Mục này trình bày các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm mạnh của bài toán Dirichlet.
Định lý 2.3.1. ([4, Định lý 9.15. Tr. 241]) Giả sử Ω là miền thuộc C1,1
trong Rn và cho toán tử L là elliptic ngặt trong Ω với các hệ số aij ∈
C0( ¯Ω), bi, c∈ L∞ với i, j = 1, . . . , n và c ≤ 0. Khi đó, nếu f ∈ Lp(Ω) và
ϕ ∈ W2,p(Ω) với 1 < p < ∞, thì bài toán Dirichlet
Lu = f trong Ω, u−ϕ ∈ W01,p(Ω)
có duy nhất nghiệm u∈ W2,p(Ω).
Bổ đề 2.3.1. ([4, Bổ đề 9.16. Tr. 241]) Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.4 được thỏa mãn và giả sử thêm rằng f ∈ Lq(Ω) với q ∈ (p,∞).
Khi đó, u ∈ Wloc2,q(Ω∪T), u = 0 trên T theo nghĩa của W1,q(Ω) và từ đó
u thỏa mãn ước lượng (2.2.25) với p thay bằng q.
Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp T = ∅. Tương tự Định lí 2.2.3, ta cố định hình cầu BR = BR(x0) và một hàm chặt cụt η, ta đặt
v = ηu, g = aijDijv,
sao cho
L0v = (aij(x0)−aij(x))Dijv +g.
Do Lu = f, nên theo Định lý nhúng Sobolev 1.1.4 ta có g ∈ Lr(Ω) trong đó 1/r = max{(1/q),(1/p) −1/n}. Nhờ phép biến đổi tuyến tính Q, ta có thể chéo hóa ma trận [aij(x0)] sao cho toán tử L0 trở thành toán tử Laplace, và do đó
∆˜v = (δij −a˜ij(x))Dijv˜+ ˜g,
trong đó ˜v,˜aij,g˜ tương ứng với v, aij, g. Lấy thế vị Newton ta thu được phương trình
˜
v = N[(δij −aij(x))Dijv] +˜ Ng.˜
Như vậy, hàm v thỏa mãn phương trình
v = T v +h (2.3.1)
trong đó theo ước lượng Calderon-Zygmund (Định lý 2.2.2) thì T là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ W2,p(BR) vào chính nó với mọi p ∈ (1,∞), h ∈
Lr(BR) và nếu R ≤ δ ta phải có kTk ≤ 1
2 (theo chứng minh của Định
nhất nghiệm v ∈ W2,p(BR) với mọi p ∈ [1, r]. Do đó ηu ∈ W2,r(Ω) và vì
x0 ∈ Ω là tùy ý nên ta thu được u ∈ Wloc2,r(Ω). Nếu bây giờ r = q, thì chứng minh là xong. Nếu trái lại ta sử dụng Định lý nhúng Sobolev và lặp lại lý luận như trên ta cũng có kết luận của định lý. Trường hợp tính chính quy biên địa phương với x0 ∈ T và hình cầu BR(x0) được thay bởi nửa hình cầu BR+(0) như trong Định lý 2.2.4.
Khẳng định về tính duy nhất nghiệm của Định lý 2.3.1 được suy từ Bổ đề 2.3.1 nếu toán tử L thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.3.1 và các hàm u, v ∈ W2,p(Ω) thỏa mãn Lu = Lv trong Ω, u−v ∈ W01,p(Ω). Theo Bổ đề 2.3.1 ta có u−v ∈ W2,q(Ω)∩W01,q(Ω) với mọi 1< q < ∞. Bây giờ sử dụng kết quả duy nhất nghiệm trong Định lý 2.1.2 và Định lý nhúng Sobolev 1.1.4 ta thu được u = v.
Từ tính duy nhất nghiệm ta suy ra ước lượng tiên nghiệm mà đây là mở rộng của Định lí 2.2.5 qua bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.3.2. ([4, Bổ đề 9.17. Tr. 242]) Giả sử toán tử L thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.3.1. Khi đó tồn tại hằng số C (độc lập với u) sao cho kuk2,p;Ω ≤ CkLukp;Ω (2.3.2) với mọi u ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω),1 < p < ∞.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trái lại rằng (2.3.2) là sai, khi đó phải tồn tại một dãy {vm} ⊂ W2,p(Ω)∩ W01,p(Ω)
thỏa mãn
kvmkp;Ω = 1; kLvmkp;Ω → 0.
compact vào Lp(Ω) và do tính compact yếu của tập bị chặn trong
W2,p(Ω), nên tồn tại một dãy con mà ta vẫn đánh số là {vm} mà hội tụ yếu tới hàm v ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω) và thỏa mãn kvkp;Ω = 1. Do
Z Ω gDαvm → Z Ω gDαv
với mọi |α| ≤ 2 và g ∈ Lp/(p−1)(Ω). Nên ta phải có
Z
Ω
gLv = 0 ∀ g ∈ Lp/(p−1)(Ω).
Do đó Lv = 0 và v = 0 theo tính duy nhất nghiệm, điều này mâu thuẫn với điều kiện |v|p = 1. Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.3.1.
Chứng minh. Trước tiên, ta thấy rằng nếu các hệ số aij ∈ C0,1(Ω) và
p ≥ 2, từ Bổ đề 2.3.1 ta suy ra kết luận của định lý. Trong trường hợp tổng quát, ta thay u bởi u−ϕ, để suy ra giá trị biên bằng 0. Ta xấp xỉ đều các hàm hệ số aij bằng một dãy {aijm} ⊂ C0,1(Ω) với p < 2. Hàm f
được xấp xỉ trong Lp(Ω) bằng một dãy {fm} ⊂ L2(Ω). Nếu {um} là một dãy nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng, theo Bổ đề 2.3.2 dãy{um} bị chặn trong W2,p(Ω). Lý luận tương tự như trong 2.3.2, dãy {um} có một dãy con hội tụ yếu trong W2,p(Ω) ∩ W02,p(Ω) tới một hàm u thỏa
mãn Lu = f trong Ω.
Khi p > n
2 ta thu được định lý tồn tại nghiệm với giá trị biên liên tục
dưới đây.
Hệ quả 2.3.1. ([4, Hệ quả 9.18. Tr. 243]) Giả sử Ω là miền trong Rn và thuộc lớp C1,1, và L là elliptic mạnh trong Ω với các hệ số aij ∈
C0(Ω), bi, c ∈ L∞, i, j = 1, . . . , n và c ≤ 0. Khi đó, nếu f ∈ Lp(Ω), p > n/2, ϕ ∈ C0(∂Ω), thì bài toán Dirichlet Lu = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω,
có duy nhất nghiệm trong Wloc2,p(Ω)∩C0(Ω).
Chứng minh. Tính duy nhất nghiệm được suy từ Định lý 2.1.2 và Bổ đề 2.3.1.
Sự tồn tại nghiệm: Lấy {ϕm} ⊂ W2,p(Ω) hội tụ đều tới ϕ trên ∂Ω và cho um ∈ W2,p(Ω) là một nghiệm của bài toán Dirichlet Lum = f trong
Ω, um = ϕm trên ∂Ω, (ta đã biết sự tồn tại của nghiệm um từ Định lý 2.3.1). Ta thấy hiệu ul −um thỏa mãn
L(ul −um) = 0 trong Ω, ul −um = ϕl −ϕm trên biên ∂Ω.
Do đó từ các Định lý 2.1.1 và 2.2.3 và Bổ đề 2.3.1 ta thu được dãy {um} hội tụ trong Wloc2,p(Ω) ∩ C0(Ω) tới một nghiệm của bài toán Dirichlet
Lu = f trong Ω và u = ϕ trên ∂Ω.
Định lý dưới đây cho ta tính chính quy bậc cao đối với nghiệm mạnh. Định lý 2.3.2. ([4, Định lý 9.19. Tr. 244]) Giả sử u là một nghiệm trong
Wloc2,p(Ω) của phương trình elliptic Lu = f trong miền Ω, trong đó các hệ số của L thuộc Ck−1,1(Ω),(Ck−1,α(Ω)), f ∈ Wlock,q(Ω), (Ck−1,α(Ω)) với
1 < p, q < ∞, k ≥ 1,0 < α < 1. Khi đó u ∈ Wlock+2,q(Ω)(Ck−1,α(Ω)).
Hơn nữa, nếu Ω ∈ Ck+1,1,(Ck+1,α), L là elliptic ngặt trong Ω với các
hệ số trong Ck−1,1(Ω),(Ck−1,α(Ω)), và f ∈ Wk,q(Ω), (Ck−1,α(Ω)), ϕ ∈
Kết luận
Luận văn trình bày được các vấn đề sau đây:
1. Trình bày không gian Sobolev, không gian H¨older các tính chất cơ bản dùng để nghiên cứu nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn;
2. Trình bày khái niệm nghiệm mạnh, nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh, các đánh giá Lp cho nghiệm mạnh;
3. Trình bày các định lý tồn tại, duy nhất và độ trơn của nghiệm mạnh đối với bài toán Dirichlet của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn.
Do năng lực nghiên cứu và trình độ của bản thân còn hạn chế nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, sắp xếp và trình bày các kết quả theo mục đích của luận văn đã đề ra. Luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng (phần I), Nhà xuất bản ĐHSP.
[2] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng (phần II), Nhà xuất bản ĐHSP.
[3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] D. Gilbarg, N. Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equa- tions of Second Order, Springer.
