Thay biºu thùc (2.6) cõa ut,α v o (2.1) ta ÷ñc
aitα(x)%−2ξαξβut,β + δαβ −%−2ξαξβut,β+bit(x)ut = fi(x). (2.8) Ta vi¸t l¤i (2.8) d÷îi d¤ng
%−2aitα(x)ξα (ξβut,β) =−aitα(x) δβα−%−2ξαξβ ut,β - bit(x)ut + fi(x). (2.9) N¸u h» (2.1) ÷ñc gi£ thi¸t l elliptic th¼ tø (2.9) ta câ thº gi£i ÷ñc ξβut,β qua c¡c ¤i l÷ñng cán l¤i. Do ξ 6= 0 l b§t ký n¶n khi chån n v²c-tì nh÷ vªy ëc lªp tuy¸n t½nh v do â ta câ thº gi£i ÷ñc ut,β qua c¡c ¤i l÷ñng cán l¤i v nhªn ÷ñc biºu thùc d¤ng (2.5).
Do â ta luæn câ thº ÷a mët h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët v· h» ch½nh tc.
2.2. ë trìn cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët vîi h» sè bi¸n thi¶n
2.2.1. T½ch ph¥n tr¶n m°t c¦u cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nhch½nh tc ch½nh tc
Cho c¡c h m ui(x) câ c¡c nghi»m thuëc lîp C1 cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh (2.5). Cho b(x, ξ) v ai(x, ξ) l c¡c h m thuëc lîp C1 èi vîi
x v ξ vîi ξ 6= 0. Ta x²t biºu thùc t½ch ph¥n sau tr¶n m°t c¦u J(z, r) =
Z
|x−z|=r
[ai(x, x−z)ui(x) +b(x, x−z)]dSx. (2.10) ành lþ 2.1. Gi£ sû ai(x, ξ), b(x, ξ) l c¡c h m thuëc lîp C1 èi vîi x v ξ vîi ξ 6= 0, ui(x) câ c¡c nghi»m thuëc lîp C1 cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh (2.5). Khi â h m J(z, r) kh£ vi theo z, r v c¡c ¤o h m ri¶ng c§p mët cõa J câ biºu di¹n d¤ng t÷ìng tü nh÷ cæng thùc (2.10). Chùng minh. Ta s³ ch¿ ra r¬ng ¤o h m c§p mët cõa J câ biºu thùc d¤ng t÷ìng tü.
Ta câ thº vi¸t J d÷îi d¤ng J(z, r) =rn−1 Z ωη [am(z+rη, rη)um(z+rη) +b(z+rη, rη)]dωη, (2.11) tø â ta câ ∂J(z, r) ∂zα = Z |x−z|=r [am,α(x, x−z)um(z) + am(x, x−z)um,α(x) + b,α(x, x−z)]dSx (2.12) ∂J(z, r) ∂r = n−1 r J(z, r) + 1 r Z |x−z|=r (am,αum+am;αum +amum,α+b,α +b;α) (xα−zα)dSx. (2.13) Ð ¥y ta k½ hi»u am,α v am;α l¦n l÷ñt l c¡c ¤o h m cõa am(x, ξ) èi vîi xα v ξα.
24 X²t h» ch½nh tc um,α(x) = Sms,αβ(x, ξ)us,β(x) +T0miα(x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ), khi â vîi ξ = x−z th¼ h» ch½nh tc trð th nh um,α(x) = Smsαβ(x, x−z)us,β(x) + Tmiα0 (x, x−z)ui(x) + T00mα(x, x−z), trong â Smsαβ (x, x−z) (xβ −zβ) = 0 vîi x 6= z.
Th¸ biºu thùc n y v o (2.12), (2.13), ta câ thº thu ÷ñc cæng thùc (1.30) èi vîi t½ch ph¥n tøng ph¦n v thu ÷ñc biºu thùc ¤o h m c§p mët cõa J nh÷ sau ∂J (z, r) ∂zα = Z |x−z|=r [a0i(x, x−z)ui(x) +b0(x, x−z)ui(x)]dSx (2.14) ∂J (z, r) ∂r = Z |x−z|=r [a00i(x, x−z)ui(x) +b00(x, x−z)ui(x)]dSx, (2.15) trong â a0i(x, ξ) = ai,α(x, ξ)−am(x, ξ)Smiαβ,β(x, ξ) −am(x, ξ)Smiαβ;β (x, ξ)−am,α(x, ξ)Smiαβ(x, ξ) (2.16) −am;α(x, ξ)Smiαβ(x, ξ)−am(x, ξ)T0miα(x, ξ) b0(x, ξ) = am(x, ξ)T00mα(x, ξ) +b,α(x, ξ) (2.17)
a00i(x, ξ) = 1
|ξ|[ai,αξα +ai;αξα+ (n−1)ai
−am,βSmiαβξα −am;βSmiαβξα −amSmiαβ,βξα (2.18) −amSmiαβ;βξα −amSmiαα +amT0miαξα]
b00(x, ξ) = 1 |ξ|[b,αξα+b;αξα+ (n−1)b+amT 00 mαξα] (2.19) 2.2.2. ë trìn cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh ch½nh tc
ành lþ 2.2. N¸u ui(x) l c¡c nghi»m thuëc lîp C1 cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh
um,α(x) = Smiαβ(x, ξ)ui,β(x) +Tmiα0 (x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ), (2.20) vîi h» sè Smiαβ (x, ξ) thuëc lîp Ct èi vîi x v c¡c h» sè T0miα(x, ξ), T00mα(x, ξ) thuëc lîp Ct−1 th¼ ui(x) thuëc lîp Ct−2[n/2].
Chùng minh. Cæng thùc (2.14), (2.15) cõa biºu thùc ¤o h m c§p mët cõa t½ch ph¥n J câ d¤ng t÷ìng tü biºu thùc (2.10). Ð ¥y ui ÷ñc gi£ thi¸t l c¡c nghi»m cõa h» ch½nh tc elliptic (2.5).
Cæng thùc (2.14), (2.15) ¢ gi£ thi¸t ui thuëc lîp C1. N¸u c¡c h» sè ai v b l c¡c h m trìn th¼ J(z, r) công l h m trìn.
B¬ng c¡ch l°p i l°p l¤i ta thu ÷ñc biºu thùc ¤o h m c§p cao hìn cõa J(z, r) theozi v ri, m câ d¤ng biºu di¹n t÷ìng tü nh÷ J, ta nhªn th§y r¬ng n¸u c¡c h» sè ai v b l c¡c h m õ trìn th¼ J(z, r) s³ l h m õ trìn.
26
N¸u ai(x, ξ), b(x, ξ), Smiαβ(x, ξ) thuëc lîp Ct èi vîi x v ξ m ξ 6= 0, v T00mα(x, ξ), T0miα(x, ξ) thuëc lîp Ct−1 th¼ J(z, r) thuëc lîp Ct èi vîi z v r m r > 0. Ta câ thº l§y J l trung b¼nh c¦u Ii(z, r) cõa ui(x), t÷ìng ùng vîi bë c¡c h» sè ak(x, ξ) = 1 ωn|ξ|1−nδik ; b(x, ξ) = 0, k = 1,2, ..., n, (2.21) tùc l theo cæng thùc (1.2) ta câ Ii(z, r) = Z |x−z|=r 1 ωnrn−1ui(x)dSx. (2.22) Do ak v b l c¡c h m gi£i t½ch vîi ξ 6= 0, ta thu ÷ñc ành lþ trung b¼nh c¦u cõa nghi»m ui thuëc lîp C1 cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh
um,α(x) = Smiαβ(x, ξ)ui,β(x) +T0miα(x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ) (Smiαβ (x, ξ)ξβ ≡0),
thuëc lîp Ct vîi r > 0, n¸u Smiαβ(x, ξ) thuëc lîp Ct èi vîi x v T0miα(x, ξ), T00mα(x, ξ) thuëc lîp Ct−1 èi vîi x (s³ luæn gi£ thi¸t c¡c h» sè l húu t thu¦n nh§t bªc 0 èi vîi ξ).
B¥y gií ta sû döng ành lþ 1.6: N¸u ¤i l÷ñng trung b¼nh c¦u I(z, r)
cõa h m li¶n töc u(x) = u(x1, ..., xn) thuëc lîp Ct vîi r > 0 th¼ h m u(x) thuëc lîp Ct−2[n/2]. (Ð ¥y [α] ÷ñc ành ngh¾a l sè nguy¶n lîn nh§t khæng lîn hìn α). Ta thu ÷ñc i·u ph£i chùng minh.
2.2.3. ë trìn cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nhc§p mët c§p mët
Do h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët câ thº ÷a v· h» ch½nh tc, n¶n tø ành lþ 2.2 ta câ ành lþ sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ành lþ 2.3. Gi£ sû
aitα(x)v,α+bit(x)v = fi(x), (2.23) l h» elliptic tuy¸n t½nh câ N ph÷ìng tr¼nh èi vîi N ©n h m ut, fi(x)
v c¡c h» sè cõa Lit thuëc lîp Ct èi vîi x, ut thuëc lîp C1. Khi â ut công s³ thuëc lîp Cµ, trong â
µ = t−2 [n/2]. (2.24)
V½ dö 2.2. X²t h» Cauchy-Riemann sau ¥y ∂u1 ∂x1 − ∂u2 ∂x2 = f1(x1, x2) ∂u1 ∂x2 + ∂u2 ∂x1 = f2(x1, x2)
H» tr¶n gçm hai ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p mët èi vîi hai ©n h m u1(x1, x2) v u2(x1, x2), vîi h» sè h¬ng. Ta câ Q11(ξ1, ξ2) = ξ1, Q12(ξ1, ξ2) = −ξ2 Q21(ξ1, ξ2) = ξ2, Q22(ξ1, ξ2) = ξ1. Do â Q(ξ1, ξ2) = ξ1 −ξ2 ξ2 ξ1 .
H» tr¶n l elliptic bði v¼detQ(ξ1, ξ2) = ξ12 + ξ22 > 0, n¸uξ = (ξ1, ξ2) 6= 0. p döng ành lþ 2.3 ta suy ra n¸u f1(x1, x2), f2(x1, x2) thuëc lîp Ct th¼ nghi»m (x1, x2) s³ thuëc lîp Cµ, trong â
28
2.2.4. T½nh gi£i t½ch cõa nghi»m cõa h» ch½nh tc c¡c ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p mët vîi c¡c h» sè l tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p mët vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch
ành lþ 2.4. Cho h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh
um,α(x) = Smiαβ(x, ξ)ui,β(x) +T0miα(x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ), câ c¡c h» sè Smiαβ(x, ξ), T0miα(x, ξ), T00mα(x, ξ) l h m gi£i t½ch trong mi·n D. Khi â nghi»m ui(x) công l h m gi£i t½ch trong mi·n D. Chùng minh. Cho ui(x) l c¡c nghi»m cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh
um,α(x) =Smsαβ(x, ξ)us,β(x) +Tmiα0 (x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ), (2.25) trong â i, m, s = 1, ..., N; α, β = 1, ..., n.
Ta bi¸t r¬ng c¡c h» sè Smsαβ, T0miα, T00mα thuëc lîp C∞, måi nghi»m ui cõa (2.25) thuëc lîp C1 công s³ thuëc lîp C∞. Ta s³ chùng minh r¬ng n¸u c¡c h» sè l gi£i t½ch èi vîi bi¸n x th¼ nghi»m công vªy.
V¼ möc ½ch n y ta x²t t½ch ph¥n J (z, r) trong (2.10). Trong (2.14) ∂J/∂zα l biºu thùc câ d¤ng y h»t, ch¿ kh¡c duy nh§t l vîi c¡c h» sè a0i(x, ξ) v b0(x, ξ).
Trong (2.17), (2.18), c¡c a0i v b0 câ d¤ng tuy¸n t½nh bªc nh§t v thù tü l c¡c to¡n tû ¤o h m cõa ai v b; c¡c h» sè cõa nhúng to¡n tû l k¸t hñp cõa Smiαβ, T0miα, T00mα v ¤o h m c§p mët cõa chóng.
°t b(x, ξ) = aN+1(x, ξ). Cæng thùc li¶n h» giúa a0i v b0 vîi ai v b câ d¤ng
ð ¥y Litα l to¡n tû ¤o h m c§p mët èi vîi c¡c bi¸n x v ξ, vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch cõa x, ξ vîi x thuëc mi·n D v ξ 6= 0. º ÷ñc ÷îc l÷ñng cho ¤o h m cõa J ta so s¡nh cæng thùc truy o¡n (2.26) vîi h» c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng
∂Ai(x, ξ, η, t)
∂t = ηLitα[At(x, ξ, η, t)], (2.27) vîi i·u ki»n ban ¦u
Ai = 1
ωn|ξ|1−nδsi, (2.28) trong â s = 1,2, ..., N v cè ành.
Cho sè thüc b§t ký x, ξ, η, t vîi x ∈ D v ξ 6= 0 c¡c h» sè cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng (2.27) èi vîi Ai v dú li»u ban ¦u (2.28) l c¡c h m gi£i t½ch.
Cho D0 l tªp compact b§t ký trong mi·n D. Tçn t¤i tªp compact kh¡c D00 cõa D sao cho D0 l tªp con cõa D00. Cho r l sè d÷ìng sao cho r l l¥n cªn cõa måi iºm cõa D0 chùa trong D00.
Tø ành lþ Cauchy Kowalewski ta thu ÷ñc h» nghi»m ch½nh tc
Ai(x, ξ, η, t) cõa (2.27), (2.28) m l h m gi£i t½ch èi vîi x, ξ, η, t trong l¥n cªn thüc cõa tªp hñp
|x| ⊂ D00,|ξ| = r,|η|= 1, t = 0
trong xξηt - khæng gian.
Cho ui(x) l nghi»m ang xem x²t cõa h» ch½nh tc (2.25). H m ui(x)
s³ thuëc lîp C1 trong D. Ta thu ÷ñc biºu thùc J(z, η, t) = Z |x−z|=r " N X i=1 Ai(x, x−z, η, t)ui(x) +AN+1(x, x−z, η, t) # dSx.
30 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Biºu thùc J(z, η, t) l x¡c ành èi vîi z trong D0, |η| = 1,|t| < ε v l gi£i t½ch èi vîi η v t. Tø (2.14), (2.26), (2.27) ta câ
∂J (z, η, t) ∂t = ηα ∂J (z, η, t) ∂zα J (z, η,0) = 1 ωnr 1−n Z |x−z|=r us(x)dSx = Is(z, r). (2.29) Do â J (z, η, t) = J(z +tη, η,0) = Is(z+tη, r). (2.30) Do J(z, η, t) l gi£i t½ch èi vîi |η| = 1,|t| < ε, trong (2.30) Is(z, r) l gi£i t½ch èi vîi z, vîi z thuëc D0. Ta th§y r¬ng trung b¼nh c¦u Is(z, r)
cõa us(x) l h m gi£i t½ch èi vîi z vîi måi m°t c¦u t¥m z b¡n k½nh r trong mi·n D. T÷ìng tü n ¤o h m ¦u ti¶n theo r cõa Is(z, r) ·u l c¡c h m gi£i t½ch èi vîi z v r, vîi r õ b² v bà ch°n bði 0.
Tø cæng thùc (1.22) ta th§y r¬ng us(x) l h m gi£i t½ch èi vîi x thuëc D. V¼ vªy c¡c nghi»m ui(x) cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh vîi c¡c
h» sè gi£i t½ch công s³ l h m gi£i t½ch.
2.2.5. T½nh gi£i t½ch cõa nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh elliptictuy¸n t½nh c§p mët vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch tuy¸n t½nh c§p mët vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch Do h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët câ thº ÷a v· h» ch½nh tc elliptic tuy¶n t½nh c§p mët, n¶n ta câ ành lþ sau
ành lþ 2.5. Cho h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët aitα(x)v,α+bit(x)v = fi(x),
câ fi(x) v c¡c h» sè ð v¸ tr¡i l h m gi£i t½ch trong mi·n D. Khi â nghi»m cõa h» công l h m gi£i t½ch trong mi·n D
K¸t luªn Luªn v«n ¢ tr¼nh b y ÷ñc c¡c v§n · sau
1. Tr¼nh b y kh¡i ni»m trung b¼nh tr¶n m°t c¦u cõa mët h m sè, kh¡i ni»m trung b¼nh c¦u l°p v c¡c t½nh ch§t cõa chóng; ÷a ra cæng thùc cì b£n èi vîi ¤i l÷ñng c¦u l°p v cæng thùc biºu di¹n h m sè b§t ký qua ¤i l÷ñng trung b¼nh c¦u l°p; ÷a ra cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n tr¶n m°t c¦u. Luªn v«n ch¿ ra r¬ng khi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh c¦u l trìn th¼ b£n th¥n h m sè công s³ l h m trìn.
2. Tr¼nh b y kh¡i ni»m h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët; kh¡i ni»m h» ch½nh tc c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p mët v ÷a mët h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët v· h» ch½nh tc. Tr¶n cì sð cæng thùc t½ch ph¥n tr¶n m°t c¦u èi vîi nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh ch½nh tc, luªn v«n ¢ tr¼nh b y k¸t qu£ v· ë trìn cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh ch½nh tc, k¸t qu£ v· ë trìn cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh elliptic tuy¸n t½nh c§p mët, t½nh gi£i t½ch cõa nghi»m h» elliptic tuy¸n t½nh vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch.
T i li»u tham kh£o
[1] Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer- Verlag, New York Heidelberg Berlin.