Giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến tính

Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp… Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Số gần đúng và sai số 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn 3

1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 4

1.1.4 Sai số tính toán 5

1.1.4.1 Biểu thức tổng quát của sai số tính toán 5

1.1.4.2 Sai số của phép toán cộng trừ 5

1.1.4.3 Sai số của phép toán nhân, chia 6

1.1.4.4 Sai số của phép tính lũy thừa 6

1.1.4.4 Sai số của phép logarit 6

1.1.5 Bài toán ngược của sai số 6

1.2 Sai số tương đối và sai số tuyệt đối 7

1.2.1 Sai số tuyệt đối 7

1.2.2 Sai số tương đối 7

1.3 Cách viết số xấp xỉ 7

1.3.1 Chữ số có nghĩa 7

1.3.2 Chữ số đáng tin 8

1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 8

1.4 Sai số quy tròn 8

1.4.1 Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn 8

1.4.2 Sai số quy tròn 9

1.5 Xấp xỉ ban đầu 9

1.6 Ma trận nghịch đảo 13

1.7 Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến 15

1.7.1 Phương pháp chia đôi 15

1.7.1 Phương pháp dây cung 16

1.7.3 Phương pháp lặp đơn 17

1.7.4 Phương pháp tiếp tuyến 18

1.7.4.1 Mô tả phương pháp 19

1.7.4.2 Ước lượng sai số 19

Bài tập chương 1 21

Chương 2.Tính gần đúng nghiệm hệ phương trình phi tuyến 22

2.1 Phương pháp lặp đơn 22

2.1.1 Phương pháp lặp đơn 22

2.1.1.1 Mô tả phương pháp 22

2.1.1.2 Sự hội tụ và sai số 23

2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 23

2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 26

2.2 Phương pháp lặp Seidel 28

2.2.1 Phương pháp lặp Seidel 28

2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 29

2.2.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 31

2.3 Phương pháp lặp Newton - Raphson 34

Chương 3.Bài tập vận dụng 39

Bài tập tự giải 52

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

PHẦN MỞ ĐẦU Trong toán học hiện đại, Giải tích số đã có những bước tiến nhanh chóng trong khoảng nửa thế kỉ vừa qua cùng với sự phát triển kì diệu của tin học Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp… Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp

số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học và trong các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất ) dẫn đến việc cần phải giải hệ phương trình phi tuyến tính Tuy nhiên chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm đúng của hệ phương trình đó, các trường hợp còn lại nói chung khó có thể giải được bằng các biến đổi đại số

Nếu hệ phương trình đó suất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức

fi (x1, x2,…, xn ) = 0 ; i = 1, 2, …, n của hệ phương trình phi tuyến cũng

chỉ biết gần đúng Vì thế việc giải đúng hệ phương trình đó chẳng những không thực hiện được, mà nhiều khi không có ý nghĩa Đối với các bài toán đó thì việc xác định sai số là một vấn đề đáng quan tâm Vì vậy, ngay từ thời Archimesdes, các phương pháp giải gần đúng đã được xây dựng Nhiều phương pháp ( phương pháp Newton – Raphson, Phương pháp Euler, phương pháp Seidel … ) đã trở thành kinh điển và được sử dụng rộng rãi trong thực tế

Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến tính

có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn Nó là cơ sở của môn Giải tích

số Vì vậy em đã lựa chọn đề tài “Giải gần đúng nghiệm hệ phương trình

phi tuyến tính” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc đại học Trong đề

tài có đưa ra các phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến tính hai ẩn

và ba ẩn với mục đích minh họa rõ hơn lý thuyết giải hệ phương trình phi tuyến tính và có điều kiện nghiên cứu sâu hơn vấn đề này cũng như môn Giải tích số Đồng thời qua đó để vận dụng vào dạy hệ phương trình phi tuyến tính trong chương trình dạy ở trường trung học phổ thông Khóa luận được chia làm 3 phần

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Kiến thưc chuẩn bị

Chương 2: Tính gần đúng nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính Chương 3: Bài tập vận dụng

Phần 3: Kết luận

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Số gần đúng

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a* nếu như a không sai khác a

nhiều

Hiệu số ∆ = a* - a là sai số thực sự của a Nếu ∆ > 0 thì a là giá trị

gần đúng thiếu, còn nếu ∆ < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a*

Vì rằng a* nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên

có thể thấy tồn tại ∆ a  0 thoả mãn điều kiện:

là sai số tương đối của a Rõ ràng ∆ a , δ a càng nhỏ càng tốt

Ví dụ: Xét hai đoạn thẳng AB có độ dài a = 10m và CD có độ dài

số, nếu s    thì a là số thập phân vô hạn tuần hoàn Làm tròn số a là bỏ

đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn hơn và gần đúng

nhất với số

 Quy tắc làm tròn: Xét số a ở dạng (1.1.2) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i, phần bỏ đi là  thì ta đặt:

a =  ( αp .10p + …+ αi+1.10i +1 +i .10i ) trong đó:

  Vì a*a  a*a  aa    a a, do đó khi làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a

1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét số a ở dạng (1.1.2) nghĩa là viết được dưới dạng thập phân, khi đó chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp

giữa hai chữ số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại

Ví dụ: Số a = 02,3040 thì chữ số 0 đầu tiên là không có nghĩa,

trong đó  là tham số cho trước Tham số  sẽ được trọn để sao cho một

chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng là a i

là chữ số chắc thì a i1cũng là chữ số chắc

1.1.4 Sai số tính toán

1.1.4.1 Biểu thức tổng quát của sai số tính toán

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y f x x 1, 2, ,x n

i



    (1.1.3) Vậy:



 

 Chú ý: Nếu tổng đại số

1

n i i

p i i

x y

 Nhận xét: Nếu   thì độ chính xác là giảm đi, nếu 1   thì 1

độ chính xác tăng lên Nếu   1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là

không đổi, nếu 1, k

k

    (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

1.1.4.4 Sai số của phép logarit

Xét y= lnx, thì ta có  y x

1.1.5 Bài toán ngược của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức: y f x x 1, 2, ,x n

yêu cầu đặt ra là cần tính x i như thế nào để y  , với   là cho trước Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có:

Bất đẳng thức trên thỏa mãn nếu

1.2 Sai số tương đối và sai số tuyệt đối

1.2.1 Sai số tuyệt đối

Trong tính toán ta thường không biết số đúng A mà chỉ biết số gần đúng của nó là a Lúc đó ta nói “a xấp xỉ A “và viết “a  A “ Độ lệch h = A – a được gọi là sai số thực sự của A

Vì không biết A nên ta cũng không biết h Tuy nhiên ta có thể tìm

được số dương   sao cho a h a  a Aa  Số a  bé nhất mà ta a

có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a

Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là ∆ a ta viết: A = a   a

1.3 Cách viết số xấp xỉ

1.3.1 Chữ số có nghĩa

Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có nghĩa Các chữ số 0 bên trái là không có nghĩa

Ví dụ: Số 1,35 thì có các chữ số 1; 3; 5 là có nghĩa Số 0,0310 thì các chữ số 3; 1; 0 có nghĩa, còn hai chữ số 0 bên trái không có nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin

Mọi số thập phân a đều có thế viết dưới dạng:

Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối ∆ a

 Cách thứ nhất: Là viết kèm theo sai số tuyệt đối a   a

 Cách thứ hai: Là chỉ viết các chữ số đáng tin Nếu ta có số gần

đúng mà không cho sai số thì luôn ngầm hiểu các chữ số có nghĩa là các chữ số đáng tin Như vậy các chữ số không ở bên

phải cho ta biết nó là chữ số đáng tin

1.4 Sai số quy tròn

1.4.1 Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn

Trong tính toán, khi gặp một số có quá nhiều chữ số đáng nghi, người ta thường bỏ đi một vài chữ số cuối cho gọn Việc làm đó gọi là

quy tròn số

Việc quy tròn số sẽ tạo ra sai số mới gọi là sai số quy tròn bằng

hiệu số giữa số đã quy tròn và số chưa quy tròn Trị tuyệt đối của hiệu

này được gọi là sai số quy tròn tuyệt đối Qui tắc quy tròn phải chọn sao

cho sai số quy tròn tuyệt đối càng bé càng tốt

Ta chọn qui tắc sau đây: Quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối

không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữa lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên Cụ thể là nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn

5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng

1.4.2 Sai số quy tròn

Giả sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối ∆ a Giả sử

ta đã quy tròn a thành a’ với sai số quy tròn tuyệt đối là a, tức là:

Rõ ràng 'a   , tức là việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối a

Do vậy sai số quy tròn có thể có tác hại trong quá trình tính toán

1.5 Xấp xỉ ban đầu

Thông thường quá trình tìm nghiệm r của phương trình

  0

ở đây f x là một hàm số thực một biến x , được chia làm hai phần Một

là, phần xấp xỉ ban đầu của nghiệm (thường được gọi là nghiệm xấp xỉ) Hai là tinh chế nghiệm xấp xỉ đó để có được một nghiệm xấp xỉ đó để được một nghiệm xấp xỉ mới có độ chính xác mong muốn

Việc tìm xấp xỉ ban đầu x0 cho nghiệm r của phương trình (1.5.1) thường là do dự đoán dựa trên những thông tin về hàm f có được, hoặc là bằng cách vẽ đồ thị tìm điểm x 0 sao cho f(x 0 )  0 Ngoài ra ta cũng có thể tìm x0 dựa vào định lý sau:

Nếu f(x) là một hàm thực liên tục trên [a, b] (a < b), có f(a).f(b) <

0 thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của f(x) trong khoảng

Việc tìm một khoảng [a,b] như vậy được gọi là cô lập nghiệm

Bây giờ xét một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực của phương trình đại số có dạng:

f x( )P x n( )a x0 na x1 n1 a n1xa n  0 (1.5.2)

với các hệ số thực a i ; i = 0, 1, 2, , n Phương trình đại số (1.5.2) nói

chung có thể có các nghiệm thực khác nhau hoặc nghiệm kép Nếu ta kí hiệu nghiệm của (1.5.2) là các số r r1, , ,2 r thì P n n (x) có thể viết dưới

1 2 0

Từ đẳng thức thứ hai của hệ trên ta suy ra:

n

a r

sự giữ nguyên dấu Lưu ý rằng ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0

Phương trình (1.5.2) được gọi đầy đủ nếu nó không có hệ số a

bằng 0

 Nguyên lý Decart được phát biểu như sau:

Số nghiệm dương của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những

hệ số là số 0 không tính đến

Số nghiệm âm của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số

chẵn số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(x) = 0

 Chú ý: Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số

lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một

Ta có thể viết lại theo sơ đồ Horner:

det

n n

a a a

Tiếp theo, nhân hàng đầu của ma trận trên với a21, sau đó cộng vào hàng thứ hai theo từng thành phần một ta được:

Vì vậy, với mỗi hàng i:

1 1 (1)

ij

11

i j ij

Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:

1 Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả a ll( 1)l cho a ll( 1)l ; j = l, l+1, …,

l

l ll

1.7 Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

1.7.1 Phương pháp chia đôi

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a b và,  f a f b  Đặt     0

Ngoài ra, ta còn có  

02

b a    khi n   Dễ dàng

thấy rằng, dãy  a n đơn điệu tăng , bị chặn trên bởi b, còn dãy {b n} đơn

điệu giảm và bị chặn dưới bởi a Hơn nữa do  

02

1.7.1 Phương pháp dây cung

Giả sử rằng hàm số y f x  liên tục trên đoạn [a, b] và

    0

f a f b  Giả sử rằng f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục và ta có

f”(x) > 0 trên đoạn [a, b] Khi đó đồ thị y f x  nằm dưới dây cung AB

với A(a, f(a)), B(b, f(b))

 Trường hợp 1 Nếu như f(a) > 0 ta xây dựng dãy {x n} theo hệ thức

 

0 1

Vậy r là nghiệm của (1.5.1)

Lấy giới hạn (1.7.4) khi p   ta được:

1

n n

Đây là ước lượng sai số mắc phải khi thuật toán dừng sau n bước

Do x nx n1 q n1 x1x0 nên thường ta chọn điều kiện kết thúc là:

Khi f là hàm khả vi và dễ tính giá trị đạo hàm thì phương pháp tiếp tuyến có tốc độ hội tụ nhanh và thường được sử dụng

1.7.4.1 Mô tả phương pháp

Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục 2 lần trên đoạn [a, b] và thỏa mãn f(a).f(b) < 0 và f’, f” không đổi dấu trên [a, b]

 Định nghĩa: điểm x 0 gọi là điểm fourier của f nếu f(x 0 ).f”(x 0 ) > 0

Phương pháp tiếp tuyến hay còn gọi là phương pháp Newton, là phương pháp có tốc độ hội tụ cao Ý tưởng của thuật toán như sau: ở

bước lặp thứ n ta thay hàm f(x) bởi tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x k , nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành

Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm fourier thuộc [a, b] kể

cả a và b

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại x n là

y = f’(x n )(x – x n ) + f(x n ) Nghiệm xấp xỉ ở bước thứ n+1 sẽ là nghiệm của phương trình

1.7.4.2 Ước lượng sai số

Giả sử r là nghiệm của (1.5.1) đặt m = min f ' x /xa b,   ta

có ước lượng sau:

 n n

f x

m

Trước hết ta nhắc lại công thức Lagrangiơ

 Công thức Lagrangiơ : Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a, b],

có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại số ca b, , tức là caba,

Chương 2 TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Cho hệ phương trình phi tuyến:

, , ,

n n

k n

x x x

n

g g g

Cho hệ phương trình phi tuyến tính:

Ở đây f 1 , f 2 là các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết là liên tục và giới nội

Trước tiên ta đưa hệ (2.1.5) về dạng:

k k

k

x x

1,

Ta có:

2 1

11

2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn

Cho hệ phương trình phi tuyến ba ẩn:

, ,

4, ,

3, ,

1 2

2 1

Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) , z(0) ) = (0,1; 0,2 ; 0,3) ta có kết quả sau đây:

Ở đây f i (i = 1,2,…, n ) và các đạo hàm riêng của chung cho đến

bậc hai được giả thiết là liên tục và giới nội

Trước tiên ta đưa hệ (2.2.1) về dạng:

, , ,

n n

Với điều kiện trong lân cận Q của nghiệm r = (r 1 , r 2 , …, r n) có:

 Kết luận: Phương pháp này là cải tiến của phương pháp lặp đơn

để có tốc độ hội tụ nhanh hơn

2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn

Cho hệ phương trình phi tuyến:

Trước tiên ta đưa hệ (2.2.4) về dạng:

1,

Trong lân cận Q = [0,1] [0,1] ta có:

11

2.2.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn

Cho hệ phương trình phi tuyến ba ẩn:

Trước tiên đưa hệ (2.2.6) về dạng:

1724, ,

4

7

4, ,

Áp dụng phương pháp lặp đơn có công thức tổng quát:

7

45

Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) , z(0) ) = (1,1; 0,4 ; 0,9)

Ta có kết quả sau đây:

2.3 Phương pháp lặp Newton - Raphson

Cho hệ phương trình phi tuyến:

Khai triển các hàm f i (i = 0, 1, 2, …, n) tại lân cận của x (0) theo chuỗi

Taylor và xét hệ phương trình tuyến tính với ẩn số h=(h 1, h2, …, hn ):

f h x

1 , 2 , , n

x x x là bước xuất phát của phương pháp, tức là

xấp xỉ ban đầu của nghiệm (2.3.1) thì:

n n