Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI TRN TH NH TRANG NGHIM MNH CA PHNG TRèNH ELLIPTIC TUYN TNH CP HAI DNG KHễNG BO TON LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc PGS. TS H Tin Ngon H NI, 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS. TS H Tin Ngon, thy ó tn tỡnh ch bo, nh hng, chn ti v truyn t kin thc tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ giỏo trng i hc S phm H Ni 2, c bit l cỏc thy cụ khoa Toỏn, phũng Sau i hc ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hc tp. Qua õy tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti cỏc anh ch, bn bố ó luụn ng viờn, c v, giỳp cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n ti nhng ngi thõn gia ỡnh, ó luụn luụn quan tõm, khớch l v ng viờn quỏ trỡnh hc v nghiờn cu. H Ni, thỏng 10 nm 2014 Tỏc gi Li cam oan Tụi xin cam oan, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Nghim mnh ca phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cp hai dng khụng bo ton c hon thnh di s hng dn ca PGS. TS H Tin Ngon v bn thõn tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha, phỏt trin cỏc kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 10 nm 2014 Tỏc gi Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Mt s khụng gian hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Cỏc khụng gian H (), H01 () v H () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Khụng gian Hăolder C k, () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chng 2. Nghim mnh ca phng trỡnh elliptic . . . . . 2.1. Nguyờn lý cc i i vi nghim mnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 2.1.1. t bi toỏn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Nguyờn lý cc i yu v nguyờn lý cc i mnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. ỏnh giỏ i vi nghim mnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Phõn tớch lp phng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. nh lý ni suy Marcinkiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3. Bt ng thc Calderon-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.4. ỏnh giỏ Lp cho nghim mnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. S tn ti nghim mnh ca bi toỏn Dirichlet. . . . . . . . . . . . 36 Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 M u 1. Lớ chn ti Khi nghiờn cu cỏc phng trỡnh o hm riờng vic nghiờn cu tớnh t ỳng ca bi toỏn l tng i khú khn. Ban u ngi ta tỡm nghim ca cỏc phng trỡnh o hm riờng theo ngha c in tc l yờu cu nghim phi tha phng trỡnh ti mi im, nhiờn cỏc phng trỡnh o hm riờng thng mụ t mt hin tng no ú thc tin nờn vic nghiờn cu s tn ti nghim theo ngha c in l ht sc khú khn. Vỡ vy ngi ta m rng xột n cỏc nghim yu, nhng nu m rng d dng chng minh s tn ti nghim thỡ tớnh nht nghim thng khụng tha món. Nh vy, vic gim bt tớnh chớnh quy thng dn ti tớnh t ỳng ca bi toỏn khụng c tha món. Do ú, bng mt cỏch no ú ta phi a mt loi nghim m tha tớnh t ỳng m chớnh quy m khú khn nghiờn cu v ỏp dng c gim bt, lp nghim ny thng gi l nghim mnh. i vi phng trỡnh elliptic tng quỏt cỏc lp nghim c in, nghim yu ó c nhiu nh toỏn hc nghiờn cu. Ngi ta nghiờn cu nghim yu ca cỏc phng trỡnh ny di dng bo ton. i vi phng trỡnh elliptic cp hai tuyn tớnh dng khụng bo ton cú th a vo lp nghim mnh m nú rng hn lp nghim c in nhng cho nú tha phng trỡnh hu khp ni. Vi mong mun c tỡm hiu lớ thuyt nh tớnh nghim mnh ca phng trỡnh elliptic v c s nh hng ca thy hng dn, chỳng tụi chn ti Nghim mnh ca phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cp hai dng khụng bo ton thc hin lun tt nghip chng trỡnh o to thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch. Lun gm chng, chng 1, trc tiờn chỳng tụi trỡnh by cỏc khụng gian hm dựng nghiờn cu bi toỏn. Trong chng 2, phn u chỳng tụi trỡnh by nguyờn lý cc i i vi nghim mnh, tip theo trỡnh by cỏc ỏnh giỏ i vi nghim mnh v cui chng trỡnh by s tn ti nghim mnh ca bi toỏn Dirichlet. Ni dung chớnh ca lun c tham kho t chng ca ti liu [4]. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu lp nghim mnh ca phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cp hai dng khụng bo ton; Nghiờn cu cỏc iu kin v s tn ti v nht nghim. 3. Nhim v nghiờn cu Tng quan v s tn ti nht v trn ca lp nghim mnh. 4. i tng v phm vi nghiờn cu Lp nghim mnh ca phng trỡnh elliptic truyn tớnh cp hai dng khụng bo ton. 5. Phng phỏp nghiờn cu c ti liu v tng quan . 6. úng gúp mi ca lun Lun l mt ti liu tham kho v nghim mnh ca phng trỡnh elliptic truyn tớnh cp hai dng khụng bo ton. Chng Mt s khụng gian hm Chng ny trỡnh by cỏc kin thc c bn v cỏc khụng gian hm, cỏc toỏn t, cỏc bt ng thc thng xuyờn s dng lun vn. Cỏc kt qu ny ch yu da vo chng ti liu [4]. 1.1. Cỏc khụng gian H 1(), H01() v H 2() n Ta gi mt a ch s nu = (1 , , ã ã ã , n ), || = j vi j l j=1 cỏc s nguyờn khụng õm. Ta kớ hiu || D = . x1 ã ã ã xnn Vi l mt m Rn , ta kớ hiu: C () l khụng gian cỏc hm liờn tc trờn ; C k () l khụng gian cỏc hm cú o hm liờn tc ti cp k ; C k () l khụng gian cỏc hm cú o hm liờn tc ti cp k ; C0k () l khụng gian cỏc hm thuc C k () v cú giỏ compact . õy giỏ ca mt hm u : R l hp supp u := cl{x : u(x) = 0}. C0 () l khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn v cú giỏ compact . nh ngha 1.1.1. (o hm yu) Gi s u, v L1loc () v l mt a ch s. Ta núi rng v l o hm yu cp ca u nu uD dx = (1)|| vdx ỳng vi mi hm th C0 () . Kớ hiu: D u = v. Trong trng hp = (a, b) R, nu u(x) cú o hm yu u (x) = v(x) L1loc (a, b) thỡ ta núi u(x) l kh vi yu trờn (a, b). B 1.1.1. (Tớnh nht ca o hm yu) Mt o hm yu cp ca u nu tn ti thỡ c xỏc nh mt cỏch nht (sai khỏc trờn cú o khụng). Vớ d 1.1.1. Trong khụng gian L1loc (0, 2) xột cỏc hm x nu < x u(x) = nu < x < v v(x) = nu < x nu < x < 2. Khi ú ta thy u = v, v v c gi l o hm yu ca u. Tht vy, vi bt k C0 (0, 2) ta cú: u dx = x dx + dx = (x)|10 dx + (2) (1) = (1) dx (1) ( Vỡ (2) = 0) = dx = vdx. Suy iu phi chng minh. Vớ d 1.1.2. Trong khụng gian L1loc (0, 2) xột hm x nu < x u(x) = nu < x < ta thy khụng tn ti o hm yu ca u. ch c iu ny ta s ch khụng tn ti bt k hm v L1loc (0, 2) tha món: u dx = vdx (1.1.1) vi mi hm th C0 (0, 2). Gi s tn ti hm v v mi hm th cú khng nh (1.1.1). Khi p(2T1 )q tp1q |f |>s + p(2T1 )r |f |q dt tp1r |f |r dt. |f |s Bõy gi ta chn s nh mt hm ca t, c bit ta chn t = As vi s dng c nh A no ú. Khi ú, ta cú |T f |p p(2T1 )q Apq sp1q |f |>s + p(2T2 )r Apr |f |q ds sp1r |f |r ds. |f |s Nhng sp1q |f | |f |q ds = |f |>s = sp1q ds |f |q pq |f |p , v sp1r |f |r ds = |f |r |f |s = sp1r ds |f | rp |f |p . Do ú ta cú |T f |p { p p (2T1 )q Apq + (2T2 )r Apr } pq rp |f |p 27 vi bt kỡ s dng A. Ta chn s dng A cho biu thc ngoc t cc tiu, c th l q/(rq) A = 2T1 r/(rq) T2 ta thu c Tf p p p + pq rp 1/p T1 T21 f p . Ta chn p p + C=2 pq rp 1/p s thu c kt lun ca nh lý. 2.2.3. Bt ng thc Calderon-Zygmund Gi s l b chn Rn v f l mt hm Lp () vi p 1. Ta nh li th v Newton ca hm f l hm w = N f xỏc nh bi tớch chp (x y)f (y)dy w(x) = (2.2.11) ú l nghim c bn ca phng trỡnh Laplace, tc l |x y|2n , n > 2, n(2 n)n (2.2.12) (x y) = (|x y|) = log |x y|, n = 2. Kt qu di õy l bt ng thc Calderon-Zygmund. nh lý 2.2.2. ([4, nh lý 9.9. Tr. 228]) Gi s f Lp (), < p < , v gi s w l th v Newton ca f. Khi ú w W 2,p (), w = f h.k.n v D2w p C f 28 p (2.2.13) ú C ch ph thuc vo n v p. Hn na, p = ta cú D2w f 2. = Rn (2.2.14) H qu 2.2.1. Gi s l mt Rn , u W02,p (), < p < . Khi ú D2u p C u (2.2.15) p ú C = C(n, p). Nu p = ta cú D2u = u . (2.2.16) 2.2.4. ỏnh giỏ Lp cho nghim mnh Mc ny trỡnh by cỏc Lp ỏnh giỏ cho o hm cp hai ca phng trỡnh elliptic cú dng (2.1.4) v (2.1.5). nh lý 2.2.3. ([4, nh lý 9.11. Tr. 235]) Gi s l m Rn 2,n v u Wloc () Lp (), < p < l nghim mnh ca (2.1.4) ú cỏc h s ca L tha món: aij C (), bi , c L (), f Lp (); aij i j ||2 Rn ; (2.2.17) |aij |, |bi |, |c| , (2.2.18) ú , l cỏc hng s dng v i, j = 1, . . . , n. Khi ú vi bt kỡ ta cú u 2,p; C( u 29 p; + f p; ), (2.2.19) ú hng s C ph thuc vo n, p, , , , v modun liờn tc ca cỏc h s aij trờn . Chng minh. Ta t L0 u = aij (x0 )Dij u vi x0 c nh thuc . Khi ú, vi bt kỡ v W02,p () ta cú D2v p; C L0 v (2.2.20) p; ú C = C(n, p) nh (2.2.15). Nu v cú giỏ hỡnh cu BR (x0 ) thỡ L0 v = (aij (x0 ) aij )Dij v + aij Dij v, v (2.2.20) ta thu c D2v p C ( sup |a a(x0 )| D2 v BR (x0 ) p + aij Dij v p ) ú a = [aij ]. Hn na, a l hm liờn tc u trờn nờn tn ti s dng cho nu |x x0 | < thỡ |a a(x0 )| . 2C T ú, vi R ta cú D2v p C L0 v vi C = C(n, p, ). 30 p Bõy gi, vi (0, 1), xột hm cht ct C02 (BR (x0 )) cho 1+ v 1, = BR (x0 ) v = vi |x| R, = 16 |D| , |D2 |. (1 )R (1 )2 R2 2,p () tha Lu = f v v = u, thỡ vi Khi ú, nu u Wloc R ta thu c D2u p;BR C aij Dij u + 2aij Di Dj u + uaij Dij p;BR (x0 ) 1 C f p;BR (x0 ) + Du p;B R + u (1 )R (1 )2 R2 p;BR ú C = C(n, p, , ). Ta xột na chun trng s k = sup (1 )k Rk Dk u p;BR , 0 0, ta c nh = cho (1 ) Du p;B (1 )2 D2 u + p;B + C u p;B + , cho ta thu c (2.2.22). Thay (2.2.22) vo (2.2.21) ta cú C(R2 f 31 p;BR + ), tc l D2u p;BR C (R2 f 2 (1 ) R p;BR + u p;BR ), (2.2.23) ú C = C(n, p, , ) v < < 1. Ly = v ph bng hu hn cỏc hỡnh cu bỏn kớnh R/2 vi R min{, dist( , )} ta thu c ỏnh giỏ (2.2.19). Tip theo, ta trỡnh by s m rng ca nh lý 2.2.3 ti biờn , trc tiờn ta xột trng hp biờn phng mt phn. t + = Rn+ = {x : xn > 0}, ()+ = () Rn+ = {x : xn > 0}. Ta cú s m rng ca H qu (2.2.1) qua b di õy. B 2.2.2. Cho u W01,1 (+ ), f Lp (+ ), < p < tha u = f yu + vi u = gn ()+ . Khi ú u W 2,p (+ ) W02,p (+ ) v D2u p;+ C f p;+ , (2.2.24) ú C = C(n, p). Chng minh. Trc tiờn, ta m rng u v f trờn ton Rn+ bng cỏch t u = f = Rn+ \ v sau ú m rng lờn ton Rn bng cỏch t u(x , xn ) = u(x , xn ), f (x , xn ) = f (x , xn ) vi xn < ú x = (x1 , . . . , xn1 ). Hm c m rng tha u = f theo ngha yu Rn . Tht vy, ly hm th bt kỡ 32 C01 (Rn ) v vi > t l mt hm chn C (R) cho (t) = vi |t| v | | . (t) = vi |t| , Khi ú Du ã D() = f = Du ã D + Dn u. Vỡ ((x , xn ) (x , xn )) Dn u Dn u = 0[...]... W k,p (Ω) ⊂⊂ C m,β (Ω) p−m với β < α 14 Chương 2 Nghiệm mạnh của phương trình elliptic Chương này trình bày các nghiên cứu về nghiệm mạnh của phương trình elliptic cấp hai dạng không bảo toàn Các kết quả được tham khảo chủ yếu từ chương 9 của [4] 2.1 Nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh 2.1.1 Đặt bài toán Xét toán tử vi phân elliptic tuyến tính có dạng Lu = aij (x)Dij u + bi (x)Di u + c(x)u, aij =... là định thức của ma trận A = (aij ) và đặt D∗ = D1/n Khi đó ta có 0 < λ ≤ D∗ ≤ Λ trong đó λ, Λ tương ứng là các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận A Định nghĩa 2.1.2 Hàm u(x) gọi là một nghiệm mạnh của phương trình 2,p (2.1.4) nếu u(x) là hàm số thuộc Wloc (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ và thỏa mãn phương trình (2.1.4) hầu khắp nơi trong Ω 16 2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh Giả sử... Bρ (y), điều này mâu thuẫn với x = x0 2.2 Đánh giá đối với nghiệm mạnh Trước tiên ta cần một số bất đẳng thức dùng để đánh giá đối với nghiệm mạnh 2.2.1 Phân tích lập phương Giả sử K0 là một khối lập phương trong Rn , f là hàm không âm khả tích địa phương trên K0 và t là một số dương thỏa mãn f ≤ t|K0 | K0 Bằng cách chia các cạnh của K0 làm hai phần bằng nhau, ta chia nhỏ K0 thành 2n khối con với các... (2.2.16) 2.2.4 Đánh giá Lp cho nghiệm mạnh Mục này trình bày các Lp đánh giá cho đạo hàm cấp hai của phương trình elliptic có dạng (2.1.4) và (2.1.5) Định lý 2.2.3 ([4, Định lý 9.11 Tr 235]) Giả sử Ω là tập mở trong Rn 2,n và u ∈ Wloc (Ω) ∩ Lp (Ω), 1 < p < ∞ là nghiệm mạnh của (2.1.4) trong Ω trong đó các hệ số của L thỏa mãn: aij ∈ C 0 (Ω), bi , c ∈ L∞ (Ω), f ∈ Lp (Ω); aij ξi ξj ≥ λ|ξ|2 ∀ξ ∈ Rn ; (2.2.17)... như quy tắc tính đạo hàm thông thường của hàm hợp ta cũng có quy tắc tính đạo hàm yếu của hàm hợp dưới đây Bổ đề 1.1.2 (Bổ đề 7.5 [4, Tr 151]) Giả sử f ∈ C 1 (R), f ∈ L∞ (R) và u khả vi yếu cấp một trong Ω Khi đó hàm hợp f ◦ u cũng khả vi yếu cấp một và ta có D(f ◦ u) = f (u)Du Cố định 1 ≤ p < ∞ và cho m là một số nguyên không âm Bây giờ ta định nghĩa các không gian hàm mà các phần tử của nó có đạo... H¨lder địa phương với số mũ α trong D nếu o hàm f là liên tục đều H¨lder với số mũ α trên mỗi tập con compact của o D Định nghĩa 1.2.3 Cho Ω là một tập mở trong Rn và k là một số nguyên không âm Không gian H¨lder C k,α (Ω) (t.ư C k,α (Ω)) là không gian con o của C k (Ω) (t.ư C k (Ω)) bao gồm tất cả các hàm cùng với các đạo hàm riêng tới cấp k liên tục đều H¨lder (t.ư liên tục đều H¨lder địa phương) o... kết luận Định lý 2.1.1 Ta có kết quả về tính duy nhất và nguyên lý cực đại mạnh của nghiệm mạnh qua các định lý dưới đây Định lý 2.1.2 ([4, Định lý 9.5 Tr.225]) Cho L là elliptic trong miền bị 2,n chặn Ω và thỏa mãn (2.1.6) Giả sử u và v là hai hàm trong Wloc (Ω) ∩ C 0 (Ω) thỏa mãn Lu = Lv trong Ω và u = v trên ∂Ω Khi đó u = v trong Ω Giả sử rằng toán tử L là elliptic đều trong Ω và |b|/λ, c/λ là bị... quả sau gọi là nguyên lý cực đại yếu cho nghiệm mạnh của phương trình (2.1.4) Định lý 2.1.1 ([4, Định lý 9.1 Tr 220]) Giả sử Ω là miền bị chặn, toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.1.6) và Lu ≥ f trong Ω và hàm u ∈ 2,n C 0 (Ω) ∩ Wloc (Ω) Khi đó sup u ≤ sup u+ + C Ω ∂Ω f D∗ Ln (Ω) (2.1.7) trong đó u+ (x) = max(0, u(x)) và C là hằng số chỉ phụ thuộc vào n, b hình dạng của Ω và Ln (Ω) D∗ Để chứng minh định... Ta gọi không gian W0 (Ω) là bao đóng của không k gian C0 (Ω) trong không gian W k,p (Ω) k,2 k Trường hợp p = 2 ta kí hiệu W0 (Ω) là H0 (Ω) k,p Ta thấy rằng các hàm thuộc Wloc (Ω) có giá compact trong Ω sẽ thuộc k,p không gian W0 (Ω) Các hàm thuộc W 1,p (Ω) mà triệt tiêu trên biên ∂Ω 1,p sẽ thuộc không gian W0 (Ω) Ta công nhận một vài kết quả sau đây mà đã được chứng minh chi tiết trong Chương 7 của [4]... (1.2.6) Ta có định lý sau đây đối với không gian Sobolev được nhúng vào không gian H¨lder o Định lý 1.2.1 Giả sử Ω là miền thuộc lớp C 0,1 trong Rn Khi đó i) Nếu kp < n thì không gian W k,p (Ω) nhúng liên tục vào không np ∗ và W k,p (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω) với bất kì q < p∗ ; gian W p (Ω), p∗ = n − kp n ii) Nếu 0 ≤ m < k − < m + 1 thì không gian W k,p (Ω) nhúng liên p k−n tục vào không gian C m,α (Ω), α = và W k,p . thuyết định tính nghiệm mạnh của phương trình elliptic và được sự định hướng của thầy hướng dẫn, chúng tôi chọn đề tài Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn để. dưới dạng bảo toàn. Đối với phương trình elliptic cấp hai tuyến tính dạng không bảo toàn có thể đưa vào lớp nghiệm mạnh mà nó rộng hơn lớp nghiệm cổ điển nhưng sao cho nó thỏa mãn phương trình hầu. tại duy nhất và độ trơn của lớp nghiệm mạnh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lớp nghiệm mạnh của phương trình elliptic truyến tính cấp hai dạng không bảo toàn. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc