BÀI TOÁN ổn ĐỊNH LYAPUNOV hệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Hoa BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH LYAPUNOV HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Hoa BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH LYAPUNOV HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời mở đầu Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Bài toán ổn định 1.2.1 Định nghĩa nghiệm ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 11 1.2.3 Một số định lý ổn định 15 Các bổ đề bổ trợ 23 1.3 Ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân 26 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 26 2.2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 31 2.2.1 Ổn định hệ rời rạc 31 2.2.2 Ổn định hệ liên tục 37 Ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 40 Tài liệu tham khảo 50 2.3 i Ký hiệu toán học R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian thực n− chiều với tích vô hướng x y Rn×r Không gian ma trận thực cỡ (n × r) A−1 Nghịch đảo ma trận vuông A A Ma trận chuyển vị ma trận A L2 ([0, t], Rn ) Không gian hàm xác định đoạn [0, t], bình phương khả tích nhận giá trị Rn λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} C([−h, 0], Rn ) Tập hàm liên tục [−h, 0], nhận giá trị Rn C ([a, b], Rn ) Tập hàm khả vi [a, b], nhận giá trị Rn I+ Lớp hàm dương khả tích R+ A ≥ 0, A > Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương E Toán tử đơn vị BM + (0, ∞) Tập ma trận hàm đối xứng nửa xác định dương bị chặn t ≥ σ(A) Tập giá trị phổ A L(X, Y ) Không gian toán tử tuyến tính bị chặn từ X tới Y Lời mở đầu Nghiên cứu tính ổn định nội dung lý thuyết định tính hệ động lực, cuối kỷ XIX với công trình xuất sắc nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mô hình kinh tế mô tả phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến nay, tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng kinh tế, khoa học, kỹ thuật Từ xuất toán nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân toán có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết công cụ toán học đại Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân, kể số phương pháp phương pháp thứ Lyapunov ( hay gọi phương pháp số mũ đặc trưng) phương pháp Lyapunov thứ hai (hay gọi phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh Trong khuôn khổ luận văn tác giả xin đề cập đến toán ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân sử dụng Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa công cụ chủ yếu phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Luận văn gồm hai chương Chương "Cơ sở toán học", giới thiệu phương trình vi phân, trình bày công thức nghiệm dạng phương trình vi phân tương ứng điều kiện tồn nghiệm Từ giới thiệu toán ổn định, định nghĩa liên quan tới ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Trình bày phương pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân định lý điều kiện ổn định hệ tương ứng, bổ đề cần thiết cho việc chứng minh tính ổn định chương sau Chương "Ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân ", chương tác giả trình bày toán ổn định cho loại hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân phi tuyến hệ phương trình vi phân có trễ, đưa ví dụ minh họa cho toán ổn định Tác giả luận văn chân thành cảm ơn thầy giáo GS TSKH Vũ Ngọc Phát tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu, góp ý luận văn tập dượt nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn thầy cô Viện Toán học - Viện hàn lâm KHCN Việt Nam tận tình truyền đạt kiến thức quý báu trình học tập tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn lớp K21 viện toán, đặc biệt bạn Phạm Thị Hương góp ý cho tác giả trình soạn thảo bày luận văn Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Mặc dù thân cố gắng nhiều thời gian thực không nhiều trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện chân thành từ quý thầy cô bạn đọc Hà Nội, ngày 27/08/2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hoa Chương Cơ sở toán học Trong chương trình bày khái niệm phương trình vi phân, định nghĩa nghiệm ổn định, phương pháp hàm Lyapunov, định lý bổ đề liên quan việc chứng minh tính ổn định hệ phương trình vi phân Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân mô hình mô tả hoàn chỉnh trình chuyển động, biến đổi tự nhiên kỹ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng nghiên cứu định tính giải số Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, nhiều toán cần giải nên phương trình vi phân thường thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Xét phương trình vi phân dạng:   x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ t0 , (1.1) t0 ≥ 0,  x(t0 ) = x0 , f (t, x) : R+ × Rn −→ Rn , với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn Khi ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Nghiệm phương trình vi phân (1.1) hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: (i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn (ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x) liên tục nghiệm phương trình vi phân (1.1) cho công thức tích phân sau: t x(t) = x0 + f (s, x(s)ds t0 Nếu vế phải (1.1) không phụ thuộc t ta nói hệ (1.1) hệ ô-tô-nôm, ngược lại ta nói hệ không ô-tô-nôm Cho g : [0, +∞) −→ Rn hàm liên tục, xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ô-tô-nôm:   x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, (1.2) t0 ≥ 0,  x(t0 ) = x0 , Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa A ma trận số cấp n × n Khi hệ (1.2) có nghiệm cho công thức Cauchy t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) g(s)ds t0 Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô-tô-nôm dạng:   x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, (1.3)  x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, A(t) ma trận hàm số liên tục R+ , g : R+ −→ Rn hàm liên tục Nghiệm hệ (1.3) biểu diễn thông qua ma trận nghiệm Φ(t, s) hệ tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ 0, cho công thức: t Φ(t, s)g(s)ds, x(t) = Φ(t, t0 )x0 + t0 Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ thỏa mãn    d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), dt  Φ(t, t) = I t ≥ s ≥ 0, Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Từ ta thấy nghiệm không ổn định tiệm cận c) Trường hợp m > Thật vậy, theo bất đẳng thức (2.13) ta có k−1 z(k) ≤ K x0 b(i)z(i)m + i=0 Cho r > tùy ý nằm (0, 1) Sử dụng bất đẳng thức Gronwall rời rạc (Từ Bổ đề 1.3.3, trang 24) trường hợp m > 1, ta có: k−1 z(k) ≤ C[1 − (m − 1)C m−1 b(i)] 1−m , i=0 : C=K x0 , b(i) = Ke−δ[1+i(1−m)] a(k) Như vậy, k−1 − (m − 1)C m−1 b(i) > (2.14) i=0 Ta thấy nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện (2.14) x0 ≤ [ γ := k−1 i=0 b(i) r 1−m := R, ] (m − 1)K m−1 γ Do (2.12) hữu hạn nên ta có: k−1 (m − 1)K m−1 b(i) ≤ (m − 1)K m−1 γ x0 i=0 36 m−1 ≤ r Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Do k−1 − (m − 1)K m−1 b(i) ≥ − r > i=0 Vì với ∀x0 : x0 ≤ R, ta có x(k) ≤ K1 e−δk x0 , : K1 = K 1−r Thật vậy, với > Chúng ta chọn số thích hợp δ0 < min{R, } N ∈ Z+ cho với ta có K1 x(k) < x0 < δ0 k ≥ N, chúng Chú ý 2.2.1 Từ điều kiện (2.10) ta thấy e−δ < 1, hệ tuyến tính rời rạc x(k + 1) = A(k)x(k) ổn định tiệm cận Điều kiện đủ cho (2.10) ∞ ek(1−m) a(k) < +∞ i=0 Chú ý 2.2.2 Được biết điều kiện đủ Giả thiết 2.2.1 σ(A(k)) ≤ 2.2.2 Ổn định hệ liên tục Để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến liên tục ta dựa tính ổn định hệ rời rạc Vậy ta chuyển hệ sau hệ 37 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa rời rạc Xét hệ phương trình vi phân ˙ = A(t)x(t) + f (t, x(t)), x(t) t ≥ 0, (2.15) x(t) ∈ Rn , A(t) ma trận hàm liên tục cấp n × n với t ∈ R+ f (t, x) : R+ × Rn −→ Rn hàm phi tuyến có f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Nghiệm x(t) (2.15) với điều kiện đầu x(0) = x0 cho công thức: t Φ(t, s)f (s, x(s))ds, x(t) = Φ(t, 0)x0 + Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ tuyến tính (2.1) Cho k ∈ Z+ , với t ∈ [k, k + 1] nghiệm x(t) liên kết với nghiệm xk (t), t ∈ [k, k + 1] Đặt A(k) := Φ(k + 1, k), k+1 g(k, x(k)) := Φ(k + 1, t)f (t, x(t))dt k Thay t − k = s có: g(k, x(k)) := Φ(k + 1, k + s)f (k + s, x(k + s))ds, 38 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa hệ (2.15) trở thành hệ rời rạc không gian Banach C[0, 1] cho công thức: x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k, x(k)), k ∈ Z+ , (2.16) x(k) ∈ C[0, 1] với chuẩn định nghĩa sau: x(k) = max x(k + t) t∈[0,1] Theo [3] ta thấy nghiệm hệ rời rạc (2.16) x(0) = x0 nghiệm (2.15) x0 = ngược lại Từ Định lý 2.2.1, ta điều kiện đủ ổn định tiệm cận hệ (2.15) Định lý 2.2.3(xem [5], trang 252 ) Giả sử : (i) Tồn K > 0, δ > cho: Φ(t, s) ≤ Ke−δs , ∀t, s ≥ (ii) f (t, x) ≤ a(t) x m , t ≥ 0, Nếu < m < 1 +δ(k+s)(1−m) lim sup e x→∞ − e−δ a(k + s)ds < K 39 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Nếu m = 1 lim sup a(k + s)ds < x→∞ − e−δ K Và ∞ e−δ(k+s)(m−1) a(k + s)ds < ∞ k=0 Nếu m > Thì nghiệm không hệ (2.15) ổn định tiệm cận 2.3 Ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Như biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan hệ thời gian t, trạng thái x(t) thời điểm Tuy nhiên, thực tế trình xảy thường có liên quan đến khứ nên nhiều di truyền việc sử dụng lớp hàm cổ điển để phân tích hay thiết kế hệ thống dẫn tới kết yếu, độ xác không cao Trong trường hợp này, tốt ta xem xét hoạt động hệ dựa vào thông tin, trạng thái trước Những hệ mà trình hoạt động không phụ thuộc vào trạng thái mà phụ thuộc vào thông tin trạng thái trước gọi hệ có trễ Tương tự hệ phương trình vi phân trên, ta có phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ có trễ Trong 40 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa luận văn này, xét hệ có trễ sau:   x(t) ˙ = A(t)x(t) + f (t, x(t − h(t)), t ≥ 0, (2.17)  x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], x(t) ∈ Rn , A(t) ∈ Rn ma trận hàm số liên tục bị chặn miền t ≥ 0, φ(t) ∈ C([−h, 0], Rn ) với chuẩn φ = sup φ(s) , s∈[−h,0] h(t) hàm trễ thỏa mãn: ≤ h(t) ≤ h, ˙ h(t) ≤ δ ≤ 1, ∀t ≥ 0, nhiễu phi tuyến f (.) thỏa mãn: ∃γ > : f (t, y) ≤ γ t ≥ 0, y , y ∈ Rn Ký hiệu Trong phần này, ta thường dùng ký hiệu sau: Pβ (t) =P (t) + βI, p =supt∈R+ P (t) , η(A(t)) = λmax (A(t) + AT (t)), η¯(A) =supt∈R+ η(A(t)), N= p + β + h + 2h2 , β η = he2αh + 41 + + 2αβ Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Định lý 2.3.1( xem [6], trang 491) Giả sử tồn số dương α, β, , , P (t) ∈ BM + (0, ∞), thỏa phương trình vi phân Lyapunov (LDE) sau P˙ (t) + A (t)P (t) + P (t)A(t) + 2αP (t) + ηI = 0, (2.18) hệ (2.17) ổn định mũ b)γ ≤ (1 a) − 2β η¯(A) > (2.19) − δ)( − 2β η¯(A)) (p + β)eαh (2.20) Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) thỏa mãn đánh giá sau: x(t, φ) ≤ N φ e−αt , t ∈ R+ Chứng minh Xét hàm Lyapunov-Krasovskii dạng V (t, xt ) = V1 (·) + V2 (·) + V3 (·), V1 (x(t)) = P (t)x, x + β x(t) , t V2 (t, xt ) = e2α(s−t) x(s) , t−h(t) t V3 (t, xt ) = e2α(s+h−t) −h t+τ −h(t+τ ) 42 x(s) dsdτ Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Dễ dàng β x(t) t ∈ R+ ≤ V (t, xt ), (2.21) Sử dụng quy tắc đạo hàm d dt t f (s)dsdτ −h = hf (t) − u(t ˙ + s)f (u(t + s))ds, −h u(t+τ ) ta lấy đạo hàm V (t, xt ) theo nghiệm hệ cho có V˙ (t, xt ) = (P˙ + A Pβ + Pβ A)x(t), x(t) + Pβ f (t, x(t − h(t)), x(t) (P˙ + A Pβ + Pβ A)x(t), x(t) + 2(p + β)γ x(t − h(t)) x(t) (2.22) V˙ (t, xt ) = − 2αV2 (t, xt ) + ˙ − e−2αh(t) (1 − h(t)) ≤ − 2αV2 (t, xt ) + − e−2αh (1 − δ) V˙ (t, xt ) ≤ − 2αV3 (t, xt ) + he2hα 2 x(t) x(t − h(t)) (2.23) x(t) x(t − h(t)) x(t) − 3e −2hα (1 − δ) x(t + s − h(t + s)) −h ≤ − 2αV3 (t, xt ) + he2hα 43 x(t) ds (2.24) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Do đó, từ (2.22)-(2.24) ta thu V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ [P˙ + A Pβ + Pβ A + 2αPβ +( + he2hα )I]x(t), x(t) x(t − h(t)) +2(p + β)γ − e−2hα (1 − δ) x(t) x(t − h(t)) Sử dụng Bổ đề 1.3.4, ta có (p + β)2 γ e2hα (1 − δ) x(t) ≥2(p + β)γ x(t − h(t)) − e−2hα (1 − δ) x(t) x(t − h(t)) Do V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ [P˙ + A P + P A + 2αP +(2αβ + + he2hα )I]x(t), x(t) +β (A + A)x(t), x(t) (p + β)2 γ e2hα + (1 − δ) x(t) x Do P (t) nghiệm (LDE) (2.18) β (A (t) + A(t))x, x ≤ 2β η¯(A) , ta có (p + β)2 γ e2hα ˙ V (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ −[ − 2β η¯(A) − ] (1 − δ) 44 x(t) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Kết hợp điều kiện (2.19),(2.20) ta có V˙ (t, xt ) ≤ −2αV (t, xt ), t ≥ 0, V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2αt , t ≥ điều kéo theo Mặt khác, sử dụng điều kiện (2.21) ta có β x(t) ≤ V (t, xt ), t ≥ 0, x(t, φ) ≤ V (0, x0 ) −αt e , β t ≥ Đánh giá V (0, x0 ) ta có: V (0, x0 ) ≤ (p + β + h ) φ + e2α(s+h) x(s) + 2h2 dsdτ −h τ −h(τ ) ≤ (p + β + h ) φ φ Như kết cho hệ phương trình không ô-tô-nôm có trễ theo [6], ta tìm điều kiện ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân đại số AT P + P A + + ηI = 45 (2.25) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Hệ Quả 2.3.1 (xem [6], trang 493) Với kí hiệu giả thiết (Định lý 2.3.1) hệ LTI (2.17) ổn định mũ nếu: (1 γ≤ − δ)( − 2βη(A)) (p + β)eαh (2.26) Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) thỏa mãn điều kiện sau x(t, φ) ≤ N φ e−αt , t ∈ R+ Ví dụ 2.3.1 ( xem [6], trang 493) Xét hệ không ô-tô-nôm có trễ (2.17) với hàm trễ h(t) = h cos2 (0.45)t, nhiễu phi tuyến cho  f (t, x(t − h(t))) =  −γ sin(t)[x2 (t − h(t))]  , −γ cos(t)[x1 (t − h(t))] h, γ > chọn sau  A(t) =  a(t)  , −1 a(t) a(t) = −0.5cos(t) − 10e− sin(t)+4 − 5.1e− − 1, η(A) = supt∈R+ (−0.5 cos(t) − 10e− sin(t)+10 − 5.1e− sin(t) − 1) ≈ −81033.7 Cho β = 0.01, α = 1, 1 = e10 , = e10 , = he2 h , δ = 0.09 η = 1.02e10 + 2e10 , = e10 ≥ 2βη(A) ≈ 2(0.01)(−81033.7) = −1620.67 46 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Chúng ta kiểm tra nghiệm P (t) (LDE) (2.18) cho bởi: esin(t)  P (t) =  10  Ta có p = supt∈R+ (1 P (t) =    esin(t) 10 e 10 e10 (1 − 0.9)(e10 − 2(0.01)(−81033)) e ( + 0.01)eh 10 25608.1 ≈ eh − δ)( − 2β η¯(A)) ≥ (p + β)eαh Ta dễ dàng thấy giả thiết (Định lý 2.3.1) thỏa 25608.1 mãn Với γ = , hệ ổn định nghiệm thỏa mãn eh x(t, φ) ≤ N φ e−t , t ∈ R+ , N = p + β + h + 2h2 Ví dụ 2.3.2.( xem [6], trang 494) Xét hệ sau: x˙ = Ax(t) + Bx(t − h(t)) + Gx(t − h(t)),  A =  −1.2 0.1 −0.1 −1   , B =  −0.3 0.35  , −0.5 −0.4   β(x(t − h(t)), t)x1 (t − h(t)) , Gx(t − h(t)) =  với | β(x(t − h(t)), t) |≤ 0.1, β liên tục khúc, ˙ h(t) khả vi cho ≤ h(t) ≤ h, h(t) ≤ δ < 1, ∀t ∈ R+ 47 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Hoa Cho hàm f (t, x(t − h(t))) = Bx(t − h(t)) + Gx(t − h(t)) ta thấy f (t, x(t − h(t))) ≤( B + | β(x(t − h(t)), t) |) ≈ 0.741 x(t − h(t)) x(t − h(t)) Với kí hiệu Định lý 2.3.1, ta có: h = 1.25, δ = 0.1, γ = 0.741, α = 0.1, β = 0.000625, = 0.5, = 0.5, = 0.000625 Kiểm tra (2.26) nghiệm P của( LDE) cho   1.03391 −0.01136 , P = −0.01136 1.26114 p = P = 1.2617, điều thỏa mãn Hệ 2.3.1 hệ ổn định mũ 48 Kết Luận Chung Những vấn đề trình bày luận văn • Trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân công thức nghiệm tương ứng hệ, toán ổn định phương pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân • Các điều kiện đủ tính ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, phi tuyến hệ phương trình vi phân có trễ • Sự đóng góp luận văn tìm hiểu sâu làm rõ nội dung toán nêu báo [5], [6] đưa số ví dụ minh họa 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát, (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc Gia [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Bellman.B, (1953), Stability Theory of Differential Equation MacGraw -Hill, New York [4] G.Gu, V.Kharitonov, J.Chen, (2003), Stability of Time-delay Systems, Birkhauser, Berlin [5] Vu Ngoc Phat, (1999), On the Stability of Time -varying Differential equation, Optimization , Vol.45, 237-254 [6] P.Niamup, K Mukadasai, V.N Phat, (2008), Improved exponential stability of time-varying systems with nonlinear delay perturbations, Applied Mathematics and Computation 204, 490-495 50