Giả sử rằng hàm f(ε) có đạo hàm đến cấp n+ 1 và đạo hàm f(n+1) liên tục trên khoảng εa < ε < εb. Khi đó, trong lân cận của điểm ε0 ∈ (εa, εb)
ta có f(ε) = f(ε0) + f 0(ε0) 1! (ε−ε0) +...+ f (n)(ε0) n! (ε−ε0)n +Rn+1 ở đó Rn+1 = f (n+1)(ξ) (n+ 1)! (ε−ε0)n+1; với ξ là số nằm giữa ε0 và ε.
Một khai triển Taylor thường được sử dụng trong việc trình bày trong khóa luận này, đó là
(x+y)α = xα+αxα−1y + 1
Điều này đúng cho tất cả các số thực α và y2 < x2. Một dạng khai triển khác thường sử dụng là chuỗi Maclaurin, ứng với ε0 = 0 của hàm số mũ và hàm lượng giác. ex = 1 +x+ x 2 2! +...+ xn n! +e θx xn+1 (n+ 1)!; cosx = 1− x 2 2! + x4 4! −...+ (−1)n x 2n (2n)! + (−1)n+1sin(θx) x 2n+2 (2n+ 2)!; sinx = x−x 3 3! + x5 5! −...+ (−1)n−1 x 2n−1 (2n−1)!+ (−1)ncos(θx) x 2n+1 (2n+ 1)!; ln(1 +x) =x−x 2 2 + x3 3 −...+ (−1)n−1x n n + (−1)n x n+1 (n+ 1)(1 +θx)n+1, với 0< θ < 1 . 2.1.2. Quy tắc l’Hospital
Giả sử hai hàm f(ε) và φ(ε) khả vi trên khoảng (ε0, εb) và φ0(ε) 6= 0 trên khoảng đó. Giả sử
X
→0
f0()
φ0() = A ∈ R
và một trong hai trường hợp sau được thỏa mãn
(i) f →0 và φ →0; khi ε →ε0; hoặc (ii) φ → ∞; khi ε →ε0. Khi đó, ta có lim ε→ε0 f(ε) φ(ε) = A.
Như đã nói trong phần mở đầu, chúng tôi cố gắng tìm hiểu và giới thiệu về phương pháp nhiễu của giải tích tiệm cận với sự hạn chế trong việc nghiên cứu về phương trình đại số. Để đạt được ý tưởng đó, trước hết chúng tôi xét các phương trình đại số với một ẩn phụ thuộc một tham số như trong ngữ cảnh được trình bày dưới đây.
2.2. Khái niệm về nhiễu phương trình đại số
Trước hết ta xét các phương trình bậc hai sau đây
x2 −εx−1 = 0. (2.1) Với mỗiεcố định, ta có thể dễ dàng tìm được hai nghiệmxε1,2 của phương trình (2.1) như sau xε1 = ε+ √ ε2 + 4 2 và x ε 2 = ε−√ε2 + 4 2 . (2.2)
Trong ngữ cảnh vấn đề đặt ra, chúng ta chỉ xét những giá trị của tham số
ε rất nhỏ. Trường hợp riêng đối với phương trình này, khi ε= 0 phương trình (2.1) trở thành
x2 −1 = 0. (2.3)
Hai nghiệm của phương trình (2.2) nhận được là
x01,2 = ±1.
Một vấn đề nảy sinh mang tính tự nhiên rằng: khi tham số ε → 0 thì các nghiệm xε1,2 của phương trình (2.1) có hội tụ đến các nghiệm tương ứng x01,2 của phương trình (2.3) hay không?. Trong bài toán được đề cập trên đây, chỉ với những kiến thức giới hạn thông thường, ta thấy ngay rằng khi ε→ 0, thì các nghiệm của phương trình (2.1) tương ứng hội tụ về các nghiệm của phương trình (2.3). Điều đó, có nghĩa là
xε1 →x1 và xε2 → x2; khi ε → 0. (2.4) Với khía cạnh này, người ta đưa ra khái niệm rằng: phương trình (2.1)là một dạng nhiễu chính quy của phương trình (2.3) với hạng tử nhiễu là −εx. Các sự nhiễu còn lại (hay nhiễu không chính quy như nghĩa trên đây) được gọi là nhiễu kỳ dị.
2.3. Ý tưởng của phương pháp nhiễu
Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thường gặp trong thực tế, chúng ta không thể có sự nhận biết một cách đơn giản và tường minh như việc xét phương trình (2.1). Trong các trường hợp đó, làm thế nào chúng ta có thể có được những hiểu biết về quan hệ của các nghiệm xε trong phương trình dạng (2.1) với các nghiệm x0 tương ứng của phương trình
(2.3) theo quan điểm giới hạn khi tham số ε tiến tới 0. Khai triển tiệm cận là một công cụ khá hữu hiệu cho việc nghiên cứu về những bài toán trong lĩnh vực đã đề cập như trên. Lưu ý rằng xε phụ thuộc vào ε.
Trước hết, ta giả thiết rằng các nghiệm xε trong phương trình (2.1) có khai triển dưới dạng
xε = εα0(x0 +εα1x1 +εα2x2 +...) (2.5) trong đó các hằng số (αi;i = 0,1,2, ...) là những giá trị cần được xác định. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết rằng x0, x1, ... khác 0
và 0 < α1 < α2 < ... là các giá trị cần phải xác định.
Trước hết, chúng ta xác định hằng số α0. Ta xét ba trường hợp có thể xảy ra như dưới đây
(i) α0 > 0 (ii) α0 < 0 (iii) α0 = 0.
Thay dạng biểu diễn (2.5) của xε vào phương trình (2.1) ta nhận được đồng nhất thức sau
ε2α0x20 + 2ε2α0+α1
x0x1 +...−ε.εα0(x0 +εα1x1 +...)−1 = 0 (2.6) Bây giờ, giả sử trường hợp (i) xảy ra, nghĩa là α0 > 0. Trong đồng nhất thức (2.6), ta nhận thấy rằng α0 là số mũ nhỏ nhất của ε. Như thế, từ đẳng thức (2.6) ta suy ra rằng hệ số của εα0 phải bằng 0, tức là x0 = 0. Điều đó, mâu thuẫn với giả thiết x0 6= 0. Nếu trường hợp (ii) xảy ra, tức là α0 < 0, ta có 2α0 < α0 < α0 +α1. Do đó, lũy thừa 2α0 là số mũ nhỏ nhất của lũy thừa của hệ số x20 và như vậy x20 = 0. Điều đó cũng vi
phạm giả thiết của bài toán. Như thế, ta có thể khẳng định rằng chỉ có trường hợp α0 = 0 có thể xảy ra và (2.5) được biểu diễn dưới dạng sau
xε = x0 + εα1x1 + εα2x2 +... (2.7) Khi đó, đồng nhất thức (2.6) trở thành
x20 + 2εα1x0x1 +ε2α1x21 +...−ε(x0 +εα1x1 +...)−1 = 0 (2.8) Tương tự, thực hiện theo như quy trình xác định α0, ta cũng xác định được các hằng số α1, α2, ... cụ thể như sau
α1 = 1, α2 = 2, ...
Từ đó, ta nhận được biểu diễn (2.2.5) dưới dạng sau
xε = x0 +ε1x1 + ε2x2 +... (2.9) và ta nhận được các khai triển sau đây
ε0 : x20 −1 = 0 (2.10)
ε1 : 2x0x1 −x0 = 0 (2.11)
ε2 : 2x0x2 + x21 −x1 = 0 (2.12) Giải phương trình (2.10) ta nhận được
x0 = 1 hoặc x0 = −1
Để minh họa việc xây dựng được khai triển tiệm cận như đã nêu, ta chọn hãy giá trị x0 = 1. Khi đó, từ các phương trình (2.11) và (2.12) ta nhận được các giá trị tương ứng x1 = 1
2, x2 = 1 8.
Thực hiện cách thức đó đến các số hạng thứ i = 1,2,3ta khai triển được
xε như sau
X2ε = 1 + ε 2 (2.14) X3ε = 1 + ε 2 + ε2 8 (2.15)
Khi đó, vấn đề xuất hiện rằng: các giá trị Xiε;i = 1,2,3 có thỏa mãn phương trình của xε hay không?. Bằng cách tính toán trực tiếp, ta suy ra rằng
(X1ε)2 −εX1ε −1 = O(ε) (2.16)
(X2ε)2 −εX2ε−1 = O(ε2) (2.17)
(X3ε)2 −εX3ε−1 = O(ε3) (2.18) Từ điều đó, ta dễ dàng thấy được các giá trị Xiε thỏa mãn rất tốt phương trình đang xét khi ε nhỏ và sai số càng nhỏ khi i càng lớn.
2.4. Một số phương pháp nhiễu phương trình đại số
2.4.1. Phương pháp lặp
Với ý tưởng đã trình bày trên đây, trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quy trình đó với khái niệm được gọi là “Phương pháp lặp” để xây dựng khai triển tiệm cận đối với phương trình (2.1). Để làm được điều đó, ta viết lại (2.1) như sau
x = ±√1 +εx
Khi x = xε công thức này gợi ý cho ta quy trình lặp sau đây
xn+1 = √
1 +εxn; với mỗi n ∈ N. (2.19) Ở đây, để minh họa cho vấn đề trình bày chúng ta chỉ lấy nghiệm dương. Cho x0 là một số thực cố định. Khi đó, sử dụng khai triển Taylor đối
với phương trình (2.19) ta nhận được
x1 = 1 + ε
2x0 +.... (2.20)
Vì vậy ta tìm được số hạng đầu tiên của khai triển tiệm cận, tuy nhiên số hạng thứ hai ở (2.20) vẫn phụ thuộc vào x0. Để có được số hạng thứ hai của khai triển tiệm cận ta lặp lại quá trình như trên và dẫn đến
x2 = 1 + ε
2x1 +... = 1 +
ε
2 +... (2.21)
Điều này cho phép chúng ta có kết quả mong muốn. Sau khi lặp lại hai lần, chúng ta xây dựng khai triển tiệm cận
xε = 1 + ε
2 +... (2.22)
Hạn chế của phương pháp này đối với việc xây dựng khai triển tiệm cận, đó là chúng ta không thể đảm bảo được công thức lặp (2.19) có hội tụ hay không.
2.4.2. Phương pháp nhiễu kỳ dị
Bây giờ ta xét phương trình sau đây mà sẽ cho ta những kết quả khác nhau
εx2 −x−1 = 0 (2.23) Giả sử ε = 0 phương trình (2.23) trở thành
−x−1 = 0 (2.24)
Một cách dễ dàng ta tìm ngay được các nghiệm của phương trình (2.23)
là
xε = 1±√1 + 4ε
2ε .
Khi đó, ta thấy rằng khi ε → 0 nghiệm thứ nhất xε+ của phương trình này không xác định. Đây là một điều khác hẳn so với phương trình quá
trình nhiên cứu phương trình (2.1). Đối với nghiệm thứ hai của phương trình này, khi ε →0 ta có
xε− = 1−√1 + 4ε
2ε 9−1.
Viết khai triển Taylor đối với nghiệm xε+, ta nhận được
xε+ = 1−√1 + 4ε 2ε = 1 2ε(1 + 1 + 2ε−2ε2 +... = 1 ε + 1−2ε+... (2.25)
Do đó ta có thể thấy được nghiệmxε− hội tụ đến một nghiệm của phương trình(2.24)với sự sai khác một lượng 1
ε. Do đó, chúng ta không thể mong
muốn nhận được khai triển tiệm cận như đã thực hiện đối với trường hợp chính quy. Vậy bằng cách nào chúng ta có thể tìm được một tỷ lệ thích hợp cho các bài toán?. Phương pháp dưới đây sẽ cho ta những kỹ thuật như vậy.
2.4.3. Phương pháp tỉ lệ
Giả sử ta chưa biết trước được tỷ lệ chính xác để xây dựng một khai triển tiệm cận. Để minh họa điều này, ta xét cụ thể phương trình (2.23)
trên đây. Cho một hàm thực của ε và đặt
x = δX,
ở đó δ = δ(ε) và X = O(1). Kỹ thuật tỉ lệ là xác định hàm số δ, do đó biến mới X sẽ được tìm. Viết lại phương trình (2.23) theo X, ta có
εδ2X2 −δX −1 = 0. (2.26) Bằng cách so sánh các hệ số của phương trình (2.26) cụ thể là εδ2, δ,1. Ta chia lập luận đối với phương pháp tỉ lệ thành năm trường hợp
(i) Trường hợp δ << 1. Khi đó, phương trình (2.26) được viết như sau 1 = εδ2X2 | {z } o(1) − δX |{z} o(1) = o(1). (2.27)
Điều này không thể xảy ra vì vế trái của phương trình (2.27) bằng 1
trong khi vế phải là một đại lượng rất nhỏ.
(ii) Trường hợp δ = 1. Thay giá trị này vào phương trình (2.26) ta nhận được phương trình dưới đây
εX2
|{z}
o(1)
−X −1 = 0. (2.28)
Trong trường hợp này, không nhận được sự thay đổi nào so với với phương trình (2.23). Như vậy, không thể có được X = 1 và chúng ta có thể xây dựng một khai triển tiệm cận chính quy nhưng không thể tìm lại được nghiệm đã mất.
(iii) Trường hợp 1 << δ << 1
ε. Ở đây, ta suy ra rằng δε << 1. Chia
cả hai vế của phương trình (2.26) cho δ ta nhận được
εδX2
| {z }
o(1)
−X − 1
δ = 0. (2.29)
Như vậy X = o(1). Điều này không thể xảy ra.
(iv) Trường hợp δ = 1
ε hay δε = 1. Bởi vì, chúng ta giả thiết rằng ε <<1 nên δ >> 1. Do đó, từ phương trình (2.26) ta suy ra
X2 −X − 1
δ
|{z}
o(1)
= 0. (2.30)
Do đó X ∼ 0 hoặc 1. Điều này cho ta tỷ lệ chính xác.
(v) Trường hợp δ >> 1
ε hay δε >> 1. Nhân cả hai vế của phương
trình (2.26) với ε−1δ−2 ta được X2 −(εδ)−1X | {z } o(1) − 1 εδ2 = 0 (2.31)
và X = o(1). Đây cũng không phải là một tỷ lệ thích hợp. Do đó, ta thấy rằng chỉ có duy nhất trường hợp δ = 1
đó, ta nhận được ngay x = X
ε và phương trình (2.26) trở thành
X2 −X −ε= 0. (2.32)
Bây giờ chúng ta quay trở lại phương trình(2.23). Phương pháp tỉ lệ gợi ý cho ta sử dụng biểu diễn sau
xε = ε−1x−1 +x0 +εx1 +... (2.33) Thay vào phương trình (2.23) và so sánh các hệ số của εi(i = −1,0,1...)
trên cả hai vế của phương trình (2.23) ta được
ε−1 : x2−1 −x−1 = 0 (2.34)
ε0 : 2x0x−1 −x0 −1 = 0 (2.35)
ε1 : x20 + 2x−1x1 −x1 = 0 (2.36) Các nghiệm của phương trình (2.34) là x−1 = 1 và x−1 = 0. Nghiệm thứ hai không cho ta một khai triển tiệm cận chính quy. Bây giờ ta xét tới nghiệm thứ nhất x−1 = 1.
Từ phương trình (2.35) và phương trình (2.36) ta giải được
x0 = 1, x1 = −1.
Do đó, chúng ta xây dựng các xấp xỉ Xiε;i = 0,1,2 của nghiệm xε+ bởi
X2ε = 1 ε + 1−ε (2.37) X1ε = 1 ε + 1 (2.38) và X0ε = 1 ε (2.39)
Vấn đề còn lại là, chúng có thỏa mãn phương trình (2.23) hay không?. Bằng tính toán đơn giản ta nhận được
ε(X0ε)2 −X0ε−1 = −1
Tương ứng với xε+ −X0ε = 1 − 2ε + o(ε) 9 0. Điều này cho thấy đây không phải là một khai triển tốt.
Đối với hai khai triển còn lại ta có
ε(X1ε)2 −X1ε−1 = ε và ε(X2ε)2 −X2ε−1 = O(ε2).
Tương ứng ta thấy rằng
xε+−X1ε = O(ε) và xε+−X2ε = O(ε2).
Như thế X1ε, X2ε là một xấp xỉ tốt đối với xε+. Hơn nữa, chúng ta có thể thấy rằng việc lấy thêm các số hạng cho ta xấp xỉ tốt hơn. Ngoài ra, chúng ta cũng có thể hình dung ra được dáng điệu tiệm cận của xε+.
2.5. Trường hợp các lũy thừa không nguyên
Trong các phần trên đây, các khai triển tiệm cận đều là các chuỗi có lũy thừa là những số nguyên. Tuy nhiên, nhìn chung không phải lúc nào cũng có điều đó. Ta hãy xét phương trình sau
(1−ε)x2 −2x+ 1 = 0 (2.40) Như trong phần trước, chúng ta xác định một biểu diễn như sau
xε = x0 + εx1 + ε2x2 +... (2.41) Thay (2.41) vào phương trình (2.40) và cân bằng cả hai vế ta được
ε0 : x20 −2x0 + 1 = 0 (2.42)
ε2 : 2x0x2 −2x2 + x21 −2x0x1 = 0 (2.44) Từ phương trình (2.42) ta nhận được nghiệm x0 = 1. Thay x0 = 1 vào phương trình (2.43) ta được
2x1 −2x1 −1 = 0 nghĩa là 1 = 0
Điều mâu thuẫn này cho thấy phương trình (2.41) không xác định. Bây giờ, ta xác định một biểu diễn khác như sau
xε = x0 + εαx1 +εβx2 +...; (2.45) ở đây 0 < α < β < ... là các hằng số xác định. Thay biểu diễn (2.45)
vào phương trình (2.40) và cân bằng cả hai vế ta nhận được
α = 1
2, β = 1, ...
Như vậy biểu diễn được xác định chính xác là
xε = x0 +ε12x1 + εx2 + ε32x3 +... (2.46) Phần còn lại của việc xây dựng này được thực hiện tương tự như trên. Ta có
Kết luận
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận: "Phương pháp nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số". Khóa luận đã giải quyết các vấn đề sau đây
1. Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết khai triển tiệm cận và tính chất đặc trưng của giải tích tiệm cận cùng một số các phép toán giải tích căn bản đối với chuỗi tiệm cận liên quan đến việc trình bày các vấn đề của chương sau.
2. Trên cơ sở hệ thống các kiến thức về giải tích tiệm cận bao gồm các khái niệm về bậc tiệm cận, dãy tiệm cận, chuỗi tiệm cận; các tính chất và các phép toán giải tích đối với chuỗi tiệm cận, chúng tôi tập trung nghiên cứu ứng dụng của giải tích tiệm cận bằng phương pháp nhiễu đối với phương trình đại số. Các nghiệm nhiễu ở đây được xét trong hai trường hợp với lũy thừa nguyên và không nguyên. Các phương pháp nhiễu được trình bày ở đây gồm
+ Phương pháp lặp;
+ Phương pháp nhiễu kỳ dị; + Phương pháp tỷ lệ.
Tài liệu tham khảo
[1] I. Avramidi, Lecture Notes on Asymptotic Expansions, New Mexico Institute of Mining and Technology, 2000.
[2] E. T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge at the University Press, 1965.
[3] W. Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular perturbation, Basque Center for Applied Mathmatics and Ikerbasque Foundation for Sci- ence, 2009
[4] A. Erdélyi, Asymptotic Expansions, Dover publication, Inc. New York, 1956.
[5] M. H. Holmes, Introduction to perturbation Methods, Springer- Verlag, 1994.
[6] H. Poincaré, Asymptotic Expansions, Acta Math, 1886.
[7] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw- Hill, New York, 1964.