Luận văn thạc sĩ bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển

TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI K H Ú C TH Ị LOAN BÀI TO ÁN ÔN Đ ỊN H HÓA HỆ PH Ư Ơ N G TR ÌN H VI P H Â N T U Y Ế N TÍN H CÓ Đ IÊU KH IÊN L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC H N ộ i, t h n g n ă m 2015 T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI K H ÚC THỊ LOAN BÀI TO ÁN ÔN Đ ỊN H HÓA HỆ PH Ư Ơ N G TR ÌN H VI P H Â N T U Y Ế N TÍN H CÓ Đ IÊU KH IÊN L U Ậ N VĂN T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC C h u y ên n gà n h : T O Á N GIẢI M ã số : 60 46 01 02 TÍCH N g i h ớn g d ẫ n k h o a học: GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT H N ộ i, t h n g n ă m 2015 LỜI C Ả M Ơ N Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Em xin gửi lòi cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Em xin gửi lòi cảm ơn chân thành tới toàn thầy, cô giáo khoa tham gia giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình em học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Khúc Thị Loan LỜI C A M Đ O A N Luận văn tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Trong trình nghiên cứu luận văn em có sử dụng sách tham khảo số tác giả, nhà nghiên cứu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận trung thực, không chép từ tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với tên đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả KHÚC THỊ LOAN M uc luc M đầu Cơ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 SỞ T O Á N H Ọ C Hệ phương trình vip h â n Hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến t í n h Bài toán ổn định ổn định h ó a 1.3.1 Bài toán ổn đ ị n h 1.3.2 Bài toán ổn định h ó a Các tiêu chuẩn ổn định b ả n Các bổ đề bổ t r ợ 5 7 9 14 T ÍN H Ổ N Đ ỊN H H Ó A H Ệ P H Ư Ơ N G T R ÌN H V I P H Â N T U Y Ế N T ÍN H CÓ Đ IÊ U K H IÊ N 15 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển ôtônôm 15 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có hạn chế điều khiển 18 K ết luận 32 Tài liệu th a m khảo 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đ ề tà i Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết ổn định nghiên cứu từ cuối kỷ 19 nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ th u ật mô hình kinh tế mô tả hệ phương trình toán học ngưòi ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu kinh tế, khoa học kỹ thuật Đặc biệt từ năm 60 kỷ hai mươi, đòi lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày đươc quan tâm nghiên cứu ứng dụng vào mô hình điều khiển kỹ thuật Từ xuất toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển Song song với phát triển lý thuyết ổn định, nhu cầu nghiên cứu tính ổn định hệ kỹ thuật mô tả phương trình điều khiển, ngưòi ta nghiên cứu tính ổn định hóa hệ động lực Bài toán ổn định hóa tìm hàm điều khiển chấp nhận (hàm điều khiển ngược) cho hệ đóng (hệ giải tương ứng với điều khiển chấp nhận này) ổn định tiệm cận Lyapunov Từ kết quan hệ tính ổn định điều khiển hệ điều khiển, nhiều kết thú vị có nhiều ứng dụng toán kỹ thuật công nghệ công bố nhà toán học, điều khiển học nước, đặc biệt nhóm nghiên cứu GS Vũ Ngọc Phát, Viện toán học Hà Nội Bài toán ổn định hóa toán khó hướng nghiên cứu quan trọng quan tâm nghiên cứu Vì chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “ B i t o n ổ n đ ị n h h ó a hệ p h n g t r ì n h vi p h â n t u y ế n t í n h có đ iề u k h iể n ” 2 C ấu trú c củ a k h óa luận Luận văn gồm chương C h ơng 1: Cơ sở toán học: Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, toán ổn định , ổn định hóa số bổ đề sử dụng cho chương sau C h ơng 2: Các tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển: Đây chương luận văn, trình bày số định lý tính ổn định hóa hệ phương trình tuyến tính có điều khiển ôtônôm không ôtônôm, hệ có hạn chế điều khiển M ụ c đích n gh iên cứu Trình bày sở toán ổn định hóa số kết chọn lọc tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính N h iệm vụ n gh iên cứu Đọc hiểu tài liệu lý thuyết ổn định Lyapunov, toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính; trình bày kiến thức dạng luận văn khoa học.Vận dụng để giải số toán ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính Đ ố i tư ợ n g p h ạm vi n gh iên cứu Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính P h n g pháp n gh iên cứu Các phương pháp kỹ th u ật toán học phương trình vi phân, đại số tuyến tính, giải tích thực đại Đ ó n g góp củ a đ ề tà i Hệ thống kiến thức sở lý thuyết ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính kết chọn lọc toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính M ôt số ký hiệu viết tắ t R R+ Rn Xm (x,y) A(A) Amax (-A) Amin(-A) Ĩ){A) L 2([t,s],Rn) M ([0, + 00] , My) M >0 M >0 Tập số thực Tập số thực không âm Không gian Euclide n chiều Tập tấ t ma trận n X m Ma trận chuyển vị Tích vô hướng Chuẩn Tập tấ t giá trị riêng A Max{Re(A) : A G A(A)} Min{Re(A) : A G A(A)} Độ đo ma trận A; ĩị {A) = (l/2 )A max(A + A T) Không gian hàm khả tích bậc hai [t,s] với giá trị R n Tập hàm ma trận xác định không âm bị chặn Ma trận xác định không âm Ma trận xác định dương Chương C SỞ TO ÁN HỌC Trong chương này, luận văn trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, trình bày toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, tiêu chuẩn toán ổn định ổn định hóa Ngoài có số mệnh đề bổ trợ cho việc chứng minh định lí ổn định chương Nội dung Chương lấy từ tài liệu [1, 2] 1.1 H ệ phương trìn h v i phân Xét hệ phương trình vi phân có dạng: x(t) = f( t, x( t) ), x(t0) = x ữ) t > t 0, t0 > 0, ( 1) x ( t ) Ẽ R " , / : R + X R n —> R n , với t > toHàm khả vi liên tục x ( t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) nghiệm hệ phương trình vi phân Công thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.1) Định lý sau khẳng định nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) 18 Theo định lý 1.4 hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh V í dụ 2.1: Xét hệ điều khiển (2.1) Ta thấy hệ X = Ax ổn định, hệ ổn định hóa với K = Tuy nhiên ta thấy hệ không điều khiển hoàn toàn rank [B, A B ] = rank 2.2 0 -2 = < H ệ phương trìn h vi p h ân tu y ế n tín h k h ôn g ô tô n ô m có hạn chế đ iều kh iển Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng x( t ) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t > (2.2) x ị t ) G K n,u(t) G Mm,A (í) G K nxn, B(t) G Knxm - ma trận hàm liên tục, điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện: \\u{t)\\ < r, t > (2.3) Đ ị n h n g h ĩ a 2.1: Hệ điều khiển (2.2) ổn định hóa có hàm điều khiển ngược u(t) = k(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.3) cho hệ đóng: x(t) = A (t) X (t) + B (t) k (x (t)) , ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov Chúng ta nói hệ điều khiển tuyến tính (2.2) điều khiển toàn cục (GC) có số N >0 cho với Xq G có hàm điều khiển 19 u(t ) G L ([0, N] , Mm) thỏa mãn N { N, ) x + Ị Ư(N, s)B(s)u(s)ds = 0, ư(t, s ) kí hiệu ma trận nghiệm hệ x( t) = A(t)x(t), xác định ị dư(t, s)/dt = A(t)ư(t, s), t, s > 0, U(t,t) = I Đ ị n h n g h ĩa 2.2: Hệ điều khiển (2.2) điều khiển (UGC) có số N > C\ , C2, C3, Cị > cho thỏa mãn điều kiện sau cho tấ t t > 0: c j < W { t , t + N) < C2I (ĩ) {ii) c3/ < ư{t + N, t)W{t, t + N ) T(t + N , t ) < Cịl Trong W { t , t + N) = Ị Ư(N, s ) B ( s ) B T(s)ưT(N, s)ds Hiển nhiên rằng, hệ UGC GC Kết hợp với hệ điều khiển không ôtônôm (2.2) xét phương trình vi phân Riccati sau: ( RD E ) p ( t ) + Ả T(t)P(t) + P(t)A(t) - P ( t ) B ( t ) B T(t)P(t) + Q(t) = 0, (2.4) P (t), Q(t) E R nxn M ệ n h đ ề 2.1: Nếu hệ điều khiển (2.2) UGC, ta có khẳng định sau: (i) Tồn số c5 > cho J Ì2 ĩi UT(s, ti)U(s,ti)ds < c5(t2 - ti)I, V í2 > tị > 20 (ii) Hệ phương trình vi phân Riccati RDE(2.4) với Q(t) = I có nghiệm P(t) G M([0,oo] , M") Hơn có ||P (í)|| < 1/ci + n c 5(l + n c 2/ c i )2 , Vi > 0, số dương Ci,C2 định nghĩa Định nghĩa 2.2 M ệ n h đ ề 2 : Cho hệ điều khiển (2.2) , phương trình RDE(2.4) với Q —ĩịI, có nghiệm p (t) G M([0,oo] , K "),thỏa mãn ||P (í)|| < I / 77C1 + n c 5(l + nc2/ci)2 ĨỊ, Vi > Chứng minh: Giả sử hệ điều khiển (2.2)là UGC, GC Đặt Q(t) —ĨỊ/ , phương trình vi phân Riccati p (í) + A T{t)P{t ) + P{t)A{t) - P{t ) B{t )BT{t)P{t ) + 77/ = 0, có nghiệm p ( t ) > Điều có nghĩa phương trình vi phân Riccati P{t) + AT(t)P(t) + P(t)A(t) - P{t)Ỗ{t)BT{t)P{t) + = 0, (2.5) P(t) = ( l / V) P( t ) , Ẽ( t ) = ^ r ìB(t), CÓ nghiệm p(t) Rõ ràng hệ [A(t), B ( t )] UGC; đó, theo Mệnh đề 2.1, phương trình RDE(2.5) có nghiệm p ( t ) thỏa mãn p{t) II < l/r}Ci + nc5( + nc2/ciÝ Ví > Bởi vậy, p(t)\\ < 1/ĩỊCị + nc5(l + nc2/ c i ) TỊ, Ví > Mệnh đề chứng minh M ệ n h đ ề 2.3: Cho hàm ma trân liên tục bị chặn B(t), p(t), f ( t , x ) = —r B ( t ) B T( t ) p ( t ) x/ [1 + | | ổ T(í)P(í)a:||] , s(t, x) = - r B ( t ) B T(t) [P (t) + /] x / [1 + ||B T(t) [p(t) + /] z||] , 21 Lipschitz R" Chứng minh: Với X\,X2 G K" ta đặt Viự) = B T(t)P{t)x1, y 2{t) = B T(t)P{t)x2, sup ||B (í)|| = b, sụp ||P (í)|| =p t e R+ t e R+ Chúng ta có: - f { t , x 2\\ < r \\By2/ [1 + ||y2||] - B y 1/ [1 + ||yi||]|| (2.6) Nghĩa f(.)là hàm Lipschitz R n Với hàm g(t,x), việc chứng minh hoàn toàn tương tự Chúng ta sử dụng kí hiệu Dnxn tập tấ t ma trận đường chéo Qo(í) € R nxn có dạng ( QÁt) Qo{t) — V 0 q2(t) o \ ••• qn{t)J 22 M ệ n h đ ề 2.4: Cho ma trận đối xứng A ( t ) G Knxn tồn ma trận Qo(t ) G Dnxn thỏa mãn Qo{t) - A{t) > 0, t > Chứng minh: Đầu tiên chứng minh mệnh đề với n=2 Cho X = (xi, x 2) G M2, Qo{t) — A(t) = ^ Qi{t) Qĩ {t)J ’ í an {t) ữl2? ! Ì >«12(í) = «21(í) \ a 2i{t) « 22(0 / Chúng ta có ([Qo(í) - A(t )] rc, rc> = [ợi(í) - an(í)] xỊ - 2a12{t)x1x + [q2{t) - a22(í)] z 2Đặt Ợi(t) — ữ i i ( í ) + - a ì2(t) + l , q 2(t) — a 22(t) + - a 2ị(t) + Chúng ta có ' ([Qo(í) - Ả(t)} x, x ) = X i - a 2i(t)x2 + ' x - - a 12{t)x1 với X = ( s i , x 2) G R Trong trường hợp tổng quát, ma trận Qo(í) xác định Qí{t) = au{t) + ^ n afj ( t ) - Ị - n - l , i = l , , , n >0, 23 Và dễ thấy {[Qo{t) - A ( t ) ] x , x ) = ^ với X 2°b'i(Oab' >0, G M" C h ú ý 2.1: Chú ý A(t) bị chặn R", ma trận Qo(t) G Dnxn xác định ma trận số Qo(t) = Qo cho Qo — A ( t ) > Trước tiên theo Mệnh đề 2.4 ta chọn ma trận Q o ( : ) = M O + ¡ E °? j (0 + n - Qi{t cho Qo(t) > A(t) Khi ma trận Q xác định Ọi > sup {$(*)} ieR+ Dễ thấy Qũ — A(t) > T hật vậy, từ bất đẳng thức ngặt tồn Eị > cho q i - £ i > sup {qi{t)} te R+ Đặt E = {£ị, i = 1,2, , n}, có Qo — e / > A(í) M ệ n h đ ề 2.5: Cho ma trận thực đối xứng A, B , ta có kết sau: (i) A B + B A > 0, A > 0, B > (ii) (Ær,a;) < Amax(A)||a:||2, Vx e R n Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm (2.2) hàm ma trận B(t) giả sử bị chặn R + Kí hiệu a = — ,ß = nc5( + — ) 2, = ~ k , = sup ||Æ(t)|| , C1 C1 ieM+ 24 Ci,C2,C5 định nghĩa Mệnh đề 2.1 Tiếp theo giả thiết: (A l) Hệ điều khiển tuyến tính (2.2) UGC (A2) > 4aft Do điều kiện A2, 77 > nghiệm bất phương trình Ị32rị2 + (2 a/3 — 7)77 + a < (2.7) Ta xét phương trình RDE: p (í) + A T{t)P{t ) + P ( í) A ( í) - P{t ) B{t )BT{t)P{t ) + 77/ = 0, (2 8) Đ ị n h lí 3.1: Giả sử giả thiết A l, A2 thỏa mãn Khi hệ điều khiển tuyến tính( 2) ổn định hóa hàm điều khiển liên hệ ngược cho u(t) = - r B T(t)P(t)x(t)/ [1 + | | T(í)P(í)a:(í)||] , (2.9) p ( t ) nghiệm RDE(2.8) Chứng minh: Giả sử hệ điều khiển tuyến tính (2 2) UGC Bằng giả thiết A2 bất phương trình (2.7) có nghiệm 77 > Xét phương trình RDE(2.8), theo Mệnh đề 2.2 phương trình Riccati (2.8) có nghiệm P ( t ) e M ( [ 0,oo),R"), cho p = sup ||p (t)|| < [a/77 + /3] 77 (2 -10) íeM+ Chúng ta xét hàm điều khiển liên hệ ngược (2.9) Theo Mệnh đề 2.3 hàm số f{x) = - r B ( t ) B T(t)P(t)x/ [1 + | | ổ T(í)P(í)a:||] , Lipschitz R n; hệ đóng ±(í) = A ( t ) x ( t ) + i ( ) = Xo, ( , 11) 25 xác định Xét hàm Lyapunov V( t , x ) = ( p (t ) x, x) Điều xác định hàm V ( t , x ) xác định dương hàm p ( t ) G M ( [ , + 00] , Ry) (theo Mệnh đề 2.1) Hơn việc lấy đạo hàm V(.) dọc theo nghiệm x(t) hệ (2.11), ta nhận V(t, x) = ^ P x , x^j + (Px, x) = -r}\\x{t)\\2 + ( P B B t P x , x ) - [2r/ [1 + ||ßTPz||]] ( P B B TP x , x ) < —r)\\x\\2 + ( P B B TP x , x ) , ( 12) [2r/(l + \\BT{t)P{t)x{t)\\)] ( P{t ) B{t )BT{t)P{t)x, x > > Hơn nữa, từ (2.12) Ỳ{t,x{t)) < -{ri - p2b2)\\x{t)\\2, đạo hàm V(.) âm ĩ ] > p 2b2 (2.13) Sử dụng điều kiện (2.10) có p2 < { a + ßr})2, cách chọn số TỊ từ điều kiện (2.7), chứng minh (a + ßr})2 < r)/b2, cho điều kiện (2.13) thỏa mãn Định lí chứng minh Ta có bước để tìm hàm điều khiển liên hệ ngược Bước 1: Xác định UGC hệ tìm số dương Ci,C2,C5 sau a , ß , ”f Bước 2: Tìm số TỊ > từ bất phương trình (2.7) Bước 3: tìm nghiệm p(t) > RDE(2.8.) 26 Bước 4: Hàm điều khiển liên hệ ngược xác định (2.9) V í dụ 2.2: Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.2) K2 r = l M t ) = ( siif > - ' / J_g(- cos2(i) 500 l J - e(-*v 500e \ B(t) = Dễ tìm ma trận nghiệm cho / eO(cos2s - c o s 20 0 e [-(t-s)} \ U(t,s)= V Khi đó, với X = (xi, X2 ) G K2 T > 1, rt+T / 'ì \\BT( s)ưT(T, s)x\\ ds 1 250000 250000 t+T rt+T c o s 2T ) e'1— 2““““ * 'x\2 I / ds + 250000 e' 2T^ / / GỈS Te 1, nhận được, với T > , 250000 rt+T T||a;||2 > / " " Jt \ÌBT(s)UT(T, s)x\\ ds > — - T e {- 2T)\\x\\2 11 w V ; ; II - 250000 11 11 27 Nói cách khác, với s > t\ > 0: ||[/(s,íi)H = e(2cos2s) + e [-2(s- ^ ] < 250000 [e2 + 1] Khi đặt T = l , hệ UGC với 1 C\— -— e^~2\ c = — -— ,Cỹ = 250000 [e2 + ll 250000 ’ 250000’ L J Hơn nữa, kiểm tra điều kiện A2 với = i b2 số TỊ = = 250000 > a ậ = 8e2 [e2 + 1] [l + 2e2] , nghiệm (2.7) Theo Định lí 3.1, hệ ổn định điều khiển bị chặn ||it(í)|| < C h ú ý 3.1: Chú ý theo tính điều khiển hệ [A(t), B ( t )] nghiệm RDE(2.8) bị chặn Tuy nhiên để tìm hàm điều khiển liên hệ ngược, cần tìm nghiệm RDE(2.8) Có nhiều phương pháp tìm nghiệm phương trình Riccati Sau cách giải toán ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính (2.2) mà không cần tìm nghiệm phương trình Riccati Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.2) Đặt rj(A) = sup rj(A(t)) ie K+ Với a E R, Q(t) E Dnxn, xét phương trình Lyapunov tiếp theo: p{t) + A T(t)P(t) + P(t)A(t) - B { t ) BT{t) + Q{t ) + a l = 0, (2.14) Đ ị n h lí 3.2: Giả thiết phương trình (2.14), với a > 2ĩị (A), (2.15) Q{t) - B { t ) BT{t) > ,í G R + , (2.16) có nghiệm P (t)E M([0, oo) , R +) Khi hệ điều khiển (2.2) ổn định hóa hàm số liên hệ ngược u(t) = r B T(t) ịp{t) + I \ x ( t ) ! [1 + ||B t (í ) \P(t) + / ] x ( t) ||] (2.17) 28 Chứng minh: Cho a G R thỏa mãn (2.15) Xác định ma trậ n đối xứng Q(t) E Dnxn theo Mệnh đề 2.4 sử dụng hàm điều khiển ngược(2.17), hệ đóng hệ điều khiển (2.2) x(t) = A(t )x(t ) - r B ( t ) B T(t ) [P{t) + I ] x{t)/ [l + IlB T(t) [P(t + I ] æ (t)||] , theo Mệnh đề 2.3, hệ xác định Xét hàm Lyapunov V(t , x(t)) = (P(t)x(t),x(t)) + ||æ (t)||2 Dễ dàng nhận thấy hàm v ( t , x ) xác định dương Lấy đạo hàm V( t , x) dọc theo nghiệm ta có V{t,x{t)) = ( p{t )x{t ) , x{t ) } + ( p{t )x{t ), x{t )) + (x{t),x{t)) = ^ ( P( t ) + A T(t)P(t ) + P(t)A(t) + A T(t ) + A(t))x(t), x(t)^ - 2r ( P( t ) B( t ) BT(t)(P(t ) + I)x(t), x( t )) /[1 + + \\BT(t)[P(t) + I]x(t)\\] - 2r ( B ( t ) B T(t)(P(t) + I)x(t), x(t)) /[1 + + \\BT(t)[P(t) + I]x(t)\\] = { [—a i + A T(t ) + A(t)] x{t),x(t)) - (Q (t)x (t), x{t)) + ( B ( t ) B T(t)x(t), x(t)) - 2r ( B ( t ) B T(t)x(t), x(t)) /[1 + + \\BT(t) [P (í) + /]a:(í)||] - 2r ( P( t ) B( t ) BT(t)(P(t)x{t), x(t)) /[1 + + 11B T(t) [P (í) + /]o:(í)||] - 2r ( [P{t ) B{t ) BT{t ) + B{ t ) BTP{t )] x{t), x{t)) /[1 + + 11B T(t) [P(t) + I]x(t)\\] Vì ( P{ t ) B( t ) BT(t){P(t)x(t),x(t)) > 0, ( B ( t ) B T(t)x(t), x(t)) > 0, 29 theo Mệnh đề 2.5(ii) ta có ([A{t) + AT(t)] x(t),x(t)) < Xmax{A{t) + AT(t))\\x\\2 = 2r)(A(t)\\x\\2 Do Ỳ{t,x{t)) = - [ a - 2rf{A)} ||z ( í) ||2 - ([Q{t) - B{ t ) B T{i)} x{t),x{t)) - 2r ( [ P{t ) B{t ) BT{t ) + B{ t ) BT{t)P{t)] x{t), x{t)) /[1 + + \\BT(t)[P(t) + I]x(t)\\] (2.18) Bây giò sử dụng Mệnh đề 2.5(i) ta có: ( [ P{t ) B{t ) BT{t ) + B{ t ) BT{t)P{t)] x{t),x{t)) > 0, - 2r ( [ P{ t ) B{ t ) B T{t) + B{ t ) BT{t)P{t)] x{ t ) , x{t ) ) / ị 1+ + ||BT ) [P(t)+/]x(í)||] Cuối từ (2.18) ta có Ỳ{t,x{t)) < - [ a - 2rf{A)} ||z ( í) ||2 - ([Q{t) - B ( t ) B T(t)] x{t),x{t)) Định lí chứng minh sử dụng điều kiện (2.15),(2.16) C h ú ý 3.2: Định lí 3.2 điều kiện đủ cho ổn định hóa hệ tuyến tín h không ôtônôm (2.2) theo nghiệm phương trìn h Lyapunov (không phải phương trình Riccati) Vì phương trình tuyến tính, nên dễ tìm nghiệm Điều kiện không liên quan đến tính điều khiển hệ phương trình tính ổn định A (t) Sau bước áp dụng tìm hàm điều khiển liên hệ ngược Bước 1: Cho A(t), tính tị(A) chọn a E R thỏa m ãn điều kiện (2.15) Sử dụng Mệnh đề 2.4, tìm Q(t) E Dnxn thỏa mãn điều kiện (2.16) Bước 2: Tìm nghiệm p(t) > phương trình Lyapunov (2.14) Bước 3: Hàm điều khiển liên hệ ngược xác định (2.17) 30 V í dụ 2.3: Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.2), \u(t)\\ < r = 1, — 1.9 exp(2.4t) m = B(t) = — 1.9 exp(2.4í)/ y/o.s exp(—2At)I Chúng ta có Re(A(A(0))) > 0, V ĩ}{A(t)) = ịxmax [A( t ) + A T(t)] = - 0.95 exp(2.4t) Đ ặt a = 2.1; Q(t ) = [1.7 — 0.8 exp(—2.4í)] / > 0, tìm thấy nghiệm LE(2.14) p ( t ) = exp( —2 Ât ) I Dễ kiểm tra điều kiện (2.15),(2.16) với a = 2.1 > 2tị{A) = 2, Q{t) - B{ t ) BT{t) = [1.7 - 1.6 e x p (-2 í)] I > Do đó, theo Định lí 3.1, hệ ổn định hóa hàm điều khiển liên hệ ngược i( t) = ( exp( - 2Ât ) + 1) + v /0 e x p (-2 í) —7 = X i [t), + (exp( —2Ât) + 1) ||a;|| \/0 exp(—2.4í) - — — ( exp( - 2Ât ) + 1) + v /0 e x p (-2 í) Ui [t ) = — x 2[tì, + (exp( —2Ât) + 1) ||a:|| \/0 exp(—2.4í) 31 C h ú ý 3.3: Chú ý trán h điều kiện (2.15) cách tìm nghiệm phương trình Lyapunov (LE) p{t) + A T(t)P(t) + P(t)A(t) - B { t ) BT{t) + Qo = 0, (2.19) với Q G Dnxn ma trận số đối xứng cho Qo - [A(t) + A T{t) + B{ t ) BT{t)] > (2.20) V í d ụ 2.4: Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.2) với \\u{t)\\ < r = 1, A ( t ) = í - L2eXp(L5t) \ B (í) = —1 , V — 1.2 e x p (1 í)/ exp(—1.5 t ) I Lấy Qũ = 2.4 , kiểm tra điều kiện (2.20), Q q — [A + A t ] — B B t = [0.4 — 0.5exp(—1.5t) + 2.4ea:p(1.5í)] I > 0, 0.5ea;p(—1.5í) + 2.4ea;p(1.5t) < Nghiệm p(t) LE(2.19) xác định p(t) = exp( —1.5t)I Do đó, theo Định lí 3.2 ý 3.3 hệ ổn định hóa hàm điều khiển liên hệ ngược (exp( —1.5t) + 1) + \/0 exp(—1.5t) + (exp( —1.5t) + 1) ||a;|| \/0 e x p ( —1.5í) (exp(-1.5t) + 1) + \/0 exp(—1.5í) + (exp( —1.5t) + 1) ||a:|| \/0 exp(—1.5í) 32 KẾT LUẬN Luận văn có số nội dung sau: Trình bày số kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trìn h vi phân tuyến tính có điều khiển, toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính Chứng minh điều kiện đủ cho toán ổn định hóa hệ phương trình tuyến tính ôtônôm không ôtônôm Các định lý ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính có ràng buộc điều khiển [...]... chặn Tuy nhiên để tìm hàm điều khiển liên hệ ngược, chúng ta cần tìm nghiệm của RDE(2.8) Có nhiều phương pháp tìm nghiệm của phương trình Riccati Sau đây là một cách giải bài toán ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính (2.2) mà không cần tìm nghiệm phương trình Riccati Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.2) Đặt rj(A) = sup rj(A(t)) ie K+ Với a E R, Q(t) E Dnxn, chúng ta xét phương trình Lyapunov tiếp theo:... xác định dương nên có một số c > 0 sao cho ( Lỹ lx, x) > c*11rr112 Vậy D f V ( x ) < - C \ \ x \ \ 2 18 Theo định lý 1.4 hệ là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh V í dụ 2.1: Xét hệ điều khiển (2.1) trong đó Ta thấy hệ X = Ax là ổn định, do đó hệ là ổn định hóa được với K = 0 Tuy nhiên ta thấy hệ không là điều khiển về 0 hoàn toàn vì rank [B, A B ] = rank 2.2 0 0 1 -2 = 1 < 2 H ệ phương trìn h vi. .. < Ịi{to) < +oo ¿0 Hệ là ổn định đều nếu số n(to) là hằng số không phụ thuộc vào to , là ổn định tiệm cận nếu 9 1 3 2 B à i to á n ổn đ ịn h h ó a Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính (1.2) Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.1: Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h(t ) = K(t)x(t) sao cho hệ đóng (closed - loop system) ¿ (t) = [Ẩ(i) + B(t)K(t)] x(t), t > 0, là ổn định tiệm cận Hàm h(t)... liên quan đến tính điều khiển được của hệ phương trình cũng như tính ổn định của A (t) Sau đây là các bước có thể áp dụng tìm hàm điều khiển liên hệ ngược Bước 1: Cho A(t), tính tị(A) và chọn a E R thỏa m ãn điều kiện (2.15) Sử dụng Mệnh đề 2.4, tìm Q(t) E Dnxn thỏa mãn điều kiện (2.16) Bước 2: Tìm nghiệm p(t) > 0 của phương trình Lyapunov (2.14) Bước 3: Hàm điều khiển liên hệ ngược được xác định bởi (2.17)... một và chỉ một đưòng cong tích phân chạy qua Nhận xét 1.1: Nếu hệ (1.1) là hệ phương trình vi phân tuyến tính x(t) = A(t)x(t) + g(t), t > 0, trong đó A(t),g(t) là các hàm liên tục, luôn tồn tại nghiệm x(t, Xũ) xác định trên toàn khoảng [0, + 00) 1.2 H ệ phương trìn h vi p h ân đ iều k h iển tu y ế n tín h Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính dạng x( t ) = A(t)x(t) +... thiết: (A l) Hệ điều khiển tuyến tính (2.2) là UGC (A2) 7 > 4aft Do điều kiện A2, 77 > 0 là nghiệm của bất phương trình Ị32rị2 + (2 a/3 — 7)77 + a 2 < 0 (2.7) Ta xét phương trình RDE: p (í) + A T{t)P{t ) + P ( í) A ( í) - P{t ) B{t )BT{t)P{t ) + 77/ = 0, (2 8) Đ ị n h lí 3.1: Giả sử các giả thiết A l, A2 thỏa mãn Khi đó hệ điều khiển tuyến tính( 2 2) là ổn định hóa được và hàm điều khiển liên hệ ngược... m có hạn chế trên đ iều kh iển Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng x( t ) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t > 0 (2.2) trong đó x ị t ) G K n,u(t) G Mm,A (í) G K nxn, B(t) G Knxm - là các ma trận hàm liên tục, và điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện: \\u{t)\\ < r, t > 0 (2.3) Đ ị n h n g h ĩ a 2.1: Hệ điều khiển (2.2) là ổn định hóa được nếu có một hàm điều khiển ngược u(t) = k(x(t)) thỏa mãn điều. .. định âm B ổ đề 1.5.3 ( B ấ t đ ẳn g th ứ c m a trậ n C au ch y): Giả sử s £ Rn x n là ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó vối mọi P ,Q £ Rn x n 2 ( PQy, X) - (Sy, y) < ( P Q S ~ l Q TPx , x ) , V x , y £ R" 15 Chương 2 TÍN H ÔN Đ ỊN H HÓA HỆ PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N T U Y Ế N TÍN H CÓ Đ IÊU KH IÊN Chương này trình bày một số kết quả về bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính. .. được gọi là hàm điều khiển ngược (feedback control) Như vậy mục đích của bài toán ổn định hóa là tìm các hàm điều khiển ngược h(t), hoặc ma trận K sao cho hệ đóng là ổn định tiệm cận 1.4 C ác tiê u chuẩn ổn đ ịn h cơ bản Xét hệ tuyến tính x(t) = Ax(t), t > 0, (1.3) trong đó A là (n X n) ma trận hằng số Nghiệm của hệ (1.3) cho bởi x(t) = e ^ ^ ^ X o , t > t0 Ta sẽ gọi Ma trận A là ổn định nếu phần thực... 110): Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi A là ma trận ổn định V í d ụ 1.3: Xét tính ổn định hệ Xị(t) = -Xị(t), x 2(t) = - 2 x 2{t) 10 Ta thấy Vậy giá trị riêng của A là A = —1, —2 Hệ là ổn định mũ Đ ịn h lý 1.2 (Đ ịn h lý 3.3, [2], tra n g 113): Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) A TX + X A = —Y có nghiệm là ma trận X đối xứng, xác định