Giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.1.4 Sai số tính toán 1.1.4.1 Biểu thức tổng quát sai số tính toán 1.1.4.2 Sai số phép toán cộng trừ 1.1.4.3 Sai số phép toán nhân, chia 1.1.4.4 Sai số phép tính lũy thừa 1.1.4.4 Sai số phép logarit 1.1.5 Bài toán ngược sai số 1.2 Sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.2.1 Sai số tuyệt đối 1.2.2 Sai số tương đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Sai số quy tròn 1.4.1 Hiện tượng quy tròn sai số quy tròn 1.4.2 Sai số quy tròn 1.5 Xấp xỉ ban đầu 1.6 Ma trận nghịch đảo 13 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 1.7 Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến 15 1.7.1 Phương pháp chia đôi 15 1.7.1 Phương pháp dây cung 16 1.7.3 Phương pháp lặp đơn 17 1.7.4 Phương pháp tiếp tuyến 18 1.7.4.1 Mô tả phương pháp 19 1.7.4.2 Ước lượng sai số 19 Bài tập chương 21 Chương Tính gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến 22 2.1 Phương pháp lặp đơn 22 2.1.1 Phương pháp lặp đơn 22 2.1.1.1 Mô tả phương pháp 22 2.1.1.2 Sự hội tụ sai số 23 2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 23 2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 26 2.2 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.1 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 29 2.2.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 31 2.3 Phương pháp lặp Newton - Raphson 34 Chương Bài tập vận dụng 39 Bài tập tự giải 52 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Trong toán học đại, Giải tích số có bước tiến nhanh chóng khoảng nửa kỉ vừa qua với phát triển kì diệu tin học Ngày nay, với phát triển tin học, phạm vi ứng dụng Giải tích số ngày mở rộng Giải tích số lĩnh vực toán học rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần lớp toán, phương trình thường gặp… Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu phương pháp số giải gần toán thực tế mô hình hóa ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất ) dẫn đến việc cần phải giải hệ phương trình phi tuyến tính Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phương trình đó, trường hợp lại nói chung khó giải biến đổi đại số Nếu hệ phương trình suất phát từ toán thực tế biểu thức fi (x1, x2,…, xn) = ; i = 1, 2, …, n hệ phương trình phi tuyến biết gần Vì việc giải hệ phương trình không thực được, mà nhiều ý nghĩa Đối với toán việc xác định sai số vấn đề đáng quan tâm Vì vậy, từ thời Archimesdes, phương pháp giải gần xây dựng Nhiều phương pháp ( phương pháp Newton – Raphson, Phương pháp Euler, phương pháp Seidel … ) trở thành kinh điển sử dụng rộng rãi thực tế Vấn đề tìm gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính có ý nghĩa lí thuyết ứng dụng lớn Nó sở môn Giải tích số Vì em lựa chọn đề tài “Giải gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc đại học Trong đề GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội tài có đưa phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến tính hai ẩn ba ẩn với mục đích minh họa rõ lý thuyết giải hệ phương trình phi tuyến tính có điều kiện nghiên cứu sâu vấn đề môn Giải tích số Đồng thời qua để vận dụng vào dạy hệ phương trình phi tuyến tính chương trình dạy trường trung học phổ thông Khóa luận chia làm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Kiến thưc chuẩn bị Chương 2: Tính gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính Chương 3: Bài tập vận dụng Phần 3: Kết luận GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần số a* a không sai khác a nhiều Hiệu số ∆ = a* - a sai số thực a Nếu ∆ > a giá trị gần thiếu, ∆ < a giá trị gần thừa a* Vì a* nói chung nên ∆, nhiên thấy tồn ∆a  thoả mãn điều kiện: │a* - a│  ∆a (1.1.1) Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) gọi sai số tuyệt đối a, δa= a sai số tương đối a Rõ ràng ∆a , δa nhỏ tốt a Ví dụ: Xét hai đoạn thẳng AB có độ dài a = 10m CD có độ dài b  1m với a  b  0,01m Khi ta có : a  0,01 0,01  10 2  103  b  10 Hiển nhiên ta thấy phép đo đoạn thẳng AB xác đo đoạn thẳng CD Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn Xét số thập phân a  có dạng tổng quát:  a    p 10 p   p 1.10 p 1    p s 10 p s  (1.1.2)   i  ,  i , s , p ,  p  0, i  p, p  s Nếu  p  s   a số nguyên,  p  s   k  k   a có phần lẻ gồm k chữ GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội số, s    a số thập phân vô hạn tuần hoàn Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a gọn gần với số  Quy tắc làm tròn: Xét số a dạng (1.1.2) ta giữ lại đến bậc thứ i, phần bỏ  ta đặt: a =  ( αp 10p + …+ αi+1.10i +1 +  i 10i ) đó: i i       10    10  i  2l ; l   i  2 i=       10i    10i   2l  1; l   i  i 2 Ta kí hiệu sai số phép làm tròn  a , a  a   a , rõ ràng  a  10i Vì a*  a  a*  a  a  a   a   a , làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét số a dạng (1.1.2) nghĩa viết dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số bị kẹp hai chữ số khác chữ số hàng giữ lại Ví dụ: Số a = 02,3040 chữ số nghĩa, chữ số 3; 4; 0; 5; có nghĩa Số b = 0,023 chữ số 2; có nghĩa, số bên trái nghĩa Xét số a dạng (1.1.2):   a    p 10 p   p 1.10 p 1    p s 10 p s , chữ số  i (1.1.2) số a chữ số nếu:  a  .10i , GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội  tham số cho trước Tham số  trọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chữ số chắc, rõ ràng là chữ số ai1 chữ số 1.1.4 Sai số tính toán 1.1.4.1 Biểu thức tổng quát sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y  f  x1, x2 , , xn  Kí hiệu:     x*  x1*, x2*, , xn* , y*  f x* giá trị đúng, x   x1, x2 , , xn  , y  f  x  giá trị gần , y* , xi  xi*  xi Giả sử f  x1, x2 , , xn  hàm số khả vi liên tục thì: n y  y  y*  f ( x1, x2 , , xn )  f ( x1* , x2* , , xn* )   f ' x xi  xi* , i i 1 với f ' x đạo hàm theo xi tính điểm trung gian i Vì f hàm khả vi liên tục xi bé nên: n y   f ' x  x1, x2 , , xn  xi i i 1 (1.1.3) Vậy: y  y n   ln f xi y i 1 xi (1.1.4) 1.1.4.2 Sai số phép toán cộng trừ n n Nếu y   xi y ' x  , ta có: y   xi i i 1 i 1 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội n  Chú ý: Nếu tổng đại số y   xi bé giá trị tuyệt đối i 1 y lớn, phép tính xác Ta khắc phục cách tránh y công thức đưa đến hiệu hai số gần Hoặc là, lấy số với nhiều chữ số để hiệu chúng có thêm chữ số 1.1.4.3 Sai số phép toán nhân, chia p  xi Giả sử y  i 1 q áp dụng (1.1.3) (1.1.4) Ta có:  x p i i 1  y   x    x p q y  y  y 1.1.4.4 Sai số phép tính lũy thừa Xét y  x (  R, x  0)  y  a  x  Nhận xét: Nếu   độ xác giảm đi,   độ xác tăng lên Nếu   1 (phép nghịch đảo) độ xác không đổi,   , k   (phép khai căn) độ xác tăng lên k 1.1.4.4 Sai số phép logarit Xét y= lnx, ta có  y   x 1.1.5 Bài toán ngược sai số Giả sử đại lượng y tính theo công thức: y  f  x1, x2 , , xn  yêu cầu đặt cần tính xi để y   , với  cho trước Theo biểu thức tổng quát sai số tính toán, ta phải có: f xi   i 1 xi n y   GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Bất đẳng thức thỏa mãn xi   n f ' xi  Chú ý: Nếu biến xi vai trò “đều nhau” ta lấy xi   n f ' xi , y   1.2 Sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.2.1 Sai số tuyệt đối Trong tính toán ta thường số A mà biết số gần a Lúc ta nói “a xấp xỉ A “và viết “a  A “ Độ lệch h = A – a gọi sai số thực A Vì A nên ta h Tuy nhiên ta tìm số dương  a  h cho a   a  A  a   a Số  a bé mà ta xác định gọi sai số tuyệt đối a Nếu số xấp xỉ A có sai số tuyệt đối ∆a ta viết: A = a   a (1.2.1) ,với nghĩa a   a  A  a   a (1.2.2) 1.2.2 Sai số tương đối Tỷ số  a  a (1.2.3) gọi sai số tương đối a, ta suy a  a  a  a (1.2.4) Do (1.2.1) viết thành: A = a(1   a ) công thức (1.2.3) (1.2.4) cho ta mối liên hệ sai số tuyệt đối sai số tương đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số, ta kể chữ số khác tính từ trái sang phải chữ số có nghĩa Các chữ số bên trái nghĩa GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Ví dụ: Số 1,35 có chữ số 1; 3; có nghĩa Số 0,0310 chữ số 3; 1; có nghĩa, hai chữ số bên trái nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin Mọi số thập phân a viết dạng: a     s 10 s (1.3.1) αs số nguyên từ đến Ví dụ: Số 17,134 viết là: 17,134 1.101  7.100 1.101  3.102  4.103 tức a có dạng (1.3.1) với 1  1;   7;  1  1;  2  3;  3  Chữ số αs (1.3.1) chữ số a chữ số đáng tin (chữ số chắc)  a  0,5.10k , s  k ,  a  0,5.10k , s  k ta nói αs chữ số đáng nghi 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ Cho a giá trị xấp xỉ A với giá trị tuyệt đối ∆a  Cách thứ nhất: Là viết kèm theo sai số tuyệt đối a   a  Cách thứ hai: Là viết chữ số đáng tin Nếu ta có số gần mà không cho sai số ngầm hiểu chữ số có nghĩa chữ số đáng tin Như chữ số không bên phải cho ta biết chữ số đáng tin 1.4 Sai số quy tròn 1.4.1 Hiện tượng quy tròn sai số quy tròn Trong tính toán, gặp số có nhiều chữ số đáng nghi, người ta thường bỏ vài chữ số cuối cho gọn Việc làm gọi quy tròn số Việc quy tròn số tạo sai số gọi sai số quy tròn hiệu số số quy tròn số chưa quy tròn Trị tuyệt đối hiệu GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Áp dụng phương pháp lặp đơn có công thức tổng quát: k    k  [y ] k   [ x ]   [ y ]  x k  1    k k      x y    k 1 y    Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = (0,5 ; 0,9) ta có kết sau đây: k x(k) y(k) 0,4975 0,983333333 0,497443055 0,99640277 0,498721561 0,998551213 … … … 22 0,499999997 0,999999997 23 0,499999998 0,999999998 24 0,499999999 0,999999999 25 0,499999999 0,999999999   x  xy  3x   b)  3x  xy  x    Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng:  2 x  xy    x  g1  x, y     3x  x  xy  y   y  g x, y   2  GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 40 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Ta có: g1 4 x  y  x ; g1 x  y g2 x  y   x ; g2  xy   y Có thể lấy lân cận Q = { (x, y) : 0,1 < x < 0,6 ; 1,0 < y < 1,6} Trong lân cận Q ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y Áp dụng phương pháp lặp đơn ta có công thức tổng quát:    k 1 x      k 1 y  2[x k  ]2  x k  y k    3[x k  ]2  x k   x k [y k  ]2  y k    Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = ( 0,5 ; 1,6) ta có kết sau đây: k x(k) y(k) 0,516666666 1,56125 0,507585648 1,536197715 0,504821844 1,521820419 … … … 10 0,500146184 1,500682248 11 0,500089363 1,500419152 12 0,500054638 1,500255091 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 41 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp c) Đại học Sư Phạm Hà Nội  2sin x  y  y     e x  x  y  y    Hướng dẫn: Đưa hệ dạng (2.1.2) ta được:  x    y  x  g1  x, y   e  y  y   g2  x, y    y  2sin x  y  Ta có: g1 e x  x ; g1  y   y g2  cos x  x ; g2  y   y Có thể lấy lân cận Q = { (x, y) :  0,1 < x < 0,3 ; 0,9 < y < 1,1} Trong lân cận Q ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y Áp dụng phương pháp lặp đơn có công thức tổng quát:   k   k k x  e  [y  ]2  y    k    x    k     k 1 [y ]2  2sin[x k  ]  y  k    y  Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) )   0,2; 0,9  ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 42 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp k … 10 Đại học Sư Phạm Hà Nội k y  x  0,052850689 0,013563549 0,003413933 … 0,000012526 0,000003132 0,000000783 0,000000196 k 0,995754674 0,999534285 0,999881581 … 0,999999989 0,999999989 0,999999993 0,999999993   x  y  z  xy  xz  x  14   17 d)  y  z  xyz  y  yx      xy  yz  zx   Hướng dẫn: Đưa hệ dạng:  x  y  z  xy  xz 14  x  g1  x, y, z     17 y  z  xyz  xy    y  g  x, y, z      xy  zy  xz  z    z  g3  x, y, z    Ta có: g1 x  y  z  x ; g1  x  y  y ; g1 z  x  z g2  y  yz  x ; g2 y  xz  x  y ; g2 z  xy  z g3  y  z  x ; g3  x  z  y ; g3 x  y   z GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 43 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Có thể lấy lân cận Q = { (x, y, z) :  2,1 < x <  1,9 ;  1,1 < y <  0,9 ;  0,6 < z <  0,4} Trong lân cận Q ta có: g1 g1 g1   1 x y z g g g   1 x y z g3 g3 g3   1 x y z Áp dụng phương pháp lặp đơn ta có công thức tổng quát: k k k k k k k  k 1 [x  ]2  [y   ]2  4[z   ]2  x  y    x  z   14  x     k k k k k k k 17 [y   ]2  [z   ]2  x  y   z    x  y     k 1    y  k k k k          k  k  k    k 1  x y  z y  x z  z   z  Với xấp xỉ ban đầu (x(0) , y(0) , z(0)) = (  1,8 ;  0,8 ;  0,4) ta có kết sau đây: K x(k) y(k) z(k)  1,8850000000  1,0785000000  0,3750000000  2,0658915312  1,0542051406  0,4804150000  2,0326204844  1,0098608343  0,5251480574 … … … … 11  1,9998508224  1,0000862333  0,498269156 12  2,0000833086  1,0000895979  0,4999704132 13  2,0000567858  1,0000102248  0,5000366192 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 44 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel 4 x  y  a)  4 x  10 xy   Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng:  4 x  y  3x x  g x , y       x  10 xy  y    y  g  x , y   Ta có: g1 8 x   x ; g1 y  y g2 x  10 y  x ; g2 10 x   y Trong lân cận Q = { ( x, y ) : 0,1 < x < 0,6 ; 0,2 < y < 1,0 } ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y Áp dụng phương pháp lặp Seidel ta có công thức tổng quát: k  k  k   k 1  4[ x ]  [ y ]  x   x    k  k 1 k k   k 1 4[ x  ]2  10 x  y    y     y  Chọn xấp xỉ ban đầu : ( x(0) , y(0) ) = ( 0,0 ; 0,8 ) ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 45 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội k x(k) y(k) 0,213333333 0,911111111 0,42935967 0,669495027 0,332967898 0,582191356 … … … 21 0,25000038 0,500000166 22 0,250000182 0,500000059 23 0,25000008 0,500000016 11   x  x  y   b)   x2  y    Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng: 11  x2  y    x  g1  x, y       x  y  12 y   y  g x, y   2  12 Ta có: g1 x x g2  x  x g1  y g 5 y   y ; ; Trong lân cận Q = {(x , y) : 0,0 < x < 0,4 ; 0,1 < y < 0,5 } ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 46 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Áp dụng phương pháp lặp Seidel ta có công thức tổng quát:  k   k  11   k 1 [x ]  [y ]   x   k  k k    [ x ]2  5[ y   ]2  12 y    k   y    12 Chọn xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = ( 0,4 ; 0,4) ta có kết sau đây: k … 17 18 19 c) x(k) 0,2237500000 0,1885763672 0,1942433038 … 0,2469354951 0,2474874002 0,2479391370 y(k) 0,3604113281 0,3345744387 0,3160385440 … 0,2535023384 0,2528717391 0,2523555393  2  x  y  z  3xyz  z     x y  xyz  3x    y  y  xz  xy    Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng:  x y  xyz x  g x , y , z    1   y  xz  xy    y  g  x, y , z     x2  y  3xyz  z  z    z  g  x, y , z    GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 47 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Ta có: g1 xy  yz  x g2 z  y  x g3 x  yz  x ; ; ; g1 x  xz  y g2 y  x  y g3 y  3xz  y g1  xy  z g x  z g3 3xy   z  z ; ; ; Có thể lấy lân cận Q = { (x, y, z) :  0,4 < x < 0,4 ; 0,2 < y < 0,7 ; 0,7 < z < 1,3} Trong lân cận Q ta có: g1 g1 g1   1 x y z g g g   1 x y z g3 g3 g3   1 x y z Áp dụng phương pháp lặp Seidel có công thức tổng quát: k  k  k  k  k   k 1 [x ]2 y  x y z  x   g1  x, y, z     k 1 k k   k 1  k  [y ]2  x z  x  y     k 1    g2  x, y, z   y  k  k  k k   2    k 1  k 1  k  y z  z    2[z   ]2  [x ]  [y ]  3x   k 1  g3  x, y, z   z  Với xấp xỉ ban đầu (x(0) , y(0) , z(0)) = (0,4 ; 0,4 ; 1,3), ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 48 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội k x(k) y(k) z(k)  0,0480000000 0,4334000000 1,1235453400 0,0081239640 0,4717211380 1,0499631406  0,0013308612 0,4858756361 1,0221684198 0,0000001686 0,4995732165 1,0003174870  0,0000000281 0,4997866923 1,0001231732 10 0,0000000047 0,4998933701 1,0000438106 Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Newton -Raphson 2 xy   a)   x  y   Hướng dẫn: Ta có: 2 y 2x   x 1 J  x   Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (2 ,  1) ta có kết sau đây: k x(k) y(k) 1,5000000000  2,0000000000 1,9500000000 1,6000000000 1,1711108093 0,9488321564 1,6986324211 0,8842972564 1,6980482312 0,8833674542 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 49 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội  x2  y2   b)   x  x  y   Hướng dẫn: Ta có:  2x y   x  1 J  x   Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (  , 1) ta có kết sau đây: k x(k) y(k)  0,2647058824 1,0588235294  0,0308556993 1,0079775645  0,0005323908 1,0001455620  0,0000001646 1,0000000460 0,0000000000 1,0000000000 0,0000000000 1,0000000000 2cos x  sin y  y  3x   c)  2  sin x  cos y  y  x   Hướng dẫn: Ta có:  2sin x  J  x    cos x  x cos y  y   10 y  sin y  Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (0,025 ; 0,025) ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 50 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội x(k) k y(k)  0,0666208666  0,2152796608  0,0301055263  0,0950471856  0,0115176774  0,0367025102  0,0000106468  0,0000340276  0,0000000065  0,0000000207  0,0000000000  0,0000000000 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 51 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài :Giải hệ sau phương pháp lặp đơn  2x  y2  y x  a)  2  y  2x  x   y  y   x  x3  y x   b)  x2 y  y  y    1   y  y  3xz  0,2  c)  x  x  yz  0,1   z  x  xy  0,3 Bài 2: Giải hệ phương trình sau bàng phương pháp lặp Seidel  x  y 1 a)  5 y  xy   x  cos y  0,82 b)  sinx  y  Bài 3: Giải hệ sau phương pháp lặp Newton - Raphson  x2  y2  a)  2  x  x y  y  13   cos x  0,4 y  x  y  1,6   b)  y2 1,5 x  1  0,36  GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 52 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số phương pháp lặp tính gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính Phương pháp lặp đơn, phương pháp lặp Seidel, phương pháp lặp Newton - Raphson, tác giả đưa số ví dụ minh họa số tập điển hình để áp dụng Qua đó, để nói nghành giải tích số có vai trò quan trọng toán học nghành khoa học khác Tuy nhiên, thời gian có hạn, số vấn đề em nêu khóa luận mặt nội dung chưa sâu sắc Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn chỉnh GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 53 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải Tích Số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Anh Bảo – Nguyễn Văn Khải – Phạm Văn Kiều – Ngô Xuân Sơn (2002), Giải Tích Số, Nhà xuất Đại học Sư Phạm Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Khải – Nguyễn Minh Chương – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tường (2001), Giải Tích Số, Nhà xuất Giáo dục Tạ Văn Đĩnh (1998), Phương Pháp Tính, Nhà xuất Giáo dục Hoàng Xuân Huấn (2004), Các Phương Pháp Số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 54 SV: Nguyễn Thị Kim Dung [...]... BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1: Bằng phương pháp lặp đơn tính gần đúng nghiệm của phương trình sau đây a) x3 – x – 1 = 0 b) x – sinx = 0,25 c) x2 – cos  x = 0 d) 2x – lnx – 3 = 0 Bài 2: Bằng phương pháp tiếp tuyến và dây cung tính gần đúng nghiệm của phương trình sau đây a) x5 – 40x + 3 = 0 b) x3 – 17 = 0 c) x5 – 4x4 + x3 – 6x2 + 7 = 0 Bài 3: Giải gần đúng phương trình sau nhờ phương pháp Newton a) 2x = 4x... Chương 2 TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Cho hệ phương trình phi tuyến:  f1  x1 , x2 , , xn   0   f 2  x1, x2 , , xn   0    f  x , x , , x   0 n  n 1 2 (2.1.1) Ở đây fi (i = 1, 2, …, n) và các đạo hàm riêng của chung cho đến bậc hai được giả thiết là liên tục và giới nội 2.1 Phương pháp lặp đơn 2.1.1 Phương pháp lặp đơn 2.1.1.1 Mô tả phương pháp Trước tiên ta đưa hệ. .. trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số 0 không tính đến Số nghiệm âm của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(  x) = 0 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 11 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 2  Chú ý: Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc... g  g   2   g   n 2.1.1.2 Sự hội tụ và sai số Người ta chứng minh được hệ (2.1.2) có duy nhất nghiệm r trong miền D và có ước lượng sai số: r  xn  qn 1 0 x x 1 q Và ước lượng sai số trong thực hành là: r  xn  q 1 0 x x 1 q 2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn Cho hệ phương trình phi tuyến tính:  f1  x1, x2   0   f 2  x1, x2   0 (2.1.5) 23 SV: Nguyễn Thị Kim... GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 25 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn Cho hệ phương trình phi tuyến ba ẩn:  f x ,x ,x   0  1 1 2 3  f 2  x1, x2 , x3   0   f 3  x1, x2 , x3   0 (2.1.8) Trước tiên đưa hệ (2.1.8) về dạng:  x  g x ,x ,x  1 1 2 3  1 x  g  2 2  x1, x2 , x3    x3  g3  x1, x2 , x3  (2.1.9)... 0,251721512 0,1676303489 7 0,251721512 0,1676303489 2.2.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn Cho hệ phương trình phi tuyến ba ẩn:  f1  x1, x2 , x3   0   f 2  x1, x2 , x3   0   f 3  x1, x2 , x3   0 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 31 (2.2.6) SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 Trước tiên đưa hệ (2.2.6) về dạng:  x1  g1  x1, x2 , x3    x2  g 2 ... độ hội tụ nhanh hơn 2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn Cho hệ phương trình phi tuyến:  f1  x1, x2   0   f 2  x1, x2   0 (2.2.4) Ở đây f1 , f2 và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết là liên tục và giới nội GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 29 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 Trước tiên ta đưa hệ (2.2.4) về dạng:  x1  g1  x1,... an1  Nguyên lý Decart: Nếu trong phương trình (1.5.2) hai hệ số cạnh nhau khác dấu, ta nói rằng có sự đổi dấu, nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ nguyên dấu Lưu ý rằng ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0 Phương trình (1.5.2) được gọi đầy đủ nếu nó không có hệ số a bằng 0  Nguyên lý Decart được phát biểu như sau: Số nghiệm dương của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một... Trước tiên ta đưa hệ (2.1.5) về dạng:  x1  g1  x1, x2    x2  g 2  x1, x2  (2.1.6) Nếu có: g1 g1  1 x1 x2 g 2 g2  1 x1 x2 Tại lân cận của nghiệm r= (r1, r2) thì phương pháp lặp đơn x k 1   k  g x  (2.1.7) Hội tụ đến nghiệm của hệ phương trình (2.1.5), ở đây x  k 1  x k 1  g    1  , g   1   k 1   g 2   x2   Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:  x3... nếu f(x0).f”(x0) > 0 Phương pháp tiếp tuyến hay còn gọi là phương pháp Newton, là phương pháp có tốc độ hội tụ cao Ý tưởng của thuật toán như sau: ở bước lặp thứ n ta thay hàm f(x) bởi tiếp tuyến với đồ thị tại điểm xk , nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm fourier thuộc [a, b] kể cả a và b Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = ... tài có đưa phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến tính hai ẩn ba ẩn với mục đích minh họa rõ lý thuyết giải hệ phương trình phi tuyến tính có điều kiện nghiên cứu sâu vấn đề môn Giải tích... Seidel 28 2.2.1 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 29 2.2.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 31 2.3 Phương pháp lặp Newton... cần phải giải hệ phương trình phi tuyến tính Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phương trình đó, trường hợp lại nói chung khó giải biến đổi đại số Nếu hệ phương trình suất