Giải gần đúng phương trình đại số

PHẦN 1 : MỞ ĐẦUGiải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu nhưng từ khi máy tính điện tử ra đời ngành khoa học này phát triển rất nhanh, nhằm xây dựng những thuật toán đơn giản có hi

************

TRẦN HOÀI ANH

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI – 2010

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo TS Nguyễn Văn Hùng, khoá luận của em đã được hoàn thành

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn

Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời

gian em thực hiện khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô giáo trong khoa toán đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót Em rất mong nhận được

sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của

em được hoàn thiện hơn

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

TS Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Trần Hoài Anh

Mở đầu 1

Nội dung 2

Chương I : Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Số gần đúng và sai số 2

1.2 Sai số tuyệt đối 6

1.3 Cách viết số xấp xỉ 7

1.4 Sai phân 8

Chương II: Giải gần đúng phương trình đại số 11

2.1 Nghiệm và khoảng tách nghiệm 11

2.2 Phương pháp đồ thị 15

2.3 Phương pháp chia đôi 17

2.4 Phương pháp lặp 22

2.5 Phương pháp Newton 26

2.6 Phương pháp dây cung 32

Chương III: Ứng dụng 35

Tài liệu tham khảo 50

Kết luận 51

PHẦN 1 : MỞ ĐẦU

Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu nhưng từ khi máy tính điện tử ra đời ngành khoa học này phát triển rất nhanh, nhằm xây dựng những thuật toán đơn giản có hiệu lực, giải kết quả bằng số những bài toán của khoa học kỹ thuật trên máy tính Vì vậy ngày nay với việc sử dụng rộng rãi máy vi tính trong các cơ quan, xí nghiệp, các kiến thức của môn học “Giải tích số” càng trở nên hết sức cần thiết

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lý thuyết xấp

xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế đựơc mô hình hoá bằng ngôn ngữ toán học

Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải có các

dữ kiện của bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán Tiếp theo là công việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương trình để máy tính tính toán cho ta kết quả gần đúng Khi giải bài toán thực tế ta đều phải làm việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban đầu Chính vì vậy, không tránh khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Vì vậy cần

sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán Vấn đề giải gần đúng phương trình đại số có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng rất lớn, là cơ sở của môn “Giải tích số”

Vì thế em đã chọn đề tài cho khoá luận của mình là “Giải gần đúng phương trình đại số”

Khoá luận được chia làm 3 phần:

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Phần 3: Kết luận

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nếu s  thì alà số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a

1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét số a ở dạng 1.1.2 nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại

  là tham số cho trước

Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chắc, rõ ràng a là chữ số chắc thì i a i1 cũng là chữ số chắc

tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu quả của hai số gần nhau

b Sai số của phép toán nhân, chia

Giả sử 1

1

n i i n

p i i

x y

Nếu   1( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không đổi

Nếu 1, k *

k

   ( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên

d Sai số của phép tính logarit

Xét y lnx, ta có  y x

1.1.5 Bài toán ngƣợc của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức : y f x x 1, 2, ,x n

Yêu cầu đặt ra là cần tính x i như thế nào để  y  , với  là cho trước Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có :

1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI

1.2.1 Sai số tuyệt đối

Trong tính toán , người ta thường không biết số đúng A mà chỉ biết số gần đúng của nó là a Lúc đó ta nói „a xấp xỉ A‟ và viết "a A" Độ lệch h A a

được gọi là sai số thực sự của a

Nếu số xấp xỉ của A nên cũng không biết h Tuy nhiên ta có thể tìm được số dương a h  sao cho a     a A a a Số a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a

Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là a , ta viết A  a a 1.2.1với nghĩa a     a A a a 1.2.2

1.2.2 Sai số tương đối

Tỷ số a a 1.2.3

a

   gọi là sai số tương đối của a

Ta suy ra  a a.a 1.2.4 Do đó 1.2.1 có thể viết thành:Aa1a

Công thức 1.2.3 và  1.2.4 cho ta liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số tương đối

1.3 CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ

1.3.1 Chữ số có nghĩa

Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có nghĩa Chẳng hạn số 1,35 có 3 chữ số có nghĩa ; số 0,0310 cùng có 3 chữ số có nghĩa



 

Trong đó s là những số nguyên từ 0 đến 9 Chẳng hạn số 17,134 viết là :

Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối a

Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như ở công thức 1.2.1 

Cách thứ hai là viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng

1.4 SAI PHÂN

1.4.1 Định nghĩa

Hàm số f x xác định trên    a b h, ; 0 Ta gọi sai phân của hàm số

 

f x tại điểm xlà biểu thức kí hiệu là :  f f x h f x 

Sai phân này còn được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f x tại điểm   x Sai phân cấp 2 : 2  

   



2 3

f



2 2

f



2 1

f



2 0

f



2 1

f



2 2

f



3 4

f



3 3

f



3 2

f



3 1

f



3 0

f



3 1

f



4 4

f



4 3

f



4 2

f



4 1

f



4 0

f



5 4

f



5 3

f



5 2

f



5 1

f



6 4

f



6 3

f



6 2

f



CHƯƠNG II : GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG

TRÌNH ĐẠI SỐ 2.1 NGHIỆM VÀ KHOẢNG TÁCH NGHIỆM

2.1.1 Nghiệm thực của phương trình một ẩn

Xét phương trình một ẩn : f x 0 2.1.1

Trong đó f là một hàm số cho trước của đối số x

Nghiệm thực của phương trình 2.1.1 là số thực   thoả mãn 2.1.1 tức 

là khi thay  vào x ở vế trái ta được f x 0 2.1.2

2.1.2 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình 2.1.1 

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình 2.1.1 ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không Để trả lời ta có thể dùng định lý sau :

Định lý 2.1- Nếu có hai số thực a và babsao cho f a và   f b  

trái dấu tức là : f a f b    0 2.1.3 đồng thời f x liên tục trên    a b thì ở ,

trong  a b có ít nhất một nghiệm thực của phương trình , 2.1.1 

Điều đó có thể minh hoạ trên đồ thị Đồ thị của hàm số y f x  tại

a x b là một đường liền nối A và B ; A ở dưới, B ở trên trục hoành, nên phải cắt trục hoành tại ít nhất một điểm ở trong khoảng từ a đến b

Vậy phương trình 2.1.1 có ít nhất một nghiệm trong khoảng   a b ,

2.1.3.Khoảng tách nghiệm

Định nghĩa 2.1- Khoảng  a b nào đó gọi là khoảng tách nghiệm của ,

phương trình 2.1.1 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó 

Để tìm khoảng tách nghiệm ta có định lý :

Định lý 2.2- Nếu  a b là một khoảng trong đó hàm số , f x liên tục và  

đơn điệu, đồng thời f a và   f b trái dấu , tức là có   2.1.3 thì   a b, là một khoảng tách nghiệm của phương trình 2.1.1 

Điều này có thể minh họa bằng đồ thị

Đồ thị của hàm số y f x cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm trong a b Vậy ,  a b chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình, 2.1.1 

Nếu f x có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điều kiện  không đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm không đổi dấu thì hàm số đơn điệu

Ta có :

Định lý 2.3- Nếu a b là một khoảng trong đó hàm, f x liên tục, đạo  

hàm f x không đổi dấu và f a và   f b trái dấu thì    a b là một khoảng ,

tách nghiệm của phương trình 2.1.1 

Xét sự biến thiên của hàm số f x( )

Vậy phương trình có một nghiệm thực duy nhất  , và có khoảng tách nghiệm là  0,1

Giải phương trình (2.2.2) ta đi vẽ 2 đồ thị yh x( ) ; y g x( ) trên cùngmột hệ trục tọa độ Nghiệm của phương trình (2.2.2) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị yh x( ) và yg x( )

2.3 PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

2.3.1 Phương pháp chia đôi

Xét phương trình f x( )0 (2.3.1)

Giả sử  a b là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.3.1) ,

Giải phương trình (2.3.1) bằng phương pháp chia đôi là phương pháp làm

co hẹp dần khoảng cách nghiệm của phương trình (2.3.1)

( )

f c = 0 thì cx* là một nghiệm của phương trình f x( )0

Thường thì f c 0, lúc đó ta so sánh dấu của f c( ) và f a( ) để suy ra khoảng tách nghiệm thu nhỏ

i, Nếu f c( ) trái dấu f a( ) thì khoảng tách nghiệm thu nhỏ là  a c ,

ii, Nếu f c( ) cùng dấu f a( ) thì khoảng tách nghiệm thu nhỏ là c b ,Như vậy, sau khi chia đôi khoảng  a b ta được kho ảng tách nghiệm thu ,nhỏ là  a c hay,  c b Kí hiệu là , a b , nó nằm tro ng1, 1  a b và chỉ dài bằng ,

nửa  a b tức là , 1 1 (1 )

2

Tiếp tục chia đôi khoảng a b và làm như trên ta sẽ được khoảng tách 1, 1nghiệm thu nhỏ mới Kí hiệu là a b2, 2; nó nằm trong a b và chỉ dài bằng 1, 1

 b đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi n a Hơn nữa do 0

Suy ra f r( )= 0 tức r là nghiệm của phương trình (2.3.1)

Do đó, nghiệm xấp xỉ x có thể được lấy theo công thức : n

 Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm của phương trình

Chia  0,1 bằng điểm chia 0 1 0,5

Chia a b bằng điểm chia 9, 9

2.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP

2.4.1 Mơ tả phương pháp

Xét phương trình f x( )0 (2.4.1)

Giả sử  a b là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.4.1) ,

Trước hết ta chuyển phương trình (2.4.1) về dạng x( )x (2.4.2) và tương đương với phương trình (2.4.1)

Sau đó ta chọn mợt sớ x0 nào đĩ thuộc  a b làm xấp xỉ và tính dần dãy ,sớ x theo quy tắc: n x n (x n1);n1;2;3 (2.4.3)

Quá trình tính này cĩ tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là

Giải phương trình (2.4.1) bằng công thức (2.4.3) được gọi là giải phương trình bằng phương pháp lặp

2.4.2 Sƣ̣ hội tụ

Xét phương trình (2.4.1) với công thức lặp (2.4.3) Nếu dãy x hội tụ đến n

*

x khi n  thì ta nói phương pháp lặp (2.4.3) hội tụ

Định lí 2.4.1: Xét phương trình (2.4.1) với phép lặp (2.4.3) thỏa mãn các

điều kiện sau:

a,  a b là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.4.1) ,

b, x n a b, n

c, ( )x là hàm khà v i và thỏa mãn điều kiện mọi x a b Ta có ,( )x q 1

   thì phương pháp lặp (2.4.3) hội tụ

Chứng minh định lí này dựa vào nguyên lý ánh xạ co

2.4.3 Đánh giá sai số

Ta thường đánh giá sai số bằng một trong hai công thức sau:

a, Công thƣ́c đánh giá sai số thƣ́ nhất

Theo như trên ta có: *

Vì 0 q 1 nên 1 q 0 Chia bất đẳng thức trên cho 1 q  ta được công thức: *

1

x x q q x x

Công thức (2.2.4) là công thức đánh giá sai số thứ nhất

b, Công thƣ́c đánh giá sai số thƣ́ hai

Công thức này t ổng quát hơn , nó có thể áp dụng để tính sai số của nhiều phương pháp khác nhau Đó là nội dung chính của định lí sau:

Định lí 2.4.2: Xét phương trình (2.4.1) có nghiệm x c d, và x là một số thuộc  c d được xem là giá trị gần đúng của , x

Từ đó, ta suy ra kết luận (2.4.5)

Bây giờ ta áp dụng định lí (2.4.2) để đánh giá sai số của phương pháp lặp giải gần đúng phương trình (2.4.1)

Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình là  0,1

 Bằng phương pháp lặp giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình x* x6 0,905977491

2.5.PHƯƠNG PHÁP NEWTON

2.5.1 Mô tả phương pháp

Ý chủ đạo của phương phá p Newton là tìm cách thay phương trình

n n

 

c x  xx   ( c là số trung gian giữa x và x ) 0

Giả sử  là nghiệm của phương trình (2.5.1)

Giả sử hàm f có đạo hàm f x 0 tại x a b và có đạo hàm cấp hai ,

f x  xx f x  xx f c  , bỏ qua số hạng cuối cùng

ta được phương trình : f x  0  xx0  f x0 0 (2.5.2)

Như vậy , ta đã thay phương trình (2.5.1) bằng phương trình (2.5.2) đơn giản hơn nhiều vì (2.5.2) tuyến tính đối với x

Gọi x là nghiệm của (2.5.2) do đó ta có 1  

2.5.2 Ý nghĩa hình học

Đồ thị của hàm số f x trên    a b là cung , AB Từ điểm Bdựng tiếp tuyến với đồ thị

 Mô tả phương pháp hình học

Giả sử hàm số f x liên tục trên    a b có đồ thị là cung , AB

Nếu f f   0 thì qua điểm B b f b dựng tiếp tuyến với đồ thị  ,   

 

y f x , tiếp tuyến này cắt trục Ox tại x 1

Từ x dựng đường thẳng song song với 1 Oy, đường thẳng này cắt đồ thị

 

y f x tại P x f x1 1,  1  Qua P dựng tiếp tuyến với đồ thị 1 y f x  và nó

cắt Ox tại x Tiếp tục quá trình này ta được dãy 2  x n

Nếu f f   0 thì qua điểm A a f a dựng tiếp tuyến với đồ thị  ,   

 

y f x và cũng làm hoàn toàn tương tự như trên

Khi đó sẽ có các trường hợp được mô tả sau

2.5.3 Ví dụ minh họa

Giải phương trình 3

5x 3x 1 0 bằng phương pháp Newton với n6

Giải Đặt   3

5 3 1

f x  x  x suy ra   2

15 3

f x  x 

Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình là  0,1

 Áp dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm của phương trình

6 5

5

0,9166666660,906121956

0,905958470,90595843

0,9059584310,905958431

i, Phương trình (2.6.1) có nghiệm  duy nhất trên  a b ,

ii, 2 

,

f C a b và f , f không đổi dấu trên  a b ,

Giả sử  a b là một khoảng tách nghiệm của , f x  

Giả sử trên  a b ; , f x có đồ thị    C

Dựng dây cung AB cắt đồ thị Ox tại x Từ 1 x kẻ đường thẳng song song 2

Oycắt  C tại B Kẻ dây cung 2 BB cắt 1 Ox tại x 2

……

Tiếp tục quá trình như vậy ta được x x1, 2, ,x chạy dần về n x*

Phương pháp này được gọi là phương pháp dây cung

 Mô tả bằng biểu thức toạ độ