uxx liên tục bị chặn Ω Trong kết luận ta thu có nhiều kết suy cho phương trình truyền nhiệt mà kì vọng có hiệu lực cho phương trình tổng quát dạng (2.1) Ví dụ nghiệm (2.1), (2.3) nên • với giả thiết u, ut , ux , uxx liên tục u bị chặn Ta kì vọng nghiệm phương trình Lu = tồn 35 thuộc C ∞ với < t ≤ T f giả thiết liên tục bị chặn (luôn đòi hỏi a, b, c thuộc C ∞ bị chặn a số dương bị chặn từ 0) Tuy nhiên câu hỏi vượt khỏi phạm vi luận văn 36 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: • Thiết lập phương trình truyền nhiệt mơi trường đẳng hướng khơng có nguồn nhiệt • Phát biểu chứng minh nguyên lý cực đại cho trường hợp miền không gian bị chặn nguyên lý cực đại cho khơng gian • Đặt hai loại tốn phương trình truyền nhiệt: Bài tốn Cauchy tốn biên – giá trị ban đầu Trình bày cách giải hai tốn chứng minh tính nghiệm ngun lý cực đại • Nghiên cứu tốn Cauchy phương trình parabolic tuyến tính dạng tổng quát đường thẳng phương pháp sai phân hữu hạn Mặc dù vậy, hạn chế thời gian nên tác giả chưa nghiên cứu kết lý thú khác Tuy cố gắng chắn luận văn nhiều hạn chế Kính mong thầy sai sót để tác giả kịp thời khắc phục tiếp tục hồn thiện luận văn 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học QGHN Tiếng Anh [2] F John (1978), Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin ... tài Một số tốn phương trình parabolic tuyến tính cấp hai” để thực luận văn Tài liệu tham khảo luận văn [1] [2] Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày cách đặt loại toán cách giải phương trình. .. cứu Luận văn nghiên cứu loại toán cách giải phương trình truyền nhiệt, tốn Cauchy cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát đường thẳng Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương. .. phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Giải tích hàm biến số thực Dự kiến đóng góp đề tài Xây dựng Luận văn thành tài liệu tham khảo loại toán cho phương trình loại parabolic tuyến tính cấp hai