Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám p[r]
(1)1 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã đạo, hướng dẫn, động viên tận tình cô giáo: Th.S Đoàn Thị Chuyên, giảng viên khoa Toán Lí – Tin, đồng thời nhận góp ý đề tài, tạo điều kiện thuận lợi sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo các thầy cô khoa Toán – Lí – Tin, phòng nghiên cứu khoa học và thư viện trường đại học Tây Bắc Bên cạnh đó tôi còn nhận động viên giúp đỡ các bạn tập thể lớp K47 đại học sư phạm Toán, giúp đỡ việc đánh máy, in ấn tất bạn bè, người thân Nhân dịp này, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giúp đỡ, động viên quý báu các thầy cô, các bạn, tới người thân, các đơn vị liên quan, đặc biệt là cô giáo Th.S Đoàn Thị Chuyên Sơn La, tháng 05 năm 2010 Người thực Lê Thị Liễu Lop12.net (2) MỤC LỤC Lời cảm ơn…………………………………………………………….……… Phần mở đầu…………………………………………………………………… Lí chọn khoá luận………………………………………………… Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu……………………… 3 Mục đích, nhiệm vụ và đóng góp khoá luận…………… Chương Một số kiến thức liên quan…………………………….….… 1.1 Không gian Sobolev………………………………………………….…… 1.2 Một vài không gian các hàm 17 1.2.1 Không gian hàm H -1…………………………………………….……… 17 1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian …………… ………………………… 18 Không gian hàm Lp(0,T;X) ………………………………………… 18 Không gian hàm C([0,T];X)………………………………….……… 18 1.3 Các bất đẳng thức………………………………………………………….19 1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman……………………………….……… 19 1.3.2 Bất đẳng thức lượng……………………………………….……… 19 Chương 2.Tính đặt đúng bài toán Cauchy – Dirichlet phương trình Parabolic cấp hai……………………………………………….…… .21 2.1 Mở đầu 21 2.1.1 Thiết lập bài toán 21 2.1.2 Mô típ định nghĩa nghiệm suy rộng 22 2.1.3 Nghiệm suy rộng 23 2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 25 2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm 25 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng .28 2.2.3 Tính nghiệm suy rộng 30 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo:……………………………………………… ……………32 Lop12.net (3) PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn khoá luận Trong chương trình bậc đại học, bước đầu chúng ta đã làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng Trong đó, ta đã biết các vấn đề liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó là các phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩa thông thường thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe tính trơn đến cấp phương trình, điều này gây khó khăn xét các bài toán các phương trình trên miền bất kì bài toán các phương trình tổng quát Để khắc phục điều này, thay vì tìm nghiệm cổ điển, người ta tìm nghiệm suy rộng, tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường Sau đó nhờ các công cụ giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề mẻ và bí ẩn kích thích khám phá sinh viên yêu thích nó Nhằm góp phần giúp bạn sinh viên và độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và thân tác giả nói riêng hiểu sâu môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng bài toán Cauchy – Dirichlet phương trình parabolic cấp hai” Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ phương trình parabolic cấp hai 2.2 Phương pháp nghiên cứu Lop12.net (4) Vấn đề nghiên cứu luận văn là vấn đề sinh viên bậc đại học, vì phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành hệ thống để giải các vấn đề đặt luận văn 2.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn là phương trình parabolic cấp hai và kiến thức sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng bài toán Cauchy – Dirichlet Mục đích, nhiệm vụ và đóng góp khoá luận 3.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn là tìm hiểu sâu môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng 3.2 Nhiệm vụ khoá luận Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng bài toán Cauchy – Dirichlet phương trình parabolic cấp hai 3.3 Những đóng góp khoá luận Đóng góp bật khoá luận là cung cấp hệ thống tri thức chuyên sâu môn phương trình đạo hàm riêng đại Đó là các khái niệm như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev Ngoài ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này Đặc biệt nó giúp ta có phương pháp nghiên cứu tính đặt đúng bài toán Cauchy – Dirichlet phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin Lop12.net (5) CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian C k () Ta dùng các kí hiệu sau: +) C () là tập hợp tất các hàm liên tục trên +) C k () là tập hợp các hàm xác định trên cho đạo hàm đến cấp k tồn và liên tục trên +) C () là tập hợp tất các hàm khả vi vô hạn lần trên Giả sử là tập mở n Nếu u C () thì bao đóng tập hợp các điểm x cho u ( x) gọi là giá hàm u(x) và kí hiệu là suppu Như hàm u(x) = 0, x \ suppu Ta có +) C0 () là tập hợp tất các hàm thuộc C () cho giá chúng compact và thuộc vào k k +) C0 () C () C0 () +) C0 () C () C0 () 1.1.2 Không gian Lp Trong không gian định chuẩn có lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng là không gian Lp mà đây ta khảo sát Định nghĩa Cho không gian và độ đo trên đại số F các tập Lop12.net (6) Họ tất các hàm số f ( x) có lũy thừa bậc p, (1 p ) modun khả tích trên có nghĩa là p f d ’ gọi là không gian Lp (, ) Khi là tập đo Lebesgue đó k và là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp () Tập hợp Lp (, ) ( đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau, nghĩa là hầu khắp nơi) là không gian tuyến tính định chuẩn với phép toán thông thường cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn f p p p ( f d ) Định lí Không gian Lp (, ) với p là không gian tuyến tính định chuẩn đủ ( không gian Banach) Định lí Giả sử là miền n Tập hợp tất các hàm liên tục với giá compact trù mật không gian Lp (), p Định lí 3.(Tính khả ly) Giả sử p ≥ và là miền thuộc n Tồn tập đếm các phần tử không gian Lp (), cho bao tuyến tính nó trù mật L p () Chứng minh n Giả sử R là số hữu tỉ nào đó, x Kí hiệu U ( x, R ) là hình hộp U ( x, R ) y R n : yi xi R, i 1, n Lop12.net (7) Đặt f ( x) với x , và xét Giả sử f Lp () và n hàm thuộc L p ( ) Chọn R là số nguyên đủ lớn cho p f ( x) dx p n \U (0, R ) Nhờ định lí tồn hàm g R liên tục U (0, R ) cho p f ( x) g ( x) dx p , U (0, R 1) vì hàm g R liên tục trên U (0, R 1) nên nó liên tục trên U (0, R) Do cho n p g R ( x) g R ( y ) R , x, y U (0, R), x y , lấy R n 2 N với N là số nguyên nào đó để đủ nhỏ Chia hình hộp U (0, R) thành các hình hộp nhỏ không giao có độ dài cạnh là R 2 N và xét tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng X j ( x) các hình hộp này với N Đặt h( x) g R ( x j ) X j ( x), j đó x j là tâm các hình hộp nhỏ Khi đó g R ( x ) h( x ) g R ( x ) g R ( x j ) R Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm x j Ta có p g R h dx p U (0, R ) Đặt n g R , h(x) = x \ U (0, R ) ta Lop12.net n p (8) p p p p p f ( x) dx f ( x) h( x) dx f ( x) h( x) dx n U (0, R ) n \U (0, R ) p p p p p f ( x) g R ( x) dx g R ( x) h( x) dx f ( x) dx n U (0, R ) U (0, R ) \U (0, R ) p p p f ( x) g R ( x) dx g R ( x) h( x) dx U (0, R 1) U (0, R ) p p p p f ( x) dx 3 n \U (0, R ) Do tập hợp các tổ hợp tuyến tính các hàm X j trù mật Lp () Một ứng dụng quan trọng các hàm thuộc không gian L p (), p là tính liên tục toàn cục nó Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục) n Giả sử là miền thuộc , f Lp (), p 1, f ( x) bên ngoài Khi đó với tồn số , cho p f ( x) f ( x y ) dx , với y thỏa mãn y 1.1.3 Trung bình hóa Giả sử ( x) là hàm trực thuộc lớp C ( n ) cho ( x) ( x), ( x) 0, ( x) x và ( x) n Hàm ( x) gọi là nhân trung bình hoá Định lí uh u Nếu u L p (), p thì lim h 0 Định lí Lop12.net Lp ( ) (9) Nếu f , g L1 () , thì f h ( x) g ( x)dx f ( x) g h ( x)dx Định lí Nếu f L1 () và f ( x) ( x)dx 0, với C () thì f 1.1.4 Đạo hàm suy rộng n Giả sử là miền Một hàm u ( x) Lp () gọi là đạo hàm suy rộng cấp α hàm v( x) L p () u ( x) ( x)dx (1) v( x) D ( x)dx , với C () , đó (1 , , , n ), 1 n và D 1 x1 x2 n xn Chú ý i) Hàm v( x) không có quá đạo hàm suy rộng Thật giả sử u1 ( x) và u2 ( x) là đạo hàm suy rộng hàm v( x) Khi đó (u ( x) u ( x)) ( x)dx 0, ( x) C () Mà u1 ( x) u2 ( x) L1,loc () nên u1 ( x) u2 ( x) hầu khắp nơi Suy u1 ( x) u2 ( x) hầu khắp nơi ii) Nếu v( x) C () thì theo công thức Ostrograsdki ta có u ( x) ( x)dx (1) v( x) D ( x)dx, với hàm tuỳ ý C () Có nghĩa hàm v( x) có đạo hàm suy rộng u ( x) D v( x) Lop12.net (10) 10 Đặc biệt hàm v( x) số ( hầu khắp nơi) trên thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý iii) Từ định nghĩa ta suy đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Thật giả sử f tồn đạo hàm cấp α Ta chứng minh f f x11 xii x j j xn n x11 x j j xii xn n v + x11 xii x j j xn n v = j i n , v C () 1 x1 x j xi xn Do f L1 () nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng v x 1 x i x j x n dx (1) v dx i j n = f f dx, x11 x j j xii xn n với v C Suy f x1 x j j xii xn n iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α thì có đạo hàm suy rộng cấp α điều ngược lại nói chung không đúng Ví dụ Xét hàm f ( x) x trên (-1;1) ta đã biết tồn đạo hàm thường x Tại x = thì không tồn đạo hàm vì f (0 ) 1, f (0 ) 1 Ta chứng minh f ( x) x có đạo hàm suy rộng trên toàn trục số Lop12.net (11) 11 Xét 1 1 dv x dx vdx, v C (), dx 1 x 1 1, lấy 1, x đó L1 (1;1) nên 1 1 1 1 dx dx dx dx dx Nên 1 hay 1 1 v v v x dx x dx x dx, x x x 1 v v v x dx x dx x dx x x x 1 0 vdx vdx (1)vdx 1vdx 1 0 1 1 vdx 1 hàm f ( x) x không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) có đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1) v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α miền thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α miền ' Thật Giả sử f L1 (), v C () ta có ' v v f 1 dx f dx n 1 2 x1 x2 n xn x x x n ' 0 Do v C ( '), v C () với ' nên Lop12.net (12) 12 1 vdx 1 vdx ' Ta có L1 () suy L1 ( ') tồn L1 ( ') cho ' v f 1 dx 1 vdx, v C ( ') n x1 x2 xn ' Do đó tồn đạo hàm suy rộng f trên ' x11 xn n vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng D v xác định với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp tương ứng tồn Các đạo hàm cấp thấp có thể không tồn Sau đây ta xét định lí liên hệ đạo hàm suy rộng và trung bình hoá Định lí n Giả sử là miền không gian , ' là miền cho khoảng cách ' và d > Khi đó, < h < d và x ' ta có ( D u ) h ( x ) D u h ( x ) Chứng minh x y 0 x ' Do < h < d, và hàm C () với x ', nên sử h dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận x y D u h ( x ) D ( x ) h n u ( y )dy, h n hay x y D uh ( x) h n (1) D y u ( y )dy h Lop12.net (13) 13 x y hn D yu ( y )dy ( D u ) h ( x) h m 1.1.5 Không gian Sobolev ( W p (), p ) Một không gian phiếm hàm sử dụng rộng rãi lí thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev Sobolev S.L đã xây dựng không gian này vào kỉ 20 và từ đó đến nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục mở rộng và phát triển để nghiên cứu bài toán phương trình đạo hàm riêng ngày càng khó khăn, phức tạp Không gian W pm () là không gian bao gồm tất các hàm u ( x) L p () cho tồn các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc Lp () và trang bị chuẩn sau p u W pm ( ) p D u ( x) dy m (4.1) Định lí n Giả sử là miền và m 0, p Khi đó W pm () là không gian Banach m Không gian W p () với chuẩn (4.1) gọi là không gian Sobolev Chú ý m Từ tính chất L p () là không gian đầy ta suy W p () là không gian đầy L2 () là không gian Hilbert suy W2m () là không gian Hilbert k Ở trường hợp này để ngắn gọn người ta kí hiệu là H () m Ta xét vấn đề xấp xỉ hàm thuộc không gian W p () các hàm thuộc C () Lop12.net (14) 14 Định lí 10 Giả sử là miền thuộc n và ' là miền cho m ' Nếu u W p (), thì lim uh u h 0 Wpm ( ) Chứng minh Theo định lí ta có uh u Wpm ( ' ) p D (uh u ) dx m ' p p ( D u ) h D u ) dx m ' p (4.2) Đặt v D u Từ định lí suy p (v ) h v dx 0, h (4.3) ' Từ (4.2) và (4.3) ta nhận uh u W pm ( ') 0, h Định lí 11 Giả sử dãy u j uj W pm ( ) j 1 m các phần tử không gian W p () bị chặn C , C const Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu không gian Lp () tới hàm u ( x) j Khi đó u j j 1 hội tụ yếu không gian Lp () tới hàm u ( x) W pm () và u W pm ( ) C Lop12.net (15) 15 Chứng minh Ta có ( x) D u j ( x)dx (1) u ( x) D ( x)dx j đó ( x) C () Điều này kéo theo dãy D u ( x) j hội tụ yếu j 1 Lp () tới hàm v ( x) Ta có ( x)v ( x)dx (1) u ( x) D ( x)dx, ( x) C () Do đó đạo hàm suy rộng D u ( x) tồn và v ( x) Hơn D u ( x ) p Lp ( ) lim D u ( x) j p2 D u ( x) D u j ( x)dx p 1 D u ( x ) lim sup D u j ( x) L p ( ) j Lp ( ) Từ đó nhận u W pm (), u W pm ( ) C Định lí 12 n Nếu là miền thuộc , thì không gian C () trù mật W pm () Định lí 13 Giả sử U là hình hộp n U x n : a j x j a j , j 1, , n , m m và u W p (U ), p Khi đó tồn hàm u1 W p () cho u1 ( x) u ( x) với x U và sup pu1 ( x) U1 x n : 2a j x j 2a j , j 1, , n , Lop12.net (16) 16 u1 ( x) W m ( n ) C u ( x) W m (U ) , p p đó C là số không phụ thuộc vào hàm u m 1.1.6 Không gian W p (), p 0 Không gian W (), p là bao đóng C () chuẩn m p m không gian W p () Định lí 14 ( Friedrichs) Giả sử là miền bị chặn Khi đó tồn số n C C () , phụ thuộc vào cho p p u dx u p n u C dx , với hàm u W p1 () i 1 xi p Lp ( ) Định lí 15 m Giả sử u ( x) W (), p và sup pu ( x) Khi đó u ( x) W p () m p Định lí 16 Giả sử u ( x) j j 1 không gian W pm (), p hội tụ yếu không gian Lp () tới hàm u ( x) dãy này bị chặn Khi đó u ( x) bị chặn m và u ( x) W p () Định lí 17 m n Các không gian W pm ( n ) và W p ( ) là trùng m ,l 1.1.7 Không gian W2 (U T ) Giả sử là miền n và T = const > Kí hiệu Lop12.net (17) 17 U T 0, T ( x, t ) : x n , t (0, T ) và gọi nó là trụ với chiều cao T và đáy W2m ,l (U T ) là không gian Sobolev bao gồm tất các hàm u ( x, t ) L2 (U T ), cho tồn tất các đạo hàm suy rộng theo x đến tận cấp m và theo t đến tận cấp l thuộc L2 (U T ), nó trang bị chuẩn l u D u dxdt k dxdt m U k 1 UT t T k u W2m ,l (UT ) (4.4) Trường hợp l = 0, số hạng thứ hai vế phải (4.4) coi không có m ,l Không khó khăn có thể kiểm tra W2 (U T ) là không gian Banach, nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng sinh từ chuẩn (4.4) W2m ,l (U T ) là không gian W2m ,l (U T ), bao gồm tất các hàm u(x,t) m ,l không gần biên ST = 0,T Điều đó có nghĩa là, u ( x, t ) W (U T ) và tồn dãy uk ( x, t )k 1 C (UT ), uk ( x, t ) 0, đó ( x, t ) U T ( x, t ) U T : dist ( x, t ), ST và uk u W2m,l (U T ) k W2m ,l (U T ) là không gian Hilbert 1.2 Một vài không gian các hàm 1.2.1 Không gian hàm H 1 Định nghĩa H 1 (U ) là không gian đối ngẫu thứ H 01 (U ) Định nghĩa Nếu f H 1 (U ), chuẩn xác định f H 1 (U ) sup{ f,u u H 01 (U ), u H (U ) 1} Lop12.net (18) 18 Định lí (Đặc trưng quan trọng H 1 ) (i) Giả sử f H 1 (U ) đó xuất các hàm f , f , , f n L2 (U ) cho n i (1) f , v f v f vxi dx(v H (U )) i 1 U (ii) Hơn n i inf f dx | U i 0 f H 1 (U ) f thoả mãn (1) cho f , , f L (U ) n 1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian Định nghĩa Không gian Lp(0,T;X) gồm tất các hàm đo u : 0, T X với (i) p u Lp (0,T ; X ) : u (t ) dt , 0 (ii) u T L (0,T ; X ) p với p : ess sup u (t ) t T 1 Khi p=1, u L (0, T ; X ) Ta nói v L (0, T ; X ) là đạo hàm suy rộng u viết là u’ = v cho T T 0 '(t )u (t )dt (t )v(t )dt , với hàm thử Cc (0, T ) Định nghĩa Không gian hàm C 0, T ; X bao gồm tất các hàm Lop12.net (19) 19 u : 0, T X với liên tục u C ( 0,T ; X ) : max u (t ) t T 2 1 Định lí Cho u L 0, T ; H (U ) , với u ' L 0, T ; H (U ) (i) Khi đó u C 0, T ; L2 (U ) (ii) Ánh xạ t u (t ) L2 (U ) là liên tục tuyệt đối, với d u (t ) dt L2 (U ) u '(t ), u (t ) , a.e t T (iii) Xa hơn, ta có bất đẳng thức (10) max u (t ) t T C u L2 (U ) L2 (0,T ; H 01 (U )) u' C là số phụ thuộc vào T 1.3 Các bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall – Bellman Định lí Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn (i) u (t ) 0; f (t ) 0; t t0 ; C 0, (ii) u (t ), f (t ) Ct0 ; , t (iii) u (t ) C f (t1 )u (t1 )dt1 t0 Khi đó t u (t ) C.exp f (t1 )dt1 t0 1.3.2 Bất đẳng thức lượng Lop12.net L2 (0,T ; H 1 (U )) , (20) 20 Định lí Tồn số , và cho (i) B u , v u H 01 (U ) v H 01 (U ) , và (ii) u H 01 (U ) B u , u u n L2 (U ) , n i đó B u , v a u xi vx j b u xi v cuvdx, với u , v H (U ) i, j U i , j 1 i 1 Lop12.net (21)