Luận văn thạc sĩ bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển

Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ th u ậ t hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương trình toán học ngưòi ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó.. Cho đến nay

LỜI C Ả M Ơ N

Luận văn được hoàn th àn h tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn tậ n tình của GS.TSKH Vũ Ngọc P h át Em xin được gửi lòi cảm ơn chân th àn h và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc P h át Em cũng xin được gửi lòi cảm ơn chân th àn h của mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã th am gia giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường

Em xin chân th àn h cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện th u ận lợi trong quá trình em học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Khúc Thị Loan

Em xin cam đoan rằng khóa luận này là tru n g thực, không sao chép từ các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

KHÚC THỊ LOAN

M uc luc

1.1 Hệ phương trình vi p h â n 5

1.2 Hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến t í n h 6

1.3 Bài toán ổn định và ổn định h ó a 7

1.3.1 Bài toán ổn đ ị n h 7

1.3.2 Bài toán ổn định h ó a 9

1.4 Các tiêu chuẩn ổn định cơ b ả n 9

1.5 Các bổ đề bổ t r ợ 14

2 T ÍN H Ổ N Đ Ị N H H Ó A H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N T U Y Ế N T ÍN H CÓ Đ IÊ U K H IÊ N 15 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển ôtônôm 15 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có hạn chế trên điều khiển 18

19 bởi nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi khi phân tích và thiết kế các

hệ thống kỹ th u ậ t hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương trình toán học ngưòi ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó Cho đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và p hát triển như một lý thuyết toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học

và kỹ th u ật Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra đòi của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đươc quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển

Song song với sự ph át triển của lý thuyết ổn định, do nhu cầu nghiên cứu tính ổn định các hệ kỹ th u ật mô tả bằng các phương trình điều khiển, ngưòi ta nghiên cứu tính ổn định hóa của các hệ động lực Bài toán ổn định hóa là tìm hàm điều khiển chấp nhận được (hàm điều khiển ngược) sao cho hệ đóng (hệ giải tương ứng với điều khiển chấp nhận được này) là

ổn định tiệm cận Lyapunov Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết quả thú

vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ th u ật và công nghệ đã được công bố bởi các nhà toán học, điều khiển học trong và ngoài nước, đặc biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS Vũ Ngọc P h á t, Viện toán học Hà Nội.Bài toán ổn định hóa là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu quan trọng đang được quan tâm nghiên cứu Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “ B à i t o á n ổ n đ ị n h h ó a h ệ p h ư ơ n g t r ì n h

v i p h â n t u y ế n t í n h có đ i ề u k h i ể n ”

2 C ấu tr ú c củ a k h ó a lu ận

Luận văn này gồm 2 chương

C h ư ơ n g 1: Cơ sở toán học: Trình bày một số khái niệm về hệ phương

trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, bài toán ổn định , ổn định hóa và một số bổ đề sử dụng cho chương sau

C h ư ơ n g 2: Các tiêu chuẩn về ổn định hóa hệ phương trình vi phân

tuyến tính có điều khiển: Đây là chương chính của luận văn, trình bày một

số định lý về tính ổn định hóa hệ phương trình tuyến tính có điều khiển ôtônôm và không ôtônôm, hệ có hạn chế trên điều khiển

3 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Trình bày cơ sở bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc của tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

4 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính; trình bày những kiến thức này dưới dạng một luận văn khoa học.Vận dụng để giải một số bài toán ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

5 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

6 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

Các phương pháp và kỹ th u ậ t toán học của phương trình vi phân, đại

số tuyến tính, giải tích thực hiện đại

M ôt số ký hiệu và v iế t tắ t

Ma trận chuyển vịTích vô hướngChuẩn

Tập t ấ t cả giá trị riêng của A Max{Re(A) : A G A(A)}

Min{Re(A) : A G A(A)}

Độ đo của ma trậ n A; ĩị {A) = ( l/2 ) A max(A + AT) Không gian các hàm khả tích bậc hai trên [t,s] với giá trị trên R n

Tập các hàm ma trận xác định không âm và bị chặn

Ma trận xác định không âm

Ma trận xác định dương

ổn định trong chương 2 Nội dung Chương 1 được lấy từ các tài liệu [1, 2].

1.1 H ệ p h ư ơn g tr ìn h v i p h ân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

trong đó x ( t) Ẽ R " , / : R + X R n —> R n , với mỗi t >

to-Hàm khả vi liên tục x ( t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là

Định lý sau đây khẳng định sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1)

x(t) = f ( t , x ( t ) ) , t > t 0, x( t 0) = x ữ) t0 > 0,

(1.1)

Đ ịn h lý 1.1 (Đ ịn h lý 1 2 3 , [2], tr a n g 27):

Xét hệ phương trìn h vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm

f ( t , x ị t)): K + X1 " -> 1 " là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitztheo x:

3 K > 0 : \\f (t,xi) — / ( ¿ ,2:2)11 < K \\xi — a?2II , Vt > 0

Khi đó với mỗi (¿0, ^ 0) € K+ X R n sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [¿0 — d, ¿0 + d] Hay nói cách khác, qua mỗi điểm (¿0, X q ) G K + X M" có một và chỉ một đưòng cong tích phân chạy qua

Nhận xét 1.1: Nếu hệ (1.1) là hệ phương trình vi phân tuyến tính

x(t) = A(t)x(t) + g(t), t > 0,trong đó A(t),g(t) là các hàm liên tục, luôn tồn tại nghiệm x( t , Xũ) xác định trên toàn khoảng [0, +00)

1.2 H ệ p h ư ơn g tr ìn h v i p h â n đ iều k h iển tu y ế n tín h

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính dạng

x ( t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t > 0, (1.2)trong đó x(t) G R n - là véc tơ trạng thái, u(t) E R m là véctơ điều khiển ;

n > ra; A ( t), B ( t ) , t > 0, là những ma trận hàm liên tục có số chiều (n X n) ,(n X m) tương ứng

Hệ phương trình tuyến tính (1.2) có nghiệm x ( t, X q, u) tại thời điểm t được cho bởi:

t

x ( t , x 0,u) = $ ( t , 0 ) x Q + J $(t, s)B(s)u(s)ds, í > 0,

0trong đó <ĩ>(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính th u ần nhất :

x(t) = A(t)x(t), t > 0

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1: Cho hai trạng thái X q , X i G M" , cặp (X q , X i) được

gọi là điều khiển được sau thòi gian ¿ 1 > 0 , nếu tồn tại một điều khiển chấp nhận được u(t) sao cho nghiệm x(t, XQ, u) của hệ thỏa mãn điều kiện

x( 0, Xo, u) = Xo, x( t i , Xo, u) = X\.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2: Hệ điều khiển (1.2) gọi là điều khiển được hoàn

toàn (GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái X q , X i sẽ tìm được một thòi gian

-Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3: Hệ điều khiển (1.2) gọi là đạt được hoàn toàn (GR)

nếu với bất kỳ trạng thái X\ G M" , tồn tại một thòi gian t\ > 0 sao cho (0 ,£ i) là điều khiển được sau thòi gian tị.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4: Hệ điều khiển (1.2) được gọi là điều khiển được

hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kỳ trạng thái X q G M" , tồn tại một

thòi gian t\ > 0 sao cho (a^o, 0) là điều khiển được sau thòi gian ¿1

-1.3 B à i to á n ổn đ ịn h và ổ n đ ịn h h óa

1 3 1 B à i t o á n ổ n đ ịn h

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1: Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, to > 0

sẽ tồn tại số ô > 0 (phụ thuộc vào £,to ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t ) :

x(to) = X q thỏa mãn ||íEo|| < ô thì ||rr(t)II < £ với mọi t > t 0.

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2: Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và

có một số ô > 0 sao cho nếu IIXo II < ô thì

Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.3: Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M >

0, ổ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với a:(ío) = Xo thỏa mãn

||a;(í)|| < 11rco11 , Ví >

to-V í d ụ 1.1: Xét phương trình vi phân sau trong K

X = ax, t > 0.

Nghiệm x(t), với a:(ío) = Xo cho bởi công thức

x(t ) = eatXo, t > 0.

Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0 Nếu a = 0 thì hệ là ổn

định Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số

ổ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng th ái ban đầu

1 3 2 B à i t o á n ổ n đ ịn h h ó a

Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính (1.2)

Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.1: Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h(t) = K( t ) x( t ) sao cho hệ đóng (closed - loop system)

Cho t —> +00 ta được

11

X (s)||2cỉs < 00.

Ta sẽ chứng minh rằng ReA < 0 , VA G A(A) T h ật vậy giả sử có một số

Ao G A(A) mà ReAo > 0 Lấy Xo G K" là vectơ riêng ứng với giá trị riêng

Ao này thì nghiệm của hệ (1.3) sẽ cho bởi

Xị(t) = eXotx 0,

và do đó

e 2ReA0i

x 0\\2dt = + 0 0,

vì ReA > 0, suy ra điều mâu thuẫn Vậy ReA < 0, VAo G A(A)

Ngược lại, giả sử Ả là ma trậ n ổn định , tức là ReA < 0 , VA G A(A) Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây:

Z{t) = A TZ{t) + Z{t)A, t > t 0, Z((to) = Y.

Nhận thấy rằng hệ (1.4) có một nghiệm riêng là

Xét phương trình vi phân phi tuyến:

trong đó / : R + X M" —> R n là hàm phi tuyến cho trước

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1: Xét K là lớp các hàm liên tục tăng chặt ặ) : R + —>

R + , ă0) = 0 Hàm khả vi liên tục V ( t , x ) : R + X Kn -> 1 là hàmLyapunov cho hệ (1.5) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) V ( t , x ) là hàm xác định dương theo nghĩa

3ữ(.) G K : V ( t , x) > ữ(||a:||), V(t,x) G R + X R n.

(ii) D , V ( t , x ) = % - + ^ f ( t , x ) < 0, V(f, x) Ẽ * + X

Trường hợp v(t,x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm hai điều kiện:

(iii) 3Ồ(.) G K : V ( t , x) < ò(||rrII), V(t,a;) G R+ X Rn.

(iv) 3c(.) G K : D f V ( t , x) < — c( 11 rr 11 ) < 0, với mọi nghiệm x(t) của

hệ (1.5), thì V ( t , x ) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.5)

Đ ịn h lý 1.4 (Đ ịn h lý 3 1 4 , [2], tr a n g 130):

Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ ổn định Nếu hàm Lyapunov đó là

x{t) = f{t, x{t)), t > t 0 x{to) = X q , to > 0,

(1.5)

là không suy biến.

B ổ đ ề 1 5 2 ( B ổ đề Schur): Giả sử s £ M" x n là m ột ma trận đối

Chứng minh: Giả sử (2.1) là điều khiển được về 0 hoàn toàn, (không

m ất tính tổng quát ta giả sử to = 0), theo bổ đề 1.5.1 sẽ có một số T > 0 sao cho ma trận

L T = [ e - AtB B Te~ATtdt,

■'O

là không suy biến

Lấy bất kỳ Tị > T và đặt

L Tl = Ị 1 (Ti - t ) e - AịB B Te - ATịdt,

khi đó LTl cũng là không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược L - 1 Đặt

Để làm được điều này, ta lấy hàm Lyapunov dạng

V(s) = ( L ỹ l x, X) Với nghiệm x(t), s (0 ) = X q của hệ

Theo định lý 1.4 hệ là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh.

18

V í d ụ 2.1: Xét hệ điều khiển (2.1) trong đó

Ta thấy hệ X = A x là ổn định, do đó hệ là ổn định hóa được với K = 0 Tuy nhiên ta thấy hệ không là điều khiển về 0 hoàn toàn vì

rank [B, A B] = rank 0 0

1 - 2 = 1 < 2.

2.2 H ệ ph ư ơn g tr ìn h v i p h â n tu y ế n tín h k h ôn g

ô tô n ô m có hạn chế tr ê n đ iều k h iển

Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng

x ( t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t > 0 (2.2)trong đó x ị t) G Kn,u(t) G Mm,A (í) G Knxn, B( t ) G Knxm - là các ma trận hàm liên tục, và điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện:

\\u{t)\\ < r, t > 0 (2.3)

Đ ị n h n g h ĩ a 2.1: Hệ điều khiển (2.2) là ổn định hóa được nếu có một hàm điều khiển ngược u(t) = k(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.3) sao cho hệ đóng:

x(t) = A (t) X (t) + B (t) k (x (t)) ,

là ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov

Chúng ta nói hệ điều khiển tuyến tính (2.2) là điều khiển được toàn cục (GC) nếu có một số N > 0 sao cho với mỗi X q G có hàm điều khiển

x ( t ) = A(t)x(t),

xác định bởi

ị dư( t , s) / dt = A(t )ư( t , s), t, s > 0,

1 U(t,t) = I.

Đ ị n h n g h ĩ a 2.2: Hệ điều khiển (2.2) là điều khiển được đều (UGC) nếu

có số N > 0 và C\ , C2, C3, Cị > 0 sao cho thỏa mãn các điều kiện sau cho tấ t

M ệ n h đ ề 2.1: Nếu hệ điều khiển (2.2) là UGC, ta có những khẳng định sau:

(i) Tồn tại số c5 > 0 sao cho

Ì2

ĩi

V í2 > tị > 0.

(ii) Hệ phương trình vi phân Riccati RDE(2.4) với Q(t) = I có một nghiệm

P (t) G M ([0,oo] , M") Hơn nữa chúng ta có

||P (í)|| < 1/ci + n c 5(l + n c2/ c i )2 , Vi > 0,trong đó số dương Ci,C2 định nghĩa trong Định nghĩa 2.2

M ệ n h đ ề 2 2 : Cho hệ điều khiển (2.2) , phương trình RDE(2.4) với Q

— ĩị I, có một nghiệm p ( t) G M ([0,oo] , K " ),th ỏ a mãn

||P (í)|| < I /77C1 + n c 5(l + nc2/ c i ) 2 ĨỊ, Vi > 0

Chứng minh: Giả sử rằng hệ điều khiển (2.2)là UGC, khi đó nó là GC

Đ ặt Q(t) —ĨỊ/ , phương trình vi phân Riccati

p (í) + A T{t)P{t) + P{t)A{t) - P{ t ) B{ t ) B T{t)P{t) + 77/ = 0,

có nghiệm p ( t ) > 0 Điều đó có nghĩa rằng phương trình vi phân Riccati

P{t) + AT(t)P(t) + P(t)A(t) - P{t)Ỗ{t)BT{t)P{t) + 1 = 0, (2.5)trong đó

P(t) = ( l / V) P( t ) , Ẽ ( t ) = ^ r ìB(t),

CÓ nghiệm p(t). Rõ ràng hệ [A(t), B ( t)] cũng là UGC; do đó, theo Mệnh

đề 2.1, phương trình RDE(2.5) có nghiệm p ( t) thỏa mãn