Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp… Đặc biệt Giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toá
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
PGS.TS Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI – 2015
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Được sự phân công của khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,
và được sự đồng ý của Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh em
đã thực hiện đề tài “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương
trình phi tuyến”
Để hoàn thành khóa luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, rèn luyện ở Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo trực tiếp hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh đã tận tình, chu đáo hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài này một cách hoàn chỉnh nhất Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót mà bản thân chưa thấy được Em rất mong được sự góp ý của quý thầy cô để khóa luận được hoàn chỉnh hơn
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Lê Thị Ngọc Yến
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu thực sự của
cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Khuất văn Ninh
Các nội dung được trình bày trong khóa luận này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào
Em xin chịu trách nhiệm về khóa luận của mình
Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên
Lê Thị Ngọc Yến
Trang 4MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
NỘI DUNG 3
Chương 1 Kiến thức liên quan 3
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3
1.1.1 Số gần đúng 3
1.1.2 Sai số tuyệt đối 3
1.1.3 Sai số tương đối 3
1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn 4
1.2.1 Làm tròn số 4
1.2.2 Sai số của phép làm tròn 5
1.3 Cách viết số xấp xỉ 7
1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 7
1.3.2 Chữ số đáng tin 7
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 7
1.4 Tỷ sai phân 6
1.5 Một số khái niệm về dãy số 8
1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 8
1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ 9
1.6 Một số kiến thức về hàm số liên tục 12
1.6.1 Định nghĩa và ví dụ 12
1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn 13
1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả vi 13
1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm 14
1.8.1 Sự tồn tại nghiệm 14
1.8.2 Khoảng tách nghiệm 14
1.9 Công thức Taylor 15
Trang 5Chương 2 Phương pháp parabol 16
2.1 Nội dung phương pháp 16
2.2 Bậc hội tụ 18
2.2.1 Định nghĩa bậc hội tụ 18
2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol 18
Chương 3 Một số ví dụ minh họa 29
3.1 Một số ví dụ 29
3.2 Bài tập 51
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
Trang 6MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Chúng ta đã biết, Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu đời,
đặc biệt từ khi máy tính điện tử ra đời, ngành khoa học này phát triển rất nhanh chóng Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng
dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường
gặp… Đặc biệt Giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần
đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học và trong các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…) dẫn đến cần phải giải các phương trình phi tuyến, tuy nhiên các phương trình này thường phức tạp, do đó nói chung khó có thể giải được (đưa được về các phương trình cơ bản) bằng các biến đổi đại số, hoặc không tránh khỏi sai số, ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Hơn nữa, vì các công thức nghiệm của phương trình phi tuyến thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua công thức cũng vẫn gặp phải rất nhiều khó khăn Vì vậy, các phương pháp giải gần đúng đã sớm được xây dựng, với các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai
số, đồng thời tiện lợi cho việc lập trình và tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán Vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn
Chính vì vậy nên em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em
là: “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi
tuyến“
Trang 72 Mục đích nghiên cứu
Hiểu và nắm vững phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho phép
Áp dụng phần mềm toán học như: Maple và Pascal vào để giải quyết một số bài toán
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu việc giải gần đúng phương trình phi tuyến bằng phương pháp Parabol
- Ứng dụng của Maple trong việc giải phương trình phi tuyến
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến
Khóa luận được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo):
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến Chương 3: Một số ví dụ minh họa
5 Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu và tham khảo tài liệu
Viết thuật toán chạy chương trình
Đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp
Tổng hợp bài tập
Trang 8NỘI DUNG
CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Để nắm vững và hiểu rõ hơn về phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến trong chương này em xin trình bày về một số kiến thức liên quan trực tiếp như: sai số, làm tròn số, tỷ sai phân, một số khái niệm
về hàm số, hàm số liên tục, hàm khả vi, sự tồn tại nghiệm của phương trình 1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối
Nếu ∆ > 0 thì a là giái trị gần đúng thiếu của a *
Nếu ∆ < 0 thì a là giái trị gần đúng thừa của a *
1.1.2 Sai số tuyệt đối
Vì rằng a * nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên có thể thấy, tồn tại ∆ a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:
Số ∆ a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a
Nếu số xấp xỉ của a * có sai số tuyệt đối là thì ta viết: a
Trang 9đoạn thẳng AB là chính xác hơn phép đo doạn thẳng CD
Từ đó ta thấy độ chính xác của một phép đo thường được phản ánh qua sai số tương đối
Trang 10Xét số a p.10p i.10i p s 10p s , chữ số a j ở (1.2) của
số a là chữ số chắc nếu: a .10i (ω là số cho trước) Tham số ω sẽ được chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc 1.3.2 Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng:
Trang 11Cho số a là giá trị xấp xỉ của a * với giá trị tuyệt đối ∆ a Có hai cách viết số
xấp xỉ a:
Cách 1: Viết kèm sai số
Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin
Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng
được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của hàm số
y = f(x) tại x i và được ký hiệu là f x x i; i1;x i2
Trang 12 , suy ra điều phải chứng minh
Tính chất 1.4.2: Tỷ sai phân là hàm đối xứng đối với các xi
Tính chất 1.4.3: Tỷ sai phân cấp (m+1) của đa thức bậc m là đồng nhất 0 Chứng minh:
Thật vậy, giả sử P x là đa thức bậc m, ta phải chứng minh
Trang 13 ; 0; ; ;1 k
Vậy P x x x ; 0; ; ;1 x là đa thức bậc 0, từ đó: k P x x ; 0; ;x m 0
1.5 Một số khái niệm về dãy số
1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
Cho tập hợp số nguyên dương *
với mọi n > n 0 ta đều có u na
Khi đó ta nói rằng dãy u n hội tụ tới a hay tiến đến giới hạn a và ta viết
Trang 141.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ
Định lý 1: Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất
Chứng minh Trước hết ta cần chú ý rằng nếu , ' a a và aa' với mọi 0
thì a = a’ Thật vậy, nếu aa', thì chọn '
2
, ta có '
aa , trái với giả thiết
Giả sử lim n ;lim n '
n k ≥ k > n 0 và do đó u nk a Theo định nghĩa lim nk
Trang 15Định lý 3: Nếu { u n }n là dãy hội tụ và lim n
Định lý 4: Mọi dãy hội tụ thì bị chặn
Chứng minh: Giả sử {u n}n là dãy hội tụ và lim n
Theo trên lim n
Vậy dãy { u n }n là dãy bị chặn
Định lý 5 ( Nguyên lý Bolzano – Weierstrass):
Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ
Định lý 6 ( Nguyên lý Cauchy):
Định nghĩa: Dãy số thực {u n}n được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu
với mọi > 0 cho trước tồn tại n 0 ( phụ thuộc vào ) sao cho với mọi
n, m > n 0 ta có |u n - u m | <
Nguyên lý hội tụ Cauchy: Dãy số thực {u n}n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy
cơ bản, tức là khi và chỉ khi 0,n0,n m, n0 thì |u n - u m | <
Trang 16Vì thế với mọi m, n > n 0 ta có |u n - u m | |a - u n | + |a – u m | <
V y {un}n là dãy c b n
b) Đi u ki n đ Ng c l i gi s {un}n là dãy cơ bản Khi đó theo trên {un}n là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass dãy {un}n có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào
đó.Theo tính chất của dãy cơ bản, chính dãy {un}n cũng h i t đ n a
Ví dụ 1: Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số {un}n v i
Vậy dãy {u n}n hội tụ
Ví dụ 2: Cho dãy {u n}n với u n
Trang 17Nếu f lên tục tại mọi điểm xA thì ta nói f liên tục trên A
Nếu f không liên tục tại x 0 thì ta nói hàm f gián đoạn tại điểm x 0 , hay x 0 là
điểm gián đoạn của hàm f
Ví dụ Hàm số f(x) = sinx liên tục trên R
Thật vậy, cho x 0 Ta có
Trang 18Vì thế, cho trước ε > 0 nếu chọn δ = ε thì với mọi x thỏa mãn
|x – x 0 | < δ ta cósinxsinx0 Theo định nghĩa ( ) f x sinxliên tục tại x 0
Vì x0 là điểm bất kỳ của , f liên tục trên
Tương tự ta cũng chứng minh được rằng hàm số f(x) = cosx liên tục trên
1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn
Định nghĩa: Cho hàm số f :a b Nếu f liên tục trên (a, b), liên tục bên ,
phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta nói f liên tục trên [a, b]
Định lý 1: Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đó
Định lý 2: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cận trên đúng
và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số x 0 , x 0 ’ ∈ [a, b] sao cho
Định lý 3 (Định lý Bolzano – Cauchy thứ nhất) Giả sử hàm
f: a b liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 Khi đó tồn tại c , a b,
sao cho f(c) = 0
Định lý này có ý nghĩa hình học rất rõ ràng: nếu một đường cong liên tục đi từ
một phía của trục x sang phía kia thì nó cắt trục này
Định lý 4 (Định lý Bolzano – Cauchy thứ hai) Giả sử hàm f: a b ,
liên tục trên [a, b] Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a), f(b), tức là
với mọi số thực γ nằm giữa f(a), f(b), tồn tại ca b, sao cho f(c) = γ
1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả vi
Định lý 1 (Fermat) Cho tập hợp mở U và hàm f :U Nếu điểm
c ∈ U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f’(c) thì f’(c) = 0
Định lý 2 (Rolle) Giả sử hàm số f: a b có các tính chất: ,
Trang 19a) f liên tục trên [a, b]
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a b, sao cho f(b) – f(a) = f’(c)(b - a)
1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm
Khoảng [a, b] nào đó được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình
(1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó
Định lý (1.8.2)
Hàm f(x) liên tục, đơn điệu trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì [a, b] là khoảng
tách nghiệm của phương trình
Định lý (1.8.3):
Hàm f(x) xác định trên [a, b] có f’(x) không đổi dấu trên (a, b) và
f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1)
Ví dụ: Cho f(x) = x 3 - 2x - 5 = 0 hãy chứng minh phương trình có nghiệm
thực và tìm khoảng tách nghiệm ?
Giải:
Trang 20Dễ thấy f(x) xác định và liên tục ∀x đồng thời
- +
+
Trang 21CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PARABOL
Như chúng ta đã biết, trong việc giải phương trình dạng f x trừ một vài 0trường hợp đặc biệt, ta có công thức giải đúng còn nói chung phải sử dụng một số phương pháp để gải gần đúng phương trình đó
Trong chương này, ta nghiên cứu về phương pháp Parabol, một trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình dạng: f x , (trong đó ( ) 0 f x là
Trang 22Phương pháp Parabol là phương pháp ba bước Để xây dựng được dãy
x n , trước tiên ta phải biết trước ba mốc x 0 , x -1 , x -2
Đưa vào các ký hiệu:
Trang 23lim n
n n
2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol
Người ta chứng minh được rằng bậc hội tụ α của phương pháp parabol
là nghiệm dương của phương trình :
32 1 0
Hay 1.839
Trang 24Ví dụ 2.1:
Cho phương trình: x 6 – 3x 2 + x – 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy
tính nghiệm dương của phương trình với độ chính xác là = 10-4
Giải
Đặt f(x) = x 6 – 3x 2 + x – 1
Có f(1) = -2< 0, f(2) = 53 > 0 f(1).f(2) < 0
⇒ phương trình đã cho có nghiệm dương x ∈ (1, 2)
Theo phương pháp ta có bảng sau:
Trang 26end;
Begin
Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);
Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);
Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2);
Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);
Trang 27Cho phương trình: x 3 – x – 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy tìm
nghiệm của phương trình với độ chính xác là = 5.10 -4
Giải
Đặt f(x) = x 3 – x – 1
Có f(1) = -1< 0, f(2) = 5 > 0 f(1).f(2) < 0
⇒ phương trình đã cho có nghiệm x * ∈ (1, 2)
Theo phương pháp ta có bảng sau:
Trang 29Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);
Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);
Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);
Trang 30Cho phương trình: x 3 – x 2 - 4x - 4 = 0 bằng phương pháp parabol hãy
tính nghiệm của phương trình với độ chính xác là ε = 10-4
Giải
Đặt f(x) = x 3 – x 2 - 4x - 4
Có f(2) = -8 < 0, f(3) = 2 > 0 f(2).f(3) < 0
⇒ phương trình đã cho có nghiệm x ∈ (2, 3)
Theo phương pháp ta có bảng sau:
Trang 31Với nghiệm đúng của phương trình là x * = 2.875129794 ta có bảng
đánh giá sai số sau:
Trang 32Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);
Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);
Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);
i:= 3;
Trang 34CHƯƠNG 3
MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
Trong chương này, em đã trình bày được một số ví dụ về giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp Parabol, áp dụng bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, phần mềm toán học Maple vào giải chính các ví dụ đó Trong đó, khi giải phương trình ta quan niệm nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm giải được bằng Maple Ngoài ra, mỗi hàm số ứng với mỗi ví dụ đều được minh họa bằng hình vẽ giúp cho việc thực hiện lời giải được đơn giản hóa
Trang 36+) Với nghiệm đúng của phương trình là x1* = -0.5610700072 trong
khoảng (-1, 0) ta có bảng đánh giá sai số sau:
Trang 37+) Với nghiệm đúng của phương trình là x2* = 0,5992410280 trong
khoảng (0, 1) ta có bảng đánh giá sai số sau:
Trang 38Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);
Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);
Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);
i:= 3;
e:=0;
Phác họa đồ thị hàm số y = x 5 -3x 2 +1