Nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU THỊ LAN NHIỄU CỦA GIẢI TÍCH TIỆM CẬN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội-2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU THỊ LAN NHIỄU CỦA GIẢI TÍCH TIỆM CẬN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào - trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận tốt nghiệp, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Chu Thị Lan LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em nhận nhiều quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Hào Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận phương trình đại số ” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Chu Thị Lan Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm bậc số ví dụ 1.1.1 Lời dẫn 1.1.2 Các khái niệm "không" bậc 1.1.3 Chú ý 1.1.4 Một số ví dụ bậc 10 1.1.5 Nhận xét 10 1.2 Dãy tiệm cận chuỗi tiệm cận 10 1.2.1 Khái niệm ví dụ dãy tiệm cận 10 1.2.2 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 11 1.3 Khai triển tiệm cận 17 1.4 Một số tính chất khai triển tiệm cận 19 Chương Phương pháp nhiễu với phương trình đại số 24 2.1 Khai triển Taylor quy tắc l’Hospital 24 2.1.1 Định lí Taylor 24 2.1.2 Quy tắc l’Hospital 25 2.2 Khái niệm nhiễu phương trình đại số 26 2.3 Ý tưởng phương pháp nhiễu 27 2.4 Một số phương pháp nhiễu phương trình đại số 29 2.4.1 Phương pháp lặp 29 2.4.2 Phương pháp nhiễu kỳ dị 30 2.4.3 Phương pháp tỉ lệ 2.5 Trường hợp lũy thừa không nguyên 31 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lý chọn đề tài Về mặt lịch sử, xuất giải tích tiệm cận nói sớm Thậm chí kể đến thời điểm tổ tiên nghiên cứu từ vấn đề nhỏ thước đo gậy, đến vấn đề lớn nghiên cứu xáo trộn quỹ đạo chuyển động hành tinh Như biết, đo gậy phép đo cho giá trị khác Do sau n lần đo kết nhận n giá trị khác Một kết chọn chiều dài gậy hay không? Xấp xỉ tốt với chiều dài thực gậy giá trị trung bình n số nhận kết đo coi nhiễu giá trị trung bình Lực hấp dẫn Mặt trời yếu tố ảnh hưởng đến chuyển động hành tinh xung quanh nó, lực yếu nhiều lực hấp dẫn hành tinh Điều đó, tạo nhiễu quỹ đạo chuyển động chúng; điều gây thay đổi nhỏ đến quỹ đạo chuyển động hành tinh theo thời gian Các hành tinh gây xáo trộn nhiều đến quỹ đạo chuyển động trái đất Kim, Mộc Thổ Các hành tinh mặt trời gây nhiễu quỹ đạo chuyển động mặt trăng xung quanh trung tâm hệ thống Trái đất-Mặt trăng Việc sử dụng kiến thức toán học yếu tố quỹ đạo chuyển động hàm biến thời gian mô tả xác nhiễu quỹ đạo chuyển động hành tinh thuộc hệ mặt trời khoảng thời gian định Đối với khoảng thời gian dài hơn, hàng loạt vấn đề phải tính toán lại Giải tích tiệm cận công cụ hữu hiệu việc tìm lời giải gần nhiều toán phức tạp thường gặp thực tế, ngành quan trọng toán học ứng dụng Việc thiết lập xác hóa khái niệm việc đưa số kết khởi đầu lĩnh vực tìm thấy công trình Poincare Stieltjes vào năm 1886 Trong công trình đó, hai nhà toán học công bố nhiều báo giới thiệu số khái niệm kết nghiên cứu chuỗi tiệm cận Sau vào năm 1905, Prandtl công bố báo chuyển động dòng chất lỏng luồng khí với độ nhớt nhỏ dọc theo vật thể Trong trường hợp chuyển động cánh máy bay không khí, toán mô tả phương trình Navier-Stokes với số Reynolds lớn Tuy nhiên, công trình phương pháp nhiễu kỳ dị đề cập đến Thông thường, vấn đề toán học không hẳn giải cách xác Thậm chí đưa lời giải xác toán, nghiệm phụ thuộc vào thông số khó để sử dụng Thông thường toán xuất phát từ vấn đề thực tế phương pháp dựa tham số vấn đề tương đối nhỏ Tình hình tương đối phổ biến ứng dụng điều lý mà phương pháp nhiễu toán học ứng dụng nảy sinh Một tảng khác khoa học máy tính điều thú vị hai đối tượng phát triển lên Khi sử dụng máy tính, khả giải vấn đề mà phi tuyến, không đồng đa chiều Hơn nữa, để đạt độ xác cao Những hạn chế giải pháp máy tính không cung cấp nhìn sâu sắc vào vật lý vấn đề (đặc biệt cho người quyền truy cập vào phần mềm thích hợp máy tính) luôn có câu hỏi đặt có hay không giải pháp tính toán xác Mặt khác, phương pháp nhiễu có khả giải với toán phi tuyến, không đồng đa chiều (mặc dù chưa đến mức giống giải pháp máy tính tạo ra) Các mục tiêu sử dụng phương pháp nhiễu loạn, để cung cấp biểu xác cho giải pháp Bằng cách làm lấy hiểu biết vật lý vấn đề đưa Bởi tầm quan trọng tính thực tiễn vấn đề hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài: “Phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận phương trình đại số” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Sư phạm Toán học Cấu trúc đề tài bố cục thành hai chương Chương Trong chương này, trình bày cách hệ thống lý thuyết khai triển tiệm cận tính chất đặc trưng giải tích tiệm cận Chương Chương dành cho việc sử dụng phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận số toán đại số với ẩn phụ thuộc tham số Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu giải tích tiệm cận bao gồm khái niệm bậc tiệm cận, dãy tiệm cận, chuỗi tiệm cận; tính chất phép toán giải tích chuỗi tiệm cận Trên sở hệ thống kiến thức đây, tập trung nghiên cứu ứng dụng giải tích tiệm cận phương pháp nhiễu phương trình đại số Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Chương Một số kiến thức chuẩn bị Giải tích tiệm cận hình thành khởi nguồn từ số công trình tính toán L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận xây dựng cách hệ thống Stiltjes [8] Poincaré [6] Ở đây, người ta nghiên cứu chuỗi mà biểu diễn dãy hàm tiệm cận Thông thường hàm biểu diễn dạng tích phân, chuỗi lũy thừa dạng nghiệm phương trình vi phân Trong chương trình bày với mức độ cần thiết lý thuyết giải tích tiệm cận 1.1 Một số khái niệm bậc số ví dụ 1.1.1 Lời dẫn Các kí hiệu O, o ∼ sử dụng E Landau P D B Reymond Trước giới thiệu khái niệm này, xét đến toán thường gặp thực tế Tính giá trị tích phân ∞ I ( )= e−t dt; với > đủ nhỏ 1+ t Như trình bày phần mở đầu, trình bày phương pháp xấp xỉ tích phân I( ) phương pháp dễ tiếp cận (phương pháp tích phân phần) Lấy tích phân phần thứ ta thu ∞ I( ) = − e−t dt (1 + t)2 Đặc biệt, f (x) giải tích miền đạo hàm số hạng khai triển tiệm cận f (x) Nhắc lại hàm số thực f (x) gọi giải tích x = x0 biểu diễn chuỗi luỹ thừa x − x0 với bán kính hội tụ khác không Ví dụ 1.2 Ta có 1 ∼ + + · · ·; x → +∞ x−1 x x dễ dàng chuỗi có hội tụ x > giải tích x−1 x > 1 ∼ + + · · ·; x → +∞ x x (x − 1) (Cả hai chuỗi khai triển Taylor hàm tương ứng) 23 Chương Phương pháp nhiễu với phương trình đại số Trước trình bày kết giới thiệu khai triển hàm theo lũy thừa tham số ε, khai triển Taylor quy tắc l’Hospital Chứng minh chi tiết kết ta tìm [7] 2.1 Khai triển Taylor quy tắc l’Hospital 2.1.1 Định lí Taylor Giả sử hàm f (ε) có đạo hàm đến cấp n + đạo hàm f (n+1) liên tục khoảng εa < ε < εb Khi đó, lân cận điểm ε0 ∈ (εa , εb ) ta có f (ε) = f (ε0 ) + f (ε0 ) f (n) (ε0 ) (ε − ε0 ) + + (ε − ε0 )n + Rn+1 1! n! Rn+1 f (n+1) (ξ) = (ε − ε0 )n+1 ; (n + 1)! với ξ số nằm ε0 ε Một khai triển Taylor thường sử dụng việc trình bày khóa luận này, (x + y)α = xα + αxα−1 y + α(α − 1)xα−2 y + 24 Điều cho tất số thực α y < x2 Một dạng khai triển khác thường sử dụng chuỗi Maclaurin, ứng với ε0 = hàm số mũ hàm lượng giác n+1 x2 xn θx x e =1+x+ + + +e ; 2! n! (n + 1)! x2 x4 x2n x2n+2 cos x = − + − + (−1)n + (−1)n+1 sin(θx) ; 2! 4! (2n)! (2n + 2)! 2n−1 x2n+1 x3 x5 n−1 x n + (−1) cos(θx) ; sin x = x − + − + (−1) 3! 5! (2n − 1)! (2n + 1)! x2 x3 xn xn+1 ln(1 + x) = x − + − + (−1)n−1 + (−1)n , n (n + 1)(1 + θx)n+1 với < θ < x 2.1.2 Quy tắc l’Hospital Giả sử hai hàm f (ε) φ(ε) khả vi khoảng (ε0 , εb ) φ (ε) = khoảng Giả sử f() =A∈R φ ( ) → hai trường hợp sau thỏa mãn (i) f → φ → 0; ε → ε0 ; (ii) φ → ∞; ε → ε0 Khi đó, ta có f (ε) = A ε→ε0 φ(ε) lim Như nói phần mở đầu, cố gắng tìm hiểu giới thiệu phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận với hạn chế việc nghiên cứu phương trình đại số Để đạt ý tưởng đó, trước hết xét phương trình đại số với ẩn phụ thuộc tham số ngữ cảnh trình bày 25 2.2 Khái niệm nhiễu phương trình đại số Trước hết ta xét phương trình bậc hai sau x2 − εx − = (2.1) Với ε cố định, ta dễ dàng tìm hai nghiệm xε1,2 phương trình (2.1) sau √ √ 2+4 ε ε2 + ε + ε − ε ε x1 = x2 = (2.2) 2 Trong ngữ cảnh vấn đề đặt ra, xét giá trị tham số ε nhỏ Trường hợp riêng phương trình này, ε = phương trình (2.1) trở thành x2 − = (2.3) Hai nghiệm phương trình (2.2) nhận x01,2 = ±1 Một vấn đề nảy sinh mang tính tự nhiên rằng: tham số ε → nghiệm xε1,2 phương trình (2.1) có hội tụ đến nghiệm tương ứng x01,2 phương trình (2.3) hay không? Trong toán đề cập đây, với kiến thức giới hạn thông thường, ta thấy ε → 0, nghiệm phương trình (2.1) tương ứng hội tụ nghiệm phương trình (2.3) Điều đó, có nghĩa xε1 → x1 xε2 → x2 ; ε → (2.4) Với khía cạnh này, người ta đưa khái niệm rằng: phương trình (2.1) dạng nhiễu quy phương trình (2.3) với hạng tử nhiễu −εx Các nhiễu lại (hay nhiễu không quy nghĩa đây) gọi nhiễu kỳ dị 26 2.3 Ý tưởng phương pháp nhiễu Tuy nhiên, hầu hết toán thường gặp thực tế, có nhận biết cách đơn giản tường minh việc xét phương trình (2.1) Trong trường hợp đó, làm có hiểu biết quan hệ nghiệm xε phương trình dạng (2.1) với nghiệm x0 tương ứng phương trình (2.3) theo quan điểm giới hạn tham số ε tiến tới Khai triển tiệm cận công cụ hữu hiệu cho việc nghiên cứu toán lĩnh vực đề cập Lưu ý xε phụ thuộc vào ε Trước hết, ta giả thiết nghiệm xε phương trình (2.1) có khai triển dạng xε = εα0 (x0 + εα1 x1 + εα2 x2 + ) (2.5) số (αi ; i = 0, 1, 2, ) giá trị cần xác định Không tính tổng quát giả thiết x0 , x1 , khác < α1 < α2 < giá trị cần phải xác định Trước hết, xác định số α0 Ta xét ba trường hợp xảy (i) α0 > (ii) α0 < (iii) α0 = Thay dạng biểu diễn (2.5) xε vào phương trình (2.1) ta nhận đồng thức sau ε2α0 x20 + 2ε2α0 +α1 x0 x1 + − ε.εα0 (x0 + εα1 x1 + ) − = (2.6) Bây giờ, giả sử trường hợp (i) xảy ra, nghĩa α0 > Trong đồng thức (2.6), ta nhận thấy α0 số mũ nhỏ ε Như thế, từ đẳng thức (2.6) ta suy hệ số εα0 phải 0, tức x0 = Điều đó, mâu thuẫn với giả thiết x0 = Nếu trường hợp (ii) xảy ra, tức α0 < 0, ta có 2α0 < α0 < α0 + α1 Do đó, lũy thừa 2α0 số mũ nhỏ lũy thừa hệ số x20 x20 = Điều vi 27 phạm giả thiết toán Như thế, ta khẳng định có trường hợp α0 = xảy (2.5) biểu diễn dạng sau xε = x0 + εα1 x1 + εα2 x2 + (2.7) Khi đó, đồng thức (2.6) trở thành x20 + 2εα1 x0 x1 + ε2α1 x21 + − ε (x0 + εα1 x1 + ) − = (2.8) Tương tự, thực theo quy trình xác định α0 , ta xác định số α1 , α2 , cụ thể sau α1 = 1, α2 = 2, Từ đó, ta nhận biểu diễn (2.2.5) dạng sau xε = x0 + ε1 x1 + ε2 x2 + (2.9) ta nhận khai triển sau ε0 : x20 − = (2.10) ε1 : 2x0 x1 − x0 = (2.11) ε2 : 2x0 x2 + x21 − x1 = (2.12) Giải phương trình (2.10) ta nhận x0 = x0 = −1 Để minh họa việc xây dựng khai triển tiệm cận nêu, ta chọn giá trị x0 = Khi đó, từ phương trình (2.11) (2.12) ta 1 nhận giá trị tương ứng x1 = , x2 = Thực cách thức đến số hạng thứ i = 1, 2, ta khai triển xε sau X1ε = (2.13) 28 ε (2.14) ε ε2 =1+ + (2.15) X2ε = + X3ε Khi đó, vấn đề xuất rằng: giá trị Xiε ; i = 1, 2, có thỏa mãn phương trình xε hay không? Bằng cách tính toán trực tiếp, ta suy (X1ε )2 − εX1ε − = O(ε) (2.16) (X2ε )2 − εX2ε − = O(ε2 ) (2.17) (X3ε )2 − εX3ε − = O(ε3 ) (2.18) Từ điều đó, ta dễ dàng thấy giá trị Xiε thỏa mãn tốt phương trình xét ε nhỏ sai số nhỏ i lớn 2.4 Một số phương pháp nhiễu phương trình đại số 2.4.1 Phương pháp lặp Với ý tưởng trình bày đây, phần sử dụng quy trình với khái niệm gọi “Phương pháp lặp” để xây dựng khai triển tiệm cận phương trình (2.1) Để làm điều đó, ta viết lại (2.1) sau √ x = ± + εx Khi x = xε công thức gợi ý cho ta quy trình lặp sau xn+1 = √ + εxn ; với n ∈ N (2.19) Ở đây, để minh họa cho vấn đề trình bày lấy nghiệm dương Cho x0 số thực cố định Khi đó, sử dụng khai triển Taylor đối 29 với phương trình (2.19) ta nhận ε x1 = + x0 + (2.20) Vì ta tìm số hạng khai triển tiệm cận, nhiên số hạng thứ hai (2.20) phụ thuộc vào x0 Để có số hạng thứ hai khai triển tiệm cận ta lặp lại trình dẫn đến ε ε x2 = + x1 + = + + 2 (2.21) Điều cho phép có kết mong muốn Sau lặp lại hai lần, xây dựng khai triển tiệm cận xε = + ε + (2.22) Hạn chế phương pháp việc xây dựng khai triển tiệm cận, đảm bảo công thức lặp (2.19) có hội tụ hay không 2.4.2 Phương pháp nhiễu kỳ dị Bây ta xét phương trình sau mà cho ta kết khác εx2 − x − = (2.23) Giả sử ε = phương trình (2.23) trở thành −x − = (2.24) Một cách dễ dàng ta tìm nghiệm phương trình (2.23) √ + 4ε ± xε = 2ε Khi đó, ta thấy ε → nghiệm thứ xε+ phương trình không xác định Đây điều khác hẳn so với phương trình 30 trình nhiên cứu phương trình (2.1) Đối với nghiệm thứ hai phương trình này, ε → ta có √ − + 4ε xε− = −1 2ε Viết khai triển Taylor nghiệm xε+ , ta nhận √ 1 − + 4ε = (1 + + 2ε − 2ε2 + xε+ = 2ε 2ε = + − 2ε + (2.25) ε Do ta thấy nghiệm xε− hội tụ đến nghiệm phương trình (2.24) với sai khác lượng Do đó, mong ε muốn nhận khai triển tiệm cận thực trường hợp quy Vậy cách tìm tỷ lệ thích hợp cho toán? Phương pháp cho ta kỹ thuật 2.4.3 Phương pháp tỉ lệ Giả sử ta chưa biết trước tỷ lệ xác để xây dựng khai triển tiệm cận Để minh họa điều này, ta xét cụ thể phương trình (2.23) Cho hàm thực ε đặt x = δX, δ = δ(ε) X = O(1) Kỹ thuật tỉ lệ xác định hàm số δ, biến X tìm Viết lại phương trình (2.23) theo X, ta có εδ X − δX − = (2.26) Bằng cách so sánh hệ số phương trình (2.26) cụ thể εδ , δ, Ta chia lập luận phương pháp tỉ lệ thành năm trường hợp (i) Trường hợp δ > Nhân hai vế phương ε −1 −2 trình (2.26) với ε δ ta X − (εδ)−1 X − =0 εδ (2.31) o(1) X = o(1) Đây tỷ lệ thích hợp Do đó, ta thấy có trường hợp δ = thỏa mãn Khi ε 32 đó, ta nhận x = X phương trình (2.26) trở thành ε X − X − ε = (2.32) Bây quay trở lại phương trình (2.23) Phương pháp tỉ lệ gợi ý cho ta sử dụng biểu diễn sau xε = ε−1 x−1 + x0 + εx1 + (2.33) Thay vào phương trình (2.23) so sánh hệ số εi (i = −1, 0, ) hai vế phương trình (2.23) ta ε−1 : x2−1 − x−1 = (2.34) ε0 : 2x0 x−1 − x0 − = (2.35) ε1 : x20 + 2x−1 x1 − x1 = (2.36) Các nghiệm phương trình (2.34) x−1 = x−1 = Nghiệm thứ hai không cho ta khai triển tiệm cận quy Bây ta xét tới nghiệm thứ x−1 = Từ phương trình (2.35) phương trình (2.36) ta giải x0 = 1, x1 = −1 Do đó, xây dựng xấp xỉ Xiε ; i = 0, 1, nghiệm xε+ X2ε = +1−ε ε (2.37) X1ε = +1 ε (2.38) X0ε = ε (2.39) 33 Vấn đề lại là, chúng có thỏa mãn phương trình (2.23) hay không? Bằng tính toán đơn giản ta nhận ε(X0ε )2 − X0ε − = −1 Tương ứng với xε+ − X0ε = − 2ε + o(ε) khai triển tốt Đối với hai khai triển lại ta có Điều cho thấy ε(X1ε )2 − X1ε − = ε ε(X2ε )2 − X2ε − = O(ε2 ) Tương ứng ta thấy xε+ − X1ε = O(ε) xε+ − X2ε = O(ε2 ) Như X1ε , X2ε xấp xỉ tốt xε+ Hơn nữa, thấy việc lấy thêm số hạng cho ta xấp xỉ tốt Ngoài ra, hình dung dáng điệu tiệm cận xε+ 2.5 Trường hợp lũy thừa không nguyên Trong phần đây, khai triển tiệm cận chuỗi có lũy thừa số nguyên Tuy nhiên, nhìn chung lúc có điều Ta xét phương trình sau (1 − ε)x2 − 2x + = (2.40) Như phần trước, xác định biểu diễn sau xε = x0 + εx1 + ε2 x2 + (2.41) Thay (2.41) vào phương trình (2.40) cân hai vế ta ε0 : x20 − 2x0 + = (2.42) ε1 : 2x0 x1 − 2x1 − x20 = (2.43) 34 ε2 : 2x0 x2 − 2x2 + x21 − 2x0 x1 = (2.44) Từ phương trình (2.42) ta nhận nghiệm x0 = Thay x0 = vào phương trình (2.43) ta 2x1 − 2x1 − = nghĩa = Điều mâu thuẫn cho thấy phương trình (2.41) không xác định Bây giờ, ta xác định biểu diễn khác sau xε = x0 + εα x1 + εβ x2 + ; (2.45) < α < β < số xác định Thay biểu diễn (2.45) vào phương trình (2.40) cân hai vế ta nhận α = , β = 1, Như biểu diễn xác định xác xε = x0 + ε x1 + εx2 + ε x3 + (2.46) Phần lại việc xây dựng thực tương tự Ta có xε = ± ε + ε ± ε 35 Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận: "Phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận phương trình đại số" Khóa luận giải vấn đề sau Trình bày cách hệ thống lý thuyết khai triển tiệm cận tính chất đặc trưng giải tích tiệm cận số phép toán giải tích chuỗi tiệm cận liên quan đến việc trình bày vấn đề chương sau Trên sở hệ thống kiến thức giải tích tiệm cận bao gồm khái niệm bậc tiệm cận, dãy tiệm cận, chuỗi tiệm cận; tính chất phép toán giải tích chuỗi tiệm cận, tập trung nghiên cứu ứng dụng giải tích tiệm cận phương pháp nhiễu phương trình đại số Các nghiệm nhiễu xét hai trường hợp với lũy thừa nguyên không nguyên Các phương pháp nhiễu trình bày gồm + Phương pháp lặp; + Phương pháp nhiễu kỳ dị; + Phương pháp tỷ lệ Tài liệu tham khảo [1] I Avramidi, Lecture Notes on Asymptotic Expansions, New Mexico Institute of Mining and Technology, 2000 [2] E T Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge at the University Press, 1965 [3] W Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular perturbation, Basque Center for Applied Mathmatics and Ikerbasque Foundation for Science, 2009 [4] A Erdélyi, Asymptotic Expansions, Dover publication, Inc New York, 1956 [5] M H Holmes, Introduction to perturbation Methods, SpringerVerlag, 1994 [6] H Poincaré, Asymptotic Expansions, Acta Math, 1886 [7] W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw- Hill, New York, 1964 [8] Th Stieltjes, Asymptotic Expansions, Ann.de l’Éc Norm, 1886 37 [...]... về phương pháp nhiễu của giải tích tiệm cận với sự hạn chế trong việc nghiên cứu về phương trình đại số Để đạt được ý tưởng đó, trước hết chúng tôi xét các phương trình đại số với một ẩn phụ thuộc một tham số như trong ngữ cảnh được trình bày dưới đây 25 2.2 Khái niệm về nhiễu phương trình đại số Trước hết ta xét các phương trình bậc hai sau đây x2 − εx − 1 = 0 (2.1) Với mỗi ε cố định, ta có thể dễ... dàng thấy được các giá trị Xiε thỏa mãn rất tốt phương trình đang xét khi ε nhỏ và sai số càng nhỏ khi i càng lớn 2.4 Một số phương pháp nhiễu phương trình đại số 2.4.1 Phương pháp lặp Với ý tưởng đã trình bày trên đây, trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quy trình đó với khái niệm được gọi là Phương pháp lặp” để xây dựng khai triển tiệm cận đối với phương trình (2.1) Để làm được điều đó, ta viết lại... giản nhất của dãy khai triển tiệm cận khi z → ∞ φ(z) Nếu một hàm f (z) có một khai triển tiệm cận tương ứng là zn ∞ a n với dãy này, có nghĩa là f (z) ∼ φ(z) Điều đó kéo theo n n=0 z f (z) ∼ g(z) ∞ n=0 an zn Chuỗi sau cùng được coi là một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy 1 1 tiệm cận Một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy n được n z z gọi là một chuỗi lũy thừa tiệm cận Các phép toán với chuỗi... khái niệm rằng: phương trình (2.1) là một dạng nhiễu chính quy của phương trình (2.3) với hạng tử nhiễu là −εx Các sự nhiễu còn lại (hay nhiễu không chính quy như nghĩa trên đây) được gọi là nhiễu kỳ dị 26 2.3 Ý tưởng của phương pháp nhiễu Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thường gặp trong thực tế, chúng ta không thể có sự nhận biết một cách đơn giản và tường minh như việc xét phương trình (2.1) Trong... triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận Ví dụ, nếu π π π − + δ ≤ ph(k) ≤ − δ; với 0 < δ < 2 2 2 hai hàm 1 1 , + e−k có cùng khai triển tiệm cận k+1 k+1 ∞ n=1 (−1) kn n−1 ; khi k → ∞, vì k n và e−k → 0 khi k → ∞ trong miền đã cho 1.4 Một số tính chất cơ bản của khai triển tiệm cận Tính duy nhất Cho một dãy tiệm cận φn (x), dãy khai triển tiệm cận của f... nghĩa với f (k) = o(g(k)); khi k → k0 g(k); khi k → k0 1.2 Dãy tiệm cận và chuỗi tiệm cận 1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận Một dãy hàm {φn (k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu có một lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt 10 tiêu (ngoại trừ k0 ) và với mọi n ta có φn+1 = o(φn ); khi k → k0 Chẳng hạn, nếu k0 hữu hạn thì {(k − k0 )n } là một dãy tiệm cận. .. → x0 với mọi n Hơn nữa, chuỗi ∞ an (x − x0 )n n=0 cũng có thể là khai triển tiệm cận khi x → x0 của một hàm bất kỳ khác f (x) bởi một hàm g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x0 nhanh hơn mọi luỹ thừa của x → x0 Một hàm g(x) như thế được gọi là trội nhỏ hơn một chuỗi luỹ thừa tiệm cận, chuỗi luỹ thừa tiệm cận của g(x) có thể là ∞ 0 · (x − x0 )n g(x) ∼ n=0 Vì vậy một khai triển tiệm cận là tiệm cận của một... duy nhất của khai triển tiệm cận nghĩa là an = bn với mọi n, nghĩa là các hệ số của các luỹ thừa của x − x0 trong (1.2) là bằng nhau Các phép toán đại số Giả sử ∞ f (x) ∼ ∞ an φn (x) và g(x) ∼ n=0 bn φn (x); khi x → x0 n=0 thì ∞ αf (x) + βg(x) ∼ (an + bn ) · φn (x); khi x → x0 n=0 Với α và β là các hằng số Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn...Lặp lại quá trình này N lần ta được I( ) = 1 − + 2! 2 − 3! 3 + + (−1)N N ! ∞ +(−1) N +1 (N + 1)! N +1 N e−t dt (1.1) (1 + t)N +2 0 Vế phải của phương trình này, được gọi là một khai triển tiệm cận của I( ) tới số hạng thứ (N + 1) Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng thứ N Điều này cũng đương nhiên đúng đối với tất cả n = 0, 1, 2, , N − 1 Ta chỉ ngay ra điều đó với n = N Bởi vì là số dương đủ... nghiệm xε1,2 của phương trình (2.1) như sau √ √ 2+4 ε ε2 + 4 ε + ε − ε ε x1 = và x2 = (2.2) 2 2 Trong ngữ cảnh vấn đề đặt ra, chúng ta chỉ xét những giá trị của tham số ε rất nhỏ Trường hợp riêng đối với phương trình này, khi ε = 0 phương trình (2.1) trở thành x2 − 1 = 0 (2.3) Hai nghiệm của phương trình (2.2) nhận được là x01,2 = ±1 Một vấn đề nảy sinh mang tính tự nhiên rằng: khi tham số ε → 0 thì ... "Phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận phương trình đại số" Khóa luận giải vấn đề sau Trình bày cách hệ thống lý thuyết khai triển tiệm cận tính chất đặc trưng giải tích tiệm cận số phép toán giải. .. giới thiệu phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận với hạn chế việc nghiên cứu phương trình đại số Để đạt ý tưởng đó, trước hết xét phương trình đại số với ẩn phụ thuộc tham số ngữ cảnh trình bày... khai triển tiệm cận tính chất đặc trưng giải tích tiệm cận Chương Chương dành cho việc sử dụng phương pháp nhiễu giải tích tiệm cận số toán đại số với ẩn phụ thuộc tham số Mục đích, đối tượng