Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình brusselator

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH LIU TP HT TON CC I VI H PHNG TRèNH BRUSSELATOR LUN VN THC S TON HC H NI, 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH LIU TP HT TON CC I VI H PHNG TRèNH BRUSSELATOR Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS. Cung Th Anh H NI, 2014 LI CM N Tụi xin trõn trng cm n Ban ch nhim khoa Toỏn, Phũng Sau i hc trng i hc S phm H Ni cựng cỏc thy, cụ giỏo ging dy lp cao hc khúa 16 t (2012 - 2014), ó to iu kin thun li giỳp tụi hon thnh tt bn lun ny. c bit tụi xin gi li cm n chõn thnh ti PGS. TS. Cung Th Anh, ngi luụn hng dn v giỳp tụi sut quỏ trỡnh hon thnh lun vn. Mc dự ó cú nhiu c gng nhng lun khú trỏnh nhng thiu sút. Tỏc gi mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca quý thy, cụ v bn c lun c hon thin hn. Xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Liu ii LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Liu Mc lc M u Kin thc chun b 1.1. Cỏc khụng gian hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Cỏc khụng gian L p () . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Khụng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Lớ thuyt na nhúm tuyn tớnh . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Tp hỳt ton cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Mt s khỏi nim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Mt s nh lớ v b . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. S chiu fractal v s chiu Hausdorff . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Mt s bt ng thc thng dựng . . . . . . . . . . . . . . 17 Tp hỳt ton cc i vi h Brusselator 20 2.1. t bi toỏn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. S tn ti v nht nghim . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. S tn ti hỳt ton cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii MC LC iv 2.3.1. S tn ti hp th . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Tớnh -co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt . . . . . . . . . . . . . 39 Kt lun 46 Ti liu tham kho 47 M U 1. Lý chn ti Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim ca cỏc h ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn hm l mt bi toỏn quan trng v cú nhiu ý ngha thc tin. Mt nhng cỏch tip cn bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt. ú l mt compact, bt bin, hỳt cỏc b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ang xột. Trong nhng nm qua, s tn ti v tớnh cht ca hỳt, s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng ó c nghiờn cu cho nhiu lp phng trỡnh parabolic phi tuyn. Tuy nhiờn phn ln cỏc kt qu t c mi ch l cho trng hp phng trỡnh vụ hng; cỏc kt qu tng ng i vi cỏc h parabolic phi tuyn xut hin húa sinh v húa lớ cũn ớt (xem [1]-[14]). Cỏc phng trỡnh parabolic phi tuyn xut hin mt cỏch t nhiờn nhiu bi toỏn ca húa sinh v húa lớ, v ang thu hỳt c s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc v ngoi nc. Lp chung ca cỏc h phn ng-khuch tỏn phi tuyn cú dng u = d1u + a1u + b1v + f (u, v) + g1 (x) , t v = d2v + a2u + b2v + f (u, v) + g2 (x) , t vi iu kin biờn Dirichlet thun nht hoc Neumann b chn Rn , n 3, liờn tc Lipschitz a phng. Nú cng c bit rng phn MC LC ng v khuch tỏn ca phm trự húa hc hoc phm trự sinh húa cú th to a dng nhng mụ hỡnh khụng gian. Lp ny ca h phn ng-khuch tỏn bao gm mt s ỏng k h phng trỡnh hỡnh thnh mụ hỡnh mu phỏt sinh t cỏc mụ hỡnh ng lc húa hc hoc phn ng sinh húa v t lý thuyt hỡnh thnh mụ hỡnh sinh hc. Trong nhúm ny, bn h sau õy thng quan trng v dựng nh cỏc mụ hỡnh toỏn hc ngnh vt lý v sinh hc. Mụ hỡnh Brusselator: a1 = (b + 1) , b1 = 0, a2 = b, b2 = 0, f = u2v, g1 = a, g2 = 0, ú a v b l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Gray-Scott: a1 = (F + k) , b1 = 0, a2 = 0, b2 = F, f = u2v, g1 = 0, g2 = F, ú F v k l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Glycolysis: a1 = 1, b1 = k, a2 = 0, b2 = k, f = u2v, g1 = , g2 = , ú k, v l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Schnackenberg: a1 = k, b1 = a2 = b2 = 0, f = u2 v, g1 = a, g2 = b, ú k, a v b l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Gray-Scott cú ngun gc t vic mụ t t xỳc tỏc ng nhit, dn truyn liờn tc, phn ng v khuch tỏn khụng b kớch thớch ca hai húa cht U v V vi nng u(t, x) v v(t, x), (xem [7]). T nm 1993, mt lot cỏc khụng gian mu c to bi cỏc gii phỏp n nh v cỏc gii phỏp phỏt trin lõu nm ó tip xỳc bng cỏc thc nghim [8], bng mụ phng s, hoc bng cỏc phõn tớch toỏn hc [13]. Lỳc u, Brusselator l h ca hai phng trỡnh vi phõn thụng thng nh cỏc phng trỡnh phn ng cõn bng cho t xỳc tỏc, phn ng dao ng húa hc [3]. Tờn ca mụ hỡnh l thnh ph ca cỏc nh khoa hc ó xut nú. Trong nhiu h t xỳc tỏc, ng lc hc phc c nhỡn thy, bao gm cỏc trng thỏi bi n nh, cỏc qu o tun hon v cỏc im r nhỏnh. MC LC Phn ng Belousov-Zhabotinsky [5] l mt phn ng húa hc chung, ú nng ca cỏc cht a ng thỏi dao ng. c bit, mụ hỡnh Brusselator mụ t trng hp ú cỏc phn ng húa hc theo s : A U, B +U V + D, 2U +V 3U, U E, ú A, B, D, E,U v V l cỏc hp cht húa hc. Gi s u(t, x) v v(t, x) l cỏc nng ca U, V v gi nh rng cỏc nng ca cỏc hp cht a vo A v B c liờn tc khụng i quỏ trỡnh phn ng, kớ hiu bng a v b tng ng. Sau ú thu c mt h ca hai phng trỡnh phn ng-khuch tỏn phi tuyn, h ny c gi l h phng trỡnh Brusselator u = d1 u + u2v (b + 1) u + a, (t, x) (0, ) ì , t v = d2v u2v + bu, (t, x) (0, ) ì , t u (t, x) = v (t, x) = 0,t > 0, x , u (0, x) = u0 (x) , v (0, x) = v0 (x) , x , ú d1 , d2 , a, b l cỏc hng s dng. õy, ngi ta gi nh rng h s t l cho cỏc phn ng trung gian ph l bng 1. Trờn thc t cỏc kt qu ca lun ny s khụng b nh hng bng cỏch ly cỏc h s phn ng khỏc nhau. Lu ý rng cú mt s vớ d ni ting ó bit ca t xỳc tỏc cú th c mụ phng bi h phng trỡnh Brusselator; nh phn ng ferrocyanua-iodatsulfite, phn ng clorit-iodua-axit malonic, phn ng axen-iodat, mt s phn ng xỳc tỏc enzim v tng trng nm mycelia, xem [3]-[4]. K t nm 1970 ó cú mt s hn ch nghiờn cu gii phỏp khụng gian MC LC mu nh trng thỏi n nh ca n nh a phng v cỏc im r nhỏnh cho h phng trỡnh Brusselator. Trong [6]-[10], mt s khụng gian Turing phỏt sinh bi h phng trỡnh Brusselator c nghiờn cu v s lng hoc phõn tớch, bao gm c mụ hỡnh tng t bin, mụ hỡnh sc v nhng bt n dao ng. Trong kt qu s [2] ó c trỡnh by, cho thy mụ hỡnh mazelike, mụ hỡnh lc giỏc v mụ hỡnh hn lon-tỡm kim, cho h phng trỡnh Brusselator 2D v phiờn bn hyperbolic vi cỏc phng trỡnh dũng khuch tỏn. Trong [8], theo cỏc gi nh ca u vo chm v t l khuch tỏn chm, s tn ti ca mụ hỡnh kiu mu mesa cho Brusselator 1D c hin th cựng vi mt mc cho s n nh a phng v mt im r nhỏnh Hopf vi s n nh kiu bỡnh th bng cỏch s dng phng phỏp nhiu lon kỡ d. Lý thuyt c bn ca hỳt ton cc v cỏc ng dng cú th tỡm thy [11]-[12] v nhiu ti liu tham kho ú. K t nhng nm 1980 s tn ti ca mt hỳt ton cc ó c chng minh i vi mt s lp phng trỡnh parabolic suy bin v ó lm tt dn cỏc phng trỡnh súng phi tuyn. Tiờu tỏn in hỡnh ca mt phng trỡnh phn ng-khuch tỏn n c th hin kớ hiu iu kin tim cn bờn phi hm phi tuyn f (u), tc l: lim sup |s| f (s) 0. s i vi h ca hai hay nhiu phn ng-khuch tỏn, kớ hiu tim cn h vect luụn luụn khụng tha món. Mt kt qu hn ch v s tn ti ca hỳt ton cc ó c chng minh cho mt phn tiờu tỏn h phn ng-khuch tỏn, nh cỏc phng trỡnh FitzHugh-Nagumo. Mt s kt qu da trờn vic xõy dng mt bt bin dng trờn Rn núi chung cung cp nht hỳt a phng. i vi h phng trỡnh Brusselator trờn, nhng khú khn ch yu CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 33 vi t T2 , w0 B0 . Ly tớch phõn bt ng thc tng ng vi (2.11) trờn v,M khong thi gian [t,t + 1], v dựng (2.29), ta cú th suy tn ti mt hng s T3 = T3 (B0 ), vi T3 max {T0 (B0) , T2 (B0 )}, cho t+1 d1 t z (s) v,M ds b2 |d1 d2|2 C2 (M) + + 2a2 |v,M | + 2K0, d1 d2 vi t T3 , ngha l t+1 (2.30) u (s) t t+1 t v,M ds = z (s) t+1 t v,M z (s) v (s) + v (s) v,M v,M ds ds C3 (M) , vi t T3 , w0 B0 . ú |d1 d2|2 C3 (M) = C2 (M) + d12 + d1 b2 2K0 + 2a2 |v,M | + . d2 d1 Suy t+1 (2.31) t h (s)ds 2M 2C3 (M) + 2cK0, vi t T3 , w0 B0. Hin nhiờn, t+1 (2.32) t g (s)ds d2 . Cui cựng vi bt ng thc (2.29), (2.31) v (2.32) v ỏp dng bt ng thc Gronwall u vo (2.28), ta cú th kt lun bt ng thc sau c nh, vi t T3 + 1, w0 B0, (2.33) v (t) v,M 2M 2C3 (M) + 2cK0 +C2 (M) ed2 . Lu ý rng v phi ca (2.33) l mt hng s ph thuc vo hp th B0 v a nht M tựy ý. Bt ng thc (2.33) cho ta thy vi bt kỡ c nh t T3 + 1, Pv (S (t) B0)(|v(t)| l mt hng s khụng ph thuc vo d kin ban u w0 B0 . Chng minh. Vi bt kỡ w0 B0 , theo (2.22), ta cú m ( (|v (t)| M)) K0 < , vi t > T0 . M2 Gi s z (t) = u (t, x, w0 ) + v (t, x, w0 ), ú (u, v) l nghim ca h phng trỡnh Brusselator vi d kin ban u w0. Ly tớch vụ hng (2.10), z (t) vM CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 35 trờn vM , ta nhn c 1d z (t) dt = vM vM + d1 z (t) vM + z (t) (d2 d1) z (t) v (t) dx + vM (v (t) + a) z (t) dx, |d1 d2|2 d1 z (t) v + v (t) M 2d1 + v (t) + a 2v , M t ú ta cú th nhn c d z (t) dt vM + d1 z (t) |d1 d2|2 v (t) d1 |d1 d2|2 v (t) d1 Sau ú d t e z (t) dt vM vM vM vM + v (t) + a vM + v (t) vM z (t) + z (t) vM |d1 d2|2 t e v (t) d1 + vM vM vM vM + 2a2 |vM | . + et v (t) vM + 2a2 |vM | . Ly tớch phõn c hai v ca bt ng thc [0,t] ta thu c (2.35) z (t) vM = |z (t)|2 dx et u0 + v0 vM |d1 d2|2 t e + d1 + et Tng t vi (2.16), ta cú (2.36) d2 t es v (s) t t es v (s) es v (s) vM ds 1+ vM vM ds 2 v vM + 2a |M | ds. b2 |vM | et + + (t) et K0 , d2 ú K0 l hng s c a (2.20). Sau ú ta cú th c lng iu kin v phi ca bt ng thc (2.35) nh sau. Vi t ln va t > 0, cú c nh et u0 + v0 vM 2K0et < . CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR T vM < v (t) t , (2.36) kộo theo, vi t > ln va , t |d1 d2 | e 36 t es v (s) vM ds d1 |d1 d2|2 1+ b2 |vM | + et + (t) K0 d1 d2 d2 |d1 d2| < 1+ b2 . d1 d2 d2 Hn na, vi t > ln va , et t es v (s) vM ds et t es v (s) vM ds < 1 1+ b2 , d2 d2 v et t es 2a2 |vM | ds < 2a2 |vM | < a2 . Cui cựng, thay c lng ú vo (2.35), ta tỡm c, tn ti mt thi gian = ( , M) cho (2.37) z (t) 1+a vM = + (|v(t)|M) |z (t)|2 dx |d1 d2|2 + d1 d2 d2 1+ 2d2 b2 = , vi t , w0 B0, ú l mt hng s. Kt hp (2.37) vi (2.23), v (t) vM < 2b2 , vi t T1 , d2 ta thy rng tn ti cỏc hng s dng khụng i 2b2 M2 = max {M, M1} , = + , = max {T1 , } , d2 cho (|v(t)|M2 ) |u (t)|2 dx v (t) vM + z (t) vM < , CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 37 vi t , w0 = (u0, v0 ) B0 . Do ú, (2.34) c chng minh. B 2.6. Gi s Pu : H L2 ()u l phộp chiu trc giao t H vo khụng gian thnh phn u tiờn liờn kt vi u-thnh phn. Gi s B0 l hp th b chn ca {S (t)}t0 H th hin B 2.2. Khi ú vi bt kỡ M > 0, ta luụn cú Pu (S (t) B0)(|v(t)| 0, d2 d2 d2 v (2.11) t+1 t |d2 d1|2 b2 3K0 + c1 + + 2a2 || , z (s) ds c2 = d1 d1 d2 CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 42 vi bt kỡ t > 0, ú c1 v c2 l cỏc hng s. Do ú, kt lun c chng minh. Bõy gi chỳng ta cú th chng minh tớnh hu hn chiu ca hỳt ton cc. nh lớ 2.4.1. Tp hỳt ton cc A i vi h Brusselator cú s chiu Hausdorff v s chiu fractal hu hn. Chng minh. Do B 2.7, chỳng ta s c lng Tr (A + F (S ( ) w0)) Qm ( ).Ti bt kỡ thi im > 0, gi s j ( ) : j = 1, . , m l mt c s trc giao H ca khụng gian Qm ( ) H = Span {y1 ( ) , . , ym ( )} , ú y (t) = (y1 ( ) , . , ym ( )) tha (2.46) vi y (0) = = (1, . , m ) v khụng lm mt tớnh tng quỏt ta gi nh rng {1 , . , m } l mt hp c lp tuyn tớnh H. Bi quỏ trỡnh trc giao húa Gram-Schmidt, j ( ) = 1j ( ) , 2j ( ) E vi j = 1, ., m, t y1 ( ) , . , ym ( ) E vi > 0, v j ( ) l o c mnh . Gi s d0 = {d1, d2 }. Khi ú ta cú Tr A + F (S ( ) w0 ) Qm ( ) (2.48) m = j=1 m A j ( ) , j ( ) + F (S ( ) w0 ) j ( ) , j ( ) j=1 m d0 j ( ) + J1 + J2 + J3, j=1 ú m J1 = 2u ( ) v ( ) |u ( )| |v ( )| j=1 m j=1 1j ( ) 1j ( ) 2j ( ) dx 1j ( ) + 1j ( ) 2j ( ) dx, CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR m J2 = u2 ( ) 1j ( ) 2j ( ) 2j ( ) u2 ( ) 1j ( ) 2j ( ) dx, j=1 m j=1 43 dx v m J3 = j=1 m j=1 (b + 1) 1j ( ) + b 1j ( ) 2j ( ) dx b 1j ( ) 2j ( ) dx. Ta cú th c tớnh mt ba iu kin nh sau. u tiờn, bt ng thc Hăolder suy rng v phộp nhỳng Sobolev E L4 () ì L4 () , vi n v s dng B 2.8, ta nhn c (2.49) m J1 u ( ) j=1 m L4 v ( ) S ( ) w0 2L4 1j ( ) L4 j ( ) j=1 L4 L + j ( ) m S ( ) w0 L4 2j ( ) j ( ) j=1 m K1 j ( ) j=1 L4 dx L4 , L4 ú l h s nhỳng c a (2.39). Bõy gi ta ỏp dng bt ng thc ni suy Garliardo-Nirenberg, xem [9, nh lớ B.3] Wk,p Wm,q C Lr , vi Wm,q () , vi iu kin p, q, r 1, < 1, v k n n n m (1 ) , ú n = dim . p q r õy vi Wk,p () = L4 () , Wm,q () = H01 () , Lr () = L2 () v = n 4, t (2.49) ta cú iu sau (2.50) j ( ) C j ( ) L4 n j ( ) 4n = C j ( ) n , j = 1, . . . , m, CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 44 t j ( ) = 1, ú C l hng s. Thay (2.50) vo (2.49) ta thu c J1 K1C (2.51) m n j ( ) . j=1 Tng t, bi bt ng thc Hăolder suy rng, ta cú th thu c m J2 K1 j ( ) (2.52) L4 j=1 m K1C2 j ( ) n . j=1 Hn na, ta cú m (2.53) J3 b j ( ) = bm. j=1 Thay (2.51), (2.52) v (2.53) vo (2.48), ta thu c m Tr A + F (S ( ) w0) Qm ( ) d0 j ( ) + K1C j=1 m j ( ) n + bm. j=1 Bi bt ng thc Young, vi n 3, ta cú K1C m j ( ) j=1 n d0 m j ( ) + K2 (n) m, j=1 ú K2 (n) l mt hng s ch ph thuc vo n = dim (). Vỡ vy, d0 Tr A + F (S ( ) w0 ) Qm ( ) m j ( ) + (K2 (n) + b) m. j=1 Theo bt ng thc Sobolev-Lieb-Thiring suy rng [12, Ph lc, H qu 4.1], t {1 ( ) , ã ã ã , m ( )} l mt hp trc chun H, vỡ th tn ti mt hng s K3 > ch ph thuc vo hỡnh dng v s chiu ca , cho m j=1 j ( ) K3 Do ú, cú Tr A + F (S ( ) w0) Qm ( ) m1+ n || d0 K3 2|| n n . m1+ n + (K2 (n) + b) m. CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 45 Khi ú ta cú th kt lun rng qm (t) = sup A w0 sup i H, i =1 t t Tr A + F (S ( ) w0 ) Qm ( ) d i=1,ããã ,m d0 K3 1+ n + (K2 (n) + b) m, vi bt kỡ t > 0, 2m 2|| n vỡ vy qm = lim sup qm (t) t d0 K3 2|| n m1+ n + (K2 (n) + b) m < 0, nu s nguyờn m tha iu kin sau, (2.54) m1 (K2 (n) + b) d0K3 n/ || < m. Theo B 2.7, ta ó ch rng s chiu Hausdorff v s chiu fractal ca hỳt ton cc A l hu hn v cn trờn ca chỳng c cho bi dH (A ) m, dF (A ) 2m, ú m tha (2.54). Do ú nh lý ó c chng minh cho na nhúm Brusselator. CHNG 2. TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 46 KT LUN Ni dung ca lun l nghiờn cu s tn ti v ỏnh giỏ s chiu ca hỳt ton cc i vi h Brusselator xut hin húa hc. Cỏc kt qu chớnh c trỡnh by lun vn: 1. nh lớ v s tn ti nht nghim ton cc. 2. nh lớ v s tn ti hỳt ton cc. 3. nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal v s chiu Hausdorff ca hỳt ton cc. Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Cung Th Anh, C s lý thuyt h ng lc vụ hn chiu, Nh xut bn i hc S Phm, 2012. [B] Ti liu ting Anh [2] M. Al-Ghoul and B.C. Eu, Hyperbolic reaction-diffusion equations, patterns, and phase speeds for the Brusselator, J. Phys. Chemistry 100 (1996), 18900-18910. [3] J.F.G. Auchmuty and G. Nicolis, Bifurcation analysis of nonlinear reaction-diffusion equations - I: Evolution equations and the steady state solutions, Bull. Math. Biology 37 (1975), 323-365. [4] K.J. Brown and F.A. Davidson, Global bifurcation in the Brusselator system, Nonlinear Analysis 24 (1995), 1713-1725. [5] I.R. Epstein and J.A. Pojman, An Introduction to Nonlinear Chemical Dynamics, Oxford Univ. Press, New York, 1998. [6] T. Erneux and E. Reiss, Brusselator isolas, SIAM J. Appl. Math. 43 (1983), 1240-1246. 47 TI LIU THAM KHO 48 [7] P. Gray and S.K. Scott, Chemical Waves and Instabilities, Clarendon, Oxford, 1990. [8] T. Kolokolnikov, T. Erneux, and J. Wei, Mesa-type patterns in onedimensional Brusselator and their stability, Physica D 214(1) (2006), 63-77. [9] Ya.B. Pesin and A.A. Yurchenko, Some physical models of the reaction-diffusion equation and coupled map lattices, Russian Math. Surveys 59(3) (2004), 481-513. [10] T. Rauber and G. Runger, Aspects of a distributed solution of the Brusselator equation, Proc. of the First Aizu International Symposium on Parallel Algorithms and Architecture Syntheses (1995), 114-120. [11] G.R. Sell and Y. You, Dynamics of Evolutionary Equations, Springer, New York, 2002. [12] R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1988. [13] J. Wei and M. Winter, Asymmetric spotty patterns for the Gray-Scott model in R2 , Stud. Appl. Math. 110 (2003), 63-102. [14] Y. You, Global dynamics of the Brusselator equations, Dynamics of PDE (2007), 167 - 196. [...]... ra bi h phng trỡnh Brusselator 2.3 S tn ti tp hỳt ton cc nh lớ 2.3.1 (nh lớ chớnh) Cho bt kỡ tham s dng d1 , d2, a v b Khi ú tn ti mt tp hỳt ton cc A trong H ca na nhúm {S (t)}t0 sinh bi h Brusselator (2.1) (2.2) chng minh nh lớ 2.3.1 ta phi chng minh na nhúm Brusselator {S (t)}t0 cú mt tp hp th b chn v na nhúm ú phi cú tớnh cht -co u tiờn, ta xột s tn ti tp hp th ca na nhúm Brusselator 2.3.1 S... vo d kin ban u Vỡ vy, kt lun ca b l ỳng v ta cú th thy tớnh cht hp th ca na nhúm Brusselator {S (t)}t0 trong khụng gian pha H CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 28 Tip theo, ta xột tớnh -co ca na nhúm Brusselator 2.3.2 Tớnh -co Bõy gi chỳng ta gi s thit lp mt s c lng tiờn nghim chng minh tớnh cht -co ca na nhúm Brusselator Ly tớch vụ hng (2.1), v (t) , ta thu c vt , v + d2 v 2 = u2v, v b... h Brusselator (2.1)-(2.2) Lu ý rng trong nh lớ 1.3.1 v trong nh lớ 2.3.2 iu kin ii) tng ng vi tớnh cht -co Tip theo, ta s kim tra cỏc iu kin trong nh lớ 2.3.2 c tha món i vi na nhúm Brusselator Thụng qua cỏch tip cn ny, s tn ti ca tp hỳt ton cc ca na nhúm Brusselator {S (t)}t0 s c th hin B 2.3 Vi bt kỡ > 0, tn ti hng s dng M1 = M1 ( ) v T1 = T1 ( ) sao cho v-thnh phn ca nghim ca h phng trỡnh Brusselator. .. lm ti nghiờn cu ca lun vn vi tờn gi l: "Tp hỳt ton cc i vi h phng trỡnh Brusselator" Kt qu ca lun vn ny da ch yu vo bi bỏo "Y You, Global dynamics of the Brusselator equations, Dynamics of PDE 4 (2007), 167 - 196" 2 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu s tn ti v ỏnh giỏ s chiu fractal, s chiu Hausdorff ca tp hỳt ton cc ca h phng trỡnh Brusselator xut hin trong húa hc 3 Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu s tn ti duy... v0 (x) , x , trong ú d1 , d2 , a, b l cỏc hng s dng H (2.1)-(2.2) c gi l h phng trỡnh Brusselator õy, ngi ta gi nh rng h s t l cho cỏc phn ng trung gian ph l bng 1 Trờn thc t cỏc kt qu ca lun vn ny s khụng b nh hng bng cỏch ly cỏc h s phn ng khỏc nhau 20 CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 21 Cho h phng trỡnh Brusselator v ba mụ hỡnh h Gray-Scott, h Glycolysis v h Schnackenberg ó cp trong phn... tin húa Brusselator (2.5) Chng minh Chỳ ý rng u (t) z (t) + v (t) v w (t) 2 = u (t) 2 + v (t) 2 B c chng minh do (2.7) v (2.2.), khng nh rng nghim mnh w(t) ca phng trỡnh (2.5) b n trong H ti bt kỡ thi gian hu hn no Do B 2.1, h ca nghim mnh ton cc {w (t; w0 ) ,t 0, w0 H} xỏc nh mt na nhúm trong H, S (t) : w0 w (t; w0 ) ,t 0, w0 H, CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 25 c gi l na nhúm Brusselator, ... hỳt b chn B0 trong H i vi na nhúm Brusselator {S (t)}t0 , B0 = w H : w 2 K0 , ú K0 l hng s dng khụng ph thuc vo d kin ban u Chng minh T (2.11) chỳng ta cú th kt lun rng d t e z (t) dt (2.12) 2 |d1 d2|2 t e v (t) d1 2 +C (v0 ,t) et Ly tớch phõn (2.12) thu c (2.13) z (t) 2 t e u0 + v0 2 |d1 d2|2 + d1 t 0 e(t ) v ( ) 2d +C1 (v0 ,t) , CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 26 ú (2.14) t t C1 (v0... trờn E v Lipschitz a phng Khi ú bi nh lớ 1.2.1 ca phng trỡnh tin húa [2], ngi ta chng CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 22 minh c s tn ti a phng v tớnh duy nht ca nghim mnh u C ([0, Tmax ) ; H) L2 ([0, Tmax ) ; E) , trong ú [0, Tmax ) l khong thi gian tn ti ti a ca phng trỡnh tin húa Brusselator dw = Aw + F (w) ,t > 0, dt (2.5) ú w (t) = col (u (t, ã) , v (t, ã)) hoc vit l (u (t, ã) , v (t, ã)),... chng minh nh lớ sau cho tp khỏc ca iu kin cn v iu kin i vi s tn ti ca tp hỳt ton cc trong trng hp ny v s c s dng hin th tớnh cht -co ca na nhúm {S (t)}t0 CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR 29 nh lớ 2.3.2 Na nhúm Brusselator {S (t)}t0 trong H cú mt tp hỳt ton cc A trong H khi v ch khi hai iu kin sau c tha món: i) Tn ti mt tp hp th b chn B0 trong H i vi na nhúm ny ii) Vi bt kỡ > 0, cú cỏc hng... (s) 2 ds CHNG 2 TP HT TON CC I VI H BRUSSELATOR + 1 v0 d2 2 +t 24 b2 + 2a2 || d2 T (2.6) ta thy rng t d2 0 v (s) 2 ds v0 Do ú, cho t [0, Tmax ) , z (t) 2 u0 + v0 u0 + v0 |d1 d2|2 + d1 d2 2 b2 + + 2a2 ||t d2 + v0 2 + b2 ||t |d1 d2|2 1 + d2 d1 d2 1 |d1 d2|2 + d2 d1 d2 + + b2 ||t 2 1 + v0 d2 2 2 v0 2 b2 + 2a2 ||t Vỡ vy, nghim mnh ca phng trỡnh tin húa Brusselator (2.5) tn ti ton cc theo . LIỄU TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LIỄU TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI HỆ. toàn cụ c. Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Định nghĩa 1.3.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm. tập hút toàn cục. 5. Phương p h áp nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm. • Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục: