BÀI TOÁN ổn ĐỊNH LYAPUNOV hệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc mô hình kinh tế mô tả bằng các phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó.. Bài toán ổn định các

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Hà Nội – Năm 2015

Lời mở đầu 2

1.1 Hệ phương trình vi phân 5

1.2 Bài toán ổn định 8

1.2.1 Định nghĩa nghiệm ổn định 8

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 11

1.2.3 Một số định lý cơ bản về ổn định 15

1.3 Các bổ đề bổ trợ 23

2 Ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân 26 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 26

2.2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 31

2.2.1 Ổn định hệ rời rạc 31

2.2.2 Ổn định hệ liên tục 37

2.3 Ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 40

Tài liệu tham khảo 50

L2([0, t], Rn) Không gian các hàm xác định trên đoạn [0, t],

bình phương khả tích nhận giá trị trong Rn.λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A

λmax(A) = max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) = min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}

C([−h, 0], Rn) Tập các hàm liên tục trên [−h, 0], nhận giá trị trong Rn

C1([a, b], Rn) Tập các hàm khả vi trên [a, b], nhận giá trị trong Rn

σ(A) Tập các giá trị phổ của A

L(X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X tới Y

Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý thuyết định tính các

hệ động lực, được bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX với những công trình

xuất sắc của nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi khi phân tích và

thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc mô hình kinh tế mô tả bằng các

phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ

thống đó Cho đến nay, tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển

như một lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong

kinh tế, khoa học, kỹ thuật Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên

cứu tính ổn định các hệ điều khiển

Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những

bài toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuất

phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết và công cụ

toán học hiện đại Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định

của hệ phương trình vi phân, có thể kể ra đây một số phương pháp

chính như phương pháp thứ nhất Lyapunov ( hay còn gọi là phương

pháp số mũ đặc trưng) phương pháp Lyapunov thứ hai (hay còn gọi

là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp

so sánh Trong khuôn khổ của luận văn này tác giả xin đề cập đến

bài toán ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân trong đó sử dụng

công cụ chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình

vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 "Cơ sở toán học", giới thiệu về phương trình vi phân,

trong đó trình bày công thức nghiệm cơ bản của các dạng phương

trình vi phân tương ứng và điều kiện tồn tại nghiệm Từ đó giới thiệu

bài toán ổn định, các định nghĩa liên quan tới ổn định nghiệm của hệ

phương trình vi phân Trình bày phương pháp hàm Lyapunov để xét

tính ổn định của hệ phương trình vi phân và các định lý cơ bản chỉ ra

điều kiện ổn định của các hệ tương ứng, cũng như các bổ đề cần thiết

cho việc chứng minh tính ổn định ở chương sau

Chương 2 "Ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân ", trong

chương này tác giả trình bày về bài toán ổn định cho các loại hệ

phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân phi tuyến

và hệ phương trình vi phân có trễ, đưa ra các ví dụ minh họa cho các

bài toán ổn định

Tác giả luận văn chân thành cảm ơn thầy giáo GS TSKH Vũ Ngọc

Phát đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu, góp ý luận văn

và tập dượt nghiên cứu Tác giả cũng xin được cảm ơn các thầy cô ở

Viện Toán học - Viện hàn lâm KHCN Việt Nam đã tận tình truyền

đạt những kiến thức quý báu trong quá trình học tập cũng như tạo

điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành được luận văn này Tác giả

cũng xin cảm ơn các bạn trong lớp K21 viện toán, đặc biệt là bạn

Phạm Thị Hương đã góp ý cho tác giả trong quá trình soạn thảo bày

luận văn này

Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng do thời gian thực hiện

không nhiều và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi

những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những

ý kiến phản biện chân thành từ quý thầy cô và bạn đọc

Hà Nội, ngày 27/08/2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoa

Cơ sở toán học

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về phương

trình vi phân, các định nghĩa về nghiệm ổn định, phương pháp hàm

Lyapunov, các định lý và bổ đề liên quan việc chứng minh tính ổn

định của hệ phương trình vi phân Nội dung chủ yếu được lấy từ tài

liệu [1], [2], [3]

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá hoàn chỉnh các quá trình

chuyển động, biến đổi trong tự nhiên và kỹ thuật Để nghiên cứu

phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng nghiên

cứu định tính và giải số Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm

năm, nhưng do còn nhiều bài toán cần giải quyết nên phương trình

vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán

học và các nhà nghiên cứu ứng dụng

trong đó f (t, x) : R+× Rn

7−→ Rn, với t ≥ t0, x(t) ∈ Rn.Khi đó ta có các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1 Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) là hàm số

x(t) khả vi liên tục thỏa mãn:

(i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn

(ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1)

Giả sử hàm f (t, x) liên tục thì nghiệm của phương trình vi phân (1.1)

cho bởi công thức tích phân sau:

Nếu vế phải của (1.1) không phụ thuộc t thì ta nói hệ (1.1) là hệ

ô-tô-nôm, ngược lại ta nói hệ không ô-tô-nôm

Cho g : [0, +∞) −→ Rn là hàm liên tục, xét hệ phương trình vi phântuyến tính ô-tô-nôm:

trong đó A(t) là ma trận các hàm số liên tục trên R+, g : R+ −→ Rn

là hàm liên tục Nghiệm của hệ (1.3) biểu diễn thông qua ma trận

nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ tuyến tính thuần nhất

1.2 Bài toán ổn định

Trong các hệ động học chúng ta luôn kỳ vọng rằng hệ đó ổn định để

tiện cho việc nghiên cứu và ứng dụng nó Tuy nhiên không phải lúc

nào hệ cũng ổn định mà phải đạt được trạng thái hay điều kiện nào

đó.Trong phần bài toán ổn định chúng tôi trình bày các khái niệm,

tiêu chuẩn để xét tính ổn định cho các hệ phương trình vi phân tương

là hàm véc tơ cho trước Giả sử f (t, x) thỏa mãn điều kiện bài toán

Cauchy (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 > 0 luôn có nghiệmdạng tích phân cho bởi công thức

trong đó F (τ, 0) = 0 Nên khi nói về sự ổn định của nghiệm x(t)

nào đó của hệ (1.1) ta luôn đưa được về nghiên cứu tính ổn định của

nghiệm 0 của hệ (1.4) Vậy ta xét hệ (1.1) với giả thiết có nghiệm 0

tức là f (t, 0) = 0, t > 0 Ta nói hệ (1.1) ổn định thay vì nói nghiệm 0

của hệ ổn định

Định nghĩa 1.2 ( xem [2], trang 108 ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định

nếu với bất kì  > 0, t0 ∈ R+, tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào , t0)sao cho bất kỳ nghiệm x(t) với điều kiện đầu x(t0) = x0 thỏa mãn

k x0 k< δ thì

k x(t) k< , ∀t ≥ t0.Định nghĩa 1.3.( xem [2], trang 108 ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định

tiệm cận nếu hệ ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu k x0 k< δ thì

lim

t→∞kx(t)k = 0

Định nghĩa 1.4.(xem [2], trang 108 ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định

mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1)

với x(t0) = x0 thỏa mãn

k x(t) k6 M.e−δ(t−t0 ) k x0 k, ∀t > t0

Khi đó nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm

của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm mũ

Ví dụ 1.2.1.(xem [2], trang 108 )

Xét hệ phương trình vi phân sau trong R

˙x = ax, t ≥ 0

Nghiệm x(t) với x(t0) = x0 cho bởi công thức

Trong phần trên ta định nghĩa tính ổn định cho các hệ với thời gian

liên tục Sau đây là định nghĩa tương tự cho hệ với thời gian rời rạc

Xét hệ rời rạc

x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z+, (1.5)

trong đó f (.) : Z+× X → X là hàm cho trước

Định nghĩa 1.5.(xem [2], trang 109) Hệ rời rạc (1.5) gọi là ổn định

nếu với mọi  > 0, k0 ∈ Z+, tồn tại số δ > 0 ( phụ thuộc vào k0, ) saocho mọi nghiệm x(k) của hệ với k x(0) k< δ thì

k x(k) k< , ∀k ≥ k0

Hệ ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho

lim

k→∞ k x(k) k= 0,với mọi nghiệm x(k) với k x(0) k< δ

(ii) DfV (x) := ∂V

∂xf (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn.Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và điều

kiện (ii) được thay bằng điều kiện

(iii) ∃c > 0 : DfV (x(t)) ≤ −c k x(t) k< 0, với mọi x(t) ∈ Rn \ {0}của hệ (1.6)

Định lý 1.2.1.( xem [2],trang 130) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov

thì ổn định, hơn nữa nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ ổn định tiệm

Xét điều kiện (ii)

DfV (x) :=∂V

∂xf (x) = 2x1x˙1 + 2x2x˙2

=2x1(x22x1 − 2x2) + 2x2(−x12x2 + 2x1) = 0,

vậy hệ tồn tại hàm Lyapunov nên ổn định

Ví dụ 1.2.4 Xét tính ổn định của hệ sau bằng phương pháp hàm

V (x) khả vi liên tục trên R2 và thỏa mãn điều kiên (i).

Xét điều kiện (ii)

V (x) khả vi trên R2 và thỏa mãn điều kiện (i)

Xét điều kiện (ii)

Phương trình đã cho ổn định nếu a > 0

Đối với hệ phương trình vi phân không ô-tô-nôm tổng quát dạng

˙x = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.7)

thì hàm Lyapunov được định nghĩa cho hai biến V (t, x)

Trước hết xét lớp hàm < là tập các hàm liên tục tăng chặt

ặ) : R+ −→ R+, ă0) = 0

Định nghĩa 1.7.( xem [2], trang 134) Hàm V (t, x) : R+× Rn

−→ Rgọi là hàm Lyapunov của hệ (1.7) nếu V (t, x) khả vi liên tục theo

(t, x) và thỏa mãn điều kiện sau:

(i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

(iii) ∃b(.) ∈ < : V (t, x) ≤ b(k x k), ∀(t, x) ∈ R+

× Rn.(iv) ∃γ(.) ∈ < : DfV (t, x) ≤ −γ(k x k), t ∈ R+, ∀x ∈ Rn \ {0},thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt

Định lý 1.2.2.( xem [2], trang 135) Hệ phi tuyến không ô-tô-nôm

(1.7) có hàm Lyapunov thì ổn định Nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ

ổn định tiệm cận

1.2.3 Một số định lý cơ bản về ổn định

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một vài định lý đặc trưng cho việc chỉ

ra tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Xét hệ tuyến tính:

trong đó A là ma trận hằng cấp n × n

Định nghĩa 1.8 Ma trận A được gọi là ma trận ổn định nếu phần

thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm

Ta đã biết một tiêu chuẩn cơ bản đầu tiên để hệ (1.8) là ổn định tiệm

cận khi và chỉ khi A là ma trận ổn định Tuy nhiên, có một tiêu chuẩn

khác có thể dễ kiểm chứng hơn dựa trên giải phương trình ma trận

tuyến tính Lyapunov

Định lý 1.2.3.( xem [2], trang 113) Hệ (1.8) là ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi tồn tại ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình

(LE) có nghiệm là ma trận đối xứng xác định dương X

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hệ (1.8) là ổn định tiệm cận với

giả thiết phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định

dương X với ma trận Y đối xứng, xác định dương

Thật vậy, giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0, x(t)

là nghiệm tùy ý của phương trình (1.7) với x(t0) = x0, t0 ∈ R+

Xét hàm số:

V (x(t)) = hXx(t), x(t)i, ∀t ≥ t0,Đạo hàm hai vế ta có

Ngược lại, với giả thiết hệ ổn định tiệm cận ta chứng minh phương

trình (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng, xác định dương

Vì A ổn định nên Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Với Y bất kì đối xứng xác định

dương xét phương trình ma trận sau :







˙Z(t) = ATZ(t) + Z(t)A, t ≥ 0,Z(t0) = Y

(1.10)

Ta tìm được một nghiệm riêng Z(t) = eATtY eAt

−Y = ATX + XA,

hay X, Y là các ma trận đối xứng thỏa mãn (LE)

Tiếp theo ta chứng minh X xác định dương

Thật vậy, do Y > 0 và eAt là không suy biến nên

cách chỉ ra nghiệm của phương trình (LE)

Lời giải Theo Định lý 1.2.3, ta chỉ ra cặp ma trận (X, Y ) đối xứng

xác định dương thỏa mãn phương trình (LE) thì hệ ổn định tiệm cận

0.45 0.35



,

là ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn phương trình (LE)

Nên hệ đã cho ổn định tiệm cận

Xét hệ tuyến tính không ô-tô-nôm

˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0 (1.11)

Với hệ (1.11) thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn vì

nghiệm của bài toán Cauchy lúc đó không tìm được dưới dạng hiển

qua ma trận A mà phải tìm qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s)

Hệ (1.11) có nghiệm x(t) = Φ(t, t0)x0 Nếu A là ma trận hằng số thì

ta có Φ(t, s) = eA(t−s)

Định lý sau dây đưa ra tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.11)

Định lý 1.2.4.(xem [2], trang 117 ) Xét hệ (1.11) trong đó

A(t) = A + C(t) Giả sử A là ma trận ổn định và C(t) là khả tích trên

R+ và

k C(t) k≤ a, a > 0

Khi đó hệ ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ

Chứng minh Ta biểu diễn lại phương trình (1.11) dưới dạng:

u(t) = eδ(t−t0 ) k x(t) k, C = µ k x0 k, a(t) = µa,

áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân được trích ở phần

sau trong trang 23, ta có

Định lý 1.2.5.( xem [2],trang 119) Xét hệ (1.11) với A(t) liên tục

theo t Giả sử tồn tại các số M > 0, δ > 0, K > 0 sao cho:

(i) k eA(s)t k≤ Ke−δt, ∀t, s ≥ 0

(ii) supt∈R+ k A(t) k≤ M

Khi đó hệ ổn định tiệm cận nếu M < δ

2K.Chứng minh Ta viết lại phương trình(1.11) dưới dạng:

˙x(t) = A(t0)x(t) + [A(s) − A(t0)]x(t), t ≥ t0.Nghiệm x(t) với x(t0) = x0 cho bởi

trận A(t) là ổn định với mỗi giá trị t cố định cũng không đảm bảo sự

ổn định của hệ mà còn đòi hỏi mạnh hơn nữa về tính giới nội của ma

trận A(t)

Chúng tôi trình bày một số bổ đề nổi tiếng sẽ được sử dụng để chứng

minh các kết quả chính trong chương tiếp theo

Bổ đề 1.3.1 ( Bổ đề Gronwall liên tục) ( xem [5], trang 240)

Cho u(t), v(t) là hai hàm liên tục không âm trên [a, b] Nếu có một số

Ổn định Lyapunov hệ phương

trình vi phân

Trong chương này chúng tôi trình bày bài toán ổn định cho các hệ

phương trình vi phân tuyến tính, phi tuyến Đặc biệt có mở rộng về

xét tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ bằng phương pháp

hàm Lyapunov theo [4], [5], [6]

Hệ phương trình vi phân tuyến tính là dạng hệ phương trình rất phổ

biến có nhiều ứng dụng Để xét tính ổn định của hệ này có nhiều

phương pháp khác nhau Nhưng trong phần này,chúng tôi mở rộng cố

thêm điều kiện ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính

bằng cách sử dụng tính Lipschitz liên tục của ma trận A(t)

Định nghĩa 2.1.(xem [5], trang 240)

(i) Hàm g(t) : R+ −→ R+ liên tục là thuộc lớp I+ nếu nó là khả tích

và nó là hàm tăng trưởng Holder nếu lấy g(t) = L| t |α, 0 < α < 1.Định nghĩa 2.2.(xem [5], trang 244) Cho α, β là hai số dương, ta nói

rằng hàm g(t) ∈ I+ là (α, β) bị chặn nếu

g(t) < β, ∀t ≤ α

Chú ý 2.1.2 Nếu g(t) = Lt thì g(t) là (α, β) bị chặn nếu L < β

α.Trong trường hợp g(t) = Ltm, m ∈ (0, 1) thì g(t) là (α, β) bị chặn nếu

Giả thiết 2.1.1.( xem [5], trang 244)

Tồn tại K > 0, δ > 0 sao cho:

k eA(s)t k≤ Ke−δt, ∀t, s ≥ 0

Giả thiết 2.1.2.( xem [5], trang 244).

A(t) là hàm g-Lipschitz, trong đó g(t) là (2lnK

δ ,

δ2K) bị chặn.

Định lý 2.1.1.( xem [5], trang 244)

Hệ (2.1) thỏa mãn Giả thiết 2.1.1 và Giả thiết 2.1.2 thì nghiệm không

của hệ (2.1) là ổn định mũ

Chứng minh Hệ (2.1) được biểu diễn tương đương với hệ sau:

˙x = A(0)x(t) + [A(t) − A(0)]x(t), t ≥ t0 (2.2)Khi đó nghiệm của hệ (2.2) có biểu diễn dạng tích phân như sau:

x(t) = eA(0)t+

t

Z

0

eA(0)(t−s)[A(s) − A(0)]x(s)ds (2.3)

Ta đánh giá (2.3) theo các Giả thiết 2.1.1 và Giả thiết 2.1.2:

Áp dụng (2.6) với k ∈ Z+ và bất đẳng thức (2.5) với các giá trị

t = kT, t0 = (k − 1)T Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng với mọi

k x(t) k ≤ K k x0 k e−δ0 teKh(τ )eτ (δ0 −δ)

Vậy nghiệm không của hệ ổn định mũ.

Chú ý 2.1.3 Trong chứng minh trên ta chú ý rằng nếu hàm g(t) là

bị chặn trên bởi c < δ

K thì chỉ cần lấy T ≥

lnK

δ − Kc Hơn thế, ta cóthể thay thế điều kiện g(t) là (2lnK

δ ,

δ2K) bị chặn bằng điều kiện:

h(2lnK

δ ) <

lnK

K .

Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến thường rất khó

nên phương pháp tiếp cận bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

phi tuyến là phương pháp rời rạc hóa, tức là đưa hệ phương trình vi

phân phi tuyến về hệ phương trình vi phân rời rạc

2.2.1 Ổn định hệ rời rạc

Xét hệ rời rạc:

x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k, x(k)), k ∈ Z+, (2.8)