Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• NGUYỄN THÙY DUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • •• LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc nghiên cứu tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai tổng quát cần thiết. Đối với phương trình cấp hai tuyến tính dạng bảo toàn đưa vào lớp nghiệm suy rộng có độ trơn tối thiểu phù hợp với đòi hỏi thực tế. Lớp nghiệm suy rộng thường tìm không gian Sobolev thích hợp. Sau nghiệm suy rộng tồn tại, nghiên cứu tính chất định tính chúng đánh giá độ lớn độ trơn chúng cần thiết. Để tìm hiểu vấn đề mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “Nghiệm suy rộng phương trĩnh elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn”. Luận văn gồm hai chương. Chương 1, trình bày không gian hàm không gian Sobolev, không gian Holder số định lý, đặc biệt định lý Lax-Milgram dùng để nghiên cứu toán. Trong chương 2, phần đầu mô tả khái niệm nghiệm suy rộng toán Dirichlet, trình bày Nguyên lý cực đại yếu tính giải toán Dirichlet. Luận văn trình bày số tính chất định tính tính khả vi nghiệm suy rộng, bất đẳng thức Harnack, tính quy toàn cục, tính bị chặn nghiệm suy rộng, cuối trình bày số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder nghiệm suy rộng bên miền biên. Nội dung luận văn tham khảo từ chương tài liệu [3]. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày lớp nghiệm suy rộng với điều kiện tồn nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Khái niệm nghiệm suy rộng toán Dirichlet. - Tính khả vi nghiệm suy rộng. - Nguyên lý cực đại yếu. - Các tính chất định tính nghiệm suy rộng. - Các đánh giá tiên nghiệm nghiệm suy rộng. - Sự tồn nghiệm toán Dirichlet. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan lớp nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. 6. Những đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tham khảo chuyên đề này. Chương Một số không gian hàm 1.1. Không gian Sobolev 1.1.1. Không gian Ư (íỉ) Giả sử íỉ c Rn miền bị chặn với biên L P (íĩ) không gian hàm U(X ) = U(XI,X , .,X N ), < P < +oo cho Không gian L p (Q) với ũ Chuẩn L (rì) sinh bỏi tích vô hướng L (íỉ) không gian Hilbert. Khi P = oo ta định nghĩa L°° (íỉ) gồm hàm U(X ) cho ||u (aO|| »(n) = esssup IU (a:)| < +00. x€Ũ £ 1.1.2. Đạo hàm suy rộng Giả sử U, V G L^ O C (Q) A đa số. Ta nói V đạo hàm suy rộng cấp A U juD‘ ệ d x ={-irj v ệ i x ũũ với hàm thử Ộ € ơ£° (fỉ). Kí hiệu D A U = V. Trong trường hợp ri = (a, B ) c M, w(:c) có đạo hàm suy rộng U'(X ) = V(X ) G LL O C (A, B ) ta nói U(X ) khả vi yếu (A, B ). 1.1.3. Khái niệm không giãn Sobolev Với A; e N, < P < +00, không gian wfe,p (íỉ) không gian bao gồm tất hàm U (x) € L P (íỉ) có đạo hàm suy rộng D A U (z) € L P (íỉ), với cc, cho ỊaỊ < K : A = ( a i , a n ) , |a;| = + . + an, n a = D ữ l D ữ n D A = d n/A G N LJ — ,IXJ t: 1N tức wfe’p (íì) = {uGƯ (Í2); € I/ (n), V |a| < fc} . Không gian W K , P (ri) không gian Banach trang bị chuẩn sau llMllifc,p;íì = IMIw*'P(fi) = ị Ị • (1.1) Ta viết ||wỊỊfcp thay cho ||w||fc n. Ta xét chuẩn tương đương sau E ll^llp- C1-2) Khi P = người ta thường kí hiệu Hk (íì) = w*’ (íí), H K Ữ (n) = (fi), k p Wo’p (fỉ) bao đóng không gian C£° (fỉ) theo chuẩn w ’ (íì). 1.2. Không gian Holder 1.2.1. Không gian C L Cho fỉ miền bị chặn Mn, íĩ bao đóng nó. Ta kí hiệu C (n) = C° (íỉ) không gian hàm số liên tục Q với chuẩn ỈMIc(n) = IMIo.n = SU P \u (x)l • í1-3) x£ÍÌ Ta định nghĩa C L (rỉ) sau Ơ (H) = { U { X ) ; D A U E C ° (H) ,Va : |a| < /} trang bị chuẩn cho C L ( Ũ ) sau \ l c( = iMiỉ,n = SUP \ D Ữ U (aOi\a \ 0, đánh giá (2.66) u ( x 0) = lim и (X ) định nghĩa x—>x0 tốt. Kết tính liên tục toàn cục cách trực tiếp từ Định lý 2.16 Định lý 2.22.□ Hệ 2.6. Giả sử ri thỏa mãn điều kiện nón tất điểm XQ £ díì OSC и —> R — »• với XQ £ dí}. Khi hàm и liên số tục díìnBR(xa) ri. Đánh giá Holder có thể thu từ Định lý 2.22 miền íỉ bị hạn chế nữa. Ta nói Q thỏa mãn ĐIỀU KIỆN NÓN NGOÀI T с DFÌ íĩ thỏa mãn điều kiện nón điểm X G T nón V X O nón cố định V. Ta có mở rộng sau Định lý 2.16. Định lý 2.23. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện ( 2. 2), (2.3) giả sử /* Lq G (ri), ỉ = 1, n, g G L q/2 với q > n, giả sử ri thỏa mẫn điều kiện nón phần biên T. Khi uẽH (íĩ) thỏa mãn phương trình (2.4) fỉ tồn số к, a > cho osc и < KR a °, Væ e T, R > 0, 5iînSfl(æ0) THÌ И ẽ Ca (íỉ и T) với а; > với íỉ' с с ri и Т, IMIc“(íỉ') ^ с ^SUP \и\ + К + k^j , (2.67) А= А(П, Л/Л, UD\ V, Q , a0), С = С (п, Л/Л, ì/, Q, A0, D !), D = dist (ri', ỡfi — T ), K = Y' (l|f||, + Ы1,/2) • íỉ' = íĩ, d' Ш NẾU ĐƯỢC THAY BỞI diam íĩ. Ta phát biểu định lý tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet cho phương trình (2.4) với giá trị biên ôíỉ liên tục suy từ Định lý 2.1 Hệ 2.6 Định lý 2.24. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) giả sử €E L q (ri), г = 1, g G L q/2 với q > n, giả sử Q thỏa mãn điều kiện nón điểm dQ. Khỉ với íp £ c° (ỡfi) ; tồn hàm số и & H^ oc (íỉ) П c° (fỉ) thỏa mãn Lu = g + Dịp íì, и — 0 , f ì d ũ { u m } hội tụ tới hàm и E c° (fỉ) thỏa mãn и — If ôíỉ. Hơn đánh giá (2.65) ta có, với ri' cc ri J ID (U M I — um ) \ DX —> khimi , m2 —> oo. ũ' Do И € B.] O C (ri) thỏa mãn phương trình (2.4) Q. Tính nghiệm И việc áp dụng Định lý 2.1 miền cc n . □ KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau 1. Khái niệm nghiệm suy rộng toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, mô tả điều kiện đủ để nghiệm suy rộng tồn nghiệm. 2. Nghiên cứu tính chất định tính nghiệm suy rộng như: tính khả vi nghiệm suy rộng, bất đẳng thức Harnack, tính quy toàn cục. 3. Nghiên cứu tính trơn bên miền toàn miền nghiệm suy rộng. Chứng minh đánh giá tiên nghiệm nghiệm suy rộng đạo hàm theo chuẩn không gian Sobolev Holder. [...]... duy nht ca bi toỏn Dirichlet (2. 7) B 2. 1 [3] Gi s L tha món iu kin (2. 2) v (2. 3) Khi ú Ê(u,v)>J \Du\ 2 dx \v 2 J u 2 dx : n (2- 14) n trong ú cú hng s dng X v V c mụ t trong (2. 2) v (2. 3) Chng minh Ê (u, u) = J [a^DuD^u + (&* c*) uDU du 2 ) ớ 2 2 2 d 2 > y\\Du\ -\Du\ Xu u jdx = J \Du\ 2 dx Xu 2 u 2 dx n n Cho M, ta nh ngha toỏn t L bi L u = Lu u T B 2. 1 ta thy rng cỏc dng song... nhn c t (2. 12) /aIi V \Dv\d T DjvDvdx < trong ú n X , r = supp DV c suppv, supp V = {x G ri; V (x) ớ 0} Do tớnh elliptic ngt ca L, tc l iu kin (2. 2) ta suy ra J\Dv?d X c~ n (2. 1 Trong... \Duj\ 2 G' ( uj)dx< b ( uj)uj 2 + G {x^u^Du)^ dx n n < Ê G' (c) \ Dớ v\ 2 dx + ^1 H^ J b (c) i o 2 dx f2 f2 T ú G (s) < S G ' (S ) v D U = D U ) khi V = G ( O ) > 0 t Ê = ta z c: T (2. 42) ta cú I G' (c) \Du)\ 2 dx < 61 b ( uj)uj 2 dx n n \DH{u)\ 2 dx < 6 J b\H' (c) ớ ớ U)\ 2 d T H (c) e Hq (ớ) ta cú th ỏp dng bt ng thc Sobolev v bt ng thc Holder thu c: ^ ( | p 2 | - 2 bz 2 ) , \zB ( x,z,p)\ < ^ (^ep 2 + -z 2 ^ (2. 40) Bõy gi ta i chng minh nh lý sau: nh lý 2. 13 Gi s toỏn t L tha món iu kin (2. 2), (2. 3) v gi s rng /* G L q (ớ), 1, g G L q ! 2 (ớ) vi q bt k, q > n Khi ú nu u l mt H 1 (ớ )- nghim yu di (nghim yu trờn) ca phng trỡnh (2. 4) trong ớ... S dng (2. 23), ta cú th ỏnh giỏ J a ij (x + he k ) DjA h uDivdx < (||g | |2 + ||#|| 2 ) \\Dv\\ 2 < (cằ/i-|M|H1(n) + ||/| |2) DV Tip tc, ta ly hm 77 Cg (ớ) tha món 0 < } < 1, v ta t V = ] 2 A H U Ta 1 thu c sau ú, s dng (2. 2) v bt ng thc Schawrz, J I^-DA^m 2 < J T/ 2a ij (x + he) A h DiuA h Djudx = J a ij (X + hek) DjA h u (DV 2A h ur)Di]) dx n < ((n)A'||M||H1(n) +||/| |2) (\\r ỡ DA h u\\ 2 + 2\ \A h... vi N > 2 v = (2, |fi) vi N 2 Cu trỳc (2. 40) v ỏnh giỏ trờn tip tc ỳng vi 0 trong (2. 39) kộo theo / v G l tp bng khụng Chn nh trong gi thit ca nh lý, ta cú: II 1 120 -2) < C \ \ U , H ' HI|2s/(, _2) , (2. 43) õy = (N, , |ớ|) Xa hn, ta dựng nh ngha ca H v cho N ằ oo trong ỏnh giỏ (2. 43) iu ú ch ra rng, vi SS tựy ý, SS > 1, S bao hm E L2^/^ -2) (r) ch ra s bao hm mnh hn, U) L 2 SS A /( H - 2 ) v . khác. Chương 2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn 2. 1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirich- let 2. 1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng Trong miền. niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet. - Tính khả vi của nghiệm suy rộng. - Nguyên lý cực đại yếu. - Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng. - Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm suy. tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai tổng quát là hết sức cần thiết. Đối với phương trình cấp hai tuyến tính dạng bảo toàn có thể đưa vào lớp nghiệm suy rộng