Tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình Parabolic phi tuyến chứa toán tử Caffarelli-Kohn-Nirenberg

[...]... sau thữớng dũng  chựng minh tẵnh trỡn cừa têp hút ton cửc, tực l chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa têp hút ton cửc trong cĂc khổng gian trỡn hỡn khổng gian chựa iãu kiằn ban Ưu nh lỵ 1.3.17 (xem [6]) GiÊ sỷ {S(t)}t0 l mởt nỷa nhõm liản tửc r v l liản tửc hoc liản tửc yáu trản L () vợi r mồi r q , v cõ mởt têp hút ton cửc trong L () Khi õ {S(t)}t0 cõ q têp hút ton cửc trong L () náu v ch náu mÔnh - yáu... têp hút ton cửc nh lỵ 1.3.11 (xem [25] chữỡng 1) GiÊ sỷ S(t) l nỷa nhõm liản tửc trản khổng gian Banach Náu B X GiÊ sỷ S(t) l tiảu hao v compact tiằm cên l mởt têp hĐp thử b chn cừa S(t) thẳ compact khĂc rộng v l têp hút ton cửc ối vợi ton cửc A l liản thổng trong A = (B) l mởt S(t) Hỡn nỳa, têp têp hút X Hằ quÊ sau Ơy thữớng ữủc dũng  chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi phữỡng trẳnh parabolic. .. Ơy cừa têp hút ton cửc l hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh nghắa Mằnh ã 1.3.7 GiÊ sỷ S(t) cõ mởt têp hút ton cửc A Khi õ: 1 Náu Ôi); B l mởt têp con b chn bĐt bián cừa X thẳ B A (tẵnh cỹc 12 2 Náu B X l mởt têp con õng hút cĂc têp b chn cừa thẳ A B (tẵnh cỹc tiu); 3 A l duy nhĐt Kát quÊ sau Ơy nõi vã cĐu trúc cừa têp hút ton cửc nh lỵ 1.3.8 (xem [13]) GiÊ sỷ hằ ởng lỹc (X, S(t)) cõ têp hút ton cửc... vợi H (g); l liản tửc yáu trản h R; l compact yáu Ta s sỷ dửng lẵ thuyát têp hút ãu trong khổng gian kp ối vợi quĂ trẳnh liản tửc yáu v phữỡng phĂp ữợc lữủng tiản nghiằm tiằm cên  nghiản cựu tẵnh trỡn cừa têp hút ãu trong trữớng hủp ny Bờ ã 1.4.3 Náu g L2 (R; E) thẳ vợi mồi R; n t e(t ) ||||2 ds = 0 E lim sup + t vợi mồi H (g) X, Y l hai khổng gian Banach v Y nhúng liản tửc vo X Hồ {U (t,...6 hm, toĂn tỷ ữủc sỷ dửng trong luên vôn; kát quÊ tờng quĂt vã têp hút ton cửc, têp hút ãu v mởt số kián thực bờ trủ khĂc Chữỡng 2 Sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm yáu Trong chữỡng ny chúng tổi chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1) Chữỡng 3 Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc Trong chữỡng ny chúng tổi chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi bi toĂn (1.1) trong hai trữớng hủp ổtổnổm v khổng ổtổnổm... cho a) Nỷa nhõm dist(S(t)B, K) 0 khi t 1.3.2 Têp hút ton cửc: Têp hút ton cửc l ối tữủng trung tƠm cừa lẵ thuyát cĂc hằ ởng lỹc tiảu hao vổ hÔn chiãu nh nghắa 1.3.6 Mởt têp con khĂc rộng A cừa X gồi l mởt têp hút ton cửc ối vợi nỷa nhõm 1 2 3 A A A S(t) náu: l mởt têp õng v b chn; S(t)A = A vợi mồi t > 0; b chn B cừa X tực l l bĐt bián, tực l hút mồi têp con lim dist(S(t)A, B) = 0, t õ dist(E,... gỗm u : [a, b] X liản tửc tứ [a, b] vo X vợi chuân GiÊ sỷ tĐt cÊ cĂc hm : ||u||C([a,b];X) = sup ||u(t)||X t[0,T ] Lp (a, b; X) l khổng u : (a, b) X sao cho gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc hm : b 1/p ||u(t)||p dt X ||u||Lp (a,b;X) := a < + 9 1.3 Têp hút ton cửc: Mởt số khĂi niằm: 1.3.1 GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach, ta cõ cĂc nh nghắa sau: nh nghắa 1.3.1 Mởt nỷa nhõm (liản tửc) trản X l mởt hồ... } X, xn x, n=1 X X S(tn )xn gồi l liản tửc mÔnh-yáu trản v tn 0, tn t, ta cõ náu vợi bĐt kẳ S(t)x trong 14 Kát quÊ sau thữớng dũng  chựng minh mởt nỷa nhõm l liản tửc mÔnh-yáu Bờ ã 1.3.15 GiÊ sỷ X , Y l hai khổng gian Banach v khổng gian ối ngău tữỡng ựng Ta cụng giÊ sỷ rơng X X , Y l cĂc l mởt khổng gian con trũ mêt cừa Y , php chiáu i : X Y l liản tửc v liản hủp cừa nõ i : Y X l php chiáu... hủp cừa nõ i : Y X l php chiáu trũ mêt GiÊ sỷ {S(t)}t0 l mởt nỷa nhõm trản X v Y tữỡng ựng, v giÊ thiát thảm S(t) l liản tửc hoc liản Y Khi õ {S(t)}t0 l liản tửc mÔnh - yáu trản X náu v + ch náu {S(t)}t0 bián cĂc têp con compact cừa X ì R thnh cĂc têp con b chn cừa X tửc yáu trản nh nghắa 1.3.16 Nỷa nhõm {S(t)}t0 ữủc gồi l thọa mÂn iãu (C) trong X náu v ch náu vợi bĐt kẳ têp b chn B cừa X... s), S(t)u0 liản tửc ối vợi (t, u0 ) [0; +) ì X nh nghắa 1.3.2 Têp Y X ữủc gồi l bĐt bián dữỡng náu S(t)Y Y, t 0 Têp Y X Têp Y X S(t)Y Y, t 0 S(t)Y = Y, t 0 ữủc gồi l bĐt bián Ơm náu ữủc gồi l bĐt bián náu Ta giợi thiằu cĂc khĂi niằm vã tẵnh tiảu hao cừa nỷa nhõm nh nghắa 1.3.3 Nỷa nhõm S(t) gồi l tiảu hao im (tiảu hao b chn) náu tỗn tÔi mởt têp b chn B0 X hút cĂc im (hút cĂc têp b