Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thường gặp trong thực tế, chúng ta không thể có sự nhận biết một cách đơn giản và tường minh như việc xét phương trình (2.1). Trong các trường hợp đó, làm thế nào chúng ta có thể có được những hiểu biết về quan hệ của các nghiệm xε trong phương trình dạng (2.1) với các nghiệm x0 tương ứng của phương trình
(2.3) theo quan điểm giới hạn khi tham số ε tiến tới 0. Khai triển tiệm cận là một công cụ khá hữu hiệu cho việc nghiên cứu về những bài toán trong lĩnh vực đã đề cập như trên. Lưu ý rằng xε phụ thuộc vào ε.
Trước hết, ta giả thiết rằng các nghiệm xε trong phương trình (2.1) có khai triển dưới dạng
xε = εα0(x0 +εα1x1 +εα2x2 +...) (2.5) trong đó các hằng số (αi;i = 0,1,2, ...) là những giá trị cần được xác định. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết rằng x0, x1, ... khác 0
và 0 < α1 < α2 < ... là các giá trị cần phải xác định.
Trước hết, chúng ta xác định hằng số α0. Ta xét ba trường hợp có thể xảy ra như dưới đây
(i) α0 > 0 (ii) α0 < 0 (iii) α0 = 0.
Thay dạng biểu diễn (2.5) của xε vào phương trình (2.1) ta nhận được đồng nhất thức sau
ε2α0x20 + 2ε2α0+α1
x0x1 +...−ε.εα0(x0 +εα1x1 +...)−1 = 0 (2.6) Bây giờ, giả sử trường hợp (i) xảy ra, nghĩa là α0 > 0. Trong đồng nhất thức (2.6), ta nhận thấy rằng α0 là số mũ nhỏ nhất của ε. Như thế, từ đẳng thức (2.6) ta suy ra rằng hệ số của εα0 phải bằng 0, tức là x0 = 0. Điều đó, mâu thuẫn với giả thiết x0 6= 0. Nếu trường hợp (ii) xảy ra, tức là α0 < 0, ta có 2α0 < α0 < α0 +α1. Do đó, lũy thừa 2α0 là số mũ nhỏ nhất của lũy thừa của hệ số x20 và như vậy x20 = 0. Điều đó cũng vi
phạm giả thiết của bài toán. Như thế, ta có thể khẳng định rằng chỉ có trường hợp α0 = 0 có thể xảy ra và (2.5) được biểu diễn dưới dạng sau
xε = x0 + εα1x1 + εα2x2 +... (2.7) Khi đó, đồng nhất thức (2.6) trở thành
x20 + 2εα1x0x1 +ε2α1x21 +...−ε(x0 +εα1x1 +...)−1 = 0 (2.8) Tương tự, thực hiện theo như quy trình xác định α0, ta cũng xác định được các hằng số α1, α2, ... cụ thể như sau
α1 = 1, α2 = 2, ...
Từ đó, ta nhận được biểu diễn (2.2.5) dưới dạng sau
xε = x0 +ε1x1 + ε2x2 +... (2.9) và ta nhận được các khai triển sau đây
ε0 : x20 −1 = 0 (2.10)
ε1 : 2x0x1 −x0 = 0 (2.11)
ε2 : 2x0x2 + x21 −x1 = 0 (2.12) Giải phương trình (2.10) ta nhận được
x0 = 1 hoặc x0 = −1
Để minh họa việc xây dựng được khai triển tiệm cận như đã nêu, ta chọn hãy giá trị x0 = 1. Khi đó, từ các phương trình (2.11) và (2.12) ta nhận được các giá trị tương ứng x1 = 1
2, x2 = 1 8.
Thực hiện cách thức đó đến các số hạng thứ i = 1,2,3ta khai triển được
xε như sau
X2ε = 1 + ε 2 (2.14) X3ε = 1 + ε 2 + ε2 8 (2.15)
Khi đó, vấn đề xuất hiện rằng: các giá trị Xiε;i = 1,2,3 có thỏa mãn phương trình của xε hay không?. Bằng cách tính toán trực tiếp, ta suy ra rằng
(X1ε)2 −εX1ε −1 = O(ε) (2.16)
(X2ε)2 −εX2ε−1 = O(ε2) (2.17)
(X3ε)2 −εX3ε−1 = O(ε3) (2.18) Từ điều đó, ta dễ dàng thấy được các giá trị Xiε thỏa mãn rất tốt phương trình đang xét khi ε nhỏ và sai số càng nhỏ khi i càng lớn.