Vấn đề giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính (LV01244)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỒNG THỊ THÙY LINH VẤN ĐỀ GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Hà Nội, ngày 22 tháng 5 năm 2014 Học viên Đồng Thị Thùy Linh i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 22 tháng 5 năm 2014 Học viên Đồng Thị Thùy Linh ii Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . 13 2 Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính 16 2.1. Chuẩn và số điều kiện của ma trận . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1. Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Một số chuẩn thường dùng trong R n . . . . . . . 18 2.1.3. Mối liên hệ giữa chuẩn của hai ma trận của cùng một toán tử tuyến tính T trong R n . . . . . . . . 21 2.1.4. Số điều kiện của ma trận A . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Một số phương pháp gần đúng giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 iii 2.2.1. Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2. Phương pháp Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Một số ví dụ và ứng dụng 45 3.1. Một số tính toán trên phần mềm Maple để tính số điều kiện của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1. Chương trình tính số điều kiện của ma trận trên phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2. Một số ví dụ về giải hệ phương trình đại số tuyến tính . 52 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những vấn đề nền tảng của giải tích số. Với mong muốn làm rõ và trình bày một cách hệ thống các vấn đề tính chuẩn trong R n , giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính, tôi chọn đề tài: "Vấn đề giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính". 2. Mục đích nghiên cứu So sánh về chuẩn toán tử, ma trận. Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. Một số ứng dụng của phần mềm Maple trong việc tính số điều kiện của ma trận, giải hệ phương trình đại số tuyến tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuẩn toán tử, chuẩn ma trận, số điều kiện. Nghiên cứu phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. 1 Nghiên cứu phần mềm Maple trong việc tính số điều kiện của ma trận và giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Không gian R n với một số chuẩn quen thuộc và các toán tử tuyến tính, các ma trận. Phần mềm toán học Maple trong việc tính số điều kiện của ma trận và giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn ứng dụng các phương pháp của giải tích hàm, giải tích số để giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. 6. Những đóng góp của đề tài Làm rõ mối liên hệ giữa chuẩn của hai ma trận của cùng một toán tử tuyến tính T trong R n . Một số ứng dụng của phần mềm toán học Maple vào: Tính chuẩn, tính số điều kiện của một ma trận. Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. 2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Tập X cùng với phép cộng (+) và nhân vô hướng (.) được gọi là một không gian vecto trên trường số thực R (gọi tắt là không gian vecto hay còn gọi là không gian tuyến tính) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: Với mọi x, y, z ∈ X, với mọi α, β ∈ R, ta có 1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 3) Tồn tại phần tử trung hòa θ ∈ X sao cho x + θ = x; 4) Với mỗi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x là (−x) ∈ X sao cho x + (−x) = θ; 5) (α + β)x = αx + βx; 6) α(x + y) = αx + αy; 7) α(βx) = (αβ)x; 8) 1x = x, với 1 là phần tử đơn vị. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một vecto, các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian vecto. 3 Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian vecto. Biểu thức dạng α 1 x 1 + . . . + α n x n ; α i ∈ R, x i ∈ X được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vecto {x 1 , , x n }. Định nghĩa 1.1.3. Cho hệ n vecto {x 1 , , x n } trong không gian vecto X. Xét đẳng thức vecto α 1 x 1 + + α n x n = θ. Nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi α 1 = = α n = 0 thì ta nói hệ n vectơ đó độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.4. Hệ vô hạn các phần tử {x i } i∈I thuộc không gian vecto X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.5. Cho n là một số nguyên dương và X là một không gian vecto. Nếu tồn tại một hệ n vecto x 1 , , x n ∈ X độc lập tuyến tính và mọi hệ n+1 vecto trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói không gian X có số chiều là n và kí hiệu dimX = n. Nếu không tồn tại n như vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều. Định nghĩa 1.1.6. Cho X là không gian vecto. Tập hợp các phần tử x 1 , , x n ∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X, x luôn biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của x 1 , , x n và biểu diễn này là duy nhất. Định lí 1.1.1. Không gian vecto X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sở của X gồm n phần tử. Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó. Ví dụ 1.1.1.(Không gian vectơ Euclide n-chiều R n ) Giả sử R là kí hiệu của trường các số thực.Với mỗi số nguyên không âm n, tập hợp các bộ n số dạng x = (x 1 , , x n ) , x i ∈ R(i = 0, 1, ) tạo thành một không gian vectơ n chiều trên R, kí hiệu là R n . Các phép toán của không gian vectơ R n được định nghĩa bởi: 4 x + y = (x 1 + y 1 , , x n + y n ); αx = (αx 1 , , αx n ). 1.2. Không gian metric Định nghĩa 1.1.7. Cho tập hợp tùy ý X = ø. Một metric trong X là ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) d (x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X; d (x, y) = 0 ⇔ x = y; ii) d (x, y) = d (y, x) ∀x, y ∈ X; iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) ∀x, y, z ∈ X. Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là (X, d). Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y. Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên M là một không gian metric con của không gian metric X. Ví dụ 1.1.2. Với hai vectơ bất kỳ x = (x 1 , , x k ), y = (y 1 , , y k ) thuộc không gian vectơ thực n-chiều R n (n là số nguyên dương nào đó) ta đặt d (x, y) =     k  j=1 (x j − y j ) 2 (1.1) Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề i), ii) về metric. Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: với 2k số thực a j , b j (j = 1, ,k) ta có 5 [...]... đó J là ma trận điều kiện xấu 29 2.2 Một số phương pháp gần đúng giải hệ phương trình tuyến tính 2.2.1 Phương pháp lặp đơn Nội dung phương pháp Trở lại bài toán giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b (2.6) x = Bx + g (2.7) Ta đưa (2.6) về dạng Trong đó ma trận B và véc tơ g được xây dựng từ A và b Để thực hiện phép lặp ta chọn một véc tơ ban đầu x(0) , sau đó tính các x(i) , i = 1, 2, theo công thức... mọi 0 < r < 1 ta có β ≥ sup { f (rx) : x ≤ 1} = rα Suy ra β ≥ α Vậy α = β = γ = η 15 Chương 2 Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính 2.1 Chuẩn và số điều kiện của ma trận 2.1.1 Chuẩn của ma trận Khái niệm Xét không gian Banach Rn với là một chuẩn nào đó, với một toán tử tuyến tính T : Rn → Rn , chuẩn cảm sinh được xác định T = sup 0=x∈X T (x) < +∞ x Với mỗi cơ sở xác định... = λ1 , A λ1 20 2 ≥ λ1 2.1.3 Mối liên hệ giữa chuẩn của hai ma trận của cùng một toán tử tuyến tính T trong Rn Vấn đề đặt ra là với một toán tử tuyến tính T , tương ứng cơ sở thứ nhất có ma trận A, cơ sở thứ hai có ma trận A thì mối liên hệ giữa chuẩn của A và A là như thế nào? Để nghiên cứu vấn đề này trước tiên ta xét một số ví dụ: Ví dụ 2.1.3 Xét toán tử tuyến tính T trong cơ sở thứ nhất có ma trận... toán tử tuyến tính tác động từ X vào Y Nếu Y = R thì T được gọi là phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.20 Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và T : X → Y là một toán tử tuyến tính Nếu tồn tại giá trị hữu hạn T = sup 0=x∈X T (x) < +∞ x thì toán tử T được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số T được gọi là chuẩn của toán tử T Định nghĩa 1.1.21 Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định... với mọi c = 0 Phân tích sai số Giả sử x là nghiệm của Ax = b và x = x + ∆x là nghiệm của hệ phương trình Ax = b và b = b + ∆b Khi đó: 1 1 m ∆x ≤ A.∆x m m 1 ⇒ ∆x ≤ ∆b m Mặt khác ta có: ∆x = 1 1 Ax x = M x ≥ M M ∆x M ∆b ∆b ⇒ ≤ = cond (A) x m b b (2.5) Từ (2.5) chứng tỏ rằng sai số tương đối của nghiệm có thể bằng tích của cond (A) với sai số tương đối của ma trận các hệ số tự do ở vế phải Vậy nếu ma... thay đổi nhiều khi các hệ số hoặc số hạng tự do thay đổi Ví dụ về số điều kiện của ma trận Ví dụ 2.2.1 Cho ma trận:  3 1 6    D=0 1 3   3 −2 3 Tính cond (D) theo chuẩn ∞ và chuẩn 1 Giải Ta có: 27   D−1 =   1 2 1 2 −1 6 Tính cond (D) theo chuẩn −5 6 −1 2 1 2 −1 6 −1 2 −1 6     ∞ Ta có: D−1 D ∞ 3 3 5 3 ; ; = 2 2 6 2 = max {10; 4; 8} = 10 ∞ = max 3 = 10 = 15 ∞ 2 Tính cond (D) theo chuẩn... không gian tuyến tính định chuẩn và A : X → Y là toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu xn → x thì Axn → Ax A được gọi là liên tục trên X nếu A liên tục tại mọi x ∈ X Định lí 1.1.8 Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, khi 13 đó toán tử tuyến tính T : X → Y là bị chặn (hay giới nội) khi và chỉ khi T là toán tử tuyến tính liên tục Chứng minh (⇒) Đặt C = sup{ T x : x ≤ 1},... trường số thực R Chuẩn trong X, ký hiệu , là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề sau i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) αx = |α| x ; iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Định lí 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến. .. tuyến tính định chuẩn, đặt d (x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X Khi đó, d là một metric trên X Nhận xét 1.1.1 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là không gian metric với metric (1.4) Định nghĩa 1.1.13 Dãy điểm {xn } của không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0 n→∞ Ký hiệu lim xn = x hay xn → x khi n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.14 Dãy điểm {xn } trong không gian tuyến. .. ma trận của cùng một toán tử tuyến tính không có mối liên hệ với nhau 2.1.4 Số điều kiện của ma trận A Xét A = (aij )n×n ∈ M at(n, R) và là một chuẩn nào đó trong Rn , kí hiệu M = sup x=0 Ax Ax , m = inf x=0 x x Dễ thấy A = M và nếu m > 0 thì ma trận A có ma trận nghịch đảo A−1 và m = A−1 −1 Định nghĩa: Đại lượng M = A A−1 được gọi là số điều kiện m 25 của ma trận A và đại lượng đó được kí hiệu là . 48 3.2. Một số ví dụ về giải hệ phương trình đại số tuyến tính . 52 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những vấn đề nền tảng của giải. tích số. Với mong muốn làm rõ và trình bày một cách hệ thống các vấn đề tính chuẩn trong R n , giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính, tôi chọn đề tài: " ;Vấn đề giải gần đúng hệ phương. đúng hệ phương trình đại số tuyến tính& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu So sánh về chuẩn toán tử, ma trận. Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. Một số ứng dụng của