Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hoá cấp 2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I CUNG TH± HƯàNG ĐA TAP QUÁN TÍNH ĐOI VéI M®T LéP PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA CAP HAI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIÁI TÍCH Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Cung The Anh H Nđi -2011 LốI CM N Luắn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Cung The Anh Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS Cung The Anh Sn t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay suot trình hoc t¾p làm lu¾n văn giúp tác giá trưóng thnh hn rat nhieu ve cỏch tiep cắn mđt van đe mói Cám ơn thay giáo giáng day chun ngành Tốn Giái tích nhi¾t tình cung cap tri thúc khoa hoc giúp tác giá nâng cao trình đ® tư duy, hồn thành tot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Tác giá xin đưoc cám ơn tói Ban Giám hi¾u đong nghi¾p ó trưòng THPT Quang Minh quan tâm giúp đõ tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá yên tâm hoc t¾p suot hai năm vùa qua Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè giúp đõ, đ®ng viên k%p thòi đe tác giá hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng 10 năm 2011 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Trong nghiên cúu lu¾n văn, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 10 năm 2011 Tác giá Mnc lnc Má đau Chương SN ton tai nhat nghi¾m cúa phương trình tien hóa cap hai 1.1 Giái thi¾u tốn tN A nNa nhóm etA 1.2 Phương trình tien hóa cap hai đ%nh nghĩa nghi¾m tích phân cúa .11 1.3 SN ton tai nghi¾m cúa phương trình tien hóa cap hai 16 1.3.1 Sn ton tai đ%a phương 16 1.3.2 Sn ton tai toàn cuc tính nhat nghi¾m .18 Chương SN ton tai tính chat cúa đa tap quán tính 20 2.1 Đ%nh nghĩa đa tap quán tính .20 2.2 SN ton tai tính chat cúa đa tap quán tính 28 2.3 Ví dn áp dnng 35 2.3.1 Ví du 35 2.3.2 Ví du 37 KET LU¾N 39 Tài li¾u tham kháo 40 Lí chon đe tài Mé ĐAU Vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna h¾ đ®ng lnc vơ han chieu m®t nhung toỏn c bỏn cna vắt lý toỏn hiắn Mđt nhung cách tiep c¾n tốn đoi vói cỏc hắ đng lnc tỏn xa vụ han chieu, sinh bói phương trình đao hàm riêng phi tuyen ho¾c phương trình vi phân hàm, nghiên cúu sn ton tai tính chat cna t¾p hút tồn cuc ú l mđt compact, bat bien, hỳt moi t¾p b% ch¾n chúa nhieu thơng tin ve dáng iắu tiắm cắn cna nghiắm cna hắ đng lnc ang xột Neu mđt hắ đng lnc vụ han chieu cú mđt hỳt ton cuc vúi so chieu huu han có the đưa vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m cắn cna hắ đng lnc ang xột ve viắc khỏo sỏt cỏc tớnh chat cna mđt hắ đng lnc huu han chieu Tuy nhiên cau trúc cna t¾p hút tồn cuc rat phúc tap, khơng the mơ tá chi tiet đưoc nhung trưòng hop quan nhat, nờn viắc kien thiet cỏc hắ đng lnc huu han chieu khơng the tien hành đưoc Ngồi ra, t¾p hút tồn cuc thưòng khơng on đ%nh đoi vói nhieu v toc đ hỳt cỏc nghiắm vo hỳt tồn cuc thưòng rat ch¾m Bói lí trên, cỏc nh toỏn hoc ó a mđt khỏi niắm mói khái ni¾m đa tap qn tính cna hắ đng lnc vụ han chieu, ( xem [4]) a tap qn tính m®t đa tap bat bien huu han chieu, chúa t¾p hút tồn cuc hút cỏc quy ao nghiắm theo toc đ m Hn nua, cú the chuyen viắc nghiờn cỳu cỏc hắ đng lnc vụ han chieu ban au ve viắc nghiờn cỳu mđt h¾ phương trình vi phân thưòng đa tap qn tính Hi¾n vi¾c nghiên cúu sn ton tai tính chat cna đa tap quán tính cna hắ đng lnc vụ han chieu l mđt chn e thòi sn thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc ngồi nưóc, ( xem [1] - [10]) Chính v¾y, chúng tơi chon đe tài cna lu¾n văn là: "Đa tap qn tính đoi vói m®t lóp phương trình tien hóa cap 2" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu sn ton tai dáng iắu tiắm cắn cna nghiắm cna mđt lúp phng trỡnh tien hóa cap (theo bien thòi gian) có dang:  du  d2 u  + 2ε + Au = B(u, t) , t > s, ε > dt dtdu =u u|t=s = d u0 , t t=s A tốn tú tn liên hop dương vói ròi rac B(·, ã) l mđt ỏnh xa tự D(A) ì R vo H, ≤ θ ≤ 1/2, thóa mãn tính chat: "B(0, t)" ≤ M0 "B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ M1"Aθ(u1 − u2)" vói moi u1, u2 thu®c mien xác đ%nh Fθ = D(Aθ) cna toán tú Aθ, " · " chuan cna khơng gian H Nhi¾m nghiên cNu • Nghiên cúu sn ton tai nhat nghiắm tớch phõn ton cuc Nghiờn cỳu sn ton tai tính chat cna đa tap quỏn tớnh Xõy dnng mđt so vớ du minh hoa ket cna lu¾n văn Đoi tưang pham vi nghiên cNu • Đoi tưong nghiên cúu: Phương trình tien hóa cap 2, sinh bói phương trình hyperbolic phi tuyen • Pham vi nghiên cúu: Sn ton tai tính chat cna đa tap qn tính Phương pháp nghiên cNu • Sú dung phương pháp núa nhóm đe chúng minh sn ton tai nhat nghiắm tớch phõn Sỳ dung phng phỏp Lyapunov - Perron đe chúng minh sn ton tai cna đa tap qn tính NhĐng đóng góp cúa đe tài • Chúng minh đưoc sn ton tai nhat nghiắm tớch phõn ton cuc Nghiờn cỳu oc sn ton tai tính chat cna đa tap quỏn tớnh Xõy dnng oc mđt so vớ du minh hoa ket cna lu¾n văn Chương SN ton tai nhat nghi¾m cúa phương trình tien hóa cap hai Trong chương chúng tơi se phát bieu toán chúng minh đ%nh lý ve sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình tien hóa cap hai m®t khơng gian Hilbert tách đưoc H Trưóc tiên ta xem xét m®t so kien thúc bo tro đóng vai trò quan trong phan tiep sau 1.1 Giái thi¾u tốn tN A nNa nhóm etA Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú H khơng gian Hilbert ly vói tích vơ hưóng (·, ·) chuan " · " Cho A tốn tú tuyen tính dương tn liên hop vói mien xác đ%nh D(A) Khi tốn tú A đưoc goi có ròi rac neu khơng gian H ton tai m®t só trnc chuan gom vectơ riêng {ek} (ek, ej ) = δkj, = 1, 2, , (1.1.1) Aek = λkek, k, j cho < λ1 ≤ λ2 ≤ , lim λk = ∞ (1.1.2) k→∞ Cau trúc đưoc nói đen ó cna tốn tú A giúp ta đ%nh nghĩa tốn tú f (A) cho m®t lóp r®ng hàm f (λ) xác đ%nh núa truc dương sau: D(f (A)) = h= ∞ ∞ ck e k ∈ H : c2 [f (λk)]2 < ∞ , k k=1 ∞ f (A)h = k=1 ckf (λk)ek, D(f (A)) h∈ (1.1.3) k=1 Đ¾c bi¾t, ta có the đ%nh nghĩa tốn tú Aα vói α ∈ R sau α ∞ ∞ D(A ) h= ck ek ∈ H : c [λα]2 < ∞ , = k k=1 ∞ α A h= k k=1 k ckλ α ek, h ∈ D(Aα) k=1 Vói α = −β < tốn tú b% ch¾n Tuy nhiên, trưòng hop này, vi¾c giói thi¾u ”mien tuyen tính” D(Aα) thu¾n ti¾n neu ta xem D(A−β ) mđt sn bo sung cna khụng gian H vúi viắc thựa nhắn chuan "A" Ta cú mđt so tớnh chat sau cna tốn tú Aα: i Vói bat kỳ β ∈ R tốn tú Aβ m®t tốn tú b% ch¾n tù D(Aα) vào D(Aα−β ) cho Aβ D(Aα) = D(Aα−β ), Aβ1+β2 = Aβ1 Aβ2 (1.1.4) ii Khơng gian Fα ≡ D(Aα) m®t khơng gian Hilbert ly vói tích vơ hưóng (u, v)α = (Aαu, Aαv) chuan |u"α = "Aαu" Đ%nh nghĩa 1.1.2 T¾p hop khơng gian Hilbert thóa mãn tính chat: Fα trù m¾t Fβ vói moi α > β; Vói σ > f ∈ Fσ hàm tuyen tính F (g) ≡ (f, g) có the thác trien liên tnc đưoc tù khơng gian H lên F−σ, |(f, g)| ≤ "f"σ "g"−σ , vói bat kỳ f ∈ Fσ g ∈ F−σ; Bat kỳ hàm tuyen tính liên tnc F Fσ đeu có dang: F (f ) = (f, g), vói g ∈ F−σ Như v¾y, F−σ khơng gian hàm tuyen tính liên tnc Fσ, thưòng đưoc goi thang cúa không gian Hilbert, ký hi¾u {Fσ} Trong thang {Fσ} ta xác đ%nh tốn tú e−tA, t ≥ dna vào bieu thúc (1.1.3) sau: e −tA ∞ h= ∞ cke −tλk h= ek, k=1 ckek ∈ {Fσ} k=1 Các tính chat sau cna tốn tú e−tA đóng vai trò quan trong van đe xét đen ve sau: ◦ Vói bat kỳ α ∈ R t > 0, tốn tú tuyen tính e−tA ánh xa −tλ T t Fα vào σ≥0 Fσ có tính chat: "e−A u"α ≤ "u"α e ◦ (Tính chat núa nhóm) e−t1A.e−t2A = e−(t1+t2)A, t1, t2 ≥ ◦ Vói moi u ∈ Fσ σ ∈ R lim "e−tAu − e−τ Au" = t→ τ (1.1.5) 32 lưon g −2 q) (2|2(1 − q) − |W |||s,+ ≤ , s)| QU − Φ(P U0 (2.2.36) Chúng minh Neu sú dung (2.2.30) ta thay |B+[W ](t)| ≤ e−(t−s)λ− N +1 s ¸t −(t−τ )A Q||F (W (τ ), τ )"dτ + |q(W )| + |e s +∞ ¸ |e−(t−τ )AP ||F (W (τ ), τ )|dτ + t vói t > s Tù đó, (2.2.32), (2.2.34) (2.2.35) cho ta |B+[W ](t)| ≤ e−(t−s)λ − |q(W )|+ N s + +1 + γ −1λ− λ− − γ N Tù γ = −(λ + Nλ |Bs+[W (t−s)λ − N +1 N +1 KN e−γ(t−s)|W |s,+ ), đieu ki¾n gián đoan (2.2.25) chí rang ](t)| ≤ e − − N +1 |q(W )| + qe−γ(t−s)| W| s, + (2.2.37) | Tương tn, tù (2.2.33), (2.2.34) (2.2.35) ta có |B+ [W ](t) − B+[W¯ ](t)| ≤ s s N +1 |q(W ) − q(W¯ )| + qe ≤ e− |W − W¯ |s,+ (2.2.38) −γ(t−s) − (t−s)λ vói bat kỳ W, W¯ ∈ C + Tù (2.2.31), (2.2.32) (2.2.26) ta đưoc s |q(W ) + QU0 − Φ(P U0 , s)| ≤ Tù đó, (2 2.34) chí q − K rang N q e ¸+∞ −(s−τ ) A | 33 s q2 P |e −γ(τ− s) |q(W )| ≤ |QU0 − Φ(P U0 , s)| + − |W |s,+ q) 2(1 dτ.|W |s,+ (2.2.39) 33 Tương tn, ta có |q(W ) − q(W¯ )| ≤ q2 |W − W¯ | s, + (2.2.40) 2(1 − q) 2−q Và tù (2.2.37) - (2.2.40) suy q |B+ |W |s,+ , (2.2.41) s [W ]|s,+ ≤ |QU0 − Φ(P U0 , 1− s)| + q + + |B [W ] − B [W¯ ]|s, q − |W − W¯ |s,+ q + ≤ s s 1−q √ Tù đó, neu q < − tốn tú s liên tuc co C + s Ưóc B+ lưong (2.2.36) cna điem bat đ®ng cna ánh xa suy tù (2.2.41) Bo đe đưoc chúng minh Đe hồn thi¾n vi¾c chúng minh đ%nh lý (2.2.1) ta phái chúng minh hàm U ∗ (t) = U (t) + W (t) m®t nghi¾m tích phân cna tốn (1.2.11) nam {M t, t ≤ s} (ó W (t) m®t nghi¾m cna phương trình tích phân (2.2.30) ) Ta có the thnc hi¾n vi¾c bang cách sú dung tính bat bien cna t¾p {M t}, vi¾c thúc (2.2.31) tương đương vói U ∗ (s) ∈ M s Đ %nh lý đưoc chúng minh Chúng ta phân tích đieu ki¾n (2.2.25) Phương trình (2.1.17) kéo theo đieu ki¾n (2.2.25) đưoc thóa mãn neu ε ≥ 2µN +1 , µN +1 − µN , ε2 − µN θ−1/2 ≥ M 1µ (2.2.42) q 34 Tuy nhiên, neu giá sú rang µN +1 − µN ≥ √ q θ M1µN +1 N +1 (2.2.43) 34 vói đieu ki¾n (2.2.42) đn đe khang đ%nh rang 2µN +1 ≤ ε2 ≤ 2µN +1 + µN (2.2.44) Do đó, neu đieu ki¾n (2.2.43) (2.2.44) đưoc thóa mãn khang đ%nh cna đ%nh lý 2.2.1 có hi¾u lnc đoi vói tốn (1.2.11) Vói chúng tơi đưa vào đieu ki¾n khang đ%nh sn ton tai đa tap quán tính sau Đ%nh lý 2.2.2 Giá sú rang giá tr% riêng µN cúa tốn tú A có tính chat µN inf > µN (k)+1 = c0kρ(1 + ◦(1)), ρ > 0, N µ N (2.2.45) +1 k→∞ vói moi dãy {N (k)} tien dan tói vơ cnc thúa ieu kiắn àN (k)+1 − µN (k) M1µN (k)+1, < q < − q ≥ Khi ton tai ε0 > cho khang đ%nh cúa đ%nh lý 2.2.1 vói moi ε ≥ ε0 Chúng minh Bat thúc (2.2.45) chí rang ton tai k0 cho đoan [2µN (k)+1, 2µN(k)+1 + µN (k)] k ≥ k0 phn núa tia [ε0, +∞) Th¾t v¾y, neu ngưoc lai se có m®t dãy {N (kj )} cho µN (kj ) < 2(µN (kj +1)+1 − µN (kj )+1) Nhưng đieu khơng the đưoc (2.2.45) Do đó, vói moi ε ≥ ε0 ton tai N = Nε cho bat thúc (2.2.43) (2.2.44) (2.2.25) đưoc thóa mãn 2.3 Ví dn áp dnng Sau m®t so ví du áp dung: 2.3.1 Ví dn Xét tốn Cauchy - Dirichlet đoi vói phương trình truyen sóng tat dan  ∂ u ∂u ∂ = f (x, t, u) , < x < π, ε >  + 2ε u  ∂t2 − ∂t ∂x2     u|x=0 = u| x=π (2.3.46) =0 u|t=0 = u0   ∂ u  = u1 ∂t t=0 Giá sú f (x, t, u) m®t hàm liên tuc vói tùng bien có tính chat: |f (x, t, u1) − f (x, t, u2)| ≤ M|u1 − u2| M |f (x, t, 0)| ≤ √ π ∂2 (0, π) Ánh xa Trong tốn A = − , D(A) = H0 (0, π) ∂x ∩H B(·, t) cho bói cơng thúc u(x) −→ f (x, t, u(x)) thóa mãn đieu ki¾n (1.2.12) vói θ = De thay, giá tr% riêng cna A µn = n2 Bây giò ta viet lai tốn dưói dang phương trình cap m®t d U (t) + AU (t) = B(U (t), t), t > s; = U0 U t=s dt ∂u ó U = u(t); , U = ; u1 ) ∂t (u0 (2.3.47) ∂u u ∂u AU = − , + 2ε ∂ − ∂t ∂2x ∂t B(U, t) = 0; f (x, t, u) Giá tr% riêng cna A λ− = ε− n √ ε2 − n2 Lay N = µ1 = 1, √ √ = ε − ε2 − 4, λ1 = ε2 − λ− − ε− M √ max 1, KN = ε2 − Ta tìm m®t đieu ki¾n đn cna h¾ so tat dan ε h¾ so Lipschitz đe tốn mãn đieu ki¾n (2.2.25): Neu thóa ε > 2√2 KN = M q ≤ (λ− λ−) − q , Tù suy M ≤ −1 − ε −4 2√ − q ≤ √ Neu < ε < 2 KN = , ε q, √ , M ε2 − , ε − ε − ≤ M ε − − q √ < √ q √ 7− V¾y neu < ε < 2 M < ho¾c ε > 2 M < 2 q đieu ki¾n (2.2.25) đưoc thóa mãn Khi ton tai m®t đa tap qn tính cna tốn (2.3.46) 2.3.2 Ví dn Xét  toán Cauchy - Neumann 2 ∂u ∂ u  ∂ u + 2ε = f (x, t, u) , < x < π, ε >  ∂t ∂t − ∂x2   u|.t=0 = u0 ∂ u =   ∂t u1 t=0   ∂u ∂u  =  = ∂x x=0 ∂x.x=π (2.3.48) Giá sú f (x, t, u) m®t hàm liên tuc vói tùng bien có tính chat: |f (x, t, u1) − f (x, t, u2)| ≤ M|u1 − u2| M |f (x, t, 0)| ≤ √ π ∂2 Trong toán A = − + α, ánh xa B(u, t) = −αu + ∂x f (x, t, u) thóa mãn đieu ki¾n "B(0, t)" ≤ M + α (2.3.49) √ π "B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ (M + α)|u1 − u2| vói α so dương đn nhó Các giá tr% riêng cna A µn = n2 + α Bây giò ta viet lai tốn dưói dang phương trình cap m®t d U (t) + AU (t) = B(U (t), t), t > s; = U0 U t=s dt ∂u ó U = u(t); ,U = ; u1 ) ∂t (u0 ∂u u ∂u AU = − , + αu + 2ε ∂ − ∂t ∂2 x ∂t (2.3.50) B(U, t) = 0; B(u, t) √ Giá tr% riêng cna A nλ− = ε − ε2 − n2 − α Lay N = µ1 = + α, √ √ = ε − ε − − α, 1λ = ε2 − − α λ− − ε− M+ α √ max 1, KN = ε2 − − α Ta tìm m®t đieu ki¾n đn cna h¾ so tat dan ε h¾ so Lipschitz đe tốn thóa mãn đieu ki¾n (2.2.25): √ Neu ε > + α KN = M + α q − (λ λ−) − ≤ , q ε Tù suy M+ α ≤ , −1−α ε2 − −4−α √ − + α M < q − α đieu ki¾n (2.2.25) đưoc thóa mãn Khi ton tai m®t đa tap qn tính cna tốn(2.3.48) KET LU¾N Trong lu¾n văn này, chúng tơi nghiên cúu sn ton tai dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna tốn Cauchy đoi vói m®t lóp phương trình tien hóa cap hai Các ket q nh¾n đưoc luắn vn: Chỳng minh oc sn ton tai nhat nghiắm tớch phõn ton cuc Nghiờn cỳu oc sn ton tai tính chat cna đa tap quỏn tớnh Xõy dnng oc mđt so vớ du minh hoa ket đat đưoc lu¾n văn Mđt so van e sau cỏc ket quỏ cna luắn l: Nghiờn cỳu sn ton tai dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna tốn Cauchy đoi vói m®t lóp phương trình tien hóa cap hai trưòng hop h¾ so Lipschitz cna B(·, ·) phu thuđc vo t Nghiờn cỳu sn ton tai v dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna tốn Cauchy đoi vói m®t lóp phương trình tien hóa cap hai trưòng hop phương trình tien hóa cap hai có tre M®t so ket q ban đau theo hưóng đoi vúi phng trỡnh tien húa cap mđt nhắn oc gan [1] Tài li¾u tham kháo [1] C.T Anh, L.V Hieu and N.T Huy(2011), "Inertial manifolds for semilinear parabolic equations with finite delay", submitted [2] L Boutet de Monvel, I.D Chueshov and A.V Rezounenko(2002), "Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations", Nonlinear Anal, 51,1045-1054 [3] I.D Chueshov(2002), Introduction to the Theory of InfiniteDimensional Dissipative Systems, Acta [4] C Foias, G.R Sell and R Temam(1988), "Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations", J Differential Equations, 73,309353 [5] A.Yu Goritskij and M.I Vishik(1997), "Local integral manifolds for a nonautonomous parabolic equation", J Math Sci, 85, 24282439 [6] N Koksch and S Siegmund(2002), "Pullback attracting inertial manifols for nonautonomous dynamical systems", J Dyn Differ Equations, 14,889-941 [7] A.V Rezounenko(1998), "Inertial manifolds for retarded second order in time evolutionary equations", Nonlinear Anal, 34,907-925 [8] G.R Sell and Y You(2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer - Verlag, New York [9] M Taboado and Y You(1994), "Invariant manifolds for retarded semilinear wave equations", J Differential Equations, 114, 337-369 [10] R Temam(1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer - Verlag, New York ... tai tồn cuc tính nhat nghi¾m .18 Chương SN ton tai tính chat cúa đa tap quán tính 20 2. 1 Đ%nh nghĩa đa tap quán tính .20 2. 2 SN ton tai tính chat cúa đa tap quán tính 28 2. 3 Ví dn... "A1 /2 uăm (t)" 2C"u m (t)" + "A1 /2 um (t)" + "h(t)" Do (1 .2. 24) ta có "A1 /2 + "u m (t) uăm (t)" + " um(t)" ≤ C(T, u0, u1) (1 .2. 25) "A1 /2 Qua giói han m phng trỡnh (1 .2. 22) ta oc uă(t)+2u (t)+... "A1 /2 + h(t) u0" 4ε" " (1 .2. 24) M¾t khỏc, tự phng trỡnh ta cú uăm (t) = 2u m (t) − Aum (t) + Pm h(t), tù suy A1 /2 uăm (t) = 2A1 /2 u m (t) + A1 /2 um (t) + Pm A1 /2 h(t) Do D(A1 /2 ⊂ H ⊂ D(A−1 /2) )