Luận văn thạc sĩ bài toán cauchy neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ HOÀI PHƯƠNG BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ YỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toángi

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HOÀI PHƯƠNG

BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ YỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toángiải tích Mã số: 60

46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

HÀ NỘI, 2015

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu

Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích

đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phương

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi duới sự huớng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phuơng

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.2 Đạo hàm suy rộng 6

1.3 Không gian Sobolev 8

1.4 Một số bất đẳng thức cơ bản 10

1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy với £ 10

1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 10

1.4.3 Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng 11

Chương 2 Bài toán Cauchy-Neumann đối vói phương trình hyperboỉic cấp hai trong trụ với đáy không trơn 14

2.1 Đặt bài toán 14

2.2 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 16

2.2.1 Bất đẳng thức năng lượng 16

2.2.2 Định lý duy nhất nghiệm 18

2.3 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng 25

2.4 Ví dụ 35

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

Một vấn đề đặt ra cần nghiên cứu các bài toán trong các miền không trơn,tức là biên của miền chứa điểm kì dị Các phương pháp nghiên cứu truyềnthống nhờ phép biến đổi Fourier hoặc Laplace để đưa bài toán không dừng vềbài toán dừng chỉ thu được kết quả đối với phương trình và hệ phương trình cócác hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian.

Khi đó một vấn đề cơ bản cần giải quyết: nghiên cứu được bài toán với hệ sốcủa phương trình phụ thuộc vào cả biến thời gian không những cho miền vớibiến không trơn mà cho cả miền vói biến trơn Các vấn đề này đến nay vẫnđang tiếp tục được nghiên cứu

Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không trơn,nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài:

“BÀI TOÁN CAUCHY- NEUMANN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNHHYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN” để

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gianSobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan Từ đó áp dụng vàonghiên cứu tính giải đuợc của bài toán

4 Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tuợng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toánCauchy-Neumann đối với phuơng trình hyperbolic cấp hai trong trụ vói đáykhông trơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phuơng pháp đuợc sử dụng trong luận văn là phuơng pháp xấp xỉGalerkin, phuơng pháp đánh giá bất đẳng thức, phuơng pháp không gian hàmSobolev

6 Đóng góp mới của đề tài

Các kết quả của luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết một cách hệthống các truờng hợp đặc biệt của những bài toán tống quát đã đuợc giải trongmiền không trơn

Luận văn bao gồm 2 chưong:

Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.

Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán Cauchy-Neumann đối với

phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệmsuy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán

Chương 1

Kiến thức chuẩn bi

1.1 Các kí hiệu

IRn là một không gian Euclide n- chiều, x= (jjq ,x 2 , ,x n ) E W 1

Xét il là một miền bị chặn trong IRn , n > 2 với s = díì là biên của nó

u = (u1#u2, un) và D p = -— là đạo hàm suy rộng câp p theo

biến X = (*! , x n ), u t k = d k uỉdt k là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t.

Ớ đây p = (p1, ,pn) là kí hiệu đa chỉ số với Pilà các số nguyên không âm,

|p| =Pi + +pn

C0°° (fl) là không gian các hàm khả vi vô hạn vói giá compact trong fl.Giá của một hàm là bao đóng của tập họp tất cả các điểm mà hàm đó khác

không và kí hiệu là supp Kí hiệu c k { fl} là tập họp tất cả các hàm có đạo hàm

liên tục đến cấp k trong miền fl, 0 < k < 00,

c° (Í1) = c (Í1) và ũ k (Í1) = C(Í1) n c k (Í1),

ở đó Ể k là tập họp tất cả các hàm liên tục trong íl và có giá compact thuộc íl

Định nghĩa không gian Lp (íl): Cho íl là một miền ữong không gian IRn và cho 0

< p <+ 00 Khi đó Lp (ÍỊ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) khả tổng cấp p theo Lebesgue trong với chuẩn:

Kí hiệu:

ess sup|/(x)|

XEln

Định nghĩa không gian L°° (íl): là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo

được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên (1 vói chuẩn :

IIWIIL“(ÍI) = ess supluOOI

XE Í1

IMIL^CO/TVO = esssup|u(z)l

XE n

Điều kiện Lipschitz:

Hàm u : ư -> M (U là tập mở trong IRn) là liên tục Lipschitz nếu Vx,y G u, c lầ

Định nghĩa 1.2.1, Giả sử (1 là một miền trong không gian IRn Một hàm

V(x) G (íl) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp pcủa hàm u( x) G Li (íl) nếu:

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông

thường Ví dụ xét u(x) = I X I, X e (—1,1) Dễ kiểm tra được hàm u(x) có đạohàm suy rộng trong khoảng (—1,1) Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thông

thường tại điểm có X= 0

Vậy v(x) = signx là đạo hàm suy rộng của u(x) = I XI, X £ (—1,1).

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền íì thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền íì' c íì Thật vậy, giả sử u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền ỉì là hàm và <p (x) là một hàm bất kỳ thuộc Ể 00 (ỉì r ), íì' là miền

con của íì Khi coi (p(x ) = 0 với X e Í1\ÍT ta nhận đuợc (p e Ể 00 ựì')

[)a+p v _ D a ịpP v '^ i aĐ a v 1 + bD a v 2 = Đa(av1 + bv 2), ở đó a, b là các

hằng số tùy ý

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay đuợc đạo hàm suy rộngkhông phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo toànđuợc nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thuờng Tuy nhiên, không

phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp p không suy ra đuợc

sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hon p.

1.3 Không gian Sobolev

•Không gian w l (ÍT)

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử n là một miền trong không gian IRn Ta định

nghĩa w l (Ü) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) G ¿2 (n), X E n vớichuẩn:

l U lllU k ( e - yt í ì r ) e 2 y t dxdt < 00

NIWl w= ( X /\D Ĩ > u \ 2 d x

\lp| s ỉ

• Không gian w* (ÍỊ)

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử là một miền trong không gian IRn Ta định

nghĩa w x (fl) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(pc) G ¿2 (fl), X G vớichuẩn:

\\u\\ w i w = 1 ^ Ị \D p u\ 2 dx

\lp| s i n

• Không gian w 1 (íl)

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử Í1 là một miền trong không gian IRn Ta định

nghĩa w 1 (íl) là bao đóng của Ễ 00 trong chuẩn của vv 1 (íl)

• Không gian w l ’ k ( e ~ y t , s3 r )

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử Í1 là một miền trong không gian IRn Ta định nghĩa

w l , k ( e ~ y t ,ỈÌ T ) là không gian bao gồm tất cả các hàmu(x, t) G L 2 (ÍÌ T ) sao cho:

Đối với u, ve (//) ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwwarz:

\uv\ < ||u|| II17II

u(t) < (p{t) + L ị e i(t S )(p(s)ds, vt G [t0,7).

■'to Hơn nữa, nếu (p(t) có đạo hàm cp' (t) khả tích trên [t 0 , 7) thì u(t) <

+ L ị e L ( t ~ s ) <p'(s)ds, vt G [t0,7)'to

y'(t) - Ly(t) < lịo(t), vt G [t 0 , T )

Đặt z(t) = y(t)e_it ta nhận được:

z'(t) = (y'(t) - Ly(t))e _it <

Ta có z(t0) = y(t0) = 0 và do đó:

t

zự ) < I e L s ( p { s ) d s , vt G [t0 ,7)

¿0Suy ra:

Ta nhận thấy rằng nếu (p = c = const trên [t0, T) thì từ bất đẳng thức trên

ta suy ra bất đẳng thức Gronwall-Belman thông thuờng, tức là:

uự) < Ce L ( - t ~ t °\vt G [t 0 , T) Đặc biệt nếu <p(t) = 0 trên [t0, T) thì ta có:

trong trụ với đáy không trơn

Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy - Neumann đối với phương trình heyperpolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán

= — ( p ( t ) + <p(t0 )e i(t to) + Ị ei(t S) (p'(s)ds

trong trụ với đáy không trơn.

2.1 Đăt bài toán

Giả sử n là một miền bị chặn trong Mn, n > 2, với biên n không trơn Giả

ở đây aỊj=aịj (x,t) là hàm phức khả vi vô hạn trên ÍÌ T a.ij = {Ị,ị = 1, , rì) và a

= a(x, t) là hàm thực khả vi vô hạn trên

N(x,t,d) = ^ a i j(x,t)cos(x i

,v)-^-i ,j = 1 7

ở đây V là vector pháp tuyến ngoài của mặt S T

Xét trong miền trụ ÍÌ T phương trình:

L(x, t, d)u — u t t = f(pc, t) hên Í1 T

hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

Bài toán ta đang xét là Hypebolic mạnh, tức là với Ẹ G R n \ {0} và (X, t) G íloo , tồn tại trong Hi= const >0, ta luôn có đẳng thức sau :

n

¿7 = 1

Định nghĩa nghiệm suy rộng :

Cho f G L2(íl) Khi đó hàm u(x, t) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán

(2.1) - (2.3) trong không gian wu(e-yí, nT ) nếu u(x, í) G W 1 ' 1 (e~ y t , Í1 T ) ,u(x, 0)

= 0 với mỗi T > 0 thỏa mãn đẳng thức sau:

2.2 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Bổ đề 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mãn Khi đó tồn tại 2

hằng sổ fÀQ >0, Ằ Q >0 sao cho với mọi hàm cổ định U = u(x,t) E v/

1’1(e_yt, ÍÌT )ta có bất đẳng thức sau :

n 1

1 7

Với mọi 0<£i<l

Thay vào (2.7) ta nhận được :

\\u\\ 2

w i i a ) <-Qổ (u,u)(t) + (C2)£1||U||2

v/1(íì) +C2C(£1)||U||2

¿2(^ Suy ra(1 - C2£i)NIV(n) < C^^uJCt) + QCCfiJIlull2^Vậy nên

—B(u,ù)(t) > tí~^ 2 £ l ) llullVm) -^||u|pi2(ũ)

llull2^!^ < -QB^uXO + CJull^o

IV

U (ÍÌ )

(2.7)

sup ► < ỊẮ ; 1 < i,j < n, li = const > 0

nghiệm suy rộng trong V/1’1 (e~ y t , Í1T) với Y > 0 Chứng minh

Giả sử bài toán (2.1) - (2.3) có hai nghiệm suy rộng IÍ! và u2 trongy/1’1(e y t ,íì T ) với Y > 0.

u(x, t) = IÍ! (x, t) - u2 (x, t) Khi đó u G W 1 A (e~ y t , ÍÌ T ) và u(x, 0) = 0

Giả sử Tlà một số dương T< T Xét hàm

f* u(x,s)ds, 0 < t < b ĩ](x,t) = J b

,b < t < T

Ta có rj(x, t) G v/1’1(e y t ,íì T ), thật vậy

Vì u(x,t ) G W 1 , 1 (e~ y t ,íĨ T ) nên tồn tại, { UJ Y c C°°(Í1T)

IIUj - u\\ w i.i i ữ T ) ->0, khi j->0 Đặt:

rẾ Uj (x, s)ds, 0 < t < b ĩ]j(x,t) = ■ ị

> L z ( o ,b )

Do âôr}(x, t) G W1 ’ 1 (e _yt ,il T )

Hon nữa ĩ j t =u với 0<t <b Thật vậy :

2 1

= _(fieZ /(av'!*1’I!*1)t-Re X j a ¡ ¡ t ri X J Tj x t dxdt I

ở đây £ > 0 đủ bé, còn các hăng sô Cl (£) , c2

(£) chỉ phụ thuộc vào ỊẢ , Ảo và £

m<c,i*Kf)dt, VẾ e (0, ft,/40,

ở đây c I = const >0 chỉ phụ thuộc vào /¿0, ỊẤ và Ẳ 0 Do đó theo bất đẳng thức

Gronwall - Bellman ta suy ra J Ọ}) = 0 vò E [0,jUo/ 4C ].

Vì vậy u (%, h) = 0 với mỗi b E [0, /¿o/ 4C], Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được u (x, b) = 0 vò E [ ỊẤ q / 2 c, ỊẤ q / c].

Tương tự , sau một số bước hữu hạn ta thu được u (x, b) = 0 với b E [0, r]

2.3 Sư tồn tai của nghiêm suy rông

Mục này dành cho trình bày phát biểu và chứng minh sự tồn tại của nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy- Neumann đối với phương trình Hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn Sự tồn tại của nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lý sau :

Cộng vào đẳng thức hên với liên họp phức của nó ta nhận được :

-2Re ^ <aí7-<.,<.t)n7, + 2/?e <auw,ujy>nr - 2/?e (uft,uf)nr

Với c = const > 0 chỉ phụ thuộc vào Julo tí và Ỵ.

Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức hên vói e'2yTrồi lấy tích phân 2 vế theo T

từ 0 đến T ta nhận được:

ll u \\w1 ' 1 (e~Y t ,n T ) — ^'II/'IIL “ :! ( O , T ,L2(^))

Với c = const > 0 chỉ phụ thuộc vào Julo, M và ỵ.

Vì {uw} bị chặn trong không gian W 1 , 1 (e~ y t , fỉ T ) nên ta hích ra một dãy con của dãy {U N (X, t)} hội tụ yếu tới (X, t) e W 1 ’ 1 (e_yt, I2 T ).

Ta sẽ chứng minh u(x, t) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1)-(2.3).

Do {U N (x, t)} hội tụ yếu trong W 1 ' 1 (e_yt, ÍỈ T ) tới hàm u(x, t ) đều theo

t G [0,T] nên {U N (X, 0)} hội tụ yếu đến u(pc, 0) Mặt khác U N (X, 0) = 0 nên u(x, 0) = 0.

Ta còn phải chứng minh u(x, t ) thỏa mãn đồng nhất thức tích phân (2.5) Nhân cả 2 vế (2.12) với (t) G W 1 (0, T ), (7) = 0, rồi lấy tổng theo l từ 1 đến N, rồi lấy tích phân theo t từ 0 đến T, ta thu được:

- ^ <a0<.,<.)nr + (au N ,rj) a T - «,rj)n T = ư,rj)n T

i , j = l

với

Thật vậy, bằng phương pháp trực giao hóa Gramm-Schmith, từ {<p k (x)}"=1 ta

có thể xây dựng một hệ trực chuẩn {ĩỊj k (pc')} k = 1 trong W1 (¿2) mà bao tuyến

Lấy tùy ý v(x t) G W 1 A (e y t ,ỉì T ) Do C°°(ỈÌ T ) trù mật trong

y i ,i ựi,i (e - yt nên V£ > 0,3w£(r, t) G c°°(iÌ T ) ) sao cho:

w, N

( x , t) - ^f c = lCfc WfcO) w 1

(12) -> o, khi n -> 00 Đặt:

Từ đây và từ (2.19) suy ra:

||w£0,t) -^(x, t)ILi.i(ÍS-yt</|I.) -» 0,khin^> 00 Suy ra

tồn tại IV đủ lớn sao cho:

£

w£0,t) -SnC^OIL1'1^-!*/!,.) <-,Vn> N

Vậy:

17(x,t) - ínC^OIL^Ce-^/lr) < E ' Với n đủ lớn và S n (x, 0 G M* Tức là M* trù mật trong không gian

W1’1(e_yí,13T).Tacó đắng thức tích phân đúng với mọi hàm thử thuộc tập trù mật

trong không gian W 1 A (e~ y t ,ÍÌ T ) nên nó cũng đúng cho mọi hàm thử thuộc V/

y

3 6

Do đó u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1)-(2.3) trong không gian

yựi,i ( e -yt ' h ơ n nữa;

với điều kiện ban đầu là: u(x, 0) = u t

(x, 0) = 0, X G íì, với điều kiện biên

Nghiệm u{x, t) như thế sẽ thỏa mãn phương trình (2.20), điều kiện ban đầu (2.21),

điều kiện biên (2.22) trong đồng nhất thức tích phân (2.23) và điều kiện

Từ đây ta thấy do các điều kiện (2.21), (2.22) và do điều kiện

Ĩ|G W 1 A (e~ y t , ÍÌ T ), ĨỊ ( X , T) = 0 nên dễ dàng suy ra đồng nhất thức (2.23).

Áp dụng cho các kết quả ở trên ta có các kết luận sau:

Tính duy nhất nghiệm: Các hệ số của phương trình thỏa mãn điều kiện (2.4) và

Khi đó bài toán (2.20)-(2.22) duy nhất một nghiệm suy rộng trong

V/1’1(e yt,ílT) với Y > 0.

Sự tổn tại nghiệm:

Khi đó tồn tại số y0cố định sao cho với mọi y > 7o bài toán (2.20)-(2.22) có

nghiệm suy rộng u(x, t) G l/V 1 ' 1 (e~ y t , Í Ì T ) thỏa mãn:

ll u ll w 1 ’ 1 ( e~ y t ,n T ) — ^ , |I/II L “( O , T , L2(/ Ỉ )),

Trong đó c = const > 0 không phụ thuộc vào h, u, f

Kết luân

Nội dung chính của luận văn là trình bày về tính giải được của bài toán

Cauchy- Neumann đối với phương trình Hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn Những kết quả chính tôi đã trình bày ở đây là :

• Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán

• Chứng minh sự tồn tại của nghiệm suy rộng

• Chứng minh về tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Một số vấn đề mở có thể phát triển tiếp :

• Nghiên cứu tính trơn của biến thời gian và không gian theo nghiệm suy rộng

• Nghiên cứu về dáng điệu của nghiệm suy rộng của bài toán được xét trong luậnvăn

Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn có thể chưa đầy đủ

và khó tránh khỏi sai sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của cácthầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!