Bất đẳng thức Calderon-Zygmund

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn và f là một hàm trong Lp(Ω) với

p ≥ 1. Ta nhớ lại thế vị Newton của hàm f là hàm w = N f xác định bởi tích chập

w(x) =

Z

Ω

Γ(x−y)f(y)dy (2.2.11)

trong đó Γ là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, tức là

Γ(x−y) = Γ(|x−y|) =        1 n(2−n)ωn|x−y|2−n, n > 2, 1 2π log|x−y|, n = 2. (2.2.12)

Kết quả dưới đây là bất đẳng thức Calderon-Zygmund.

Định lý 2.2.2. ([4, Định lý 9.9. Tr. 228]) Giả sử f ∈ Lp(Ω),1< p < ∞,

và giả sử w là thế vị Newton của f. Khi đó w ∈ W2,p(Ω),∆w = f h.k.n và

trong đó C chỉ phụ thuộc vào n và p. Hơn nữa, khi p = 2 ta có Z Rn kD2wk2 = Z Ω f2. (2.2.14)

Hệ quả 2.2.1. Giả sử Ω là một miền trong Rn, u ∈ W02,p(Ω),1< p < ∞.

Khi đó

kD2ukp ≤ Ck∆ukp (2.2.15) trong đó C = C(n, p).

Nếu p = 2 ta có

kD2uk2 = k∆uk2. (2.2.16) 2.2.4. Đánh giá Lp cho nghiệm mạnh

Mục này trình bày các Lp đánh giá cho đạo hàm cấp hai của phương trình elliptic có dạng (2.1.4) và (2.1.5).

Định lý 2.2.3. ([4, Định lý 9.11. Tr. 235]) Giả sử Ω là tập mở trong Rn và u ∈ Wloc2,n(Ω)∩Lp(Ω), 1 < p < ∞ là nghiệm mạnh của (2.1.4) trong

Ω trong đó các hệ số của L thỏa mãn:

aij ∈ C0(Ω), bi, c ∈ L∞(Ω), f ∈ Lp(Ω);

aijξiξj ≥ λ|ξ|2 ∀ξ ∈ Rn; (2.2.17) |aij|,|bi|,|c| ≤ Λ, (2.2.18) trong đó λ,Λ là các hằng số dương và i, j = 1, . . . , n. Khi đó với bất kì miền Ω0 ⊂⊂ Ω ta có

trong đó hằng số C phụ thuộc vào n, p, λ,Λ,Ω0,Ω và modun liên tục của các hệ số aij trên Ω0.

Chứng minh. Ta đặt

L0u = aij(x0)Diju

với x0 cố định thuộc Ω0. Khi đó, với bất kì v ∈ W02,p(Ω) ta có kD2vkp;Ω ≤ C

λkL0vkp;Ω (2.2.20) trong đó C = C(n, p) như trong (2.2.15).

Nếu v có giá trong hình cầu BR(x0) ⊂⊂ Ω thì

L0v = (aij(x0)−aij)Dijv +aijDijv,

và do (2.2.20) ta thu được kD2vkp ≤ C

λ( supBR(x0)|a−a(x0)| kD2vkp+kaijDijvkp)

trong đó a = [aij].

Hơn nữa, do a là hàm liên tục đều trên Ω0 nên tồn tại số dương δ sao cho nếu |x−x0| < δ thì |a−a(x0)| ≤ λ 2C. Từ đó, với R ≤ δ ta có kD2vkp ≤ C λkL0vkp với C = C(n, p, λ).

Bây giờ, với σ ∈ (0,1), xét hàm chặt cụt η ∈ C02(BR(x0)) sao cho 0≤ η ≤ 1, η = 1 trong BσR(x0) và η = 0 với |x| ≥ σ0R, σ0 = 1 +σ 2 và |Dη| ≤ 4 (1−σ)R, |D2η ≤ 16 (1−σ)2R2|.

Khi đó, nếu u ∈ Wloc2,p(Ω) thỏa mãn Lu = f trong Ω và v = ηu, thì với

R ≤ δ ≤ 1 ta thu được kD2ukp;BσR ≤ CkηaijDiju+ 2aijDiηDju+uaijDijηkp;BR(x0) ≤ C kfkp;BR(x0)+ 1 (1−σ)RkDukp;Bσ0R + 1 (1−σ)2R2kukp;BR trong đó C = C(n, p, λ,Λ). Ta xét nửa chuẩn trọng số φk = sup 0<σ<1 (1−σ)kRkkDkukp;BσR, k = 0,1,2. Do đó, ta có φ2 ≤ C(R2kfkp;BR +φ1 +φ0). (2.2.21) Ta thấy rằng, với mọi > 0, các nửa chuẩn trọng số φk thỏa mãn bất đẳng thức phân cực dưới đây

φ1 ≤ φ2 + C

φ0 (2.2.22)

trong đó C = C(n).

Với γ > 0, ta cố định σ = σγ sao cho

φ1 ≤ (1−σγ)kDukp;Bσ +γ

≤ (1−σ)2kD2ukp;Bσ + C

kukp;Bσ +γ,

cho γ →0 ta thu được (2.2.22). Thay (2.2.22) vào (2.2.21) ta có

tức là kD2ukp;BσR ≤ C (1−σ)2R2(R2kfkp;BR + kukp;BR), (2.2.23) trong đó C = C(n, p, λ,Λ) và 0 < σ < 1. Lấy σ = 1 2 và phủ Ω

0 bằng hữu hạn các hình cầu bán kính R/2 với

R ≤ min{δ,dist(Ω0, ∂Ω)} ta thu được đánh giá (2.2.19).

Tiếp theo, ta trình bày sự mở rộng của Định lý 2.2.3 tới biên ∂Ω,

trước tiên ta xét trường hợp biên phẳng một phần. Đặt

Ω+ = Ω∩Rn+ = {x ∈ Ω : xn > 0}, (∂Ω)+ = (∂Ω) ∩Rn+ = {x ∈ ∂Ω : xn > 0}.

Ta có sự mở rộng của Hệ quả (2.2.1) qua bổ đề dưới đây.

Bổ đề 2.2.2. Cho u ∈ W01,1(Ω+), f ∈ Lp(Ω+),1 < p < ∞ thỏa mãn

∆u = f yếu trong Ω+ với u = 0 gần (∂Ω)+. Khi đó u ∈ W2,p(Ω+) ∩

W02,p(Ω+) và

kD2ukp;Ω+ ≤Ckfkp;Ω+, (2.2.24) trong đó C = C(n, p).

Chứng minh. Trước tiên, ta mở rộng u và f trên toàn Rn+ bằng cách đặt u = f = 0 trong Rn+\Ω và sau đó mở rộng lên toàn Rn bằng cách đặt

u(x0, xn) = −u(x0,−xn), f(x0, xn) =−f(x0,−xn)

với xn < 0 trong đó x0 = (x1, . . . , xn−1). Hàm được mở rộng thỏa mãn

C01(Rn) và với > 0 đặt η là một hàm chẵn trong C1(R) sao cho η(t) = 0 với |t| ≤ , η(t) = 1 với |t| ≥ 2 và |η0| ≤ 2 . Khi đó − Z ηf ϕ = Z Du·D(ηϕ) = Z ηDu·Dϕ+ Z η0ϕDnu. Vì Z η0ϕDnu = Z 0<xn<2 (ϕ(x0, xn)−ϕ(x0,−xn))η0Dnu ≤8 max|Dϕ| Z 0<xn<2 |Dnu| → 0 khi →0.

Do đó, cho → 0 ta thu được −

Z

ηf ϕ =

Z

ηDu·Dϕ

do đó u ∈ W1,1(Rn) là nghiệm yếu của ∆u = f.

Hơn nữa, vì u có giá compact trong Rn nên hàm chính quy hóa uh ∈

C0∞(Rn)và thỏa mãn ∆uh = fhtrong Rn. Từ Hệ quả 2.2.1 suy rauh → u

trong W2,p(Rn) khi h → 0 và u thỏa mãn đánh giá (2.2.15). Do đó ta thu được đánh giá (2.2.24) và do uh(x0,0) = 0 nên u ∈ W01,p(Ω+).

Ta có kết quả về đánh giá địa phương trên biên dưới đây.

Định lý 2.2.4. ([4, Định lý 9.13. Tr. 239]) Giả sử Ω là miền trong Rn với biên ∂Ω ∈ C1,1 và T ⊂ ∂Ω. Giả sử u ∈ W2,p(Ω),1 < p < ∞ là một nghiệm mạnh của Lu = f trong Ω với u = 0 trên T theo nghĩa của

W1,p(Ω), trong đó L thỏa mãn (2.2.17) với aij ∈ C0(Ω∪T). Khi đó, với bất kì miền Ω0 ⊂⊂ Ω∪T ta có

trong đó C phụ thuộc vào n, p, λ,Λ,Ω0,Ω và modun liên tục của các hệ số aij trên Ω0.

Chứng minh. Theo giả thiết T ∈ C1,1 tại mỗi điểm x0 ∈ T nên tồn tại một lân cận của x0 là Nx0 và một vi phôi ψ = ψx0 từ Nx0 lên hình cầu đơn vị B = B1(0) trong Rn sao cho

ψ(Nx0 ∩Ω) ⊂ Rn+, ψ(Nx0 ∩∂Ω) ⊂ ∂R+n, ψ ∈ C1,1(Nx0), ψ−1 ∈ C1,1(B). Đặt y = ψ(x) = (ψ1(x), . . . , ψn(x)), u(y) =˜ u(x), x ∈ Nx0, y ∈ B ta có ˜ L˜u = ˜aijDiju˜+ ˜biDiu˜+ ˜c˜u = ˜f trong B+, trong đó ˜ aij(y) = ∂ψi ∂xr ∂ψj ∂xs ars(x),˜bi(y) = ∂ 2ψi ∂xr∂xs ars(x) + ∂ψi ∂xr br(x), và ˜ c(y) =c(x), f˜(y) = f(x).

Do đó L˜ thỏa mãn các điều kiện tương tự như trong (2.2.17) với hằng số λ,˜ Λ˜ phụ thuộc vào λ,Λ và ψ. Hơn nữa, u˜ ∈ W2,p(B+) và u˜ = 0 trên

B ∩∂Rn+ theo nghĩa của W1,p(B+).

Theo Định lí 2.2.3 và Bổ đề 2.2.2 và thay hình cầu BR(x0) bằng nửa hình cầu BR+(0) ⊂ B ta thu được

kD2u˜kp;B+

σR ≤ C

(1−σ)2R2{R2kf˜kp;B+

R +ku˜kp;B+

R}

khi R ≤ δ ≤ 1, trong đó C phụ thuộc vào n, p, λ,Λ và ψ, và δ phụ thuộc vào modun liên tục của aij tại x0 và ψ. Lấy σ = 1

2 và ˜ Nx0 = ψ−1(Bδ,2), do đó ta có kD2u˜kp; ˜N x ≤ C(kukN˜ x +kfkp; ˜N x )

trong đó C = C(n, p, λ,Λ, δ, ψ).

Bây giờ, ta phủ Ω0 ∩ T bằng một số hữu hạn các lân cận N˜x0 và sử dụng (2.2.19) ta thu được đánh giá (2.2.25).

Khi T = ∂Ω trong Định lí 2.2.4 có thể lấy Ω0 = Ω để thu được đánh giá toàn cục trong W2,p(Ω) qua định lí dưới đây.

Định lý 2.2.5. ([4, Định lý 9.14. Tr. 240]) Giả sử Ω là miền thuộc C1,1

trong Rn và cho toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2.17) và aij ∈ C0( ¯Ω),

với i, j = 1, . . . , n. Khi đó, nếu u ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω),1< p < ∞ thì kuk2,p;Ω ≤ CkLu−σukp;Ω (2.2.26) với mọi σ ≥ σ0 trong đó C và σ0 là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

n, p, λ,Λ,Ω và modun liên tục của các hệ số aij.

Chứng minh. Ta định nghĩa miền Ω0 trong Rn+1(x, t) xác định bởi

Ω0 = Ω×(−1,1)

cùng với toán tử L0 có dạng

L0v = Lv+Dttv, v ∈ W2,p(Ω0).

Khi đó, nếu u ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω) thì hàm

v(x, t) = u(x) cosσ1/2t ∈ W2,p(Ω)

và triệt tiêu trên biên ∂Ω×(−1,1) theo nghĩa của W1,p(Ω0). Hơn nữa,

L0v = cosσ1/2t(Lu−σu),

do đó, theo Định lí 2.2.4 với miền Ω0 = Ω×(−, ),0< ≤ 1

2, ta có

Bây giờ ta lấy = π 3σ 1/2 ta có kDttvkp;Ω0 = σkvkp;Ω0 ≥σcos(σ1/2)(2)1/pkukp;Ω ≥ 1 2 2π 3 1/p σ1−1/(2p)kukp;Ω. Do đó với σ đủ lớn ta có kukp;Ω ≤ C(kLu−σukp;Ω (2.2.27) và từ Định lí 2.2.4 ta thu được (2.2.26). Định lí được chứng minh.

2.3. Sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán DirichletMục này trình bày các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm Mục này trình bày các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm mạnh của bài toán Dirichlet.

Định lý 2.3.1. ([4, Định lý 9.15. Tr. 241]) Giả sử Ω là miền thuộc C1,1

trong Rn và cho toán tử L là elliptic ngặt trong Ω với các hệ số aij ∈

C0( ¯Ω), bi, c∈ L∞ với i, j = 1, . . . , n và c ≤ 0. Khi đó, nếu f ∈ Lp(Ω) và

ϕ ∈ W2,p(Ω) với 1 < p < ∞, thì bài toán Dirichlet

Lu = f trong Ω, u−ϕ ∈ W01,p(Ω)

có duy nhất nghiệm u∈ W2,p(Ω).

Bổ đề 2.3.1. ([4, Bổ đề 9.16. Tr. 241]) Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.4 được thỏa mãn và giả sử thêm rằng f ∈ Lq(Ω) với q ∈ (p,∞).

Khi đó, u ∈ Wloc2,q(Ω∪T), u = 0 trên T theo nghĩa của W1,q(Ω) và từ đó

u thỏa mãn ước lượng (2.2.25) với p thay bằng q.

Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp T = ∅. Tương tự Định lí 2.2.3, ta cố định hình cầu BR = BR(x0) và một hàm chặt cụt η, ta đặt

v = ηu, g = aijDijv,

sao cho

L0v = (aij(x0)−aij(x))Dijv +g.

Do Lu = f, nên theo Định lý nhúng Sobolev 1.1.4 ta có g ∈ Lr(Ω) trong đó 1/r = max{(1/q),(1/p) −1/n}. Nhờ phép biến đổi tuyến tính Q, ta có thể chéo hóa ma trận [aij(x0)] sao cho toán tử L0 trở thành toán tử Laplace, và do đó

∆˜v = (δij −a˜ij(x))Dijv˜+ ˜g,

trong đó ˜v,˜aij,g˜ tương ứng với v, aij, g. Lấy thế vị Newton ta thu được phương trình

˜

v = N[(δij −aij(x))Dijv] +˜ Ng.˜

Như vậy, hàm v thỏa mãn phương trình

v = T v +h (2.3.1)

trong đó theo ước lượng Calderon-Zygmund (Định lý 2.2.2) thì T là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ W2,p(BR) vào chính nó với mọi p ∈ (1,∞), h ∈

Lr(BR) và nếu R ≤ δ ta phải có kTk ≤ 1

2 (theo chứng minh của Định

nhất nghiệm v ∈ W2,p(BR) với mọi p ∈ [1, r]. Do đó ηu ∈ W2,r(Ω) và vì

x0 ∈ Ω là tùy ý nên ta thu được u ∈ Wloc2,r(Ω). Nếu bây giờ r = q, thì chứng minh là xong. Nếu trái lại ta sử dụng Định lý nhúng Sobolev và lặp lại lý luận như trên ta cũng có kết luận của định lý. Trường hợp tính chính quy biên địa phương với x0 ∈ T và hình cầu BR(x0) được thay bởi nửa hình cầu BR+(0) như trong Định lý 2.2.4.

Khẳng định về tính duy nhất nghiệm của Định lý 2.3.1 được suy từ Bổ đề 2.3.1 nếu toán tử L thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.3.1 và các hàm u, v ∈ W2,p(Ω) thỏa mãn Lu = Lv trong Ω, u−v ∈ W01,p(Ω). Theo Bổ đề 2.3.1 ta có u−v ∈ W2,q(Ω)∩W01,q(Ω) với mọi 1< q < ∞. Bây giờ sử dụng kết quả duy nhất nghiệm trong Định lý 2.1.2 và Định lý nhúng Sobolev 1.1.4 ta thu được u = v.

Từ tính duy nhất nghiệm ta suy ra ước lượng tiên nghiệm mà đây là mở rộng của Định lí 2.2.5 qua bổ đề dưới đây.

Bổ đề 2.3.2. ([4, Bổ đề 9.17. Tr. 242]) Giả sử toán tử L thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.3.1. Khi đó tồn tại hằng số C (độc lập với u) sao cho kuk2,p;Ω ≤ CkLukp;Ω (2.3.2) với mọi u ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω),1 < p < ∞.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trái lại rằng (2.3.2) là sai, khi đó phải tồn tại một dãy {vm} ⊂ W2,p(Ω)∩ W01,p(Ω)

thỏa mãn

kvmkp;Ω = 1; kLvmkp;Ω → 0.

compact vào Lp(Ω) và do tính compact yếu của tập bị chặn trong

W2,p(Ω), nên tồn tại một dãy con mà ta vẫn đánh số là {vm} mà hội tụ yếu tới hàm v ∈ W2,p(Ω)∩W01,p(Ω) và thỏa mãn kvkp;Ω = 1. Do

Z Ω gDαvm → Z Ω gDαv

với mọi |α| ≤ 2 và g ∈ Lp/(p−1)(Ω). Nên ta phải có

Z

Ω

gLv = 0 ∀ g ∈ Lp/(p−1)(Ω).

Do đó Lv = 0 và v = 0 theo tính duy nhất nghiệm, điều này mâu thuẫn với điều kiện |v|p = 1. Bổ đề được chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.3.1.

Chứng minh. Trước tiên, ta thấy rằng nếu các hệ số aij ∈ C0,1(Ω) và

p ≥ 2, từ Bổ đề 2.3.1 ta suy ra kết luận của định lý. Trong trường hợp tổng quát, ta thay u bởi u−ϕ, để suy ra giá trị biên bằng 0. Ta xấp xỉ đều các hàm hệ số aij bằng một dãy {aijm} ⊂ C0,1(Ω) với p < 2. Hàm f

được xấp xỉ trong Lp(Ω) bằng một dãy {fm} ⊂ L2(Ω). Nếu {um} là một dãy nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng, theo Bổ đề 2.3.2 dãy{um} bị chặn trong W2,p(Ω). Lý luận tương tự như trong 2.3.2, dãy {um} có một dãy con hội tụ yếu trong W2,p(Ω) ∩ W02,p(Ω) tới một hàm u thỏa

mãn Lu = f trong Ω.

Khi p > n

2 ta thu được định lý tồn tại nghiệm với giá trị biên liên tục

dưới đây.

Hệ quả 2.3.1. ([4, Hệ quả 9.18. Tr. 243]) Giả sử Ω là miền trong Rn và thuộc lớp C1,1, và L là elliptic mạnh trong Ω với các hệ số aij ∈

C0(Ω), bi, c ∈ L∞, i, j = 1, . . . , n và c ≤ 0. Khi đó, nếu f ∈ Lp(Ω), p > n/2, ϕ ∈ C0(∂Ω), thì bài toán Dirichlet Lu = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω,

có duy nhất nghiệm trong Wloc2,p(Ω)∩C0(Ω).

Chứng minh. Tính duy nhất nghiệm được suy từ Định lý 2.1.2 và Bổ đề 2.3.1.

Sự tồn tại nghiệm: Lấy {ϕm} ⊂ W2,p(Ω) hội tụ đều tới ϕ trên ∂Ω và cho um ∈ W2,p(Ω) là một nghiệm của bài toán Dirichlet Lum = f trong

Ω, um = ϕm trên ∂Ω, (ta đã biết sự tồn tại của nghiệm um từ Định lý 2.3.1). Ta thấy hiệu ul −um thỏa mãn

L(ul −um) = 0 trong Ω, ul −um = ϕl −ϕm trên biên ∂Ω.

Do đó từ các Định lý 2.1.1 và 2.2.3 và Bổ đề 2.3.1 ta thu được dãy {um} hội tụ trong Wloc2,p(Ω) ∩ C0(Ω) tới một nghiệm của bài toán Dirichlet

Lu = f trong Ω và u = ϕ trên ∂Ω.

Định lý dưới đây cho ta tính chính quy bậc cao đối với nghiệm mạnh. Định lý 2.3.2. ([4, Định lý 9.19. Tr. 244]) Giả sử u là một nghiệm trong

Wloc2,p(Ω) của phương trình elliptic Lu = f trong miền Ω, trong đó các hệ số của L thuộc Ck−1,1(Ω),(Ck−1,α(Ω)), f ∈ Wlock,q(Ω), (Ck−1,α(Ω)) với

1 < p, q < ∞, k ≥ 1,0 < α < 1. Khi đó u ∈ Wlock+2,q(Ω)(Ck−1,α(Ω)).

Hơn nữa, nếu Ω ∈ Ck+1,1,(Ck+1,α), L là elliptic ngặt trong Ω với các hệ số trong Ck−1,1(Ω),(Ck−1,α(Ω)), và f ∈ Wk,q(Ω), (Ck−1,α(Ω)), ϕ ∈

Kết luận

Luận văn trình bày được các vấn đề sau đây:

1. Trình bày không gian Sobolev, không gian H¨older các tính chất cơ bản dùng để nghiên cứu nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn;

2. Trình bày khái niệm nghiệm mạnh, nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh, các đánh giá Lp cho nghiệm mạnh;

3. Trình bày các định lý tồn tại, duy nhất và độ trơn của nghiệm mạnh đối với bài toán Dirichlet của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn.

Do năng lực nghiên cứu và trình độ của bản thân còn hạn chế nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, sắp xếp và trình bày các kết quả theo mục đích của luận văn đã đề ra. Luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng (phần I), Nhà xuất bản ĐHSP.

[2] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng (phần II), Nhà xuất bản ĐHSP.

[3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[4] D. Gilbarg, N. Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equa- tions of Second Order, Springer.