các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THANH HẢI CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THANH HẢI CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Lương Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viết Luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Lương Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i MỞ ĐẦU 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack . . . . . . . . . 11 1.4 Không gian W 1,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Không gian C α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK 30 2.1 Các định nghĩa, định lý và bổ đề có liên quan . . . . . . . . 30 2.2 Đánh giá Morser đối với nghiệm dưới yếu và nghiệm trên yếu 34 2.3 Các định lý kiểu Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Các định lý kiểu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM 43 3.1 Tính liên tục Holder của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Tính liên tục Holder của đạo hàm cấp 1 của nghiệm . . . . 46 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn Luận văn Đối với phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, nghiệm thường được xét theo nghĩa yếu, tức là thuộc không gian W 1,2 (Ω) mà chỉ có đạo hàm đến cấp hai bình phương khả tích và thỏa mãn đẳng thức tích phân. Tuy nhiên, người ta phát hiện ra rằng những nghiệm yếu như vậy lại có độ trơn nhất định, tức là nó cùng với các đạo hàm cấp một của nó thuộc lớp liên tục Holder C α (Ω). 2. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp các kết quả cổ điển đối với hàm điều hòa trên, hàm điều hòa dưới và mở rộng các kết quả đó cho nghiệm trên và nghiệm dưới yếu của lớp phương trình dạng bảo toàn. 3. Mục đích của Luận văn Mục đích của Luận văn là trình bày lý thuyết về các tính chất định tính và độ trơn của nghiệm yếu của lớp các phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, trong đó các hệ số của phương trình chỉ cần đòi hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic và là các hàm đo được và bị chặn. 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các kết quả chính của Luận văn. Trước hết ta định nghĩa hàm điều hòa, sau đó đưa ra một số tính chất của hàm điều hòa, trình bày các kết quả cổ điển của hàm điều hòa như các định lý trung bình, định lý Harnack, định lý Liouville và các đành giá theo chuẩn Holder của nghiệm và các đạo hàm cấp một, cấp hai của nó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 2: Trình bày các đánh giá Morser đối với nghiệm trên và nghiệm dưới của các phương trình dạng bảo toàn và trình bày các định lý kiểu Harnack và Liouville. Chương 3: Trình bày các kết quả về độ trơn đối với nghiệm yếu của phương trình dạng bảo toàn trong đó có các đánh giá theo chuẩn Holder đối với nghiệm và các đạo hàm cấp một của nó. Nội dung chính của Luận văn được viết dựa theo Chương 1, Chương 10 và Chương 11 của tài liệu [1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u ∈C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa (trong Ω) nếu ∆u =0, trong đó ∆u = d ∑ j=1 u x j x j , Ω ⊂R d . Chú ý : Tập hợp các hàm điều hòa trong Ω là một không gian vector. Một số ví dụ về hàm điều hòa: (1) Trong R d , tất cả những hàm hằng, hàm affin tuyến tính đều là hàm điều hòa. (2) Hàm đa thức bậc hai sau đây cũng là hàm điều hòa u(x)=(x 1 ) 2 −(x 2 ) 2 với x =(x 1 , , x d )∈R d . (3) Cho x, y ∈R d với x ≠y, ta đặt Γ(x, y)∶=Γ(x −y)∶=        1 2π log x −y với d =2 1 d(2−d)ω d x −y 2−d với d >2, (1.1) ở đây ω d là thể tích của hình cầu đơn vị B(0, 1)⊂R d . Khi đó với mỗi y cố định và y ≠x, Γ(x, y) là hàm điều hòa theo x. Thật vậy, ∂ ∂x i Γ(x, y)= 1 dw d (x i −y i )x −y −d , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 ta có ∂ 2 ∂x i ∂x j Γ(x, y)= 1 dw d  x −y 2 δ ij −d(x i −y i )(x j −y j )  x −y −d−2 . Vì vậy Γ là hàm điều hòa trong R d {y}. Định lý 1.1.2. (Công thức Poisson)([1]). Giả sử u(x) là hàm điều hòa trong hình cầu B(x 0 , r)={x ∈R d ∶x −x 0 }≤r. Khi đó ta có công thức Poisson sau đây u(y)= R 2 −y −x 0  2 dω d r  ∂B(x 0 ,r) u(x) x −y d do(x), ∀y ∈B(x 0 , r), (1.2) trong đó do(x) là phần tử diện tích trên mặt cầu ∂B(x 0 , r). Định lý 1.1.3. (Công thức giá trị trung bình) Một hàm liên tục u ∶Ω →R là hàm điều hòa khi và chỉ khi mọi hình cầu B(x 0 , r)⊂Ω, ta có các công thức giá trị trung bình sau đây u(x 0 )=S(u, x 0 , r)∶= 1 dω d r d−1  ∂B(x 0 ,r) u(x)do(x), (1.3) và u(x 0 )=K(u, x 0 , r)∶= 1 ω d r d  B(x 0 ,r) u(x)dx. (1.4) Chứng minh. ′′ ⇒ ′′ Giả sử u là hàm điều hòa, khi đó (1.3) suy ra từ công thức Poison (1.2). Thật vậy, trong (1.2) khi lấy y =x 0 ta có u(x 0 )= r 2 dω d r  ∂B(x 0 ,r) u(x) r d do(x) = 1 dω d r d−1  ∂B(x 0 ,r) u(x)do(x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Công thức (1.3) còn có thể chứng minh bằng cách khác sau đây. Giả sử u ∈C 2 (B(y, r)), 0 < <r, khi đó  B(y,) ∆u(x)dx =  ∂B(y,) ∂u ∂ν (x)do(x) =  ∂B(0,1) ∂u ∂ (y +ω) d−1 dω trong tọa độ cực ω = x −y  = d−1 ∂ ∂  ∂B(0,1) u(y +ω)dω = d−1 ∂ ∂  1−d  ∂B(y,) u(x)do(x) =dω d  d−1 ∂ ∂ S(u, y, ). (1.5) Nếu u là hàm điều hòa thì ∂ ∂ S(u, y, )=0 và S(u, y, ) là hằng số. Vì u(y)=lim →0 S(u, y, ), (1.6) nên ta suy ra (1.3). Ta sẽ chứng minh (1.4). Thật vậy, từ các định nghĩa S(u, x 0 , )và K(u, x 0 , r) và dx = d−1 ddo(x) ta có K(u, x 0 , r)= d r d r  0 S(u, x 0 , ) d−1 d =u(x 0 ). (1.7) ′′ ⇐ ′′ Giả sử (1.3) đúng với mọi x 0 ∈Ω và r >0 sao cho B(x 0 , r)⊂Ω. Trước tiên ta chứng tỏ rằng u trơn. Ta đặt (t)∶=        c d exp  1 t 2 −1  khi 0 ≤t <1 0 khi t ∉[0, 1) Ở đây hằng số c d được chọn sao cho  R d (x)dx =1, (x) là khả vi vô hạn theo x. Cho f ∈L 1 (Ω), B(y, r)⊂Ω, ta xét f r (y)∶= 1 r d  Ω  y −x r f(x)dx. (1.8) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... sử dụng tới Định lý về tập con compact của không gian mêtric để khẳng định rằng bao đóng của (un )n∈N là compact trong L2 (Ω) và vì vậy nó chứa một dãy con hội tụ (Tập con của không gian mêtric là compact nếu nó đầy đủ và hoàn toàn bị chặn, tức là, nếu mọi ε < 0, nó được chứa trong hợp của hữu hạn những hình cầu bán kính ε.) Áp dụng kết quả trên cho (bao đóng) của dãy (ωn,ε )n∈N , ta suy ra tồn tại... 2,α (Ω) nên theo Định lý 1.5.6, ta biết rằng nó là nghiệm yếu của ∂ ∂ ∆ i u = i f ∂x ∂x Từ Định lý 1.5.6 kéo theo: ∂ u ∈ C 2,α (Ω) (i ∈ {1, , d}), i ∂x và vì vậy u ∈ C 3,α (Ω) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Chương 2 CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu nghiệm (yếu) của : d ∂ ∂ (aij (x) i u(x)) = 0, j ∂x i,j =1 ∂x Lu... ∫ B (y0 ,R0 ) với u0 = 1 d ωd R0 ∫ ∫ B (y0 ,R0 ) eαu B (y0 ,R0 ) u (trung bình của u trên B (y0 , R0 ).) Cụ thể ∫ e−αu = B (y0 ,R0 ) eα(u−u0 ) ∫ B (y0 ,R0 ) ∫ 2 2d e−α(u−u0 ) ≤ β0 R0 B (y0 ,R0 ) Định nghĩa 2.1.4 (Định nghĩa nghiệm yếu ) Cho f (x) ∈ L2 (Ω) Hàm số u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu trong Ω của phương trình Lu = f, 1,2 nếu ∀ϕ ∈ W0 (Ω) ta có − ∫ ∑ ai,j (x)Di u(x)Dj ϕ(x)dx = ∫ f (x)ϕ(x)dx... dãy con hội tụ đều về hàm liên tục v Ta phải có v = u, vì u là hàm khả tích địa phương trong L1 (Ω), với mọi x ∈ Ω, lim ur (x) = u(x) Vì r→0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 vậy u là liên tục, và vì tất cả ur thỏa mãn tính chất giá trị trung bình nên u cũng thỏa mãn tính chất đó Từ Định lý 1.1.3 ta suy ra u là hàm điều hòa 1.2 Hàm điều hòa dưới Định nghĩa... (Ω), thì u ∈ C 2,α (Ω) và: u C 2,α (Ω) ≤ c2 f với α ∈ (0; 1), C α (Ω) (1.32) α trong đó C0 (Ω) gồm các hàm thuộc C α (Ω) và bằng không trong lân cận của biên ∂Ω Các hằng số trong (1.31) và (1.32) phụ thuộc vào α, d và Ω Chứng minh a Đạo hàm cấp một v i = v i (x) = ∫ Ω xi − y i f (y )dy x−y d ∂u ∂xi của u được cho bởi: (i = 1, 2, , d) Trong công thức trên đã bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vào d Từ... thu được: v i (x) ≤ f Lp (Ω) ( ∫ p−1 p dy x − y (d−1) p−1 p ) Biểu diễn này là hữu hạn vì p > d Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh ∂ được rằng ∂xi w = const v i và thu được đánh giá Holder như trong chứng minh của Định lý 1.5.5 (a) và Định lý 1.5.6 (a) Hệ quả 1.5.8 Giả sử u ∈ W 1 (Ω) là nghiệm yếu của ∆u = f với f ∈ C k,α (Ω), k ∈ N, 0 < α < 1 Khi đó u ∈ C k+1,α (Ω) và nếu Ω0 ⊂⊂ Ω, thì u C k+2,α... ở đây Ω ký hiệu là độ đo (Lebesgue) của Ω và ωd là thể tích của hình cầu 1,2 đơn vị trong Rd Cụ thể, với u ∈ W0 (Ω) ta có 1 ⎛ Ω d⎞ u W 1,2 (Ω) ≤ 1 + ( ) Du ωd ⎠ ⎝ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên L2 (Ω) http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 1 Chứng minh Giả sử u ∈ C0 (Ω); ta đặt u(x) = 0 với x ∈ Rd ∖ Ω Cho ω ∈ Rd với ω = 1, theo Định lý cơ bản của phép tính lấy tích phân dọc theo tia {rω... (x3 ,R)∖B (x3 ,δ ) Không mất tính tổng quát ta lấy δ < R Ta có: I1 ≤ 2 ∫ B (x3 ,δ ) 1 dy = 2ωd δ, x2 − y d−1 và do (1.34) ta có : I2 ≤ c4 δ (log R − log δ ) Do đó: I1 + I2 ≤ c5 x1 − x2 α với α ∈ (0; 1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.36) 24 Hiển nhiên ta có: v i (x) ≤ c6 sup f (1.37) Ω b Đạo hàm cấp hai wij = ∂2u ∂xi ∂xj của u được cho bởi: wij (x)... (x) dx ≤ µ ωd Ω ∫ ∫ x − y Ω Ω Ω 2 1 1 ≤ ( ωd−µ Ω µ ) ∫ f (y ) 2 dy µ Ω Bằng cách hoán vị tích phân đối với x và y và áp dụng (1.18) ta được điều phải chứng minh Bây giờ ta tiếp tục chứng minh Định lý 1.4.9, áp dụng Bổ đề 1.4.10 với 1 1 µ = d và f = Du để được vế phải của (1.17), ta được (1.15) với u ∈ C0 (Ω) 1,2 1 Từ định nghĩa của W0 (Ω), nó chứa C0 (Ω) như một không gian con trù 1 mật, ta có thể thay... khả vi vô hạn Ta xét ∫ ∆u(x)dx = dωd B (y, ) d−1 ∂ S (u, y, ) ∂ (1.9) Do S (u, x0 , ) là hằng số theo và vế phải của (1.9) triệt tiêu tất cả các biến y và với B (y, ) ⊂ Ω Vì vậy ∆u(y ) = 0, y ∈ Ω, và u là hàm điều hòa Bổ đề 1.1.4 (Bổ đề Weyl) Giả sử u Ω → R là đo được và khả tích địa ∞ phương trong Ω Giả sử với mọi ϕ ∈ C0 (Ω), ∫ u(x)∆ϕ(x)dx = 0 Ω Khi đó u là hàm điều hòa và do đó là trơn vô hạn Chứng . tính và độ trơn của nghiệm yếu của lớp các phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, trong đó các hệ số của phương trình chỉ cần đòi hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic và là các hàm đo. mở rộng các kết quả đó cho nghiệm trên và nghiệm dưới yếu của lớp phương trình dạng bảo toàn. 3. Mục đích của Luận văn Mục đích của Luận văn là trình bày lý thuyết về các tính chất định tính và. phương trình dạng bảo toàn và trình bày các định lý kiểu Harnack và Liouville. Chương 3: Trình bày các kết quả về độ trơn đối với nghiệm yếu của phương trình dạng bảo toàn trong đó có các đánh