Tính trơn của nghiệm đối với hệ phương trình elliptic tuyến tính

ệ ì ì P ề ì ế Pì P t số ữớ ữợ P ỡ ổ tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s s ố ợ P ữớ t ữợ t t t ữợ tổ õ t t ổ ụ tọ ỏ t ỡ t tợ ỏ s t ổ t trữớ ữ ú ù tổ tr sốt q tr t tổ ụ ữủ ỷ ỡ t tợ ổ ụ t t ủ tổ tr q tr t t t ũ ữớ P s t ợ t trỡ ố ợ ữỡ tr t t t ữủ ổ ữợ sỹ ữợ t tự t t r q tr ự tỹ t tứ ỳ t tỹ ợ sỹ tr trồ t ỡ t ũ ữớ ử ữỡ ìẹ í ể ữủ tr tr t tự ữủ tr tr t ữủ tr ổ tự ỡ ố ợ ữủ tr số t ý q ữủ tr ổ tự t tứ tr t ổ tự t tứ ổ tự t tứ tr t ữỡ ế Pì P P t ữỡ tr r t t ởt ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t ữỡ tr t t t ởt t ữỡ tr r t t ởt ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t trỡ ữỡ tr t t t ởt ợ số t tr t ữỡ tr t trỡ ữỡ tr t trỡ ữỡ tr t t t ởt t t ữỡ tr r t t ởt ợ số t t ữỡ tr t t t ởt ợ số t t t t ố ợ ởt số ữỡ tr t t t ợ số t t ú ữủ t ự tr sỹ tở t ữỡ tr t ổ t t ữỡ tr t t t ợ số t sỷ ổ ữủ tr tr t số tr ổ t tốt ữỡ tr t s tổ t trỡ ố ợ ữỡ tr t t t ố ỗ ữỡ ữỡ tr tr tr t tr t t ú õ ữ r ổ tự ỡ ố ợ ữủ ổ tự số t ý q ữủ tr r ố ữỡ ữ r ổ tự t tứ tr t ữỡ tr ữỡ tr t t t ởt t ữỡ tr r t t ởt ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t ố ữỡ tr t trỡ ữỡ tr t ự trỡ ữỡ tr t t t ởt ợ số t ữủ tr tr ỡ s ữỡ ữỡ ố s rt 1955 P s r s rrr r r r ự ữ r tự ổ t trỡ ữỡ tr t t t ợ số t tr ỡ s sỷ số t ý q ữủ tr tr t ú ự r ữủ tr tr t ổ tự số t ý q ữủ tr tr t ú s õ t r tự ổ t trỡ ữỡ tr t t t ợ số t ố tữủ ự ữỡ tr t t t ợ số t Pữỡ ự s ự ỵ t ủ tự ự ỹ õ õ t q t trỡ ố ợ ữỡ tr t t t sỷ ổ ữủ tr tr ữỡ ìẹ í ể ữủ tr tr t tự ữủ tr tr t f (x) số tử tr D Rn , x = (x1 , x2 , ., xn ) t I (x, r) = n f (x + r) d , tr õ r > = (1 , , ., n ) = { Rn ; || = 1} t ỡ n t t ỡ õ I (x, r) ữủ ợ x D õ tợ D ợ ỡ r ỵ ữủ tr tr t tr tr f tr t r õ t t x tự I (x, r) = n rn1 f (y) dy . |yx|=r ự t y = x + r s r dy = rn1d tự d = rn1 dy õ I (x, r) = n f (y) rn1 dy |yx|=r = n rn1 f (y) dy . |yx|=r I (x, r) ữủ t tr t ởt r I tử ợ x r tọ I (x, 0) = f (x) . ỡ ỳ f tở ợ Cm ỗ tử m t I (x, r) ụ tở ợ Cm ố ợ x r I (x, r) tr ữủ ữủ tr f tr t õ |r| ợ t t x r ổ tự ố r t ởt Tr õ f (x) t ởt ợ I (x, r) x t số r Tr [f (x)] = I (x, r) = I (x, r; f ) . ữỡ ế Pì P P t ữỡ tr r t t ởt ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t ữỡ tr t t t ởt x = (x1 , x2 , ., xn ) Rn n D = (D1 , D2 , ., Dn ) Dj = /xj sỷ u1 (x) , u2 (x) , ., uN (x) t ữỡ tr t t t ởt N Lit (x, D) ut = fi (x) ; i = 1, 2, ., N , t=1 tr õ n Lit (x, D) v = ait (x) D v + bit (x) v =1 = ait (x) D v + bit (x) v = ait (x) v, + bit (x) v, v, = D v ứ s tr tự số t tờ t số õ ợ ộ i, t {1, 2, ., N } {1, 2, ., n} ait (x) bit (x) số trỡ ợ ộ = (1 , , ., n ) t t n Qit (x, ) = ait (x) = ait (x) . =1 t tr ổ N s Q (x, ) = [Qik (x, )] , tr õ i = 1, 2, ., N k = 1, 2, ., N. tr Q (x, ) tr ổ tự ữủ tr trữ ữỡ tr ữỡ tr ữủ t det Q (x, ) = 0, Rn \ {0} . sỷ x = (x1 , x2 , ., xn ) = (1 , , ., n ) ợ = t õ t (x, ) ỗ x t q x ợ t tỡ t ú ợ t tr . = t ữợ = (1 , , ., n ) v (x) ữủ ữ s v (x) v (x + t) v (x) = lim+ . t0 t v (x) tử t t õ v (x) = Dv (x) . = n v, = v, . =1 t ữỡ tr r t t ởt u1 (x) , u2 (x) , ., uN (x) õ u1 (x) , u2 (x) , ., uN (x) t ữỡ tr r t t ởt tr ợ x tở tỗ t tự ỳ t t t Sms, (x, ) T mi (x, ) T m (x, ) s Sms, = 0, um, (x) = Sms, (x, ) us, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) , ữủ tọ ợ x ợ = ổ ỹ Sms, (x, ) T mi (x, ) T m (x, ) tr õ m, s = 1, 2, ., N , = 1, 2, ., n. t = || = . õ t õ t tự ỳ t t t Sms, (x, ) T m (x, ) ữ s Sms, (x, ) = t 2 T m (x, ) = = . + 22 + . + n2 tự Sms, (x, ) us, (x) t ữợ t ú t tứ s r t = Sms, t tỡ = Sms, t ú ợ t õ tỡ t = Sms, q ữủ tọ ợ = ữ t ủ ự trỡ ố ợ ữỡ tr ữ r s sỷ = ỹ ởt tr Sms, (x, ) T mi (x, ) T m (x, ) õ (x, ) ữủ trữ ữỡ tr (x, ) ữủ tỹ õ ổ trữ um, (x) = Sms, (x, ) us, (x) + T mi (x, ) + T m (x, ) ổ õ ỹ t = t um, (x) = Sms, (x, ) us, (x) + T mi (x, ) + T m (x, ) ữủ t ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t rữợ t t ữ t tỷ r ởt t = ||2 = 12 + 22 + . + n2 õ t õ tự s ut, (x) = ut, + ut, , tr õ rr é số tự t t ữợ t ú ut t t õ = 0. t ữỡ tr r t t ởt ait (x) v, + bit (x) v = fi (x) , t s ữ t tự ut, t ữủ ait (x) ut, + ut, + bit (x) ut = fi (x) . t ữợ ait (x) ( ut, ) = ait (x) ut, bit (x) ut fi (x) . ữủ tt t t tứ t õ t ữủ ut, q ữủ ỏ = t ý n tỡ ữ t t õ t õ t ữủ ut, q ữủ ỏ ữủ tự õ t ổ õ t ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t trỡ ữỡ tr t t t ởt ợ số t tr t ữỡ tr t ui (x) õ tở ợ C1 t t t t b (x, ) (x, ) tở ợ C1 ố ợ x ợ = t tự t s tr t [ai (x, x z) ui (x) + b (x, x z)] dSx . J (z, r) = |xz|=r ỵ sỷ (x, ) b (x, ) tở ợ C1 ố ợ x ợ = ui (x) õ tở ợ C1 t t t t õ J (z, r) t z r r ởt J õ tữỡ tỹ ữ ổ tự ự s r r ởt J õ tự tữỡ tỹ õ t t J ữợ J (z, r) = rn1 [am (z + r, r) um (z + r) + b (z + r, r)] d , tứ õ t õ J (z, r) = z [am, (x, x z) um (z) |xz|=r + am (x, x z) um, (x) + b, (x, x z)] dSx J (z, r) n = J (z, r) r r + (am, um + am; um + am um, + b, + b; ) (x z ) dSx . r |xz|=r é t am, am; ữủt am (x, ) ố ợ x t t um, (x) = Sms, (x, ) us, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) , õ ợ = x z t t tr t um, (x) = Sms (x, x z) us, (x) T mi (x, x z) ui (x) T m (x, x tr õ Sms (x, x z) (x z ) = ợ x = z tự t õ t t ữủ ổ tự ố ợ t tứ t ữủ tự ởt J ữ s J (z, r) = z [ai (x, x z) ui (x) + b (x, x z) ui (x)]dSx |xz|=r J (z, r) = r [a i (x, x z) ui (x) + b (x, x z) ui (x)]dSx , |xz|=r tr õ (x, ) = ai, (x, ) am (x, ) Smi, (x, ) am (x, ) Smi; (x, ) am, (x, ) Smi (x, ) am; (x, ) Smi (x, ) am (x, ) T mi (x, ) b (x, ) = am (x, ) T m (x, ) + b, (x, ) z) , a i (x, ) = [ai, + ai; + (n 1) || am, Smi am; Smi am Smi, am Smi; am Smi + am T mi ] b (x, ) = [b, + b; + (n 1) b + am T || m ] trỡ ữỡ tr t ỵ ui (x) tở ợ C1 t t t t um, (x) = Smi (x, ) ui, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T ợ số m (x, ) , tở ợ Ct ố ợ x số T m (x, ) tở ợ Ct1 t ui (x) tở ợ Ct2[n/2] . Smi (x, ) T mi (x, ) ự ổ tự tự ởt t J õ tữỡ tỹ tự é ui ữủ tt t t ổ tự tt ui tở ợ C1 số b trỡ t J (z, r) ụ trỡ t t ữủ tự ỡ J (z, r) t zi ri õ tữỡ tỹ ữ J t t r số b trỡ t J (z, r) s trỡ (x, ) b (x, ) Smi (x, ) tở ợ Ct ố ợ x = T m (x, ) T mi (x, ) tở ợ Ct1 t J (z, r) tở ợ Ct ố ợ z r r > õ t J tr Ii (z, r) ui (x) tữỡ ự ợ số ak (x, ) = 1n k || i b (x, ) = 0, k = 1, 2, ., n, n tự t ổ tự t õ ui (x) dSx . n rn1 Ii (z, r) = |xz|=r ak b t ợ = t t ữủ ỵ tr ui tở ợ C1 t t t t um, (x) = Smi (x, ) ui, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) (Smi (x, ) 0) , tở ợ Ct ợ r > Smi (x, ) tở ợ Ct ố ợ x T mi (x, ) T m (x, ) tở ợ Ct1 ố ợ x s ổ tt số ỳ t t t ố ợ t sỷ ỵ ữủ tr I (z, r) tử u (x) = u (x1 , ., xn ) tở ợ Ct ợ r > t u (x) tở ợ Ct2[n/2] é [] ữủ số ợ t ổ ợ ỡ t ữủ ự trỡ ữỡ tr t t t ởt ữỡ tr t t t ởt õ t ữ t tứ ỵ t õ ỵ s ỵ sỷ ait (x) v, + bit (x) v = fi (x) , t t t õ N ữỡ tr ố ợ N ut fi (x) số Lit tở ợ Ct ố ợ x ut tở ợ C1 õ ut ụ s tở ợ Cà tr õ = t [n/2] . t s u1 u2 = f1 (x1 , x2 ) x1 x2 u1 u2 + = f2 (x1 , x2 ) x2 x1 tr ỗ ữỡ tr t t ởt ố ợ u1 (x1 , x2 ) u2 (x1 , x2 ) ợ số õ Q11 (1 , ) = Q12 (1 , ) = Q21 (1 , ) = Q22 (1 , ) = . õ Q (1 , ) = 2 . tr t det Q (1 , ) = 12 22 > = (1 , ) = 0. ỵ t s r f1 (x1 , x2 ) f2 (x1 , x2 ) tở ợ Ct t (x1 , x2 ) s tở ợ Cà tr õ = t [n/2] . t t ữỡ tr r t t ởt ợ số t ỵ t t t t um, (x) = Smi (x, ) ui, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) , õ số Smi (x, ) T mi (x, ) T m (x, ) t tr D õ ui (x) ụ t tr D ự ui (x) t t t t um, (x) = Sms (x, ) us, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) , tr õ i, m, s = 1, ., N , = 1, ., n. t r số Sms , T mi , T m tở ợ C ui tở ợ C1 ụ s tở ợ C s ự r số t ố ợ x t ụ t t t J (z, r) tr r J/z tự õ t t ợ số (x, ) b (x, ) r b õ t t t tự tỹ t tỷ b số ỳ t tỷ t ủ Smi , T mi , T m ởt ú t b (x, ) = aN +1 (x, ) ổ tự ỳ b ợ b õ (x, ) = Lit [at (x, )] (i, t = 1, ., N + 1; = 1, ., n) , Lit t tỷ ởt ố ợ x ợ số t x, ợ x tở D = ữủ ữợ ữủ J t s s ổ tự tr ợ ữỡ tr r Ai (x, , , t) = Lit [At (x, , , t)] , t ợ Ai = 1n i || s , n tr õ s = 1, 2, ., N ố số tỹ t ý x, , , t ợ x D = số ữỡ tr r ố ợ Ai ỳ t D t t t ý tr D ỗ t t t D D s D t D r số ữỡ s r D ự tr D ứ ỵ s t t ữủ t Ai (x, , , t) t ố ợ x, , , t tr tỹ t ủ |x| D , || = r, || = 1, t = tr xt ổ ui (x) t t ui (x) s tở ợ C1 tr D t ữủ tự N Ai (x, x z, , t) ui (x) + AN +1 (x, x z, , t) dSx . J (z, , t) = |xz|=r i=1 tự J (z, , t) ố ợ z tr D || = 1, |t| < t ố ợ t ứ t õ J (z, , t) J (z, , t) = t z J (z, , 0) = 1n r n us (x) dSx = Is (z, r). |xz|=r õ J (z, , t) = J (z + t, , 0) = Is (z + t, r) . J (z, , t) t ố ợ || = 1, |t| < tr Is (z, r) t ố ợ z ợ z tở D t r tr Is (z, r) us (x) t ố ợ z ợ t t z r tr D ữỡ tỹ n t t r Is (z, r) t ố ợ z r ợ r ứ ổ tự t t r us (x) t ố ợ x tở D ui (x) t t t t ợ số t ụ s t t ữỡ tr t t t ởt ợ số t ữỡ tr t t t ởt õ t ữ t t t t ởt t õ ỵ s ỵ ữỡ tr t t t ởt ait (x) v, + bit (x) v = fi (x) , õ fi (x) số tr t tr D õ ụ t tr D t tr ữủ s r tr tr t ởt số tr t t ú ữ r ổ tự ỡ ố ợ ữủ ổ tự số t ý q ữủ tr ữ r ổ tự t tứ tr t r r ữủ tr trỡ t t số ụ s trỡ r ữỡ tr t t t ởt t ữỡ tr r t t ởt ữ ởt ữỡ tr t t t ởt t r ỡ s ổ tự t tr t ố ợ ữỡ tr t tr t q trỡ ữỡ tr t t q trỡ ữỡ tr t t t ởt t t t t t ợ số t t rt P s r s r r r r rr [...]... cĂc nghiằm ui (x) cừa hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh vợi cĂc hằ số giÊi tẵch cụng s l hm giÊi tẵch 2.2.5 Tẵnh giÊi tẵch cừa nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt vợi cĂc hằ số l cĂc hm giÊi tẵch Do hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt cõ th ữa vã hằ chẵnh tưc elliptic tuyản tẵnh cĐp mởt, nản ta cõ nh lỵ sau nh lỵ 2.5 Cho hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt ait (x)... TRèN CếA NGHIM H PHìèNG TRNH ELLIPTIC TUYN TNH CP MậT 2.1 Hằ chẵnh tưc cĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tuyán tẵnh cĐp mởt v ữa mởt hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt vã hằ chẵnh tưc 2.1.1 Hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt Cho x = (x1 , x2 , , xn ) Rn , n 2, D = (D1 , D2 , , Dn ), Dj = /xj GiÊ sỷ u1 (x) , u2 (x) , , uN (x) l cĂc ân hm Xt hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt... lợn nhĐt khổng lợn hỡn ) Ta thu ữủc iãu phÊi chựng minh 2.2.3 ở trỡn cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt Do hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt cõ th ữa vã hằ chẵnh tưc, nản tứ nh lỵ 2.2 ta cõ nh lỵ sau nh lỵ 2.3 GiÊ sỷ 27 ait (x) v, + bit (x) v = fi (x) , (2.23) l hằ elliptic tuyán tẵnh cõ N phữỡng trẳnh ối vợi N ân hm ut, fi (x) v cĂc hằ số cừa Lit thuởc lợp Ct ối... hằ (2.1) ữủc giÊ thiát l elliptic thẳ tứ (2.9) ta cõ th giÊi ữủc ut, qua cĂc Ôi lữủng cỏn lÔi Do = 0 l bĐt ký nản khi chồn n vc-tỡ nhữ vêy ởc lêp tuyán tẵnh v do õ ta cõ th giÊi ữủc ut, qua cĂc Ôi lữủng cỏn lÔi v nhên ữủc biu thực dÔng (2.5) Do õ ta luổn cõ th ữa mởt hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt vã hằ chẵnh tưc 2.2 ở trỡn cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp... hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh um, (x) = Smi (x, ) ui, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T vợi hằ số m (x, ) , thuởc lợp Ct ối vợi x v cĂc hằ số T m (x, ) thuởc lợp Ct1 thẳ ui (x) thuởc lợp Ct2[n/2] Smi (x, ) (2.20) T mi (x, ), Chựng minh Cổng thực (2.14), (2.15) cừa biu thực Ôo hm cĐp mởt cừa tẵch phƠn J cõ dÔng tữỡng tỹ biu thực (2.10) é Ơy ui ữủc giÊ thiát l cĂc nghiằm cừa hằ chẵnh tưc elliptic (2.5)... l c trững c) Náu hằ um, (x) = Sms, (x, ) us, (x) + T mi (x, ) + T m (x, ) khổng cõ cĂc cỹc im tÔi mồi = 0 thẳ hằ um, (x) = Sms, (x, ) us, (x) + T mi (x, ) + T m (x, ) ữủc gồi l elliptic 2.1.3 ữa mởt hằ phữỡng trẳnh elliptic tuyán tẵnh cĐp mởt vã hằ chẵnh tưc Trữợc hát, ta ữa toĂn tỷ Ôo hm riảng cĐp mởt vã dÔng chẵnh tưc Kẵ hiằu bi 2 2 2 2 = ||2 = 1 + 2 + + n Khi õ ta cõ ng thực hin nhiản... 2 1 2 2 Hằ trản l elliptic bi vẳ det Q (1 , 2 ) = 1 + 2 > 0, náu = (1 , 2 ) = 0 p dửng nh lỵ 2.3 ta suy ra náu f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 ) thuởc lợp Ct thẳ nghiằm (x1 , x2 ) s thuởc lợp Cà , trong õ à = t 2 [n/2] 28 2.2.4 Tẵnh giÊi tẵch cừa nghiằm cừa hằ chẵnh tưc cĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tuyán tẵnh cĐp mởt vợi cĂc hằ số l cĂc hm giÊi tẵch nh lỵ 2.4 Cho hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh... nghiằm thuởc lợp C1 cừa hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh (2.5) Cho b (x, ) v ai (x, ) l cĂc hm thuởc lợp C1 ối vợi 23 x v vợi = 0 Ta xt biu thực tẵch phƠn sau trản mt cƯu [ai (x, x z) ui (x) + b (x, x z)] dSx J (z, r) = (2.10) |xz|=r nh lỵ 2.1 GiÊ sỷ ai (x, ), b (x, ) l cĂc hm thuởc lợp C1 ối vợi x v vợi = 0, ui (x) cõ cĂc nghiằm thuởc lợp C1 cừa hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh (2.5) Khi õ... (2.21) tực l theo cổng thực (1.2) ta cõ 1 ui (x) dSx n rn1 Ii (z, r) = (2.22) |xz|=r Do ak v b l cĂc hm giÊi tẵch vợi = 0, ta thu ữủc nh lỵ trung bẳnh cƯu cừa nghiằm ui thuởc lợp C1 cừa hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh um, (x) = Smi (x, ) ui, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) (Smi (x, ) 0) , thuởc lợp Ct vợi r > 0, náu Smi (x, ) thuởc lợp Ct ối vợi x v T mi (x, ), T m (x, ) thuởc lợp Ct1 ối... ui (x) + T m (x, ) , cõ cĂc hằ số Smi (x, ), T mi (x, ), T m (x, ) l hm giÊi tẵch trong miãn D Khi õ nghiằm ui (x) cụng l hm giÊi tẵch trong miãn D Chựng minh Cho ui (x) l cĂc nghiằm cừa hằ chẵnh tưc elliptic tuyán tẵnh um, (x) = Sms (x, ) us, (x) + T mi (x, ) ui (x) + T m (x, ) , (2.25) trong õ i, m, s = 1, , N ; , = 1, , n Ta biát rơng cĂc hằ số Sms , T mi , T m thuởc lợp C , mồi nghiằm ui cừa