Trong các phần trên đây, các khai triển tiệm cận đều là các chuỗi có lũy thừa là những số nguyên. Tuy nhiên, nhìn chung không phải lúc nào cũng có điều đó. Ta hãy xét phương trình sau
(1−ε)x2 −2x+ 1 = 0 (2.40) Như trong phần trước, chúng ta xác định một biểu diễn như sau
xε = x0 + εx1 + ε2x2 +... (2.41) Thay (2.41) vào phương trình (2.40) và cân bằng cả hai vế ta được
ε0 : x20 −2x0 + 1 = 0 (2.42)
ε2 : 2x0x2 −2x2 + x21 −2x0x1 = 0 (2.44) Từ phương trình (2.42) ta nhận được nghiệm x0 = 1. Thay x0 = 1 vào phương trình (2.43) ta được
2x1 −2x1 −1 = 0 nghĩa là 1 = 0
Điều mâu thuẫn này cho thấy phương trình (2.41) không xác định. Bây giờ, ta xác định một biểu diễn khác như sau
xε = x0 + εαx1 +εβx2 +...; (2.45) ở đây 0 < α < β < ... là các hằng số xác định. Thay biểu diễn (2.45)
vào phương trình (2.40) và cân bằng cả hai vế ta nhận được
α = 1
2, β = 1, ...
Như vậy biểu diễn được xác định chính xác là
xε = x0 +ε12x1 + εx2 + ε32x3 +... (2.46) Phần còn lại của việc xây dựng này được thực hiện tương tự như trên. Ta có
Kết luận
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận: "Phương pháp nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số". Khóa luận đã giải quyết các vấn đề sau đây
1. Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết khai triển tiệm cận và tính chất đặc trưng của giải tích tiệm cận cùng một số các phép toán giải tích căn bản đối với chuỗi tiệm cận liên quan đến việc trình bày các vấn đề của chương sau.
2. Trên cơ sở hệ thống các kiến thức về giải tích tiệm cận bao gồm các khái niệm về bậc tiệm cận, dãy tiệm cận, chuỗi tiệm cận; các tính chất và các phép toán giải tích đối với chuỗi tiệm cận, chúng tôi tập trung nghiên cứu ứng dụng của giải tích tiệm cận bằng phương pháp nhiễu đối với phương trình đại số. Các nghiệm nhiễu ở đây được xét trong hai trường hợp với lũy thừa nguyên và không nguyên. Các phương pháp nhiễu được trình bày ở đây gồm
+ Phương pháp lặp;
+ Phương pháp nhiễu kỳ dị; + Phương pháp tỷ lệ.
Tài liệu tham khảo
[1] I. Avramidi, Lecture Notes on Asymptotic Expansions, New Mexico Institute of Mining and Technology, 2000.
[2] E. T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge at the University Press, 1965.
[3] W. Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular perturbation, Basque Center for Applied Mathmatics and Ikerbasque Foundation for Sci- ence, 2009
[4] A. Erdélyi, Asymptotic Expansions, Dover publication, Inc. New York, 1956.
[5] M. H. Holmes, Introduction to perturbation Methods, Springer- Verlag, 1994.
[6] H. Poincaré, Asymptotic Expansions, Acta Math, 1886.
[7] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw- Hill, New York, 1964.