Ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  LÊ THỊ NGỌC YẾN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PARABOL GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Được phân công khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đồng ý Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh em thực đề tài “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần phương trình phi tuyến” Để hoàn thành khóa luận em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu, rèn luyện Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo trực tiếp hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình, chu đáo hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh Song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót mà thân chưa thấy Em mong góp ý quý thầy cô để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Lê Thị Ngọc Yến LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu thực cá nhân, thực hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất văn Ninh Các nội dung trình bày khóa luận trung thực chưa công bố hình thức Em xin chịu trách nhiệm khóa luận Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Lê Thị Ngọc Yến MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương Kiến thức liên quan 1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.1.1 Số gần 1.1.2 Sai số tuyệt đối 1.1.3 Sai số tương đối 1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn 1.2.1 Làm tròn số 1.2.2 Sai số phép làm tròn 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.3.2 Chữ số đáng tin 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Tỷ sai phân 1.5 Một số khái niệm dãy số 1.5.1 Dãy số giới hạn dãy số 1.5.2 Một số tính chất dãy hội tụ 1.6 Một số kiến thức hàm số liên tục 12 1.6.1 Định nghĩa ví dụ 12 1.6.2 Hàm số liên tục đoạn 13 1.7 Các định lý hàm khả vi 13 1.8 Sự tồn nghiệm khoảng tách nghiệm 14 1.8.1 Sự tồn nghiệm 14 1.8.2 Khoảng tách nghiệm 14 1.9 Công thức Taylor 15 Chương Phương pháp parabol 16 2.1 Nội dung phương pháp 16 2.2 Bậc hội tụ 18 2.2.1 Định nghĩa bậc hội tụ 18 2.2.2 Bậc hội tụ phương pháp parabol 18 Chương Một số ví dụ minh họa 29 3.1 Một số ví dụ 29 3.2 Bài tập 51 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết, Giải tích số ngành khoa học có từ lâu đời, đặc biệt từ máy tính điện tử đời, ngành khoa học phát triển nhanh chóng Ngày nay, với phát triển tin học, phạm vi ứng dụng Giải tích số ngày mở rộng Giải tích số lĩnh vực toán học rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần lớp toán, phương trình thường gặp… Đặc biệt Giải tích số chuyên nghiên cứu phương pháp số giải gần toán thực tế mô hình hóa ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…) dẫn đến cần phải giải phương trình phi tuyến, nhiên phương trình thường phức tạp, nói chung khó giải (đưa phương trình bản) biến đổi đại số, không tránh khỏi sai số, ảnh hưởng trực tiếp đến kết tính toán Hơn nữa, công thức nghiệm phương trình phi tuyến thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức gặp phải nhiều khó khăn Vì vậy, phương pháp giải gần sớm xây dựng, với thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số, đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng phép tính, thời gian tính toán Vấn đề tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến có ý nghĩa lí thuyết ứng dụng lớn Chính nên em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp em là: “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần phương trình phi tuyến“ Mục đích nghiên cứu Hiểu nắm vững phương pháp Parabol giải gần phương trình phi tuyến, tìm nghiệm phương trình với độ xác cần thiết sai số cho phép Áp dụng phần mềm toán học như: Maple Pascal vào để giải số toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu việc giải gần phương trình phi tuyến phương pháp Parabol - Ứng dụng Maple việc giải phương trình phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phương pháp Parabol giải gần phương trình phi tuyến Khóa luận chia làm chương (ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo): Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương pháp parabol giải gần phương trình phi tuyến Chương 3: Một số ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Tra cứu tham khảo tài liệu Viết thuật toán chạy chương trình Đưa ví dụ minh họa cho phương pháp Tổng hợp tập NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Để nắm vững hiểu rõ phương pháp Parabol giải gần phương trình phi tuyến chương em xin trình bày số kiến thức liên quan trực tiếp như: sai số, làm tròn số, tỷ sai phân, số khái niệm hàm số, hàm số liên tục, hàm khả vi, tồn nghiệm phương trình 1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần số a* a không sai khác a* nhiều, hiệu số    a*  a  sai số thực a Nếu ∆ > a giái trị gần thiếu a* Nếu ∆ < a giái trị gần thừa a* 1.1.2 Sai số tuyệt đối Vì a* nói chung nên ∆, nhiên thấy, tồn ∆a ≥ thỏa mãn điều kiện: |a* - a| ≤ ∆a (1.1.1) Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) gọi sai số tuyệt đối a Nếu số xấp xỉ a* có sai số tuyệt đối  a ta viết: a* = a   a (1.1.2) với a*  a   a 1.1.3 Sai số tương đối Tỷ số  a  a sai số tương đối a a (1.1.3) Ta suy ra:  a  a  a (1.1.4) Từ (1.1.2) ta có: a* = a 1   a  Công thức (1.1.3) (1.1.4) cho ta công thức liên hệ sai số tuyệt đối sai số tương đối Chú ý: Nếu đoạn thẳng AB có số đo a = 100mét đoạn CD có số đo b = 10mét, với  a  b  0.01mét Khi  a  0.01 0.01 , phép đo ,b  100 10 đoạn thẳng AB xác phép đo doạn thẳng CD Từ ta thấy độ xác phép đo thường phản ánh qua sai số tương đối 1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn Xét thập phân dạng tổng quát : a    p 10 p    i 10i    p s 10 p s  (1.2)  j   ; ∀j, αp ≠ 0, ≤ αj ≤ Nếu  p  s  ≥ a số nguyên Nếu  p  s   k  k   a có phần lẻ gồm k chữ số Nếu  p  s    a số thập phân vô hạn 1.2.1 Làm tròn số Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a Quy tắc làm tròn: Xét số a dạng (1.2) ta giữ lại đến bậc thứ I, phần bỏ μ :  a    p 10 p    i 1.10i 1   i 10i  Trong đó: 1.2.2 Sai số phép làm tròn Ta ký hiệu sai số phép làm tròn  a , a  a   a , rõ ràng  a  10i Vì a*  a  a*  a  a  a   a   a , làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét số a dạng (1.2) nghĩa số viết dạng thập phân Khi đó, chữ số có nghĩa số khác số bị kẹp hai chữ số khác số hàng giữ lại Xét số a    p 10 p    i 10i    p  s 10 p s  , chữ số aj (1.2) số a chữ số nếu:  a  .10i (ω số cho trước) Tham số ω chọn cho chữ số vốn sau làm tròn chữ số 1.3.2 Chữ số đáng tin Mọi số thập phân viết dạng: a    as 10s , as số từ đến Giả sử a giá trị xấp xỉ a* với sai số tuyệt đối giới hạn ∆a Ta ý chữ số đứng hàng thứ s a Nếu ∆a ≤ 0,5.10s ta nói as chữ số đáng tin, ngược lại ta nói as chữ số đáng nghi 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ Ví dụ 3: Cho phương trình : x4 – 3x2 + 75x - 10000 = phương pháp parabol tính nghiệm âm phương trình với độ xác = 10-3 Giải Đặt f(x) = x4 – 3x2 + 75x - 10000 Có f(-10) = -1050 < 0, f(-11) = 3453 >  f(-11).f(-10) < ⇒ phương trình cho có nghiệm âm x ∈ (-11, -10) Theo phương pháp ta có bảng sau: n xn f(xn) = fn f  xn , xn1  f  xn , xn1 , xn2  xn x n  xn -10,2675 0,1825 x n  xn 1 -10,5 1036,81 -10,45 813,829 -4459,68 -10,3 164,318 -4330,07 648,0525 -10,2621 0,03795 0,1879 -10,26098 0,08384 -4209,45 638,131 -10,261 0,00002 0,03904 0,2325 -10,26096 -0,000003 Từ bảng ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm âm x = -10,26096 với độ xác = 10-3 Trong Maple: Ta dùng lệnh sau để giải ví dụ [> fsolve(x^4-3*x^2+75*x-10000,{x}); Kết quả: {x = -10.26096438}, {x = 9.886002701} Với nghiệm phương trình x* = -10,26096438 ta có bảng đánh giá sai số sau: 39 n xn ∆n = |xn – x*| -10.5 0.23903562 -10.45 0.18903562 -10.3 0.03903562 -10.26098 0.00001562 -10.26096 0.00000438 Phác họa đồ thị hàm số y = x4 – 3x2 + 75x - 10000 Giải ví dụ pascal Program giaividu3; Var x0, x1, x2, x3, k1, k2, k3, s, a, b, e: real; i: byte; x : array[1 10] of real; function f(x:real) : real; begin f := x*x*x*x – 3*x*x + 75*x – 10000; 40 end; Begin Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b); Write(‘Nhap sai số:’); readln(s); Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’); i:= 3; e:=0; repeat k1:=(f(x1)- f(x0))/(x1-x0); k2:= (f(x2)- f(x1))/(x2-x1); k:= (k2- k1)/(x2-x0); x3:=(x2- f(x2)/k2- (k/k2)*(-f(x2)/k2)*(x2-f(x2)/k2-x1)); writeln(‘x[‘,i,’] = ‘,x3:4:9); e:= abs(x3-x2); x0:= x1; x1:=x2; x2:=x3; i:= i+1; until(e < s); writeln(‘ Vay phuong trinh co nghiem gan dung la:’, x[i]:4:9); End Kết quả: Nhap a, b : -11 -10 Nhap sai so s = 0.001 Chon ba xap xi ban dau x0 = -10.5 x1 = -10.45 41 x2 = -10.3 Cac xap xi tiep theo la: x[3] = -10.26098 x[4] = -10.26096 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: -10.26096 Ví dụ 4: Giải phương trình : x2 = ex +1 với độ xác = 10-4 Giải Đặt f(x) = x2 - ex - Giải phương trình cho tương đương với giải phương trình: f(x) = Có f(-1) = - 0,36788 < 0, f(- 2) = 2,865 >  f(-2).f(-1) < ⇒ phương trình cho có nghiệm x ∈ (-2, -1) Theo phương pháp ta có bảng sau: n xn f(xn) = fn f  xn , xn 1  -1,5 1,02687 -1,3 0,41747 -3,04701 -1,2 0,13881 -2,78662 -1,1479 0,000279 -2,65705 -1,1478 -0,00000004 f  xn , xn 1 , xn 2  xn x n  xn x n  xn 1 -1,16299 0,137009 0,337009 0,86795 -1,15019 0,049811 0,149811 0,85171 -1,14776 0,000105 0,052241 Từ bảng ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1,1478 với độ xác = 10-4 Trong Maple: Ta dùng lệnh sau để giải ví dụ 42 [> fsolve(x^2-exp(x)-1,{x}); Kết quả: {x = -1.147757632} Với nghiệm phương trình x* = -1,147757632 ta có bảng đánh giá sai số sau: n xn ∆n = |xn – x*| -1.5 0.352242368 -1.3 0.152242368 -1.2 0.052242368 -1.1479 0.000142368 -1.1478 0.000042368 Phác họa đồ thị hàm số y = x2 – ex + 43 Giải ví dụ pascal Program giaividu4; Var x0, x1, x2, x3, k1, k2, k3, s, a, b, e: real; i: byte; x : array[1 10] of real; function f(x:real) : real; begin f := x*x - exp(x) -1; end; Begin Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b); Write(‘Nhap sai số:’); readln(s); Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’); i:= 3; e:=0; repeat k1:=(f(x1)- f(x0))/(x1-x0); k2:= (f(x2)- f(x1))/(x2-x1); k:= (k2- k1)/(x2-x0); x3:=(x2- f(x2)/k2- (k/k2)*(-f(x2)/k2)*(x2-f(x2)/k2-x1)); writeln(‘x[‘,i,’] = ‘,x3:4:9); e:= abs(x3-x2); x0:= x1; x1:=x2; x2:=x3; i:= i+1; 44 until(e < s); writeln(‘ Vay phuong trinh co nghiem gan dung la:’, x[i]:4:9); End Kết quả: Nhap a, b : -2 -1 Nhap sai so s = 0.0001 Chon ba xap xi ban dau x0 = -1.5 x1 = -1.3 x2 = -1.2 Cac xap xi tiep theo la: x[3] = -1.1479 x[4] = -1.1478 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: -1.1478 Ví dụ 5: Giải phương trình : f(x) = x5 – 5x -3 = với độ xác   103 Giải Có f(-2) = - 25< 0, f(- 1) = >  f(-2).f(-1) < f(1) = -7 < 0, f(- 1) = >  f(-1).f(1) < f(1) = -7 < 0, f(2) = 19 >  f(1).f(2) < ⇒ phương trình cho có nghiệm thuộc ba khoảng (-2, -1) (-1, 1) (1, 2) +) Xét khoảng (-2, -1) Theo phương pháp ta có bảng sau: 45 n xn f(xn) = fn f  xn , xn 1  f  xn , xn 1 , xn 2  xn x n  xn x n  xn 1 -1,4 -1.37824 -1,35 -0,73403 12,88413 -1,3 -0,21293 10,42207 -24,621 -1,27957 0,020431 0,070431 8,7665 -22,425 -1,27571 0,000459 0,024289 -1,2762 -0,004 -1,29303 0,056972 0,106972 -1,2757 -0,0000009 Từ bảng ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (-2, -1) x1 = -1,2757 với độ xác   103 +) Xét khoảng (-1, 1) Theo phương pháp ta có bảng sau: n xn f(xn) = fn f  xn , xn 1  -0,75 0,5127 -0,65 0,13397 -3,78724 -0,64 0,09263 -4,13451 -4,21649 -0,6182 0,0005 -0,618 f  xn , xn 1 , xn 2  xn x n  xn x n  xn 1 -0,61463 0,035374 0,135374 -3,156984 -0,6176 0,022403 0,032403 2,57405 -0,61803 0,000119 0,021968 0,0000004 Từ bảng ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (-1, 1) x2 = -0,618 với độ xác   103 46 +) Xét khoảng (1, 2) Theo phương pháp ta có bảng sau: n xn f  xn , xn1  f(xn) = fn f  xn , xn1 , xn2  xn x n  xn 1,66941 0,16941 x n  xn 1 1,4 -4,62176 1,5 -2,90625 17,1551 1,6 -0,51424 23,9201 33,825 1,621498 0,021498 0,121498 28,50544 38,9232 1,61804 1,6178 0,00671 1,618 0,26941 0,000235 0,01804 0,000008 Từ bảng ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (1, 2) x3 = 1,618 với độ xác   103 Trong Maple: ta dùng lệnh sau để giải ví dụ [> fsolve(x^5-5*x-3,{x}); Kết quả: {x = -1.275682204}, {x = -0.6180339887}, {x = 1.618033989} Với nghiệm phương trình x1* = -1,275682204 ta có bảng đánh giá sai số sau: n xn ∆n = |xn – x*| -1.4 0.124317796 -1.35 0.074317796 -1.3 0.024317796 -1.2762 0.000517796 -1.2757 0.000017796 47 Với nghiệm phương trình x2* = -0,6180339887 ta có bảng đánh giá sai số sau: n xn ∆n = |xn – x*| -0.75 0.131966011 -0.65 0.031966011 -0.64 0.021966011 -0.6182 0.000166011 -0.618 0.000034 Với nghiệm phương trình x3* = 1.618033989 ta có bảng đánh giá sai số sau: n xn ∆n = |xn – x*| 1.4 0.218033989 1.5 0.118033989 1.6 0.018033989 1.6178 0.000233989 1.618 0.000033989 48 Phác họa đồ thị hàm số: y = x5 – 5x - Giải ví dụ pascal Program giaividu5; Var x0, x1, x2, x3, k1, k2, k3, s, a, b, e: real; i: byte; x : array[1 10] of real; function f(x:real) : real; begin f := x*x*x*x*x – 5*x -3 ; end; Begin Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b); Write(‘Nhap sai số:’); readln(s); Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’); i:= 3; e:=0; 49 repeat k1:=(f(x1)- f(x0))/(x1-x0); k2:= (f(x2)- f(x1))/(x2-x1); k:= (k2- k1)/(x2-x0); x3:=(x2- f(x2)/k2- (k/k2)*(-f(x2)/k2)*(x2-f(x2)/k2-x1)); writeln(‘x[‘,i,’] = ‘,x3:4:9); e:= abs(x3-x2); x0:= x1; x1:=x2; x2:=x3; i:= i+1; until(e < s); writeln(‘ Vay phuong trinh co nghiem gan dung la:’, x[i]:4:9); End Kết quả: Trong khoảng (-2, -1) Nhap a, b : -2 -1 Nhap sai so s = 0.0005 Chon ba xap xi ban dau x0 = -1.4 x1 = -1.35 x2 = -1.3 Cac xap xi tiep theo la: x[3] = -1.2762 x[4] = -1.2757 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: -1.2757 Trong khoảng (-1, 1) Nhap a, b : -1 50 Nhap sai so s = 0.0005 Chon ba xap xi ban dau x0 = -0.75 x1 = -0.65 x2 = -0.64 Cac xap xi tiep theo la: x[3] = -0.6182 x[4] = -0.618 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: -0.618 Trong khoảng (1, 2) Nhap a, b : Nhap sai so s = 0.0005 Chon ba xap xi ban dau x0 = 1.4 x1 = 1.5 x2 = 1.6 Cac xap xi tiep theo la: x[3] = 1.6178 x[4] = 1.618 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: 1.618 3.2: Bài tập Sử dụng phương pháp parabol để giải phương trình sau: x3- 3x2 + 6x – =0 x2= sinx + x3 – 0,1x2 + 0,4x + 1,2 = x3 - 0,1x2 + 0,3x – 0,6 = x3 -4x2 +10x – 10 = 2x + lgx = -0,5 2sin(x – 0,6) = 1,5 – x 51 KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần phương trình phi tuyến” vận dụng phương pháp vào giải tập cụ thể Em giải mẫu số ví dụ lập trình Maple Pascal tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến để từ bạn đọc vận dụng giải tập tương tự dễ dàng Ngoài ví dụ, đồ thị hàm số minh họa để người đọc hiểu lời giải Mặc dù cố gắng thời gian có hạn bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Lê Thị Ngọc Yến 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học – Kỹ thuật [4] Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo dục [5] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002), Phương pháp tính thuật toán, NXB Giáo dục [6] Hoàng Xuân Huấn (2004), Giáo trình phương pháp số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội B Tiếng Anh [1] Jeffrey R.Chasnov (2012), Introduction to numerical methods, Lecture notes for Math 3311 the Hong Kong University of Science and Technology 53 [...]... trong việc giải phương trình dạng f  x   0 trừ một vài trường hợp đặc biệt, ta có công thức giải đúng còn nói chung phải sử dụng một số phương pháp để gải gần đúng phương trình đó Trong chương này, ta nghiên cứu về phương pháp Parabol, một trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình dạng: f  x   0 , (trong đó f ( x) là một hàm phi tuyến) , 2.1 Nội dung phương pháp Xét phương trình f ( x)... này, em đã trình bày được một số ví dụ về giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp Parabol, áp dụng bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, phần mềm toán học Maple vào giải chính các ví dụ đó Trong đó, khi giải phương trình ta quan niệm nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm giải được bằng Maple Ngoài ra, mỗi hàm số ứng với mỗi ví dụ đều được minh họa bằng hình vẽ giúp cho việc thực hiện lời giải được... tụ của phương pháp parabol Người ta chứng minh được rằng bậc hội tụ α của phương pháp parabol là nghiệm dương của phương trình :  3   2   1  0 Hay   1.839 18 Ví dụ 2.1: Cho phương trình: x6 – 3x2 + x – 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy tính nghiệm dương của phương trình với độ chính xác là = 10-4 Giải Đặt f(x) = x6 – 3x2 + x – 1 Có f(1) = -2< 0, f(2) = 53 > 0  f(1).f(2) < 0 ⇒ phương trình. .. f (xn) khi đó phương trình (2.2) có dạng: anz2n + bnzn + cn = 0 Nghiệm của (2.4) có dạng zn(1, 2) (2.4) bn  bn 2  4an cn = 2an Nghiệm có môdun nhỏ nhất trong hai nghiệm zn(1), zn(2) ta ký hiệu là z n và xn+1 = xn + z n (2.5) Để tránh việc giải phương trình bậc hai ta có thể thay đạo hàm bằng tỷ sai phân, có thể cải biên phương pháp Parabol, thay phương trình (2.2) bởi phương trình tuyến tính: f... = 1.3247 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: 1.3247 Ví dụ 2.3: Cho phương trình: x3 – x2 - 4x - 4 = 0 bằng phương pháp parabol hãy tính nghiệm của phương trình với độ chính xác là ε = 10-4 Giải Đặt f(x) = x3 – x2 - 4x - 4 Có f(2) = -8 < 0, f(3) = 2 > 0  f(2).f(3) < 0 ⇒ phương trình đã cho có nghiệm x ∈ (2, 3) Theo phương pháp ta có bảng sau: 25 n xn f(xn) = fn f  xn , xn 1  0 2.5 -4.625 1... x[5] = 1.29629 Vay nghiem gan dung cua phuong trinh la: 1.29629 Ví dụ 2.2: Cho phương trình: x3 – x – 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác là = 5.10-4 Giải Đặt f(x) = x3 – x – 1 Có f(1) = -1< 0, f(2) = 5 > 0  f(1).f(2) < 0 ⇒ phương trình đã cho có nghiệm x* ∈ (1, 2) Theo phương pháp ta có bảng sau: n xn f(xn) = fn f  xn , xn 1  0 1,1 -0,769 1 1,2 -0,472... dụ 1 Giải phương trình: x5 – 3x2 + 1 = 0 bằng phương pháp parabol với độ 1 chính xác là   104 2 Giải Đặt f(x) = x5 – 3x2 + 1 Có: f(-1) = -3 < 0, f(0) = 1 > 0  f(-1).f(0) < 0 f(0) = 1 > 0, f(1) = -3 < 0  f(0).f(1) < 0 f(1) = -3 < 0, f(2) = 21 > 0  f(1).f(2) < 0 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm nằm trong ba khoảng tách nghiệm: (-1, 0); (0, 1) và (1, 2) +) Xét trong khoảng (-1,0) Theo phương. .. xấp xỉ xn+1 được tính theo công thức: xn1  x n  f  xn , xn1 , xn2  x n  xn f  xn , xn1    x n  xn 1  (2.7) Bậc hội tụ của phương pháp (2.6) và (2.7) không nhỏ hơn bậc hội tụ của phương pháp parabol Khi sử dụng phương pháp (2.4) và (2.5) ta nên sử dụng bảng sau: 17 f  xn , xn 1  f  xn , xn 1 , xn 2  n xn f(xn) = fn 0 xo f0 1 x1 f1 f  x1 , x0  2 x2 f2 f  x2 , x1  3 x3 f3 …... 1.8.1 Sự tồn tại nghiệm Xét phương trình f(x) = 0 (1.4.1) Định lý (1.8.1) Nếu có 2 số thực a và b (a < b) sao cho f(a).f(b) < 0 đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] thì ít nhất một nghiệm thực của phương trình ở trong [a, b] 1.8.2 Khoảng tách nghiệm Định nghĩa: Khoảng [a, b] nào đó được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó Định lý (1.8.2)... xn1 )( x  xn )  f ( xn , xn 1 , xn 2 )( x  xn )( x  xn1 )  0 mà nghiệm đó gần xn nhất Trong phương trình này f(xn, xn-1), f(xn, xn-1, xn-2) là các tỷ sai phân: f(xn, xn-1) = f  xn   f  xn 1  , xn  xn1 f(xn, xn-1, xn-2) = f  xn ; xn1   f  xn1; xn2  xn  xn 2 16 (2.3) Phương pháp Parabol là phương pháp ba bước Để xây dựng được dãy  xn  , trước tiên ta phải biết trước ba mốc ... nghiệp em là: Ứng dụng phương pháp parabol giải gần phương trình phi tuyến Mục đích nghiên cứu Hiểu nắm vững phương pháp Parabol giải gần phương trình phi tuyến, tìm nghiệm phương trình với độ... Áp dụng phần mềm toán học như: Maple Pascal vào để giải số toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu việc giải gần phương trình phi tuyến phương pháp Parabol - Ứng dụng Maple việc giải phương trình. .. chương này, ta nghiên cứu phương pháp Parabol, số phương pháp giải gần phương trình dạng: f  x   , (trong f ( x) hàm phi tuyến) , 2.1 Nội dung phương pháp Xét phương trình f ( x)  (2.1) Giả