Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

1 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã được sự chỉ đạo, hướng dẫn, động viên tận tình của cô giáo: Th.S Đoàn Thị Chuyên, giảng viên khoa Toán - Lí – Tin, đồng thời nhận được sự góp ý về đề tài, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của các thầy cô trong khoa Toán – Lí – Tin, phòng nghiên cứu khoa học và thư viện trường đại học Tây Bắc. Bên cạnh đó tôi còn nhận được sự động viên giúp đỡ của các bạn trong tập thể lớp K47 - đại học sư phạm Toán, sự giúp đỡ trong việc đánh máy, in ấn của tất cả bạn bè, người thân. Nhân dịp này, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ, động viên quý báu của các thầy cô, các bạn, tới những người thân, các đơn vị liên quan, đặc biệt là cô giáo Th.S Đoàn Thị Chuyên. Sơn La, tháng 05 năm 2010 Người thực hiện Lê Thị Liễu 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn…………………………………………………………….……… 1 Phần mở đầu…………………………………………………………………… 3 1. Lí do chọn khoá luận………………………………………………… .3 2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu……………………… 3 3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận…………… .4 Chương 1. Một số kiến thức liên quan…………………………….….… 5 1.1 Không gian Sobolev………………………………………………….…… .5 1.2 Một vài không gian của các hàm .17 1.2.1 Không gian hàm H -1 …………………………………………….……… 17 1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian …………… .………………………… 18 Không gian hàm L p (0,T;X) ………………………………………… .18 Không gian hàm C([0,T];X)………………………………….……… .18 1.3. Các bất đẳng thức………………………………………………………….19 1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman……………………………….……… 19 1.3.2 Bất đẳng thức năng lượng……………………………………….……… 19 Chương 2.Tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình Parabolic cấp hai……………………………………………….…… .21 2.1 Mở đầu 21 2.1.1 Thiết lập bài toán 21 2.1.2 Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng .22 2.1.3 Nghiệm suy rộng 23 2.2 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng 25 2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm 25 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng .28 2.2.3 Tính duy nhất nghiệm suy rộng 30 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo:……………………………………………… ……………32 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khoá luận Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”. 2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic cấp hai. 2.2. Phương pháp nghiên cứu 4 Vấn đề nghiên cứu trong luận văn là vấn đề mới đối với sinh viên bậc đại học, vì vậy phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn. 2.3. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic cấp hai và những kiến thức cơ sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet. 3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận 3.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng. 3.2 Nhiệm vụ của khoá luận Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai. 3.3. Những đóng góp của khoá luận Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. 5 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1. Không gian () k C Ω Ta dùng các kí hiệu sau: +) ()C Ω là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên Ω . +) () k C Ω là tập hợp các hàm xác định trên Ω sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại và liên tục trên Ω. +) ()C ∞ Ω là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên Ω . Giả sử Ω là một tập mở trong n R . Nếu ()uC ∞ ∈Ω thì bao đóng của tập hợp các điểm x sao cho ()0ux≠ được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là suppu. Như vậy hàm u(x) = 0, x∈Ω \ suppu . Ta có +) 0 ()C Ω là tập hợp tất cả các hàm thuộc ()C Ω sao cho giá của chúng compact và thuộc vào Ω . +) 00 ()()() kk CCCΩ=Ω∩Ω . +) 00 ()()()CCC ∞∞ Ω=Ω∩Ω . 1.1.2. Không gian L p Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng là không gian L p mà dưới đây ta sẽ khảo sát. Định nghĩa. Cho một không gian Ω và một độ đo µ trên một σ − đại số F các tập con 6 của Ω . Họ tất cả các hàm số ()fx có lũy thừa bậc p, (1)p≤<+∞ của modun khả tích trên Ω có nghĩa là p fdµ Ω <+∞ ∫ ’ gọi là không gian (,). p L µΩ Khi Ω là một tập đo được Lebesgue trong đó k R và µ là một độ đo Lebesgue thì ta viết (). p L Ω Tập hợp (,) p L µΩ ( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn 1 (). p p p ffdµ Ω = ∫ Định lí 1. Không gian (,) p L µΩ với 1 p≤<+∞ là một không gian tuyến tính định chuẩn đủ ( không gian Banach). Định lí 2. Giả sử Ω là một miền trong n R . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong Ω với giá compact trù mật trong không gian (),1. p LpΩ≥ Định lí 3.(Tính khả ly) Giả sử p ≥ 1 và Ω là một miền thuộc n R . Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của không gian (), p L Ω sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong (). p L Ω Chứng minh Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó, n x∈R Kí hiệu (,)UxR là hình hộp { } (,):,1, n ii UxRyRyxRin=∈−<= 7 Giả sử () p fL∈Ω và 0ε > . Đặt ()0fx= với x∉Ω , và xét như một hàm thuộc () n p L R . Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho \(0,) (). n p p UR fxdx ε< ∫ R Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm R g liên tục trong (0,)UR sao cho (0,1) ()(), p p UR fxgxdx ε + +< ∫ vì hàm R g liên tục trên (0,1)UR+ nên nó liên tục đều trên (0,)UR . Do vậy 0δ∃> sao cho ()(),,(0,),, n p RR gxgyRxyURxyεδ − −<∈−< lấy 2 N Rnδ − = với N là một số nguyên nào đó để δ đủ nhỏ. Chia hình hộp (0,)UR thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là 2 N R − và xét tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng () j Xx của các hình hộp này với mọi N. Đặt ()()(), Rjj j hxgxXx= ∑ trong đó j x là tâm của các hình hộp nhỏ. Khi đó ()()()() n p RRRj gxhxgxgxRε − −=−< Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm j x . Ta có (0,) p p R UR ghdx ε−< ∫ Đặt 0 R g = , h(x) = 0 đối với \(0,) n xUR∈R ta được 8 1 1 1 (0,) \(0,) ()()()()() nn p p p ppp UR UR fxhxdxfxhxdxfxdx    −≤−+         ∫∫∫ RR 1 1 (0,)(0,) \(0,) ()()()()() n p p ppp RR URUR UR fxgxdxgxhxdxfxdx   ≤−+−+      ∫∫∫ R 11 (0,1)(0,) ()()()() pp pp RR URUR fxgxdxgxhxdx +  ≤−+−    ∫∫ 1 \(0,) ()3. n p p UR fxdx ε   +≤   ∫ R Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm j X trù mật trong () p L Ω . Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian (),1 p LpΩ≥ là tính liên tục toàn cục của nó. Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục) Giả sử Ω là một miền thuộc ,(),1,()0 n p fLpfx∈Ω≥=R bên ngoài .Ω Khi đó với mỗi 0ε > tồn tại một số 0δ > , sao cho ()(), p fxfxydx ε Ω −+< ∫ với mọi y thỏa mãn .y δ< 1.1.3. Trung bình hóa Giả sử ()xθ là một hàm trực thuộc lớp 0 () n C ∞ R sao cho ()(),()0,()0xxxxθθθθ=−≥= nếu 1x > và ()1. n xθ = ∫ R Hàm ()xθ được gọi là nhân trung bình hoá. Định lí 5. Nếu (),1 p uLp∈Ω≥ thì () 0 lim0. p h L h uu Ω → −= Định lí 6. 9 Nếu 1 ,()fgL∈Ω , thì ()()()(). hh fxgxdxfxgxdx ΩΩ = ∫∫ Định lí 7. Nếu 1 ()fL∈Ω và ()()0,fxxdxϕ Ω = ∫ với mọi 0 ()Cϕ ∞ ∈Ω thì 0.f = 1.1.4. Đạo hàm suy rộng Giả sử Ω là một miền trong n R . Một hàm ()() p uxL∈Ω được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm ()() p vxL∈Ω nếu ()()(1)()()uxxdxvxDxdx α α ψψ ΩΩ =− ∫∫ , với mọi 0 ()Cψ ∞ ∈Ω , ở đó 1212 (,, .,), . nn αααααααα==+++ và 12 12 . . n n D xxx α α ααα ∂ = ∂∂∂ Chú ý i) Hàm ()vx không có quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy giả sử 1 ()ux và 2 ()ux là đạo hàm suy rộng của hàm ()vx . Khi đó 0 12 (()())()0,()().uxuxxdxxCψψ ∞ Ω −=∀∈Ω ∫ Mà 121, ()()() loc uxuxL−∈Ω nên 12 ()()0uxux−= hầu khắp nơi trong Ω . Suy ra 12 ()()uxux= hầu khắp nơi trong Ω . ii) Nếu 0 ()()vxC ∞ ∈Ω thì theo công thức Ostrograsdki ta có ()()(1)()(),uxxdxvxDxdx α α ψψ ΩΩ =− ∫∫ với hàm tuỳ ý 0 ()Cψ ∞ ∈Ω . Có nghĩa hàm ()vx có đạo hàm suy rộng ()ux bằng ()Dvx α . 10 Đặc biệt nếu hàm ()vx bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý. iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử f tồn tại đạo hàm cấp α. Ta chứng minh 11 11 jj inin ijnjin ff xxxxxxxx αα αα αααα αα ∂∂ = ∂∂∂∂∂∂∂∂ + 1 1 . j in ijn v xxxx α α αα α ∂ ∂∂∂∂ = 1 1 . j in jin v xxxx α α αα α ∂ ∂∂∂∂ , ()vC α ∀∈Ω . Do 1 ()fL∈Ω nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng 1 1 (1) . j in ijn v dxvdx xxxx α α α αα α ω ΩΩ ∂ =− ∂∂∂∂ ∫∫ = 1 1 , . j in jin f fdx xxxx α α ααα Ω ∂ ∂∂∂∂ ∫ với 0 .vC ∞ ∈ Suy ra 1 1 . . j in jin f xxxx α α ααα ω ∂ = ∂∂∂∂ iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ Xét hàm ()fxx= trên (-1;1). ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại 0x∀≠ . Tại x = 0 thì không tồn tại đạo hàm vì (0)1,(0)1ff −+−− ==− . Ta sẽ chứng minh ()fxx= có đạo hàm suy rộng trên toàn trục số. [...]... tôi thu được nhờ việc vận dụng kiến thức giải tích hàm, phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bất đẳng thức vào việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy- Dirichlet đối với phương trình parapolic cấp hai Tuy nhiên nhiệm vụ của khoá luận chỉ dừng ở yêu cầu nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy- Dirichlet đối với phương trình parapolic cấp hai Thông qua khoá luận này chúng tôi mong nó có thể trở... v ] = ∫ ∑ a u xi vx j + ∑ b uxi v + cuvdx, với u , v ∈ H 0 (U ) U i , j =1 i, j i =1 21 CHƯƠNG 2 TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI 2.1 Mở đầu 2.1.1 Thiết lập bài toán Giả sử U là một tập mở, bị chặn trên không gian R n , và đặt UT = U × ( 0, T ] với biến thời gian T > 0 Ta sẽ nghiên cứu điều kiện ban đầu - điều kiện biên bởi ut + Lu = f , trong U... thức trên đúng với 2,1 1 ∀v ∈ H 0 (U ) Mặt khác từ u ∈ C (U T ) ∩ C (U T ) và điều kiện biên của bài toán 1 (1) suy ra u ∈ H 0 (U ) Ta thấy rằng nếu bài toán có nghiệm cổ điển thì luôn có nghiệm suy rộng tuy nhiên điều ngược lại không đúng vì nghiệm cổ điển đòi hỏi hàm u có đạo hàm theo xi đến cấp của phương trình cấp hai và đạo hàm theo t đến cấp một Trong khi đó nghiệm suy rộng của bài toán chỉ đòi... ứng dụng với nhiều phương trình khác như phương trình phi tuyến tính, phương trình cấp cao, phương trình hypepolic ,eliptic Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo thêm của các thầy cô và các bạn 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lawrence C.Evans, Partial differential equations.American Mathematical Society [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà... đến cấp một Bởi vậy trong phương trình đạo hàm riêng hiện đại người ta đi tìm nghiệm suy rộng của bài toán và chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng 25 Sau đó đi tìm một số điều kiện để nghiệm suy rộng có thể thành nghiệm cổ điển hoặc nghiệm hầu khắp nơi của bài toán 2.2 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng 2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm Chúng ta đã xây dựng nghiệm suy rộng của bài toán. .. hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà Nội 2007 [3] Nguyễn Thị Thanh Mai, Chứng minh tính giải được của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình Parapolic mạnh trong trụ hữu hạn với biên không trơn, Khóa luận tốt nghiệp-Đại học Tây Bắc 2007 [4] Vũ Trọng Lưỡng, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, ĐHTB 2007 ... nhất đối với phương trình Parabolic cấp hai 2.1.2 Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng Để mô tả định nghĩa nghiệm suy rộng, chúng ta giả sử rằng u = u(x,t) là một hàm nghiệm trơn của bài toán (1) Coi u là một ánh xạ [ 0, T ] u: 1 → H 0 (U ) [u(t )] ( x) : = u( x, t ) xác định bởi ( x ∈ U ; t ∈ [ 0, T ]) Trong định nghĩa đó xét u không giống như hàm x và t cùng nhau 1 nhưng giống như một ánh xạ u của. .. v(0) ) đặt m = ml và sử dụng (28) ta được 30 T T 0 0 ∫ − v ', u + B [u, v; t ] dt = ∫ ( f , v ) dt + ( g , v(0) ) , (35) trong đó uml (0) → g thuộc L2 (U ) Với v(0) bất kì, so sánh (33) và (35) ta thu được u(0) = g 2.2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng Định lí 3 Nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất (1) là duy nhất Chứng minh Kiểm tra sự duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán (1) với f... lí thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev Sobolev S.L đã xây dựng không gian này vào giữa thế kỉ 20 và từ đó đến nay nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục mở rộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêng ngày càng khó khăn, phức tạp Không gian Wpm (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u ( x) ∈ Lp (Ω) sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc... ∂ + L gọi là toán tử Parabolic mạnh ∂t 22 a ij , bi , c ∈ L∞ (U T ) (i, j = 1, n), (5) (6) f ∈ L2 (UT ) , (7) g ∈ L2 (U ) , ij ji trong đó a = a (i, j = 1, n) Kí hiệu dạng song tuyến tính phụ thuộc vào thời gian n (8) n B [u, v; t ] := ∫ ∑ a (., t )uxi vx j + ∑ bi (., t )uxi v +c(., t )uvdx, ij U i , j =1 i =1 1 với u , v ∈ H 0 (U ) và a.e t ∈ [ 0, T ] Chúng tôi gọi bài toán (1) là bài toán biên ban . tài: Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai . 2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu . vụ của khoá luận Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình