Tập hút lùi đối với một lớp phương trình Parabolic phi tuyến

LèI CÁM ƠN Qua bán lu¾n văn tơi xin bày tó lòng cám ơn chân thành sâu sac tói thay giáo-Tien sĩ Cung The Anh, ngưòi thay t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi xin chân thành cám ơn ban chn nhi¾m khoa Tốn, phòng sau đai hoc thay cô giáo khoa giáng day giúp đõ suot nhung năm hoc vùa qua Tôi xin chân thành cám ơn thay cô giỏo hđi ong ong bỏo vắ ó giỳp tơi hồn thành lu¾n văn Qua tơi xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói gia đình v ban bố ó giỳp ừ, tao ieu kiắn, đng viên tơi suot q trình hoc t¾p làm luắn Do thũi gian v trỡnh đ bỏn thõn han che nên bán lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y tơi rat mong đưoc sn giúp đõ, góp ý cna thay ban đe bán lu¾n văn cna tơi đưoc hồn thi¾n LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Cung The Anh Hà N®i, tháng 10 năm 2010 Tác giá Ta Th% Hong Yen Mnc lnc Lài cám ơn i Lài cam đoan i Mnc lnc i Danh mnc kí hi¾u i Má đau 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Các khơng gian hàm tốn tú 1.2 Sn ton tai D− t¾p hút lùi 1.3 So chieu fractal cna D− t¾p hút lùi .10 1.4 Tính núa liên tuc cna D−t¾p hút lùi 13 SN ton tai nhat cúa nghi¾m yeu 14 2.1 Phát bieu toán 14 2.1.1 Phát bieu toán giá thiet 14 ii iii 2.1.2 Đ%nh nghĩa nghi¾m yeu 15 2.2 Sn ton tai nhat cna nghi¾m yeu .17 SN ton tai, đánh giá so chieu tính nNa liên tnc cúa D− t¾p hút lùi 22 3.1 Sn ton tai D−t¾p hút lùi Hµ(Ω) ∩ Lp(Ω) 23 3.2 Đánh giá so chieu fractal cna D− t¾p hút lùi 34 3.3 Tính núa liên tuc cna Dtắp hỳt lựi tai = 41 Ket lu¾n 45 DANH MUC CÁC KÍ HIfi |.|2 chuan L2(Ω) (., ) tích vơ hưóng L2(Ω) "."µ chuan Hµ(Ω) ((., ))µ tích vơ hưóng Hµ(Ω) |.|p chuan Lp(Ω) ΩM = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } µ (Ω) khơng gian đoi ngau cna Hµ(Ω) H− Mé ĐAU Lý chon đe tài Van đe nghiên cúu dỏng iắu tiắm cắn nghiắm oi vúi cỏc hắ đng lnc vơ han chieu m®t nhung tốn quan nhat cna vắt lý toỏn hiắn Mđt nhung cách tiep c¾n tốn đoi vói cỏc hắ đng lnc vụ han chieu l nghiờn cỳu sn ton tai tính chat cna t¾p hút ton cuc oi vúi hắ đng lnc vụ han chieu xét Sau gan ba th¾p ký phát trien, sn ton tai tính chat cna t¾p hút tồn cuc đưoc nghiên cúu cho m®t lóp r®ng phương trình đao hàm riêng mà ơtơnơm, túc mà ngoai lnc g, h¾ so cna tốn tú, so hang phi tuyen khơng phu thu®c tưòng minh vào thòi gian (xem [3],[4],[5]) Trong nhung năm gan đây, vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m đoi vói phương trình khơng ơtơnơm thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc ngồi nưóc Khi nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna phương trình khơng ơtơnơm khái ni¾m t¾p hút tồn cuc co đien khơng thích hop (Vì lúc tương úng u0 ›→ u(t), u(t) nghi¾m cna tốn vói đieu ki¾n biên ban đau u0, khơng sinh núa nhóm trưòng hop ơtơnơm) Vì v¾y nhà tốn hoc đưa nhung khái ni¾m t¾p hút mói đ¾c trưng cho phương trình khơng ơtơnơm Chang han t¾p hút đeu (uniform attractors, xem [6]), t¾p hút lùi (pullback attractors, xem [4]) Hi¾n vi¾c nghiên cúu sn ton tai tính chat cna t¾p hút lùi cho phương trình đao riêng phi tuyen khơng ơtơnơm m®t nhung van đe thòi sn, thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc ngồi nưóc Chính v¾y chúng tơi chon đe tài cna lu¾n văn l "Tắp hỳt lựi oi vỏi mđt lỏp phng trỡnh parabolic phi tuyen" Trong lu¾n văn chúng tơi nghiên cúu tốn sau:  µ u u + f (u) = g(x, t), x ∈ Ω, t > τ,  t − ∆u  |x|2 u|∂Ω = 0, t > τ,   u (x, τ ) = uτ (x) , x ∈ Ω, uτ ∈ L2(Ω) cho trưóc, < µ ≤ µ∗ tham so, µ∗ = (0.1) N −22 hang so tot nhat bat thúc Hardy, so hang phi tuyen f ngoai lnc g thoá mãn đieu ki¾n sau: (F ) Hàm f ∈ C1(R) thoá mãn C1|u|p − k1 ≤ f (u)u ≤ C2|u|p + k2, p ≥ 2, f t(u) ≥ −A, ∀u ∈ R; (G) g ∈ W 1,2 lo c ¸ (R; L2()) oc thoỏ e1,às.|g(s)|2 + |gt(s)|2.ds < , s e1,às|g(r)|2drds < ∞, −∞ −∞ λ1,µ giá tr% riêng cna tốn tú Aµ = −∆ − |x|2 vúi ieu kiắn biờn Dirichlet thuan nhat Mnc đích nghiên cNu Trong lu¾n văn chúng tơi nghiên cúu sn ton tai, đánh giá so chieu fractal tính núa liên tuc cna D−t¾p hút lùi đoi vói m®t lóp phương trình parabolic phi tuyen khơng ơtơnơm vói the v% kieu Hardy Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu t¾p sn ton tai nhat nghi¾m yeu cna tốn Nghiên cúu sn ton tai D−t¾p hút lùi đoi vói q trình sinh bói tốn Nghiên cúu ve so chieu fractal cna D−t¾p hút lùi đoi vói q trình sinh bói tốn Nghiên cúu ve tính núa liên tuc cna D−t¾p hút lùi đoi vói q trình sinh bói tốn Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu sn ton tai dáng đi¾u cna nghiắm cna mđt lúp phng trỡnh parabolic phi tuyen khơng ơtơnơm vói the v% kieu Hardy Phương pháp nghiên cNu Đe chúng minh sn ton tai nghi¾m yeu cna toán ta dùng phương pháp compact cna Lions (xem [10]) Đe chúng minh sn ton tai D−t¾p hút lùi, xét so chieu fractal cna D−t¾p hút lùi chúng minh tính núa liên tuc cna D− t¾p hút lùi chúng tơi dùng phương pháp cna lý thuyet hắ đng lnc tỏn xa vụ han chieu Bo cnc cúa lu¾n văn Lu¾n văn đưoc chia thành chương: Chương trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho vi¾c trình bày chương sau, ket q ve khơng gian hàm tốn tú liên quan đen phương trình, khái ni¾m đ%nh lý tong quát ve sn ton tai, đánh giá so chieu tính núa liên tuc cna D−t¾p hút lùi Chương trình bày ket ve sn ton tai nhat nghi¾m yeu cna tốn Chương trình bày ket q cna lu¾n văn Trong chương này, chúng minh sn ton tai D−t¾p hút lùi đoi vói ho q trình liên ket vói tốn Hơn nua, chúng minh D− t¾p hút lùi nh¾n đưoc có so chieu fractal huu han phu thu®c núa liên tuc vào tham so µ so hang chúa the v% Núi riờng, 0+ thỡ D hút lùi cna tốn dan đen D− t¾p hút lựi cna phng trỡnh truyen nhiắt co ien (tỳc phương trình khơng có so hang chúa the v% − |x|2 u) NhĐng đóng góp mái cúa đe tài Đe tài chúng minh đưoc sn ton tai nhat nghi¾m yeu cna tốn Chúng minh đưoc sn ton tai cna D− t¾p hút lùi đoi vói q trình sinh bói tốn Chúng minh đưoc so chieu fractal cna D− t¾p hút lùi huu han Chúng minh đưoc tính núa liên tuc cna D− t¾p hút lùi Các ket cna lu¾n văn mói, có ý nghĩa khoa hoc đưoc gúi đăng ó tap chí chun nghành (xem [1]) Chương M®t so kien thNc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày m®t so kien thúc chuan b% ve khơng gian hàm tốn tú, khái ni¾m đ%nh lý tong quát ve sn ton tai, đánh giá so chieu tính núa liên tuc cna D−t¾p hút lùi phuc vu cho vi¾c chúng minh chương sau 1.1 Các không gian hàm tốn tN Cho ≤ µ ≤ µ∗, đ%nh nghĩa khơng gian Hµ(Ω) bao đóng cna C() vúi chuan dx | |u|2 u|2 "u"2µ = |x|2 Ω Khi Hµ(Ω) khơng gian Hilbert vói tích vơ hưóng tương úng ¸ uv dx, vói moi u, v ∈ H (Ω) µ (u, v)µ = ∇u∇v − µ Ω |x|2 Chúng ta biet (xem [14]) rang neu ≤ µ < µ∗ Hµ(Ω) ≡ H1(Ω) Trong trưòng hop tói han, nghĩa µ = µ∗, nhac lai bat Tù (3.36), neu ta viet h(t) = h(u(x, t)), ¸ "h(t)"Lpr ≤ C p |u(t) − r 2pr dx u(t)| Ω ¸ |u(t) − u(t)|2pr−2+s|u(t) − u(t)|2−sdx = C Ω ≤ C|u(t) − u(t)|2−s, Trong ta sú dung bat thúc Holder vói giá thiet u(t) v(t) b% ch¾n khơng gian L∞(Ω) ta có "h(t)"Lpr ≤ C|u(t) − u(t)| 2− s pr neu ta chon s = − pt(1 + δ) vói moi δ ∈ (0, 2−p r) ta thu đưoc p r "h(t)"Lpr ≤ C|u(t) − u(t)| 1+δ M¾t khác, de dàng kiem tra rang |u(t) − u(t)|2 ≤ e2A(t−τ )|u0 − u0|2 Do ta có "h(t)"Lpr ≤ Ce(1+δ)At|u0 − u0|1+δ Vì (3.35) nên ta có d (1+δ) 1+ |u0 − + "z ≤ A|z| + At δ "z"µ 2 u0 | " |z| Ce dt µ ≤ A|z|2 + Ce2(1+δ)At|u0 − u0| 2(1+δ) + Vì the, bó qua so hang "z ta thu đưoc " d 2(1+δ) + µ ≤ A|z| |u0 − At Ce |z| u0 | dt Sú dung bat thúc Gronwall ta thu đưoc |z|2 ≤ k(t)|u0 − u0|2(1+δ) Do , , |z| ≤ k(t)|u0 − u0|(1+δ) Chon γ(t, r) = k(t)rδ → r → 2(1+δ) "z"µ Đ%nh lý 3.2.1 Giá sú f m®t hàm thu®c lóp C thố mãn (F) g thố mãn (G), (Gt) Khi ton tai qj , j = 1, 2, , cho q˜j ≤ qj vói moi j ≥ 1, qn0 ≥ 0, qn0 +1 < vói n0 ≥ qj ≤ qn0 + (qn0 − qn0+1)(n0 − j) vói moi j = 1, 2, Do qn0 , vói moi τ ∈ R dF (A(τ )) ≤ d0 := n0 + q n0 − n + q Chúng minh Ta có µ t f (Uµ(s, τ )uτ )ei = ∆ei + |x|2 ei − f t(u)ei Khi   ¸ ¸  t t (f (Uà (s, τ )uτ )ei, ei) = − dx − f (u)ei dx i |∇ei| dx − |x|2 e2  Ω Ω 2 e dx ≤− |∇ei| dx − + A, |x|2 i   Ω Ω ta sú dung giá thiet −f t (u) ≤ A ¸ ei2dx = Do Ω j t T rj [f (Uµ(s, τ )uτ )] = sup (f t (Uµ (s, τ )uτ )ei, ei) i≤j i=1  j  ≤− i=1 |ei|2dx ei2dx |x| + Aj j = − (Aei, ei)L2(Ω) + Aj, Au := u i=1 Cà j i=1 Ω j |∇ei|2dx + jA, Cµ = − µ µ = −Cµ (−∆ei, ei)L2(Ω) + jA i=1 ∗ µ |x|2 u Bang cách sú dung bat thúc j .j (−∆ei, ei)L2(Ω) ≥ i=1 λi(Ω), i=1 bat thúc (1.3) [6]: m −2 NN +2 + NC µN (Ω) N m M λi(Ω) ≥ N µN (Ω) N i=1 ó CN = − N+ 2/ NN m, I(Ω) , ωN the tích cna hình cau đơn v% RN , (2π)2ω < µN (Ω) the tíchN - chieu cna Ω, MN = N c , vói c − +2 (2) lắp vúi N v I() = minα∈RN Ω |x − 2dx Khi ta có 4/N N , c đ®c α| NC N T rj [f t(Uµ(s, τ )uτ )] ≤ −Cµ (Ω)−N j −N j = −Kj ta có q˜j ≤ −Kj N+2 µN (Ω) I(Ω) N +2 N N+2 N +2 N N +2 N µN NC N = −Cµ R(Ω) := Khi 2 N +2 N µ N (Ω) − CµMN R(Ω)j + jA + l1 j + l1j, , l1 = A−C µ M N R(Ω), K = Cµ NC N µN (Ω)2 −N N +2 + l1 j = jK(K1 − j l ) N Neu ≤ l1 < K, lay qj = jK(1 − j N ) n0 = 1, áp dung Đ %nh lý 1.3.1 ta thu đưoc dF (A(τ )) ≤ vói moi τ ≤ T ∗ N Neu l1 ≥ K, lay qj = jK(K − j N ) n0 = l1 ký [(Kl1 ) hi¾u phan nguyên cna so thnc m Ta có l1 N l qn0 = K[( ] l1 K 1] K 2 N K − [( K N ) + l1 ≥ 0, ) 2] N l qn0 +1 = K[( ) l1 N − ([( K 1) N K )2] + ≤ 0, ] vói [m] qn0 + (qn0 −qn0+1)(n0 − j) N +2 = n0l1 − Kn0 N+ K(n0 + 1) N N N +2 N +2 − Kn0 − l1 (n0 − j) Giò ta chúng minh rang qj ≤ qn0 + (qn0 − qn0+1)(n0 − j) Vì N +2 N +2 N +2 N +2 Kj N − Kn0 N ≥ − nên suy (n0 + 1) N +2 N Thnc v¾y, đ¾t +2 K(n0 + 1) N N N − − Kn0 − n0 ) l (j N + N N − l1 N +2 ≤j N (j − n0), −n N +2 N n = m ta có < m < 2, ta chúng minh đưoc rang (n + 2)m − (n + 1)m ≥ (n + 1)m − nm vói < m < 2, n ∈ N∗ Khi ta có ((n0 + 1)m − nm)(j − n0) ≥ (jm − nm) Áp dung đ%nh lý 1.3.1, ta thu đưoc dF (A(τ )) ≤ n0 + q n0 −qn0+1 vói moi τ ∗ ≤ T qn Neu l1 < 0, lay qj = −l1(1 − j) n0 = 1, ta có qn0 = 0, qn0+1 = l1 < 0; áp dung Đ%nh lý 1.3.1 ta thu đưoc dF (A(τ )) ≤ vói moi τ ≤ T ∗ Cuoi cùng, Uµ(t, τ ) Lipschitz A(τ ) nên tù Bo đe 13.9 [13] ta suy dF (A(t)) b% ch¾n vói moi t ≥ τ 3.3 Tính nNa liên tnc cỳa Dtắp hỳt lựi tai à= Nđi dung chớnh cna muc chúng minh tính núa liên tuc trờn cna Dtắp hỳt lựi Aà tai = L2 (Ω) Bo đe 3.8 Giá sú giá thiet (F), (G) (Gt) đưoc thoá mãn Khi vói moi t ≤ T ∗ , vói moi t¾p compact K ⊂ L2(Ω) moi T > ta có: |Uµ(t, τ )uτ − U0(t, τ )uτ |2 ≤ µC vói moi τ ∈ [t − T, t], uτ ∈ K, hang so C đc lắp vúi v u (nhng phn thuđc vo T, K) Chỳng minh Ký hiắu Uà(t, )u = u(t), U0(t, τ )uτ = v(t) Đ¾t w(t) = u(t) − v(t) ta có wt − ∆w − µ u + f (u) − f (v) = |x|2 Nhân phương trình vói w, sau lay tích phân Ω ta đưoc ¸ 1d ¸ µ uw dx + |∇w| (f (u) − f (v))wdx = − |w|2 + |x| dt Ω Ω Tù f (u) − f (v)w = (f (u) − f (v))(u − v) ≥ −A|u − v|2 = −A|w| ta có 1d 2 dt |w|2 + Do ú |u| |w| |x| Ω ¸ dx − dt | x| d 2 |w|2 + (λ1,µ − A)|w|2 ≤ Ω vwdx − A|w|22 ≤ µ vwdx, |x|2 ta sú dung bat thúc "w"µ ≥ λ1,µ|w|2 Hơn nua, v, w ∈ dx |x|2 L∞(τ, T ∗ ; L∞(Ω)) ¸ Ω d Do dt < +∞ ta có vói moi t ≤ T ∗, |w(t)|2 + (1,à A)|w(t)|2 àC|v(t)|L()|w(t)|L() e(1,àA)t|w(t)|22 àC t |v(s)|L()|w(s)|L()e (1,àA)s ds ( át A)s µC|v| L∞(−∞,T ∗;L∞(Ω))) |w| e L∞(−∞,T ∗;L∞(Ω)) 1,µ τ ds Do ta thu đưoc µC |w(t)|2 ≤ w(t)|2 ≤ µC 1−e −(λ1,µ−A)(t−τ ) ≤µ C λ1,µ − λ1,µ − A ⇒| A C m®t hang so phu thu®c vào T K Đ%nh lý 3.3.1 Giá sú giá thiet (F), (G) (Gt) đưoc thố mãn Khi đó, vói moi đoan I ⊂ R b% ch¾n, ho t¾p D-hút lùi {Aˆµ : µ ∈ [0, µ∗ ]} núa liên tnc L2(Ω) tai vói moi t ∈ I; nghĩa lim sup distL2(Ω)(Aµ(t), A0(t)) = µ→0 t∈I Chúng minh Chúng ta se kiem tra đieu ki¾n (i)-(iii) Đ%nh lý1.4.1 Trưóc tiên, ta thay đieu k%ên (i) đưoc suy trnc tiep tù Bo đe 3.8 Bà(.) = B(r0(.)) l ho cỏc Dhap thu lùi tương úng cna (2.1) Theo đ%nh nghĩa cna t¾p D−hap thu lùi, vói moi t ∈ R ton tai τ0 = τ0(t) ≤ t cho [ Uµ(t, τ )Bµ(τ ) ⊂ Bµ(t) = B(r0(t)) (3.37) τ ≤τ0 Tù Đ%nh lý 1.2.1 ta có Aµ(t) = \ [ Uµ(t, τ )Bµ(τ ) (3.38) s≤t τ ≤s Tù (3.37), (3.38) ta có Aµ(t) ⊂ Bµ(r0(t)) (3.39) Bây giò, cho trưóc t0 ∈ R ta có [ [ [ Aµ(t) ⊂ µ∈[0,µ∗] t≤t0 t≤t0 Bµ(r0(t)) (3.40) Ta lai có   ¸t ¸s ¸t r0(t) = 2c 1 + e−λ1,µt eλ1,µs|g(s)|22ds + eλ1,µr|g(r)|22drds e−λ1,µt C −∞ C ≤ 2c(1 + λ1,µ + ) λ2 −∞ −∞ 1,µ (3.41) Do tù (3.40) ta có [ [ Aµ(t) b% chắn L2(), t0 cho trúc; à[0,à] tt0 ngha l đieu ki¾n (ii) cna Đ%nh lý 1.4.1 đưoc thố mãn Tù (3.39) ta có the chí rang vói moi t ∈ R, [ Aµ(t) ⊂ Bµ(r0(t)), (3.42) 0