Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình cray scott

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LƯƠNG THỊ HỒNG HẠNH TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GRAY - SCOTT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CUNG THẾ ANH HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Cung Thế Anh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Lương Thị Hồng Hạnh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Cung Thế Anh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Gray-Scott" được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Lương Thị Hồng Hạnh Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Không gian H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Lí thuyết nửa nhóm tuyến tính . . . . . . . . 6 1.3. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Số chiều fractal và số chiều Hausdorff. . . . . . . 13 1.5. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . 14 Chương 2. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GRAY-SCOTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . 18 2.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . 20 2.3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Tính compact tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút. Đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét. Trong những năm qua, sự tồn tại và tính chất của tập hút, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic phi tuyến. Tuy nhiên phần lớn các kết quả đạt được mới chỉ là cho là cho trường hợp phương trình vô hướng; các kết quả tương ứng đối với các hệ parabolic phi tuyến xuất hiện trong hóa sinh và hóa lí vẫn còn ít (xem [1], [14]). Các phương trình parabolic phi tuyến xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều bài toán hóa sinh và hóa lí. Một trong những phương trình parabolic phi tuyến thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước là hệ phương trình Gray-Scott. Hệ phương trình Gray-Scott sinh ra từ sự mô tả sự xúc tác đẳng nhiệt, phản ứng khuếch tán của hai hóa chất U, V với nồng độ u(t, x), v(t, x). Trong [3], dưới điều kiện ban đầu không âm và bị chặn và một vài điều 2 kiện khác, sự tồn tại nghiệm toàn cục và tính bị chặn đều của nghiệm của một số hệ phương trình tương tự đã được chứng minh. Tuy nhiên, tính compact tiệm cận thì chưa được chứng minh. Hơn nữa, những kết quả đã biết về tập hút toàn cục của hệ phương trình Gray-Scott trong không gian ba chiều cũng như trong mô hình số hóa của toán giải tích vẫn còn ít. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: "Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Gray-Scott" làm đề tài nghiên cứu của luận văn. Các kết quả của luận văn được viết chủ yếu dựa trên bài báo ”Y. You (2008), Global attractor of the Gray-Scott equations, Comm.Pure Appl. Anal, 947-970”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục của hệ phương trình Gray-Scott xuất hiện trong hóa học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán. • Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài toán. • Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Gray-Scott. • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. 5. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm. • Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục: các phương pháp của lí thuyết hệ động lực. 6. Kết quả chính của luận văn • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu. • Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài toán. • Đánh giá được số chiều fractal của tập hút toàn cục nhận được. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về các không gian hàm, tập hút toàn cục, các bất bất đẳng thức thường dùng, liên quan đến nội dung chính của luận văn. Các kết quả của chương này dựa trên [1], [14]. 1.1. Các không gian hàm Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm thường dùng khi nghiên cứu hệ phương trình Gray-Scott. 1.1.1. Các không gian L p (Ω) Định nghĩa 1.1. L p (Ω) , 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau: u L p (Ω) :=   Ω |u| p dx  1/p . Chú ý rằng L p (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞. Định nghĩa 1.2. L ∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn u L ∞ (Ω) := ess sup x∈Ω |u (x)|. 5 1.1.2. Không gian H 1 (Ω) Định nghĩa 1.3. Cho Ω là một tập mở con của R n có biên là ∂ (Ω). Không gian H 1 (Ω) được định nghĩa H 1 (Ω) =  u ∈ L 2 (Ω) : ∂u ∂x i ∈ L 2 (Ω), ∀i = 1, , n  là tập hợp tất cả các hàm thuộc L 2 (Ω) có đạo hàm suy rộng thuộc L 2 (Ω), với chuẩn được định nghĩa như sau. u H 1 (Ω) =  Ω  |u| 2 + |∇u| 2  dx, với hàm u ∈ H 1 (Ω). 1.2. Lí thuyết nửa nhóm tuyến tính Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4. Họ ánh xạ {S(t)}, t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh (hoặc đơn giản là C 0 −nửa nhóm) nếu S(t) ∈ L(X) và: 1) S(0) = I; 2) S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ [0; ∞); 3) ∀x ∈ X, t → S(t)x ∈ C 0 ([0, +∞), X) S(t) gọi là một C 0 −nhóm nếu trong định nghĩa trên [0, +∞) được thay thế bởi R. Khi đó S(t) −1 = S(−t) ∈ L(X). Định nghĩa 1.5. Ta gọi toán tử sinh của một nửa nhóm {S(t)} t≥0 là 6 [...]... vy, ta ch ra rng tn ti tp hỳt ton cc ca nghim mnh ca h phng trỡnh Gray -Scott (2.7), vỡ vy Tmax = + vi mi nghim Do B 2.1, h nghim mnh ton cc {w(t; w0 ) : t 0, w0 H} ca h phng trỡnh Gray -Scott (2.7) c nh ngha l mt na nhúm trờn H S(t) : w0 w(t; w0 ), t 0, w0 H, c gi l na nhúm Gray -scott hoc nghim na nhúm sinh bi h phng trỡnh Gray -Scott 2.3 S tn ti tp hỳt ton cc nh lý 2.1 (nh lớ chớnh) Vi cỏc tham s... (2.22) l tp b chn ca na nhúm Gray -Scott {S(t)}t0 trong khụng gian H Tip theo chỳng tụi ch ra tớnh co ca na nhúm Gray -Scott t tớnh compact tim cn 2.3.2 Tớnh compact tim cn Trong phn ny, chỳng tụi s dựng mt phõn tớch gn ỳng mi ch ra tớnh co ca na nhúm Gray -Scott {S(t)}t0 , iu ny ch ra rng {S(t)}t0 l compact tim cn trong H Trong mt n lc ch ra tớnh co ca na nhúm Gray -Scott bng c lng tiờn nghim ta cú th... hỳt ton cc A trong H ca na nhúm {S(t)}t0 sinh bi nghim ca h phng trỡnh Gray -Scott (2.1) (2.2) vi iu kin biờn Neumann (2.3) 20 chng minh nh lớ 2.1 ta phi chng minh na nhúm Gray -Scott cú mt tp hp th b chn v cú tớnh cht co u tiờn ta xột s tn ti tp hp th 2.3.1 S tn ti tp hp th B 2.2 Tn ti tp hp th b chn B0 H cho na nhúm GrayScott {S(t)}t0 , B0 = {w H : w 2 K0 }, (2.17) trong ú K0 l hng s dng c lp... TRèNH GRAY -SCOTT Trong chng ny, chỳng ta chng minh s tn ti nghim, s tn ti tp hỳt ton cc v ỏnh giỏ s chiu fractal ca tp hỳt ton cc ca na nhúm sinh bi nghim ca bi toỏn Kt qu ca chng ny da trờn bi bỏo [14] 2.1 t bi toỏn H phng trỡnh Gray -Scott sinh ra t mụ hỡnh liờn tc, ng nhit, phn ng tỏn x gia hai cht húa hc vi nng u(t, x) v v(t, x) Gi s l min b chn trong Rn , n 3 Ta xột h phng trỡnh Gray -Scott u =... l khong tn ti cc i Sau õy chỳng tụi s chng minh s tn ti nghim mnh ca h phng trỡnh Gray -Scott 2.2 S tn ti v duy nht nghim n gin ta vit u(t), v(t) hoc u, v thay cho u(t, x), v(t, x) B 2.1 Vi iu kin ban u bt kỡ w0 = (u0 , v0 ) H, tn ti duy nht nghim mnh, ton cc w(t) = (u(t), v(t)), t [0, ) ca h phng trỡnh Gray -Scott (2.7) Chng minh Ly tớch vụ hng (2.2) vi v(t), v t iu kin biờn Neumann thun nht, ta... tụi s dng phng phỏp phõn tớch mi c phỏt biu trong nh lớ sau kim tra tớnh co ca na nhúm Gray -Scott Kt 23 qu liờn quan ó cú trong [16] Chỳng tụi s dng kớ hiu (|u| M ) = {x : |u(x)| M } v (|u| < M ) = {x : |u(x)| < M } Ta s dng m(s ) hoc |s | kớ hiu o Lebesgue ca tp con s ca nh lý 2.2 Vi mi na nhúm Gray -Scott {S(t)}t0 trờn H, tn ti tp hỳt ton cc A trong H nu v ch nu 2 iu kin di õy tha món: (i)... phi tuyn 2 (F + k)u + u v :EH f (u, v) = 2 F (1 v) u v (2.6) l ỏnh x liờn tc Lipschitz a phng c nh ngha trờn E Khi ú bi toỏn (2.1)-(2.4) tr thnh bi toỏn giỏ tr ban u ca h phng 17 trỡnh tin húa Gray -Scott dw = Aw + f (w), t > 0, dt w(0) = w0 = col (u0 , v0 ) H, (2.7) trong ú w(t) = col (u(t, ã), v(t, ã)) , hoc vit li (u(t, ã), v(t, ã)) v tng t w0 = (u0 , v0 ) Theo nh lớ v phng trỡnh tin húa, ta cn... , (2.25) trong ú def (S(t)B0 )(|v(t)| 0 bt kỡ, tn ti hng s dng M1 = M1 () v T1 = T1 () sao cho vthnh phn v(t) = v(t, x, 0 ) ca nghim ca h phng trỡnh Gray -Scott (2.1)-(2.2) tha món |v(t)|2 dx < 5, vi t T1 , 0 = (u0 , v0 ) B0 , (2.32) (|v(t)|M1 ) trong ú B0 l tp hp th b chn ó cho trong B 2.2 Chng minh u tiờn, do B0 l tõp hp th b chn, chc chn B0 hỳt chớnh... (2.33) v T1 = T1 () = max {T+ , T } 30 B 2.4 Cho Pv : H L2 ()v l phộp chiu trc giao t khụng gian Hilbert tớch lờn khụng gian thnh phn th hai liờn kt vi vthnh phn Cho B0 l tp hp th b chn ca na nhúm Gray -Scott {S(t)}t0 trong H Khi ú vi mi M > 0, ta cú (Pv (S(t)B0 )(|v(t)| . T. 15 Chương 2 TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GRAY-SCOTT Trong chương này, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. tôi trình bày định nghĩa tập hút toàn cục. Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Định nghĩa 1.15. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập. của tập hút toàn cục. 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Gray-Scott. • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. 5.