Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một

Định lý thác triển đối với nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Định lý thác triển Hartogs 1.1 Hàm chỉnh hình biến phức . . . . . . . . 1.1.1 Hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Công thức tích phân Cauchy . . . . . 1.1.4 Thác triển giải tích . . . . . . . . . . 1.1.5 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . . . . . 1.2.1 Không gian Cn . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . 1.2.3 Một số tính chất hàm chỉnh hình 1.2.4 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . 1.3 Định lý thác triển Hartogs . . . . . . . . . . 1.3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các tiêu chuẩn ma trận thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp 2.1 Tiêu chuẩn ma trận hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hệ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Hệ phương trình elliptic hệ số . . . . . . . . . 2.1.2 Các tiêu chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 3 5 6 11 11 12 14 14 14 15 24 MỤC LỤC 2.2 Tiêu chuẩn ma trận hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hệ số hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hệ số hàm 2.2.2 Một số tiêu chuẩn ma trận hệ phương trình 2.1’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 36 Định lý thác triển số hệ phương trình 44 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 ii Lời cảm ơn Luận văn “ Định lý thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp ” hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy Lê Hùng Sơn. Qua em xin gửi lời cảm ơn trân trọng đến thầy. Em xin cảm ơn thầy, cô Viện Toán – Tin ứng dụng – Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện hội học tập cho em suốt hai năm cao học. Mặc dù có nhiều cố gắng trình thực chắn không tránh khỏi thiếu sót. Vì em mong nhận góp ý thầy cô để nội dung luận văn hoàn thiện . Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2014 Nguyễn Thị Vân Anh Lời mở đầu Định lý thác triển Hartogs kết bật, thể tính chất khác biệt chất hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm chỉnh hình biến phức. Nội dung toán thác triển kiểu Hartogs tìm tiêu chuẩn để nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng elliptic miền cho trước thác triển lên miền lớn hơn. Mục đích luận văn đưa tiêu chuẩn ma trận để nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp (2.1) (2.1’) có tính chất thác triển Hartogs. Đồng thời trình bày kết số hệ phương trình mà nghiệm thác triển miền lớn ta bổ sung điều kiện thích hợp. Nội dung luận văn trình bày ba chương: • Chương 1: Định lý thác triển Hartogs. Chương giới thiệu kiến thức hàm chỉnh hình biến nhiều biến phức. Thêm vào định lý thác triển Hartogs hàm chỉnh hình nhiều biến phức. • Chương 2: Các tiêu chuẩn ma trận thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một. Mục đích chương đưa tiêu chuẩn ma trận hệ elliptic tuyến tính cấp hệ số hàm, tiếp ví dụ áp dụng. • Chương 3: Định lý thác triển số hệ phương trình. Dựa vào tiêu chuẩn ma trận trình bày chương hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hệ số tìm điều kiện thích hợp để số hệ phương trình có tất nghiệm thác triển miền lớn hơn, tức có định lý thác triển Hartogs. Chương Định lý thác triển Hartogs Đối với miền D ⊂ C tồn hàm chỉnh hình D không thác triển giải tích giới hạn miền. Nhưng không gian Cn (n > 1) miền mà hàm chỉnh hình thác triển miền rộng hơn. Chương trình bày khái niệm đơn giản mở đầu hàm chỉnh hình biến nhiều biến phức đồng thời đưa định lý thác triển Hartogs hàm chỉnh hình nhiều biến phức. 1.1 1.1.1 Hàm chỉnh hình biến phức Hàm khả vi Hàm R - khả vi Giả sử D ⊂ R2 f (x, y) hàm giá trị thực phức xác định D, z0 = x0 + iy0 ∈ D. Hàm f gọi R - khả vi điểm (x0 , y0 ∈ D) tồn hàm tuyến tính Ah + Bk biến thực h k cho với h k đủ bé số gia f thỏa mãn hệ thức f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = Ah + Bk + ε(h, k)ρ, √ A, B thực phức, ρ = h2 + k ε(h, k) → ρ → 0. Nếu f hàm R - khả vi điểm số A B (thực phức) xác định tương ứng ∂f (x0 , y0 ), ∂x ∂f B= (x0 , y0 ) ∂y A= Chương 1. Định lý thác triển Hartogs Và biểu thức df = ∂f ∂f (x0 , y0 )h + (x0 , y0 )k, ∂x ∂y gọi vi phân hàm f điểm x0 , y0 . Ký hiệu: h = dx, k = dy . ∂f ∂f =⇒ (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy. ∂x ∂y Xét vi phân ∂f ∂f (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy ∂x ∂y Đối với hàm z = x + iy , z = x − iy , ta có dz = dx + idy , dz = dx − idy. Do 1 dx = (dz + dz), dy = (dz − dz) 2i ∂f ∂f ∂f ∂f − i )dz + ( + i )dz . =⇒ df = ( ∂x ∂y ∂x ∂y Đặt ∂f ∂f ∂f = ( − i ), ∂z ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = ( +i ) ∂z ∂x ∂y Ta có ∂f ∂f ∂f = + , ∂x ∂z ∂y ∂f ∂f ∂f = i( − ). ∂y ∂z ∂z Hàm C - khả vi Giả sử D ⊂ C f hàm biến phức z = x + iy xác định D, hàm f gọi C - khả vi điểm z0 ∈ D tồn giới hạn lim h→0 h=0 f (z0 + h) − f (z0 ) . h Hệ Cauchy - Riemann Chương 1. Định lý thác triển Hartogs Giả sử hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) C - khả vi điểm z = x + iy . Khi điểm (x, y) hàm u(x, y) v(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x y thỏa mãn  ∂u ∂v   =  ∂x ∂y ∂u ∂v   =  ∂y ∂x Hệ phương trình gọi hệ Cauchy – Riemann. Mối liên hệ C - khả vi R2 - khả vi Hàm f R2 - khả vi miền D hàm C - khả vi miền thỏa mãn điều kiện ∂f = 0. ∂z 1.1.2 Hàm chỉnh hình Hàm f gọi hàm chỉnh hình điểm z0 C - khả vi lân cận điểm z0 . Hàm f gọi chỉnh hình miền D chỉnh hình điểm miền đó. Tập hợp hàm chỉnh hình miền D ký hiệu H(D). 1.1.3 Công thức tích phân Cauchy Giả sử f ∈ H(D) G ⊂ D cách compact giới hạn số hữu hạn đường cong (liên tục). Khi điểm z ∈ G hàm f biểu diễn dạng f (z) = 2πi fξ dξ ξ−z ∂G ∂G biên có hướng G. Đại lượng vế phải công thức gọi tích phân Cauchy. 1.1.4 Thác triển giải tích Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: • Hàm f chỉnh hình miền D Chương 1. Định lý thác triển Hartogs • Hàm F chỉnh hình miền D ⊃ D • F (z) |D ≡ f (z) Khi hàm F (z) gọi thác triển giải tích hàm f (z) ( từ miền D miền D ). 1.1.5 Hàm điều hòa Hàm thực lớp C2 gọi hàm điều hòa miền D ⊂ C khắp nơi D thỏa mãn phương trình Laplace ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y (1.1) Toán tử vi phân vế trái 1.1 gọi toán tử Laplace ký hiệu ∆. • Mọi hàm chỉnh hình hàm điều hòa. • Phần thực phần ảo hàm chỉnh hình hàm điều hòa. Định lý 1.1.1. (Định lý nhất) Nếu hai hàm u1 u2 điều hòa miền D trùng tập hợp E ⊂ D có điểm u1 ≡ u2 D. 1.2 1.2.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức Không gian Cn Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2 , điểm có thứ tự 2n số thực (x1 , x2 , ., xn ). Ta đưa vào caaus trúc phức cách đặt zv = xv + ixn+v , (v = 1, 2, ., n). Kí hiệu lại xn+v = yv nên zv = xv + iyv , (v = 1, 2, ., n). Không gian mà điểm n số phức (hữu hạn) z = (z1 , z2 , ., zn ) = {zv }. Được gọi không gian phức n chiều, kí hiệu Cn . Có thể xem với n tùy ý, không gian Cn tích n mặt phẳng phức: C = C × C × . × C . n Chương 1. Định lý thác triển Hartogs 1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức Cho miền D ∈ Cn , xét hàm phức f : D → C. Giả sử f khả vi điểm z ∈ D theo nghĩa giải tích thực (R2n - khả vi) tức tồn vi phân: ∂f ∂f ∂f df = dx1 + dx2 + . + dx2n ∂x1 ∂x2 ∂x2n Khi đưa vào biến phức zv zv theo công thức: zv + zv xv = − zv − zv xv+n = , 2i (v = 1, 2, ., n) Ta viết lại cách hình thức dạng: ∂f ∂f ∂f ∂f dz1 + . + dzn + dz1 + . + dzn ∂z1 ∂zn ∂z1 ∂zn = ∂f + ∂f df = với v = 1, . . . , n. Đặt ∂f ∂f ∂f = −i , ∂zv ∂xv ∂xn+v ∂f ∂f ∂f = +i ∂zv ∂xv ∂xn+v kí hiệu ∂f ∂f ∂f = dz1 + . + dzn , ∂z1 ∂zn ¯ = ∂f dz1 + . + ∂f dzn ∂f ∂z1 ∂zn Định nghĩa 1.2.1. Hàm f xác định lân cận điểm z ∈ Cn gọi khả vi điểm theo nghĩa giải tích phức(Cn - khả vi), R2n - khả vi điểm điểm này: ∂f = 0, (v = 1, ., n), ∂zv ∂f = 0. (1.2) Chương 1. Định lý thác triển Hartogs Tức vi phân có dạng: df = ∂f ∂f dz1 + . + dzn . ∂z1 ∂zn Điều kiện khả vi phức 1.2 chứa 2n phương trình thực (u = Ref v = Imf ). Với n > hệ phương trình xác định thừa số phương trình lớn số hàm xét. Định nghĩa 1.2.2. Hàm Cn - khả vi điểm lân cận điểm z ∈ Cn , gọi hàm chỉnh hình điểm đó.Hàm chỉnh hình điểm tập mở Ω ⊂ Cn gọi chỉnh hình tập Ω. Tổng tích hai hàm khả vi (Cn - khả vi ) điểm z khả vi điểm này, hàm khả vi điểm lập thành vành. Đặc biệt hàm chỉnh hình miền D ⊂ Cn lập thành vành, ký hiệu H(D). 1.2.3 Một số tính chất hàm chỉnh hình (A) Hàm f liên tục miền D ⊂ Cn theo tập hợp biến điểm z ∈ D chỉnh hình theo tọa độ. • Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) đa tròn đóng U = {z ∈ C n : |zv − av | ≤ rv } điểm z ∈ U biểu diễn tích phân bội Cauchy f (z) = 2πi f (ζ) dζ1 .dζn (ζ1 − z1 ) . (ζn − zn ) . (1.3) Γ Trong Γ khung đa tròn tức tích vòng tròn biên γv = {|ζv − av | = rv }. Với z ∈ U tùy ý , z U ký hiệu hình chiếu z U không gian C n−1 (z1 , ., zn−1 ) , hàm f = f (z , zn ) chỉnh hình theo zn hình tròn {|zn − an | ≤ r} Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp Ta thấy hệ có dạng 2.1’ với m = 2, n = 2, L = A(1) = = ex1 −x2 ex1 −x2 0 ex1 +x2 −ex1 +x2 + (x1 + x2 )2 −(2 + (x1 + x2 )2 ) Chọn (l) λi A(l) Di = l=1 (1) = (2) (1) (2) λi ex1 −x2 + λi ex1 +x2 λi ex1 −x2 − λi ex1 +x2 (2) (2) λi (2 + (x1 + x2 )2 ) −λi (2 + (x1 + x2 )2 ) → − (2) (1) λ1 = λ1 , λ1 = (1, 0) → − (1) (2) λ2 = λ2 , λ2 = (0, 1) Khi D1 = ex1 −x2 ex1 −x2 0 D2 = ex1 +x2 −ex1 +x2 + (x1 + x2 )2 −(2 + (x1 + x2 )2 ) Ta thấy rằng: RankD1 = RankD2 = (1) (1) (1) D11 = 0, D12 = D11 α21 , α21 = (2) (2) (2) D11 = 0, D12 = D11 α21 , α21 = B= = Vì D1 D2 ex1 −x2 ex1 −x2 0 ex1 +x2 −ex1 +x2 + (x1 + x2 )2 −(2 + (x1 + x2 )2 ) ex1 −x2 ex1 +x2 =0 + (x1 + x2 )2 41 Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp Nên RankB = = m D1 D2 C=    =  ex1 −x2 ex1 −x2 0 ex1 +x2 −ex1 +x2 + (x1 + x2 )2 −(2 + (x1 + x2 )2 ) Ta có ex1 −x2 ex1 −x2 ex1 +x2 −ex1 +x2      =0 =⇒ RankC = = m (l) 2 ∂A kj (l) , i, k = 1, Xét λi j=1 ∂xj l=1 • Với i =  (l) λ1  l=1 j=1   (l) ∂Akj  ∂xj (1) = λ1  j=1   (1) ∂Akj  ∂xj (2) + λ1  (1) ∂Akj = ∂xj j=1 + k = 1, j=1 (1) (1) (1) ∂A1j ∂A11 ∂A12 = + ∂xj ∂x1 ∂x2 = ex1 −x2 − ex1 −x2 =0 + k = 2, j=1 (1) (1) (1) ∂A2j ∂A21 ∂A22 = + ∂xj ∂x1 ∂x2 =0 42 j=1  (2) ∂Akj  ∂xj Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp ⇒ (l) λ1 l=1 (l) ∂Akj j=1 ∂xj =0 • Với i =   (l) ∂Akj  (l) λ2  l=1 j=1 ∂xj  (1) = λ2  j=1  (1) ∂Akj  ∂xj  (2) + λ2  j=1  (2) ∂Akj  ∂xj (2) ∂Akj = ∂xj j=1 + k = 1, (2) j=1 (2) (2) ∂A1j ∂A11 ∂A12 = + ∂xj ∂x1 ∂x2 = ex1 +x2 − ex1 +x2 =0 + k = 2, j=1 (2) (2) (2) ∂A2j ∂A21 ∂A22 = + ∂xj ∂x1 ∂x2 = (x1 + x2 ) − (x1 + x2 ) =0 ⇒ (l) λ2 l=1 ⇒ l=1 (l) λi (l) ∂Akj j=1 ∂xj ∂Akj j=1 ∂xj =0 (l) =0 Thấy điều kiện định lý 2.2.1 thỏa mãn. Vậy nghiệm hệ thác triển liên tục thành nghiệm toàn miền xác định. 43 Chương Định lý thác triển số hệ phương trình Xét hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp với L phương trình, m hàm ẩn dạng: m n (l) L (u) := (l) ∂ui Aij i=1 j=1 ∂xj = 0, l = 1, ., L (3.1) (l) Ở Aij = const, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, l = 1, . . . , L, ui = ui (x1 , x2 , ., xm ) giải tích thực theo x1 , x2 , ., xn u = (u1 , u2 , ., um ) hàm ẩn. Nếu L = m hệ gọi tương thích tương thích L > m. Một ví dụ điển hình hệ tương thích hệ Cauchy – Riemann biến phức.  ∂u ∂v   − =0  ∂x ∂y ∂u ∂v   + =0  ∂y ∂x Hệ Cauchy – Riemann nhiều biến phức  ∂u ∂v   − =0  ∂xj ∂yj , i = 1, ., n, n ≥ ∂u ∂v   + =0  ∂yj ∂yj ví dụ hệ phương trình tương thích. Đối với số hệ phương trình tương thích tương thích nghiệm chúng thác triển liên tục thành nghiệm hệ 44 Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình toàn miền xác định, liệu ta thêm vài điều kiện nghiệm hệ phương trình có thỏa mãn định lý thác triển hay không? Chương trả lời câu hỏi này. Xét hệ phương trình sau  ∂u1 ∂u2  a +b =0 ∂x1 ∂x2   c ∂u1 + d ∂u2 = ∂x2 ∂x1 (3.2) với ui = ui (x1 , x2 ), hàm giải tích (thực ), a, b, c, d = const. Hệ có dạng 3.1 với m = 2, n = 2, L = vàL = m nên hệ tương thích . Ta có a 0 c A(1) = , A(2) = b d (1) (l) λi A(l) Di = (2) λi a λi c (1) (2) λi d λi b = l=1 cd (1) (2) < λi ab − λi cd = hay RankDi = 1. ab Theo định lý 2.1.2 trình bày chương hệ không thỏa mãn điều kiện (i) hay định lý thác triển không với hệ.Bây ta cộng thêm vào hệ 3.2 điều kiện độc lập tuyến tính có dạng Với aij i=1 j=1 ∂ui =0 ∂xj Khi hệ trở thành                ∂u1 ∂u2 +b =0 ∂x1 ∂x2 ∂u1 ∂u2 c +d =0 ∂x2 ∂x1 2 ∂ui aij =0 ∂x j i=1 j=1 a 45 (3.3) Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình Kí hiệu a 0 b A1 = , A2 = c d , A3 = a11 a12 a21 a22 Phương trình 3.3 độc lập tuyến tính hệ 3.2 A3 = α1 A1 + α2 A2 , ∀a = (a1 , a2 ) ∈ R2 (3.4) Định lý 3.0.3. Nếu điều kiện 3.4 nghiệm u = (u1 , u2 ) hệ 3.2 – 3.3 lân cận mở δG thác triển liên tục thành nghiệm hệ toàn G . Chứng minh.Ta cần có λ = (λ1 , λ2 ) λ = λ1 , λ2 để ma trận D = λ1 A1 + λ2 A2 + A3 D = λ1 A1 + λ2 A2 + A3 Thoả mãn điều kiện sau (i) RankD = RankD = (ii) Rank D D = Rank D D =2 Ở D= D = aλ1 + a11 dλ2 + a21 aλ1 + a11 dλ2 + a21 cλ2 + a12 bλ1 + a22 cλ2 + a12 bλ1 + a22 DetD = hay (aλ1 + a11 )(bλ1 + a22 ) − (cλ2 + a12 )(dλ2 + a21 ) = Tương tự DetD = λ = λ1 , λ2 thỏa mãn abλ12 +(aa22 +ba11 )λ1 +a11 a22 − cdλ2 + (ca21 + da12 )λ2 + a12 a21 = Với λ = λ Xét hệ abλ21 + (aa22 + ba11 )λ1 + a11 a22 = 0(a) cdλ22 + (ca21 + da12 )λ2 + a12 a21 = 0(b) 46 (3.5) Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình Nếu λ1 nghiệm phương trình 3.5(a) λ2 nghiệm phương trình 3.5(b) λ = (λ1 , λ2 ) nghiệm hệ 3.5. Đối với phương trình 3.5(a) ∆1 = (aa22 + ba11 )2 − 4aba11 a22 = (aa22 − ba11 )2 ≥ Đối với phương trình 3.5(b) ∆2 = (ca21 + da12 )2 − 4cda12 a21 = (ca21 − da12 )2 ≥ Vì A3 = α1 A1 + α2 A2 , ∀α = (α1 , α2 ) ∈ R2 Hay a11 a12 a21 a22 = α1 a α2 c α2 d α1 b Có nghĩa aa22 = ba11 ca21 = da12 Khi ∆1 > ∆2 > Nên tồn phương trình từ 3.5 có hai nghiệm phân biệt Hiển nhiên hệ ta nhận hai nghiệm phân biệt λ = (λ1 , λ2 ) λ = λ1 , λ2 . Hay DetD = 0, DetD = 0. Từ suy rankD < 2, rankD < 2. Nếu rankD = 0, rankD = A3 = aλ1 cλ2 dλ2 bλ1 = λ1 A1 + λ2 A2 A3 = aλ1 cλ2 dλ2 bλ1 = λ1 A1 + λ2 A2 47 Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình Điều mâu thuẫn với 3.4 nên RankD = RankD = Do D D thoả mãn (i). Nghiệm phương trình 3.5(a) λ1 = −aa22 − ba11 ± (aa22 − ba11 ) 2ab Hay −a22 −a11 , λ1 = a b Nghiệm phương trình 3.5(b) λ1 = λ2 = Nhận −ca21 − da12 ± (ca21 − da12 ) 2cd  −c  d a21 + a12  D=  −b a11 + a22 d   −a  b a22 + a11  D =  −d  a12 + a21 c  B= D D D D C= Xét  −a −c  d a21 + a12 b a22 + a11  B =  −b  −d a11 + a22 a12 + a21 a c 1 DetB = (aa22 − ba11 )2 − (da12 − ca21 )2 ab cd  Nên 48 Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình cd.detB = cd (aa22 − ba11 )2 − (da12 − ca21 )2 = ab Suy detB = Hay RankB = Có   Det  −a a22 + a11 b  −b a11 + a22  a  = (aa22 − ba11 ) = ab Hay RankC = 2. Tiếp theo hệ phương trình tương thích có nghiệm thác triển liên tục thành nghiệm toàn miền xác định nhờ vào số điều kiện thích hợp. Ta xét hệ:  ∂u1 ∂u2 ∂u3   + + =0   ∂x ∂x ∂x    ∂u1 ∂u2    − =0 ∂x2 ∂x1 (3.6) ∂u ∂u   − =0    ∂x ∂x   ∂u2 ∂u3    − =0 ∂x3 ∂x2 ui = ui (x1 , x2 , x3 ), i = 1, 2, hàm giải tích (thực). Hệ có dạng 3.1 với m = 3, n = 3, L = 4, L > m nên hệ tương thích. Có     0 A(1) =   , A(2) =  −1 0  0 0     0 0 A(3) =  0  , A(4) =  0  −1 −1 0 49 Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình   (l) λi A(l) =  Di = l=1 (1) λi (2) −λi (3) −λi (2) λi (1) λi (4) −λi (13) λi (4) λi (1) λi    Thấy không tồn số k1 k2 thỏa mãn  (2)  λi    (1)  λi     (4) λi (3)  λi    (4)   λi    (1) λi (1) = k1 λi (2) = −k1 λi (3) = k1 λi (1) = k2 λi (2) = −k2 λi (3) = −k2 λi =⇒ RankDi = 1. Hệ không thoả mãn điều kiện (i) định lý 2.1.2 chương 2. Ta thêm vào hệ phương trình có dạng aij i=1 j=1 ∂ui = 0, aij = const ∂xj (3.7) Thì hệ trở thành                              ∂u1 ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u1 ∂x3 ∂u2 ∂x3 ∂u2 ∂u3 + =0 ∂x2 ∂x3 ∂u2 − =0 ∂x1 ∂u3 − =0 ∂x1 ∂u3 − =0 ∂x2 3 ∂ui aij =0 ∂xj i=1 j=1 + Với (a32 + a23 )(a12 + a21 ) + (a11 − a22 )(a13 + a31 ) (a33 − a11 )(a12 + a21 ) = (a12 + a21 ) a13 + a31 (3.8) 50 Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình (a13 + a31 )(a12 + a21 ) + (a22 − a11 )(a23 + a32 ) (a33 − a22 )(a12 + a21 ) = (a12 + a21 ) a23 + a32 (3.9) (a12 + a21 )(a13 + a31 ) + (a33 − a11 )(a23 + a32 ) (a22 − a33 )(a13 + a31 ) = (a13 + a31 ) a23 + a32 (3.10) Định lý 3.0.4. Nếu điều kiện 3.8, 3.9, 3.10 nghiệm hệ 3.6 – 3.7 lân cận mở biên G thác triển liên tục toàn G. Chứng minh. Ta có       0 0 A1 =   , A2 =  −1 0  , A3 =  0  0 0 −1 0    0 a11 a12 a13 A4 =  0  , A5 =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 −1  D = λ1 A1 + λ2 A2 + λ3 A3 + λ4 A4 + A5   λ1 + a11 λ2 + a12 λ3 + a13 D =  −λ2 + a21 λ1 + a22 λ4 + a23  −λ3 + a31 −λ4 + a32 λ1 + a33 RankD = tồn k1 k2 thỏa mãn   λ2 + a12 = k1 (λ1 + a11 )     λ1 + a22 = k1 (−λ2 + a21 )    −λ4 + a32 = k1 (−λ3 + a31 )  λ3 + a13 = k2 (λ1 + a11 )     λ4 + a23 = k2 (−λ2 + a21 )    λ + a = k (−λ + a ) 33 31 51 Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình Từ điều kiện 3.8 chọn λ1 = −a11 , λ2 = −a12 , λ3 = −a13 , λ4 = a32 + a11 − a22 (a13 + a31 ) a12 + a21 Nhận    a +a a22 − a11 12 21 D=   (a22 − a11 )(a13 + a31 ) a13 + a31 a12 + a21 (a11 − a22 )(a13 + a31 ) a23 + a32 + a12 + a21 a33 − a11       Và RankD = Từ 3.9 ta chọn λ1 = −a22 , λ2 = a21 , λ3 = a31 + (a22 − a11 )(a23 + a32 ) , λ4 = −a23 a12 + a21 Khi  a11 − a22 a12 + a21   D = 0   (a11 − a22 )(a23 + a32 ) a23 + a32 a12 + a21 (a22 − a11 )(a23 + a32 ) a13 + a31 + a12 + a21 a33 − a22 Và RankD = Từ 3.10 ta chọn λ1 = −a33 , λ2 = a21 + (a33 − a11 )(a23 + a32 ) , λ3 = a31 , λ4 = a32 a13 + a31 Thu 52       Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình    D =    (a33 − a11 )(a23 + a32 ) a13 + a31  a11 − a33 a12 + a21 + a13 + a31   (a11 − a33 )(a23 + a32 ) a22 − a33 a23 + a32   a13 + a31 0 Khi RankD = Xét B= D D D Có   a12 + a21 a13 + a31 Det  a12 + a21 a23 + a32  = 2(a12 + a21 )(a13 + a31 )(a23 + a32 ) a13 + a31 a23 + a32 =0 Hay RankB = Xét   D C= D  D Thấy           Det         a12 + a21 a22 − a11 (a11 − a22 )(a23 + a32 ) a12 + a21 a23 + a32 + (a11 − a22 )(a13 + a31 ) a12 + a21 a23 + a32 a33 − a22 a11 − a33 a12 + a21 + (a33 − a11 )(a23 + a32 ) (a13 + a31 ) a13 + a31 53                    Chương 3. Định lý thác triển số hệ phương trình = X +Y +Z +T =0 H Với X Y Z T H = (a12 + a21 )2 (a23 + a32 )2 (a13 + a31 )2 = (a33 − a11 )2 (a23 + a32 )2 (a12 + a21 )2 = (a22 − a33 )2 (a12 + a21 )2 (a13 + a31 )2 = (a11 − a22 )2 (a13 + a31 )2 (a23 + a32 )2 = (a12 + a21 )(a13 + a31 )(a23 + a32 ) Hay RankC = 54 (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) Kết luận Luận văn đưa nội dung sau: • Định lý thác triển Hartogs hàm chỉnh hình nhiều biến phức. • Các tiêu chuẩn ma trận để kiểm tra tính thác triển nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hệ số hàm hệ số hằng. • Một số hệ phương trình có nghiệm thác triển toàn miền xác định thêm điều kiện thích hợp. Mặc dù cố gắng song hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện hơn. Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 09 năm 2014 55 Tài liệu tham khảo [1] B.V.Sabat (1979), Nhập môn giải tích phức tập 1,2, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp. [2] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [3] Le Hung Son (1986), "Extension Problem for the Solution of Partial Differential Equations in Rn " Preprint Nr 956, Technische Hochschule Darmstadt. [4] Le Hung Son (1990), "Matrix Criterions for the Extension of Solutions of a General Linear System of Partial Differential Equations ", Complex Variables , Vol 15 pp 75 – 85. [5] Le Hung Son ( 1986), "The connection between overdetermination and the extendibility of a system of partial differential equations ", Preprint, Nr. 958. [6] Le Hung Son (1999), “ Matrix criteria for the extension of solutions of the general linear system of partial differential equations with function coefficients ”, Finite of infinite dimensional complex analysis, (Fukuoka, 1999 ), 267-281, Lecture Notes in Pure and Appl.Math 214, Dekker, New York, 2000. 56 [...]... tích của f 13 Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một Chương này đưa ra một số tiêu chuẩn để xét xem nghiệm của hệ elliptic tuyến tính cấp một (hệ số hằng và hệ số hàm) ở lân cận biên có thác triển được ra toàn bộ miền xác định hay không 2.1 2.1.1 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng Hệ phương. .. cho ở lân cận của biên có thể thác triển ra toàn miền xác định 2.2 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hàm Trong mục 2.1 đã đưa ra tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng, một câu hỏi được đặt ra đối với hệ số là các hàm số thì có thể đưa ra tiêu chuẩn về tính thác triển nghiệm của hệ hay không? Các định lý dưới đây sẽ... ∼ ∼ ∼ của hệ 3.1 trong miền G và u = (u(x), u(x), , u(x)) là một nghiệm 1 14 2 m Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một của hệ đó trong miền G với G ⊆ G ⊆ Rn Khi đó u được gọi là thác triển liên tục của u nếu u = u trong G Định lý 2.1.1 (Định lý duy nhất) Cho u = (u1 (x), u2 (x), , um (x)) là một nghiệm (giải tích thực) của hệ 3.1... − − → Định lý 2.1.2 Giả sử rằng m ≤ n và tồn tại m véc tơ λ1 , , λm sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn : (i) Rank Di = 1 với ∀i = 1, 2, , m, (ii) Rank B = m, (iii) Rank C = m 15 Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực ) u của hệ 3.1 trong có thể thác triển liên tục được thành một nghiệm của hệ đó... không? Các định lý dưới đây sẽ trả lời cho câu hỏi này 2.2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hàm Trong phần này đề cập tới hệ phương trình có dạng m n (l) L (u) := (l) ∂ui Aij i=1 j=1 ∂xj 26 = f (l) , l = 1, , L (2.1’) Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một (l) Trong đóAij là các hàm giải tích (thực) theo các xj ,... là một nghiệm của hệ 2.1’ trong ∼ G Do đó u là thác triển của u trong G Với m, n bất kì ta có định lý − → → − Định lý 2.2.2 Giả sử tồn tại m véc tơ λ1 , , λm thỏa mãn: (i) 1) Với mỗi i(i = 1, m) tồn tại một phần tử Dkj = 0 trong (i) (i) Dkl = Dkj αli , αli = const, l = 1, , n, 2) RankD(i) = 1 với i = 1, , m, 32 ∪G và Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic. .. như đã sử dụng đối với chứng minh của định lý 2.1.2 ta sẽ tìm các ánh xạ tuyến tính đơn ánh ξ = A (x) và u = A1 (u) sao cho hệ 3.1 kéo theo các điều kiện ∂ui = 0, i = 1, , m ∂ξ1 21 (2.37) Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một Lấy u1 , , um là các hàm giải tích thực cho trước trong , khi đó các hàm u1 (x), , um (x) xác định trong và... lấy hệ m véc tơ với n thành phần {−1 , , −m } α α → → Điều kiện 2.19 nghĩa là hệ véc tơ {−1 , , −m } là độc lập tuyến tính α α Do m ≤ n ta có thể thêm vào hệ này (n − m) véc tơ (với n thành phần) −→ → {−m+1 , , −n } α− α sao cho hệ sau là độc lập tuyến tính → −→ → → {−1 , , −m , −m+1 , , −n } α α α− α 18 (2.21) Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến. .. trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một Hơn nữa ta xác định các phép biến đổi tọa độ tương tự như 2.24, 2.25 Do 2.47,2.48 các phép biến đổi này là các phép biến đổi tuyến tính đơn ánh Từ các phép biến đổi tọa độ nói trên và 2.46 ta được m ∂ui = ∂ξ1 n aik αj1 k=1 j=1 n m (i) ∂uk Dkj = ∂uk ∂xj k=1 j=1 ∂xj , i = 1, , m (2.49) Vế phải của 2.49 là tổ hợp tuyến tính của. .. ∂ξi Với ϕk (ξ1 , , ξn ) được xác định trong toàn ξ1 , , ξn , theo đó: u1 = Trong đó Khi đó: ∪G và giải tích thực theo ϕ1 dξ1 + ψ1 (ξ2 , , ξn ) ϕ1 dξ1 là nguyên hàm của ϕ1 theo ξ1 ψ1 (ξ2 , , ξn ) = u1 − 31 ϕ1 dξ1 (2.57) Chương 2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một Khi u1 được cho trước chỉ trong , vế phải của 2.57 được xác định chỉ đối với