Giải gần đúng phương trình đại số

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ TRẦN HOÀI ANH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2010 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, khoá luận em hoàn thành Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người trực tiếp hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa toán tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức nên chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khoá luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2010 SINH VI ÊN Trần Hoài Anh Trần Hoài Anh K32 CN Toán MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu Nội dung Chương I : Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số gần sai số 1.2 Sai số tuyệt đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Sai phân Chương II: Giải gần phương trình đại số 11 2.1 Nghiệm khoảng tách nghiệm 11 2.2 Phương pháp đồ thị 15 2.3 Phương pháp chia đôi 17 2.4 Phương pháp lặp 22 2.5 Phương pháp Newton 26 2.6 Phương pháp dây cung 32 Chương III: Ứng dụng 35 Tài liệu tham khảo 50 Kết luận 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng PHẦN 1: MỞ ĐẦU Giải tích số ngành khoa học có từ lâu từ máy tính điện tử đời ngành khoa học phát triển nhanh, nhằm xây dựng thuật toán đơn giản có hiệu lực, giải kết số toán khoa học kỹ thuật máy tính Vì ngày với việc sử dụng rộng rãi máy vi tính quan, xí nghiệp, kiến thức môn học “Giải tích số” trở nên cần thiết Giải tích số lĩnh vực toán học rộng, nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần lớp toán, phương trình thường gặp Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu phương pháp số giải gần toán thực tế đựơc mô hình hoá ngôn ngữ toán học Để có lời giải gần cho toán đòi hỏi phải có kiện toán sau xây dựng mô hình toán Tiếp theo công việc tìm thuật toán hữu hiệu cuối viết chương trình để máy tính tính toán cho ta kết gần Khi giải toán thực tế ta phải làm việc trực tiếp gián tiếp với số liệu ban đầu Chính vậy, không tránh khỏi sai số, nhỏ ảnh hưởng trực tiếp đến kết tính toán Vì cần sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng phép tính, thời gian tính toán Vấn đề giải gần phương trình đại số có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng lớn, sở môn “Giải tích số” Vì em chọn đề tài cho khoá luận “Giải gần phương trình đại số” Khoá luận chia làm phần: Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Phần 3: Kết luận Trần Hoài Anh K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần a * a không sai khác a * nhiều, hiệu số a  a*  a sai số thực a , a  a giá trị gần thiếu, a  a giá trị gần thừa a * Vì a * nói chung nên  , nhiên thấy tồn a  thoả mãn điều kiện : a*  a  a 1.1.1 Khi : a gọi sai số tuyệt đối a a   sai số tương đối a a Rõ ràng a, a nhỏ tốt CHÚ Ý : Nếu xét đoạn thẳng AB có số đo a  100m đoạn thẳng CD có số đo b  10m với a  b  0,01m Khi  a  0,01 0,01 ; b  100 10 Vậy b  10 a phép đo AB xác phép đo thường phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn số Xét số thập phân dạng tổng quát Trần Hoài Anh K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng a    p 10 p   i 10i    ps 10 ps  1.1.2  Trong  j   , j, a p  0,0  a j  Nếu  p  s   a số nguyên Nếu p  s  k  k  0 a có phần lẻ gồm k chữ số Nếu s   a số thập phân vô hạn Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a gọn gần với số a Quy tắc làm tròn : Xét số a dạng 1.1.2  ta giữu lại đến bậc thứ i , phần bỏ  : a    p 10 p   i1.10i1   i 10i  Trong :  i i  töông ñöông    10    10  i  2l; l    i 2 i    töông ñöông   10i    10i   2l  1; l   i  i 1 2 Ta kí hiệu sai số phép làm tròn  a , a  a  a , rõ ràng a  10i Vì a*  a  a*  a  a  a  a   a , làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a Trần Hoài Anh K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét số a dạng 1.1.2  nghĩa viết dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số bị kẹp hai số khác chữ số hàng giữ lại Xét số a dạng 1.1.2  a    p 10 p   i 10i    ps 10 ps  Chữ số  j 1.1.2  số a số : a  .10 j ; tham số cho trước Tham số  chọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chắc, rõ ràng chữ số 1 chữ số 1.1.4 Sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y  f  x1, x2 , , xn  Gọi x*   x1* , x2* , , xn*  ; y*  f  x*  giá trị x   x1, x2 , , xn  ; y  f  x  giá trị gần y * , xi  xi*  xi Giả sử f  x1, x2 , , xn  hàm số khả vi liên tục : y  y  y*  f  x1, x2 , , xn   f  x1* , x2* , , xn*    f x i xi  xi* n i 1 Với f xi đạo hàm theo xi tính điểm trung gian Vì f khả vi liên tục , xi bé nên: Trần Hoài Anh K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng n y   f x i  x1 , x2 , , xn  xi 1.1.3 i 1 y n  Vậy  y   ln f xi 1.1.4  y i 1 xi a Sai số phép toán cộng trừ n n i 1 i 1 Nếu y   xi yxi  1, ta có : y   xi n Chú ý : Nếu tổng đại số y   xi bé giá trị tuyệt đối i 1 y lớn, phép y tính xác Ta khắc phục cách tránh công thức đưa đến hiệu hai số gần b Sai số phép toán nhân, chia n Giả sử y  x i 1 n x i 1 i Áp dụng 1.1.3 1.1.4  ta có p i  y   x1    xq y  y  y c Sai số phép tính lũy thừa Xét y  x    , x   ,  y    x Như vậy, Nếu   độ xác giảm Nếu   độ xác tăng lên Trần Hoài Anh K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Nếu   1( phép nghịch đảo ) độ xác không đổi Nếu   ,k   * ( phép khai ) độ xác tăng lên k d Sai số phép tính logarit Xét y  ln x , ta có y   x 1.1.5 Bài toán ngƣợc sai số Giả sử đại lượng y tính theo công thức : y  f  x1, x2 , , xn  Yêu cầu đặt cần tính xi để y   , với  cho trước Theo biểu thức tổng quát sai số tính toán ta phải có : n y   i 1 f xi   xi Bất đẳng thức thoả mãn xi   n f x i Kết luận : Nếu biến xi có vai trò „đều nhau‟ ta lấy xi   n f x i , y   1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI 1.2.1 Sai số tuyệt đối Trong tính toán , người ta thường số A mà biết số gần a Lúc ta nói „ a xấp xỉ A ‟ viết "a  A" Độ lệch h  A  a gọi sai số thực a Trần Hoài Anh K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Ta có f  c3   0,303939819  Đặt a4  0,8125; b4  0,875 Chia  a4 , b4  điểm chia c4  0,8125  0,875  0,84375 Ta có f  c4   0,135573387  Đặt a5  0,84375; b5  0,875 0,84375  0,875  0,859375 Chia  a5 , b5  điểm chia c5  Ta có f  c5   0,044614732  Đặt a6  0,859375; b6  0,875 Chia  a6 , b6  điểm chia c6  0,859375  0,875  0,8671875 Ta có f  c6   0,002612356  Đặt a7  0,859375; b7  0,8671875 Chia  a7 , b7  điểm chia c7  0,859375  0,8671875  0,86328125 Ta có f  c7   0,021148454  Đặt a8  0,86328125; b8  0,8671875 Trần Hoài Anh 37 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Chia  a8 , b8  điểm chia 0,86328125  0,8671875  0,865234375 c8  Ta có f  c8   0,009304987  Đặt a9  0,865234375; b9  0,8671875 Chia  a9 , b9  điểm chia c9  0,865234375  0,8671875  0,866210937 Ta có f  c9   0,003355565  Đặt a10  0,866210937; b10  0,8671875 Chia  a10 , b10  điểm chia c10  0,8662109375  0,8671875  0,866648435 Ta có f  c10   0,000684241  Vậy nghiệm phương trình x*  c10  0,866648435 BÀI 3: Giải phương trình x  x3  16 x   phương pháp chia đôi với n  10 Giải Đặt f  x   x  x3  16 x  Ta có : Trần Hoài Anh 38 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng f    7   suy f   f 1  f 1   Vậy 0,1 khoảng tách nghiệm phương trình  Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm phương trình Chia 0,1 điểm chia c  1  0,5 Ta có f  c   0,875  Đặt a1  0; b1  0,5 Chia  a1, b1  điểm chia c1   0,5  0,25 Ta có f  c1   3,0234375  Đặt a2  0,25; b2  0,5 Chia  a2 , b2  điểm chia c2  0,25  0,5  0,375 Ta có f  c2   1,065917969  Đặt a3  0,375; b3  0,5 Chia  a3 , b3  điểm chia c3  0,375  0,5  0,4375 Ta có f  c3   0,094207763  Đặt a4  0,4375; b4  0,5 Trần Hoài Anh 39 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Chia  a4 , b4  điểm chia c4  0,4375  0,5  0,46875 Ta có f  c4   0,390565872  Đặt a5  0,4375; b5  0,46875 0,4375  0,46875  0,453125 Chia  a5 , b5  điểm chia c5  Ta có f  c5   0,148241162  Đặt a6  0,4375; b6  0,453125 Chia  a6 , b6  điểm chia c6  0,4375  0,453125  0,4453125 Ta có f  c6   0,027034528  Đặt a7  0,4375; b7  0,4453125 Chia  a7 , b7  điểm chia c7  0,4375  0,4453125  0,44140625 Ta có f  c7   0,033581882  Đặt a8  0,44140625; b8  0,4453125 Chia  a8 , b8  điểm chia c8  0,44140625  0,4453125  0,443359375 Ta có f  c8   3,272527334.103  Trần Hoài Anh 40 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Đặt a9  0,443359375; b9  0,4453125 Chia  a9 , b9  điểm chia c9  0,443359375  0,4453125  0,4443359375 Ta có f  c9   0,0118812836  Đặt a10  0,443359375; b10  0,4443359375 Chia  a10 , b10  điểm chia c10  0,443359375  0,4443359375  0,4438476563 Ta có f  c10   4,304449469.103  Vậy nghiệm phương trình x*  c10  0,4438476563 BÀI 4: Giải phương trình x  lg x   phương pháp lặp với n  Giải Đặt f  x   x  lg x  Ta có f 1  1   suy f 1 f    f    0,301029999 Vậy khoảng tách nghiệm phương trình 1,2 Trần Hoài Anh 41 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng  Bằng phương pháp lặp giải phương trình Đặt f  x   x  lg x   töông ñöông x   lg x Đặt   x    lg x Chọn x0  Ta có x1    x0   x2    x0   1,698970004 x3    x2   1,769814289 x4    x3   1,752072303 x5    x4   1,756447976 x6    x5   1,755364709 Vậy nghiệm phương trình x*  x6  1,755364709 BÀI : Giải phương trình x5  x  10  phương pháp lặp với n  Giải Đặt f  x   x  x  10 Ta có f 1  10   suy f 1 f    f    20  Vậy khoảng tách nghiệm phương trình 1,2 Trần Hoài Anh 42 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng  Bằng phương pháp lặp giải phương trình Đặt f  x   x5  x  10  töông ñöông x5  x  10 töông ñöông x  x  10 Đặt   x   x  10 Chọn x0  Ta có x1    x0   1,615394266 x2    x0   1,633077485 x3    x2   1,63357442 x4    x3   1,633588376 x5    x4   1,633588768 x6    x5   1,633588779 Vậy nghiệm phương trình x*  x6  1,633588779 BÀI :Giải phương trình x  3x  75 x  1000  phương pháp Newton với n  Giải Đặt f  x   x  3x  75 x  1000 f   x   x  x  75 Trần Hoài Anh 43 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Ta có f  10   1050  suy f  10  f  11  f  11  3453  Vậy khoảng tách nghiệm phương trình  11, 10  Áp dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm phương trình Chọn x0  11 x1  x0  f  x0   10,33378352 f   x0  x2  x1  f  x1   10,26175129 f   x1  x3  x2  f  x2   10,26096447 f   x2  x4  x3  f  x3   10,26096438 f   x3  x5  x4  f  x4   10,26096434 f   x4  x6  x5  f  x5   10,26096433 f   x5  Vậy nghiệm phương trình x*  x6  10,26096433 BÀI :Giải phương trình 3x  2e x  phương pháp Newton với n  Giải Trần Hoài Anh 44 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Ta có 3x  2e x  töông ñöông 3x2  2ex   Đặt f  x   3x  2e x  f   x   x  2e x Ta có f  1  0,264241117   suy f  1 f    f    4  Vậy khoảng tách nghiệm phương trình  1,0  Áp dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm phương trình chọn x0  1 x1  x0  f  x0   0,960770401 f   x0  x2  x1  f  x1   0,960151199 f   x1  x3  x2  f  x2   0,960151048 f   x2  x4  x3  f  x3   0,942564027 f   x3  x5  x4  f  x4   0,960276634 f   x4  x6  x5  f  x5   0,960151055 f   x5  Vậy nghiệm phương trình x*  x6  0,960151055 Trần Hoài Anh 45 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng x3 BÀI :Giải phương trình   x   phương pháp dây cung với bước lặp Giải Đặt f  x    x3  4x  Ta có    suy f   f 1  33  f 1  10  f  0  Vậy khoảng tách nghiệm phương trình 0,1  Áp dụng phương pháp dây cung với bước lặp ta có x0  a  ba f  a   0,8 f b  f  a  x1  x0  b  x0 f  x0   0,367816092 f  b   f  x0  x2  x1  b  x1 f  x1   0,305490136 f  b   f  x1  x3  x2  b  x2 f  x2   0, 297783768 f  b   f  x2  x4  x3  b  x3 f  x3   0, 296859439 f  b   f  x3  x5  x4  b  x4 f  x4   0, 296749006 f  b   f  x4  x6  x5  b  x5 f  x5   0, 296735819 f  b   f  x5  Vậy nghiệm phương trình x*  x6  0,296735819 Trần Hoài Anh 46 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng BÀI :Giải phương trình 4 x3  3x   phương pháp dây cung với bước lặp Giải Đặt f  x   4 x3  3x  Ta có f  2   21  suy f  2  f  1  f  1  7  Vậy khoảng tách nghiệm phương trình  2, 1  Áp dụng phương pháp dây cung với bước lặp ta có x1  a  ba f  a   1,25 f b  f  a  x2  x1  b  x1 f  x1   1,288659794 f  b   f  x1  x3  x2  b  x2 f  x2   1,301853303 f  b   f  x2  x4  x3  b  x3 f  x3   1,305339465 f  b   f  x3  x5  x4  b  x4 f  x4   1,306183161 f  b   f  x4  x6  x5  b  x5 f  x5   1,306382643 f  b   f  x5  Vậy nghiệm phương trình x*  x6  1,306382643 Trần Hoài Anh 47 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng x3  x   phương pháp dây cung với BÀI 10 :Giải phương trình bước lặp Giải Đặt f  x   x3  x 1 Ta có f    1   suy f   f 1  f 1    Vậy khoảng tách nghiệm phương trình 0,1  Áp dụng phương pháp dây cung với bước lặp ta có x1  a  ba f  a   0,75 f b   f  a  x2  x1  b  x1 f  x1   0,81764705 f  b   f  x1  x3  x2  b  x2 f  x2   0,817208925 f  b   f  x2  x4  x3  b  x3 f  x3   0,817685902 f  b   f  x3  x5  x4  b  x4 f  x4   0,817727666 f  b   f  x4  x6  x5  b  x5 f  x5   0,81773132 f  b   f  x5  Vậy nghiệm phương trình x*  x6  0,81773132 Trần Hoài Anh 48 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Bằng phương pháp đồ thị giải phương trình x n  ax  b  Bài : Giải phương trình phương pháp đồ thị x2  x   Bài : Giải phương trình phương pháp chia đôi với n  10 x5  12 x3  17 x  41  Bài : Giải phương trình phương pháp chia đôi với n  10 x3  x   Bài : Bằng phương pháp Newton giải phương trình với n  x.e x  Bài : Giải phương trình phương pháp Newton với n  x2  ex  Bài : Giải phương trình phương pháp lặp với n  x  e x  10  Bài : Bằng phương pháp lặp giải phương trình với n  x  ln x  Bài : Giải phương trình sau phương pháp dây cung với n  x  5x   Bài 10 : Giải phương trình phương pháp dây cung với n  7 x3  x   Trần Hoài Anh 49 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Phạm Phụ Chiêm, Nguyễn Bường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh (2000), Giải tích số, Nhà xuất giáo dục Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, Nhà xuất giáo dục Dương Thuỳ Vỹ (1996), Giáo trình phương pháp tính, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội Trần Hoài Anh 50 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày số phương pháp “Giải gần phương trình đại số”và vận dụng phương pháp vào giải toán cụ thể Em giải mẫu số ví dụ tìm nghiệm gần phương trình đại số để từ bạn đọc vận dụng vào giải tập tương tự cách dễ dàng Mặc dù cố gắng thời gian có hạn bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khoá luận em không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn sinh viên để khoá luận em hoàn chỉnh Trần Hoài Anh 51 K32 CN Toán [...]... CHƢƠNG II : GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2.1 NGHIỆM VÀ KHOẢNG TÁCH NGHIỆM 2.1.1 Nghiệm thực của phƣơng trình một ẩn Xét phương trình một ẩn : f  x   0  2.1.1 Trong đó f là một hàm số cho trước của đối số x Nghiệm thực của phương trình  2.1.1 là số thực  thoả mãn  2.1.1 tức là khi thay  vào x ở vế trái ta được f  x   0  2.1.2  2.1.2 Sự tồn tại nghiệm thực của phƣơng trình  2.1.1... 1.2.3 và 1.2.4  cho ta liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số tương đối 1.3 CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ 1.3.1 Chữ số có nghĩa Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có nghĩa Chẳng hạn số 1,35 có 3 chữ số có nghĩa ; số 0,0310 cùng có 3 chữ số có nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin Mọi số thập phân a đều có thể viết dưới dạng... giờ ta áp dụng đị nh lí (2.4.2) để đánh giá sai số của phương pháp lặp giải gần đúng phương trình (2.4.1) Trần Hoài Anh 24 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Ta đã biết x * là nghiệm của phương trình (2.4.1) và xn là một số thuộc  a, b  là một số gần đúng của x* suyra công thức x*  xn  f ( xn ) (2.4.7); trong đó m là số dương xác m đị nh bởi f ( x)  m  0 tại x... (a, b) Công thức(2.4.7) là công thức đánh giá sai số thứ hai cho phương pháp lặp 2.4.4 Ví dụ minh họa Giải phương trình 5 x3  3x  1  0 bằng phương pháp lặp với n  6 Giải Đặt f  x   5 x3  3x  1 Ta có f  0   1  suy ra f  0  f 1  0 f 1  1  Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình là 0,1  Bằng phương pháp lặp giải phương trình Đặt f  x   5x3  3x  1  0 töông ñöông 5x3... hàm số liên tục Giải phương trình  2.2.1 bằng phương pháp đồ thị là ta đi vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Nghiệm của phương trình là hoành độ y  f ( x) với trục hoành hoặc giải phương trì nh giao điểm của đồ thị (2.2.1) ta biến đổi như sau : f ( x)  0 tương đương h  x   g  x  (2.2.2) Trần Hoài Anh 15 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Giải phương trình. ..  ( xn1 ); n  1;2;3 (2.4.3) Quá trình tính này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là phương pháp lặp, hàm  ở đây ở đây là hàm lặp Trần Hoài Anh 22 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Giải phương trình (2.4.1) bằng công thức (2.4.3) được gọi là giải phương trình bằng phương pháp lặp 2.4.2 Sƣ̣ hội tụ Xét phương trình (2.4.1) với công thức lặp... luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng 2.3 PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 2.3.1 Phƣơng pháp chia đôi Xét phương trình f ( x)  0 (2.3.1) Giả sử  a, b  là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.3.1) Giải phương trình (2.3.1) bằng phương pháp chia đôi là phương pháp làm co hẹp dần khoảng cách nghiệm của phương trì nh (2.3.1) Giả sử f (a)  0 , f (b)  0 Trước hết, ta chia đôi khoảng  a, b  ,... TS Nguyễn Văn Hùng Nếu số xấp xỉ của A nên cũng không biết h Tuy nhiên ta có thể tìm được số dương a  h sao cho a  a  A  a  a Số a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là a , ta viết A  a  a 1.2.1 với nghĩa a  a  A  a  a 1.2.2 1.2.2 Sai số tƣơng đối Tỷ số  a  a 1.2.3 gọi là sai số tương đối của a a Ta... khác: phương pháp tiếp tuyến là ý nghĩa hình học của phương pháp Newton 2.5.3 Ví dụ minh họa Giải phương trình 5 x3  3x  1  0 bằng phương pháp Newton với n  6 Giải Đặt f  x   5 x3  3x  1 suy ra f   x   15 x 2  3 Trần Hoài Anh 30 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Ta có f  0   1  suy ra f  0  f 1  0 f 1  1  Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình. .. đổi dấu và f  a  và f  b  trái dấu thì  a, b  là một khoảng tách nghiệm của phương trình  2.1.1 2.1.4.Ví dụ minh hoạ Cho phương trình f  x   5 x3  3x  1  0 Hãy tìm khoảng tách nghiệm của phương trình Giải Trần Hoài Anh 13 K32 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xét sự biến thiên của hàm số f ( x) TXĐ:  f   x   15 x 2  3 f   x   0 suy ra 15 x 2  3  0 suy ra ... bị 1.1 Số gần sai số 1.2 Sai số tuyệt đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Sai phân Chương II: Giải gần phương trình đại số 11 2.1 Nghiệm khoảng tách nghiệm 11 2.2 Phương pháp đồ thị 15 2.3 Phương. .. THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần a * a không sai khác a * nhiều, hiệu số a  a*  a sai số thực a , a  a giá trị gần thiếu, a  a giá trị gần thừa a * Vì... : GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2.1 NGHIỆM VÀ KHOẢNG TÁCH NGHIỆM 2.1.1 Nghiệm thực phƣơng trình ẩn Xét phương trình ẩn : f  x    2.1.1 Trong f hàm số cho trước đối số x Nghiệm thực phương