Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính_2

Header Page of 128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HẠ KIM CƯƠNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HỒN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HẠ KIM CƯƠNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ LÂN HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Đỗ Lân, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả luận văn HẠ KIM CƯƠNG Footer Page of 128 Header Page of 128 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn thầy giáo TS Đỗ Lân, luận văn chun ngành tốn giải tích với đề tài: "Sự tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính" hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả luận văn HẠ KIM CƯƠNG Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.2 Lí thuyết nửa nhóm 1.3 Nửa nhóm hyperbolic 1.4 Các định lí điểm bất động 1.4.1 Nguyên lí ánh xạ co 1.4.2 Định lí điểm bất động Schauder Sự tồn nghiệm đối tuần hoàn 10 2.1 Đặt toán 10 2.2 Trường hợp tồn nghiệm 12 2.3 Trường hợp tồn nghiệm 15 2.4 Ví dụ áp dụng 23 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 Footer Page of 128 Header Page of 128 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nghiên cứu định tính hệ phương trình vi tích phân, với lí thuyết ổn định, việc tìm lớp nghiệm đặc biệt, ví dụ nghiệm có tính chất tuần hoàn, đối tuần hoàn hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Bài tốn với nghiệm đối tuần hồn hệ vi phân sinh từ tốn vật lí, đó, nhiều q trình vật lí mơ tả phương trình với nghiệm đối tuần hồn (có thể xem [3]) Các kết tồn nghiệm đối tuần hoàn cho phương trình tiến hóa nghiên cứu Okochi (xem [6, 7, 8]), từ đó, nhiều kết tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính chứng minh Trong khoảng thập kỉ trở lại đây, cách tiếp cận thường gặp nghiên cứu tồn nghiệm đối tuần hoàn cho phương trình tiến hóa cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm, đó, nghiên cứu tác giả Liu (xem [5]) kết theo cách tiếp cận Trong luận văn chúng tơi trình bày lại cách hệ thống kết báo [5] chứng minh tồn nghiệm đối tuần hồn cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng u (t) = Au(t) + f (t, u(t)), t ∈ R, u(t + T ) = −u(t), đó, phần tuyến tính sinh nửa nhóm có tính chất lưỡng phân Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm đối tuần hồn cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính khơng gian Banach mà nửa nhóm sinh tốn tử đóng có tính lưỡng phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lí thuyết nửa nhóm, nửa nhóm hyperbolic - Tìm hiểu tốn nghiệm đối tuần hồn - Áp dụng lí thuyết tổng qt vào phương trình đạo hàm riêng cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính khơng gian Banach - Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu điều kiện đủ để toán tồn tồn nghiệm Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm nguyên lí điểm bất động Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả luận văn HẠ KIM CƯƠNG Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm Giả sử Ω tập đo được, bị chặn Rn Trong luận văn này, sử dụng không gian hàm sau (xem [2]) • Lp (Ω), ≤ p < ∞, khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p Ω Chuẩn Lp (Ω) định nghĩa sau: u Lp (Ω) |u(x)|p dx := p Ω • L2 (0, π), khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc (0, π) Chuẩn L2 (0, π) định nghĩa sau: u L2 (0,π) |u(x)| dx := (0,π) • L∞ (Ω) khơng gian bao gồm tất hàm đo bị chặn hầu khắp nơi Ω với chuẩn xác định sau u L∞ (Ω) := ess sup |u(x)| x∈Ω Footer Page of 128 Header Page of 128 Giả sử (X; X) không gian Banach Trong luận văn sử dụng không gian hàm sau: • L(X) khơng gian Banach tất tốn tử bị chặn X • C([a, b]; X) không gian bao gồm tất hàm u : [a, b] → X liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn u C([a,b];X) = sup u(t) X t∈[a,b] • Lp (a, b; X) khơng gian bao gồm tất hàm u : (a, b) → X cho b u Lp (a,b;X) u(t) := a p X dt < +∞ • BC(R, X) không gian Banach tập tất hàm liên tục bị chặn từ R vào X với chuẩn u ∞ = sup { u(t) : t ∈ R} • Hàm số u ∈ BC(R, X) gọi thỏa mãn điều kiện T −đối tuần hoàn u(t + T ) = −u(t), ∀t ∈ R Kí hiệu PT A (R, X) tập tất hàm thỏa mãn điều kiện đối tuần hồn, PT A (R, X) bất biến tác động phép tịnh tiến Được trang bị chuẩn đều, PT A (R, X) trở thành không gian đóng BC(R, X) Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 1.2 Lí thuyết nửa nhóm Trong mục chúng tơi giới thiệu khái niệm lí thuyết nửa nhóm: tốn tử sinh số nửa nhóm đặc biệt thường gặp Các kiến thức mục tham khảo từ tài liệu [1], [4] Với X không gian Banach L(X) không gian tốn tử tuyến tính bị chặn X , ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Một họ ánh xạ S(t) ∈ L(X), ≤ t < ∞, gọi nửa nhóm ánh xạ tuyến tính X thỏa mãn: (i) S(0) = I , I toán tử đồng X , (ii) S(t + s) = S(t)S(s) với t, s ≥ Định nghĩa 1.2 Một toán tử tuyến tính A gọi tốn tử sinh nửa nhóm {S(t)}t≥0 xác định sau: S(t)x − x , ∀x ∈ D(A) t→0 t A(x) = lim D(A) miền xác định A: D(A) = S(t)x − x tồn X t→0 t x ∈ X : lim Định nghĩa 1.3 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 gọi C0 -nửa nhóm (hay nửa nhóm liên tục mạnh) lim S(t)x = x, ∀x ∈ X t→0 Định lí sau cho ta điều kiện cần để tốn tử tuyến tính A sinh C0 -nửa nhóm Footer Page 10 of 128 Header Page 18 of 128 Từ (1.1) (1.2), cho s → −∞ (2.1) s → +∞ (2.2) ta t S(t − ξ)P f (ξ, u(ξ))dξ, P u(t) = −∞ +∞ Qu(t) = − S(t − ξ)Qf (ξ, u(ξ))dξ t Do đó, u(t) = [Λu](t) (∀t ∈ R), tức u điểm bất động Λ Ngược lại, u = Λu hiển nhiên u nghiệm (2.1) − (2.2) Bước Bây ta chứng minh Λ có điểm bất động PT A (R, X) Xét hai hàm u, v ∈ PT A (R, X), ta có t [Λu(t)] − [Λv(t)] ≤ S(t − s)P [f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds −∞ +∞ S(t − s)Q[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds + t Từ (1.1), (1.2) (H2)(iii), ta thu t [Λu(t)] − [Λv(t)] ≤M L u − v e ∞ −δ(t−s) −∞ = 2M L u−v δ +∞ eδ(t−s) ds ds + t ∞ Từ (H3), ta có Λ ánh xạ co, nên theo nguyên lí ánh xạ co Banach, Λ có điểm bất động u ∈ PT A (R, X) Vậy toán (2.1) − (2.2) tồn nghiệm T-đối tuần hoàn 14 Footer Page 18 of 128 Header Page 19 of 128 2.3 Trường hợp tồn nghiệm Ta xét trường hợp hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai Với số dương r bất kì, ta kí hiệu: B r := {x ∈ X : x ≤ r} , Yr := {φ ∈ PT A (R, X) : φ ∞ ≤ r} Ta xét giả thiết sau: (H2’) Hàm f : R × X → X thỏa mãn điều kiện sau (i) Với t ∈ R, x ∈ B r , f (t + T, −x) = −f (t, x) (ii) f thỏa mãn điều kiện Carathéodory, tức với x ∈ X, f (·, x) đo với t ∈ R, f (t, ·) liên tục Hơn nữa, tồn hàm α ∈ L([0, T ], R+ ) cho f (t, x) ≤ α(t), hầu khắp t ∈ [0, T ], ∀x ∈ B r (H3’) 2M − e−δT T α(t)dt ≤ r (H4) S = {S(t)}t≥0 C0 -nửa nhóm compact Từ (H4), ta có S liên tục theo tôpô với t > 0, tức lim S(t + η) − S(t) = 0, ∀t > η→0 (2.5) Bây giờ, ta chứng minh định lí sau tồn nghiệm đối tuần hoàn toán (2.1) − (2.2) giả thiết 15 Footer Page 19 of 128 Header Page 20 of 128 Định lý 2.2 Giả sử tồn số r > thỏa mãn điều kiện (H1), (H2’), (H3’) (H4) Khi (2.1) − (2.2) có nghiệm Yr Chứng minh Để chứng minh định lí này, ta chia thành bốn bước Bước 1: Tương tự chứng minh bước Định lí 2.1 Ta có ánh xạ Λ PT A (R, X) xác định từ PT A (R, X) vào Với u ∈ PT A (R, X) u nghiệm (2.1) − (2.2) u điểm bất động Λ Bước 2: Ta chứng minh ánh xạ Λ từ Yr vào nó, t +∞ [Λu](t) ≤ S(t − s)P f (s, u(s)) ds + −∞ S(t − s)Qf (s, u(s)) ds t t ≤M −δ(t−s) e +∞ eδ(t−s) f (s, u(s)) ds f (s, u(s)) ds + M −∞ M − e−δT 2M = − e−δT 2M = − e−δT t t+T t ≤ f (s, u(s)) ds + t−T T f (s, u(s)) ds t f (s, u(s)) ds T α(s)ds Từ (H3’), ta có Λu ∈ Yr Bước 3: Tiếp theo, ta chứng minh Λ liên tục Yr Xét u, v ∈ Yr , ta có t [Λu(t)] − [Λv(t)] ≤ S(t − s)P [f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds −∞ ∞ S(t − s)Q[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds + t 16 Footer Page 20 of 128 Header Page 21 of 128 t ≤M e−δ(t−s) f (s, u(s)) − f (s, v(s)) ds −∞ ∞ eδ(t−s) f (s, u(s)) − f (s, v(s)) ds +M t T 2M ≤ − e−δT f (s, u(s)) − f (s, v(s)) ds Từ điều kiện (H2’)(ii), ta có Λ liên tục Bước 4: Bây ta chứng minh ΛYr compact Xét {uk : k ≥ 1} ⊂ Yr Ta cần chứng minh {Λuk : k ≥ 1} compact tương đối BC(R; X) Đầu tiên chứng minh {Λuk : k ≥ 1} liên tục đồng bậc Đặt t S(t − s)P f (s, uk (s))ds, t ∈ R, φk (t) := −∞ ∞ S(t − s)Qf (s, uk (s))ds, t ∈ R ψk (t) := t Khi φk , ψk ∈ BC(R, X) Λuk = φk − ψk Với t ∈ R, h, η ∈ (0, 1), t+h φk (t + h) − φk (t) = S(t + h − s)P f (s, uk (s))ds −∞ t − S(t − s)P f (s, uk (s))ds −∞ t+h S(t + h − s)P f (s, uk (s))ds = t t + (S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s))ds t−η t−η (S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s))ds + t−N t−N (S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s))ds + −∞ ≡I1 + I2 + I3 + I4 17 Footer Page 21 of 128 Header Page 22 of 128 Lại đặt α(t) mở rộng R hàm α(t) với α(t + T ) = α(t), với t∈R Khi với K , từ (H2’) ta có: f (t, uk (t)) ≤ α(t), t ∈ R (2.6) Với > bất kì, ta tìm số θ ∈ (0, 1), không phụ thuộc vào k t, cho I1 , I2 < với điều kiện h, η < θ Mặt khác, với I4 , ta có t−N I4 ≤ (S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s)) ds −∞ t−N ≤M e−δ(t+h−s) + e−δ(t−s) α(s)ds −∞ −δN 2M e ≤ − e−δT T α(s)ds Khi đó, với N đủ lớn độc lập với k, t, ta có I4 < Bây giờ, ta cố định η N với N − η = nT , n ∈ N∗ , cho I2 , I4 < Khi t−η I3 ≤ (S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk (s)) ds t−N t−η ≤ (S(t + h − s) − S(t − s))P α(s)ds t−N t−η (S(η + h) − S(η))S(t − η − s)P α(s)ds = t−N t−η ≤ (S(η + h) − S(η)) e−δ(t−η−s) α(s)ds t−N T ≤M n (S(η + h) − S(η)) α(s)ds Từ (2.3), suy tồn số θ1 ∈ (0, θ), không phụ thuộc với k 18 Footer Page 22 of 128 Header Page 23 of 128 t, cho I3 < Do đó, với k , φk (t + h) − φk (t) < , ∀t ∈ R, h ∈ (0, θ1 ) Vậy {φk : k ≥ 1} liên tục đồng bậc Xét tập {ψk : k ≥ 1} Với t ∈ R, h ∈ (0, θ1 ) ∞ ψk (t − h) − ψk (t) = S(t − h − s)Qf (s, uk (s))ds t−h ∞ − S(t − s)Qf (s, uk (s))ds t t S(t − h − s)Qf (s, uk (s))ds = t−h t+N (S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s))ds + t ∞ (S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s))ds + t+N ≡J1 + J2 + J3 > 0, có số λ ∈ (0, 1) không phụ thuộc vào k Tương tự, với t, cho J1 < với h < λ Bây giờ, ta đánh giá J3 ∞ J3 ≤ (S(t + h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s)) ds t+N ∞ eδ(t−h−s) + eδ(t−s) α(s)ds ≤M t+N −δN ≤ 2M e − e−δT T α(s)ds Như vậy, với N đủ lớn khơng phụ thuộc k t J3 < Bây ta cố định N với N = nT với n ∈ N, cho J3 < Khi 19 Footer Page 23 of 128 Header Page 24 of 128 t+N J2 ≤ (S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk (s)) ds t t+N (S(1 − h) − S(1))S(t − s − 1)Qf (s, uk (s)) ds = t t+N ≤ (S(1 − h) − S(1)) S(t − s − 1)Q f (s, uk (s)) ds t t+N eδ(t−s−1) α(s)ds ≤M (S(1 − h) − S(1)) t T ≤M n (S(1 − h) − S(1)) α(s)ds Từ (3.3), ta tìm số λ1 ∈ (0, λ) khơng phụ thuộc với k t, cho J2 < với h < λ1 Do với k , ψk (t − h) − ψk (t) < , ∀t ∈ R, h ∈ (0, λ1 ) Vậy ta có {ψk : k ≥ 1} liên tục đồng bậc nên {Λuk : k ≥ 1} liên tục đồng bậc Tiếp theo, ta chứng minh họ {Λuk : k ≥ 1} có dãy Cauchy BC(R, X) Thật vậy, với k ≥ 1, ta có t− n ∞ S(t − s)P f (s, uk (s))ds − [Λuk ] (t) = S(t − s)Qf (s, uk (s))ds −∞ t− 20 Footer Page 24 of 128 n Header Page 25 of 128 t− t n S(t − s)P f (s, uk (s))ds − + t− S(t − s)Qf (s, uk (s))ds t n t =S 1 [Λuk ] t − n n S(t − s)f (s, uk (s))ds + t− (2.7) n Từ (2.4) ta suy tồn số c > cho t t S(t − s)f (s, uk (s))ds ≤ C t− n α(s)ds, ∀t ∈ R, k ≥ t− n Đặt           t     ρn = sup C α(s)dx             t− n Do α hàm T-đối tuần hoàn α ∈ L([0, T ], R+ ), ta có ρn < ∞ ρn → n → ∞ 21 Footer Page 25 of 128 (2.8) Header Page 26 of 128 Xét họ hàm {S(1)[Λuk ](· − 1) : k ≥ 1} tập PT A (R, X) Lại kí hiệu S(1)[Λuk ](· − 1) hạn chế S(1)[Λuk ](· − 1) đoạn [0, T ] Như trình bày trên, {Λuk : k ≥ 1} liên tục đồng bậc, {S(1)[Λuk ](· − 1) : k ≤ 1} liện tục đồng bậc Mặt khác, bước ta chứng minh {Λuk : k ≥ 1} ⊂ Yr Từ suy [Λuk ](t − 1) ≤ r, t ∈ [0, T ], k ≥ Do S(1) toán tử compact, với t ∈ [0, T ], tập {S(1)[Λuk ](t − 1) : k ≥ 1} compact tương đối X theo định lí Arzela-Ascoli {S(1)[Λuk ](· − 1) : k ≥ 1} compact tương đối Do đó, tồn dãy {Λuk : k ≥ 1}, kí hiệu Λu1k : k ≥ cho S(1)[Λu1k ](· − 1) : k ≥ dãy Cauchy BC(R, X) Tương tự, ta chọn dãy Λu1k : k ≥ 1 kí hiệu Λu2k : k ≥ cho S( )[Λu2k ](· − ) : k ≥ dãy 2 Cauchy BC(R, X) Lặp lại bước ta thu dãy {Λuk : k ≥ 1} kí hiệu Λukk : k ≥ cho với n 1 S [Λukk ] · − : k ≥ dãy Cauchy BC(R, X) Kết n n hợp với (2.5) (2.6) ta có Λukk : k ≥ dãy Cauchy BC(R, X), tức {Λuk : k ≥ 1} compact tương đối BC(R, X) Bây giờ, từ Định lí điểm bất động Schauder ta suy Λ có điểm bất động tức tốn (2.1) − (2.2) có nghiệm Chú ý 2.1 Tương tự, ta chứng minh tốn (2.1) − (2.2) có nghiệm đối tuần hoàn với điều kiện giả thiết (H2’)(i) Định lí 2.2 thay điều kiện sau (i’) với t ∈ R, x ∈ B r , f (t + T, x) = −f (t, x) 22 Footer Page 26 of 128 Header Page 27 of 128 Ta có hệ sau trực tiếp suy từ Định lí 2.2 Hệ 2.1 Giả sử giả thiết (H1) (H2) đúng, giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện Carathéodory f (t + T, −x) = −f (t, x), ∀t ∈ R, x ∈ X Hơn nữa, tồn hàm α ∈ L([0, T ], R+ ) hàm không giảm Γ : R+ → R+ cho f (t, x) ≤ α(t)Γ( x ), t ∈ [0, T ], ∀x ∈ X, Γ(r) < Ω = lim r→∞ r − e−δT T 2M α(t)dt Khi (2.1) − (2.2) có nghiệm PT A (R, X) 2.4 Ví dụ áp dụng Trong mục ta đưa ví dụ minh họa cho Định lí 2.2 Xét phương trình đạo hàm riêng ∂2 ∂ u(t, x) = u(t, x) + pu(t, x) + f (t, u(t, x)), ∂t ∂x u(t, 0) = u(t, π) = 0, 23 Footer Page 27 of 128 (2.9) Header Page 28 of 128 với t ∈ R x ∈ [0, π], p ∈ R, f : R × R → R hàm Xét X = L2 ([0, π]) toán tử A định nghĩa sau Aψ := ψ + pψ, ψ ∈ D(A), D(A) := ψ ∈ L2 [0, π] : ψ ∈ L2 [0, π], ψ(0) = ψ(π) ⊂ L2 [0, π] Như vậy, A tốn tử sinh C0 -nửa nhóm compact S = {S(t)}t≥0 X Cho p = n2 với n ∈ N, ta kiểm tra σ(S(t)) ∩ Γ = ∅ với t > Vậy S nửa nhóm hyperbolic Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện Carathéodory f (t + T, −u) = −f (t, u), ∀t, u ∈ R Ngoài ra, ta giả sử tồn hàm α ∈ L([0, T ], R+ ) hàm không giảm γ : R+ → R+ cho f (t, u) ≤ α(t)γ(|u|), t ∈ [0, T ], ∀u ∈ R, (2.10) γ(r) = r→∞ r ω = lim (2.11) Khi với u(·) ∈ L2 ([0, π]), từ (2.11) ta có γ(|u(·)|) ∈ L2 ([0, π]) Kết hợp với (2.10), ta có f (t, u(·)) ∈ L2 ([0, π]) Bây ta định nghĩa hàm không giảm Γ : R+ → R+ xác định Γ(r) = sup γ(|u(·)|) L2 ([0,π]) : u(·) ∈ L2 ([0, π]), u(·) L2 ([0,π]) =r Từ (2.11) ta có, với δ > 0, tồn M > cho γ(r) < δr, ∀r > M 24 Footer Page 28 of 128 (2.12) Header Page 29 of 128 Mặt khác, γ hàm không giảm nên γ(r) ≤ γ(M ), ∀r ∈ [0, M ] (2.13) Từ (2.12) (2.13) ta có γ(|u(·)|) L2 ([0,π]) ≤ δ u(·) L2 ([0,π]) + γ(M )π, ∀u(·) ∈ L2 ([0, π]), nghĩa Γ(r) ≤ δr ≤ πγ(M ) Vậy hàm Γ(r) xác định Từ định nghĩa Γ(r) (2.10), ta có f (t, u(·)) L2 ([0,π]) ≤ α(t)Γ( u(·) L2 ([0,π]) ), với u(·) ∈ L2 ([0, π]) với hầu khắp t ∈ [0, T ] Mặt khác, với > 0, cho δ = , Γ(r)/r < r > 2πγ(M ) Do đó, Γ(r) = r→∞ r Ω = lim Như tốn (2.9) mơ hình tốn tổng quát (2.1)− (2.2) Do đó, ta thu mệnh sau Mệnh đề 2.1 Giả sử điều kiện Định lí 2.2 thỏa mãn cho hệ (2.9) Khi đó, tốn (2.9) có nghiệm đối tuần hoàn 25 Footer Page 29 of 128 Header Page 30 of 128 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống kết báo [5] nghiên cứu tồn nghiệm đối tuần hồn cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trong luận văn này, chúng tơi trình bày phương pháp xây dựng số điều kiện đủ cho phần tuyến tính phi tuyến để chứng minh tồn tồn nghiệm phương pháp điểm bất động Các kết đạt luận văn bao gồm: • Trình bày cách hệ thống lí thuyết nửa nhóm tốn tử • Xây dựng điều kiện đủ để chứng minh tồn tồn nghiệm cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phần tuyến tính sinh nửa nhóm có tính chất lưỡng phân • Xây dựng ví dụ minh họa kết trừu tượng thu 26 Footer Page 30 of 128 Header Page 31 of 128 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế (2016), Nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Trần Đức Vân (2008), Lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] M.T Batchelor, R.J Baxter, M.J O’Rourke and C.M Yung (1995), Exact solution and interfacial tension of the sixvertex model with anti-periodic boundary conditions,Journal of Physics A: Math Theo 28, 2759-2770 [4] K.-J Engel and R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics, 194 Springer-Verlag, New York [5] Q Liu (2011), Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evolution equation,J Math Anal Appl 377 (1), 110-120 [6] H Okochi (1988), On the existence of periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J Math Soc Japan 40, 541–553 27 Footer Page 31 of 128 Header Page 32 of 128 [7] H Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to a nonlinear evolution equation associated with odd subdifferential operators, J Funct Anal 91, 246–258 [8] H Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to nonlinear parabolic equations in noncylindrical domains, Nonlinear Anal 14, 771–783 28 Footer Page 32 of 128 ... với nghiệm đối tuần hồn hệ vi phân sinh từ toán vật lí, đó, nhiều q trình vật lí mơ tả phương trình với nghiệm đối tuần hồn (có thể xem [3]) Các kết tồn nghiệm đối tuần hoàn cho phương trình tiến. .. tuần hoàn cho phương trình tiến hóa nghiên cứu Okochi (xem [6, 7, 8]), từ đó, nhiều kết tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính chứng minh Trong khoảng... cứu tồn nghiệm đối tuần hồn cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính khơng gian Banach mà nửa nhóm sinh tốn tử đóng có tính lưỡng phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lí thuyết nửa nhóm, nửa