Ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến

Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp… Đặc biệt Giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,

và được sự đồng ý của Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh em

đã thực hiện đề tài “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương

trình phi tuyến”

Để hoàn thành khóa luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, rèn luyện ở Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo trực tiếp hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh đã tận tình, chu đáo hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài này một cách hoàn chỉnh nhất Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót mà bản thân chưa thấy được Em rất mong được sự góp ý của quý thầy cô để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Lê Thị Ngọc Yến

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu thực sự của

cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Khuất văn Ninh

Các nội dung được trình bày trong khóa luận này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào

Em xin chịu trách nhiệm về khóa luận của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Lê Thị Ngọc Yến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1 Kiến thức liên quan 3

1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tuyệt đối 3

1.1.3 Sai số tương đối 3

1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn 4

1.2.1 Làm tròn số 4

1.2.2 Sai số của phép làm tròn 5

1.3 Cách viết số xấp xỉ 7

1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 7

1.3.2 Chữ số đáng tin 7

1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 7

1.4 Tỷ sai phân 6

1.5 Một số khái niệm về dãy số 8

1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 8

1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ 9

1.6 Một số kiến thức về hàm số liên tục 12

1.6.1 Định nghĩa và ví dụ 12

1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn 13

1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả vi 13

1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm 14

1.8.1 Sự tồn tại nghiệm 14

1.8.2 Khoảng tách nghiệm 14

1.9 Công thức Taylor 15

Chương 2 Phương pháp parabol 16

2.1 Nội dung phương pháp 16

2.2 Bậc hội tụ 18

2.2.1 Định nghĩa bậc hội tụ 18

2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol 18

Chương 3 Một số ví dụ minh họa 29

3.1 Một số ví dụ 29

3.2 Bài tập 51

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đã biết, Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu đời,

đặc biệt từ khi máy tính điện tử ra đời, ngành khoa học này phát triển rất nhanh chóng Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng

dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường

gặp… Đặc biệt Giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần

đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học và trong các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…) dẫn đến cần phải giải các phương trình phi tuyến, tuy nhiên các phương trình này thường phức tạp, do đó nói chung khó có thể giải được (đưa được về các phương trình cơ bản) bằng các biến đổi đại số, hoặc không tránh khỏi sai số, ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Hơn nữa, vì các công thức nghiệm của phương trình phi tuyến thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua công thức cũng vẫn gặp phải rất nhiều khó khăn Vì vậy, các phương pháp giải gần đúng đã sớm được xây dựng, với các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai

số, đồng thời tiện lợi cho việc lập trình và tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán Vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến

có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn

Chính vì vậy nên em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em

là: “Ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi

tuyến“

2 Mục đích nghiên cứu

Hiểu và nắm vững phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho phép

Áp dụng phần mềm toán học như: Maple và Pascal vào để giải quyết một số bài toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu việc giải gần đúng phương trình phi tuyến bằng phương pháp Parabol

- Ứng dụng của Maple trong việc giải phương trình phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến

Khóa luận được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo):

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến Chương 3: Một số ví dụ minh họa

5 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu và tham khảo tài liệu

Viết thuật toán chạy chương trình

Đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp

Tổng hợp bài tập

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Để nắm vững và hiểu rõ hơn về phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến trong chương này em xin trình bày về một số kiến thức liên quan trực tiếp như: sai số, làm tròn số, tỷ sai phân, một số khái niệm

về hàm số, hàm số liên tục, hàm khả vi, sự tồn tại nghiệm của phương trình 1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Nếu ∆ > 0 thì a là giái trị gần đúng thiếu của a *

Nếu ∆ < 0 thì a là giái trị gần đúng thừa của a *

1.1.2 Sai số tuyệt đối

Vì rằng a * nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên có thể thấy, tồn tại ∆ a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

Số ∆ a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a

Nếu số xấp xỉ của a * có sai số tuyệt đối là  thì ta viết: a

đoạn thẳng AB là chính xác hơn phép đo doạn thẳng CD

Từ đó ta thấy độ chính xác của một phép đo thường được phản ánh qua sai số tương đối

Xét số a p.10p i.10i  p s 10p s , chữ số a j ở (1.2) của

số a là chữ số chắc nếu:  a .10i (ω là số cho trước) Tham số ω sẽ được chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc 1.3.2 Chữ số đáng tin

Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng:

Cho số a là giá trị xấp xỉ của a * với giá trị tuyệt đối ∆ a Có hai cách viết số

xấp xỉ a:

Cách 1: Viết kèm sai số

Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin

Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng

 được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của hàm số

y = f(x) tại x i và được ký hiệu là f x x i; i1;x i2

 , suy ra điều phải chứng minh

Tính chất 1.4.2: Tỷ sai phân là hàm đối xứng đối với các xi

Tính chất 1.4.3: Tỷ sai phân cấp (m+1) của đa thức bậc m là đồng nhất 0 Chứng minh:

Thật vậy, giả sử P x là đa thức bậc m, ta phải chứng minh  

 ; 0; ; ;1 k

Vậy P x x x ; 0; ; ;1 x là đa thức bậc 0, từ đó: k P x x ; 0; ;x m 0

1.5 Một số khái niệm về dãy số

1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

Cho tập hợp số nguyên dương *  

với mọi n > n 0 ta đều có u na  

Khi đó ta nói rằng dãy u n hội tụ tới a hay tiến đến giới hạn a và ta viết

1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ

Định lý 1: Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất

Chứng minh Trước hết ta cần chú ý rằng nếu , ' a a   và aa'  với mọi 0

  thì a = a’ Thật vậy, nếu aa', thì chọn '

2

   , ta có '

aa  , trái với giả thiết 

Giả sử lim n ;lim n '

n k ≥ k > n 0 và do đó u nk a  Theo định nghĩa lim nk

Định lý 3: Nếu { u n }n là dãy hội tụ và lim n

Định lý 4: Mọi dãy hội tụ thì bị chặn

Chứng minh: Giả sử {u n}n là dãy hội tụ và lim n

  Theo trên lim n

Vậy dãy { u n }n là dãy bị chặn

Định lý 5 ( Nguyên lý Bolzano – Weierstrass):

Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ

Định lý 6 ( Nguyên lý Cauchy):

Định nghĩa: Dãy số thực {u n}n được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu

với mọi > 0 cho trước tồn tại n 0 ( phụ thuộc vào ) sao cho với mọi

n, m > n 0 ta có |u n - u m | <

Nguyên lý hội tụ Cauchy: Dãy số thực {u n}n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy

cơ bản, tức là khi và chỉ khi   0,n0,n m, n0 thì |u n - u m | <

Vì thế với mọi m, n > n 0 ta có |u n - u m |  |a - u n | + |a – u m | <

V y {un}n là dãy c b n

b) Đi u ki n đ Ng c l i gi s {un}n là dãy cơ bản Khi đó theo trên {un}n là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass dãy {un}n có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào

đó.Theo tính chất của dãy cơ bản, chính dãy {un}n cũng h i t đ n a

Ví dụ 1: Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số {un}n v i

Vậy dãy {u n}n hội tụ

Ví dụ 2: Cho dãy {u n}n với u n

Nếu f lên tục tại mọi điểm xA thì ta nói f liên tục trên A

Nếu f không liên tục tại x 0 thì ta nói hàm f gián đoạn tại điểm x 0 , hay x 0 là

điểm gián đoạn của hàm f

Ví dụ Hàm số f(x) = sinx liên tục trên R

Thật vậy, cho x 0  Ta có

Vì thế, cho trước ε > 0 nếu chọn δ = ε thì với mọi x   thỏa mãn

|x – x 0 | < δ ta cósinxsinx0  Theo định nghĩa ( ) f x sinxliên tục tại x 0

Vì x0 là điểm bất kỳ của  , f liên tục trên 

Tương tự ta cũng chứng minh được rằng hàm số f(x) = cosx liên tục trên 

1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn

Định nghĩa: Cho hàm số f :a b   Nếu f liên tục trên (a, b), liên tục bên , 

phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta nói f liên tục trên [a, b]

Định lý 1: Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đó

Định lý 2: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cận trên đúng

và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số x 0 , x 0 ’ ∈ [a, b] sao cho

Định lý 3 (Định lý Bolzano – Cauchy thứ nhất) Giả sử hàm

f: a b   liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 Khi đó tồn tại c ,  a b, 

sao cho f(c) = 0

Định lý này có ý nghĩa hình học rất rõ ràng: nếu một đường cong liên tục đi từ

một phía của trục x sang phía kia thì nó cắt trục này

Định lý 4 (Định lý Bolzano – Cauchy thứ hai) Giả sử hàm f: a b  , 

liên tục trên [a, b] Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a), f(b), tức là

với mọi số thực γ nằm giữa f(a), f(b), tồn tại ca b, sao cho f(c) = γ

1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả vi

Định lý 1 (Fermat) Cho tập hợp mở U   và hàm f :U   Nếu điểm

c ∈ U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f’(c) thì f’(c) = 0

Định lý 2 (Rolle) Giả sử hàm số f: a b   có các tính chất: , 

a) f liên tục trên [a, b]

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a b,  sao cho f(b) – f(a) = f’(c)(b - a)

1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm

Khoảng [a, b] nào đó được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình

(1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Định lý (1.8.2)

Hàm f(x) liên tục, đơn điệu trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì [a, b] là khoảng

tách nghiệm của phương trình

Định lý (1.8.3):

Hàm f(x) xác định trên [a, b] có f’(x) không đổi dấu trên (a, b) và

f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1)

Ví dụ: Cho f(x) = x 3 - 2x - 5 = 0 hãy chứng minh phương trình có nghiệm

thực và tìm khoảng tách nghiệm ?

Giải:

Dễ thấy f(x) xác định và liên tục ∀x đồng thời

- +

+

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PARABOL

Như chúng ta đã biết, trong việc giải phương trình dạng f x  trừ một vài   0trường hợp đặc biệt, ta có công thức giải đúng còn nói chung phải sử dụng một số phương pháp để gải gần đúng phương trình đó

Trong chương này, ta nghiên cứu về phương pháp Parabol, một trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình dạng: f x  , (trong đó ( )  0 f x là

Phương pháp Parabol là phương pháp ba bước Để xây dựng được dãy

 x n , trước tiên ta phải biết trước ba mốc x 0 , x -1 , x -2

Đưa vào các ký hiệu:

lim n

n n

2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol

Người ta chứng minh được rằng bậc hội tụ α của phương pháp parabol

là nghiệm dương của phương trình :

32   1 0

Hay 1.839

Ví dụ 2.1:

Cho phương trình: x 6 – 3x 2 + x – 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy

tính nghiệm dương của phương trình với độ chính xác là = 10-4

Giải

Đặt f(x) = x 6 – 3x 2 + x – 1

Có f(1) = -2< 0, f(2) = 53 > 0  f(1).f(2) < 0

⇒ phương trình đã cho có nghiệm dương x ∈ (1, 2)

Theo phương pháp ta có bảng sau:

end;

Begin

Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);

Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);

Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2);

Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);

Cho phương trình: x 3 – x – 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy tìm

nghiệm của phương trình với độ chính xác là = 5.10 -4

Giải

Đặt f(x) = x 3 – x – 1

Có f(1) = -1< 0, f(2) = 5 > 0  f(1).f(2) < 0

⇒ phương trình đã cho có nghiệm x * ∈ (1, 2)

Theo phương pháp ta có bảng sau:

Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);

Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);

Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);

Cho phương trình: x 3 – x 2 - 4x - 4 = 0 bằng phương pháp parabol hãy

tính nghiệm của phương trình với độ chính xác là ε = 10-4

Giải

Đặt f(x) = x 3 – x 2 - 4x - 4

Có f(2) = -8 < 0, f(3) = 2 > 0  f(2).f(3) < 0

⇒ phương trình đã cho có nghiệm x ∈ (2, 3)

Theo phương pháp ta có bảng sau:

Với nghiệm đúng của phương trình là x * = 2.875129794 ta có bảng

đánh giá sai số sau:

Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);

Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);

Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);

i:= 3;

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

Trong chương này, em đã trình bày được một số ví dụ về giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp Parabol, áp dụng bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, phần mềm toán học Maple vào giải chính các ví dụ đó Trong đó, khi giải phương trình ta quan niệm nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm giải được bằng Maple Ngoài ra, mỗi hàm số ứng với mỗi ví dụ đều được minh họa bằng hình vẽ giúp cho việc thực hiện lời giải được đơn giản hóa

+) Với nghiệm đúng của phương trình là x1* = -0.5610700072 trong

khoảng (-1, 0) ta có bảng đánh giá sai số sau:

+) Với nghiệm đúng của phương trình là x2* = 0,5992410280 trong

khoảng (0, 1) ta có bảng đánh giá sai số sau:

Write( ‘ Nhap hai số a, b :’); readln(a, b);

Write(‘Nhap sai số:’); readln(s);

Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(x0, x1, x2); Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);

i:= 3;

e:=0;

Phác họa đồ thị hàm số y = x 5 -3x 2 +1