Luận văn bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển

Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển.. Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều kh

T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M H À N ỘI 2

K H Ú C TH Ị LOAN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

K H Ú C T H Ị L O A N

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

LỜI C Ả M ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường

Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Khúc Thị Loan

Luận văn tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc Phát.

Trong quá trình nghiên cứu luận văn em có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu đã nêu trong mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, không sao chép từ các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

KHÚC THỊ LOAN

M ục lục

1.1 Hệ phương trình vi p h â n 5

1.2 Hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến t í n h 6

1.3 Bài toán ổn định và ổn định h ó a 7

1.3.1 Bài toán ổn đ ị n h 7

1.3.2 Bài toán ổn định h ó a 9

1.4 Các tiêu chuẩn ổn định cơ b ả n 9

1.5 Các bổ đề bổ t r ợ 14

2 T ÍN H ỔN Đ ỊN H HÓA HỆ P H Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N T U Y Ế N T ÍN H CÓ Đ IỀU K H IE N 15 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển ôtônôm 15 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có hạn chế tr ê n điều khiển 18

MỞ Đ Ầ U

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết ổn định được nghiên cứu từ cuối thế kỷ

19 bởi nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi khi phân tích và thiết kế các

hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó Cho đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học

và kỹ thuật Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra đời của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đươc quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển

Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, do nhu cầu nghiên cứu tính ổn định các hệ kỹ thuật mô tả bằng các phương trình điều khiển, người ta nghiên cứu tính ổn định hóa của các hệ động lực Bài toán ổn định hóa là tìm hàm điều khiển chấp nhận được (hàm điều khiển ngược) sao cho hệ đóng (hệ giải tương ứng với điều khiển chấp nhận được này) là

ổn định tiệm cận Lyapunov Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết quả thú

vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã được công bố bởi các nhà toán học, điều khiển học trong và ngoài nước, đặc biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS Vũ Ngọc Phát, Viện toán học Hà Nội.Bài toán ổn định hóa là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu quan trọng đang được quan tâm nghiên cứu Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho

luận văn thạc sĩ của mình là “ Bài toán ổn định hóa hệ phương trình

vi phân tuyến tính có điều khiển ”

2 Cấu trú c của khóa luận

Luận văn này gồm 2 chương

Chương 1: Cơ sở toán học: Trình bày một số khái niệm về hệ phương

trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, bài toán ổn định , ổn định hóa và một số bổ đề sử dụng cho chương sau

C h ư ơ n g 2: Các tiêu c h u ẩn về ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển: Đây là chương chính của luận văn, trình bày một

số định lý về tính ổn định hóa hệ phương trình tuyến tính có điều khiển ôtônôm và không ôtônôm, hệ có hạn chế trên điều khiển

3 M ục đích nghiên cứu

Trình bày cơ sở bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc của tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

4 N h iệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính; trình bày những kiến thức này dưới dạng một luận văn khoa học.Vận dụng để giải một số bài toán ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

5 Đ ối tư ợng và phạm vi nghiên cứu

Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

6 P hư ơng pháp n ghiên cứu

Các phương pháp và kỹ thuật toán học của phương trình vi phân, đại

số tuyến tính, giải tích thực hiện đại

2

Amin(A) M in{R e(A ) : Л £ А (Л )}

tị (A) Độ đo của ma trận Ả; ĩ](j4) = ( \ / 2 ) \ max(A + AT)Z/2([í, s] , Rn) Không gian các hàm khả tích bậc hai trên [t,s] với giá

trị trên Rn

M ([0, +00] , Ry) Tập các hàm ma trận xác định không âm và bị chặn

M > 0 Ma trận xác định không âm

Chương 1

c ơ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này, luận văn trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, trình bày về bài toán ổn định và ổn định hóa của hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, các tiêu chuẩn của bài toán ổn định và ổn định hóa Ngoài ra còn có một số mệnh đề bổ trợ cho việc chứng minh các định lí

ổn định trong chương 2 Nội dung Chương 1 được lấy từ các tài liệu [1, 2]

1.1 H ệ phương trìn h vi phân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

< â ( t ) = / ( t , a ; ( t ) ) , t > t 0ì

k x ( t 0) = x 0ì to > 0, tro n g đó x { t ) € R n , / : R + X R n —>■ R n , với mỗi t > t 0

Hàm khả vi liên tục x { t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là

t x(t) = X0+ J f ( s , x ( s ) ) d s

to

Định lý sau đây khẳng định sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1)

Đ ịnh lý 1.1 (Định lý 1.23, [2], trang 27):

Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm

/ ( í , íc(í)): X Rn —> Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitztheo x:

đ ịn h trên toàn khoảng [0, + o o )

1.2 H ệ phương trìn h vi phân điều khiển tu y ến tín h

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính dạng

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t > 0, (1.2)trong đó x(t) £ Rn - là véc tơ trạng thái, u(t) £ là véctơ điều khiển ;

n > ra; A(t), B ( t ) , t > 0, là những ma trận hàm liên tục có số chiều ( n x rì)

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1: Cho hai trạng thái €: Rn , cặp (X q ,X i) đượcgọi là điều khiển được sau thời gian tị > 0 , nếu tồn tại một điều khiển chấp n h ậ n được u ( t) sao cho nghiệm x { t, Xũ, u) củ a hệ t h ỏ a m ã n điều kiện

x (0 ,x0,w) = xũ,x(ti,xũ,u) = X\.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2: Hệ điều khiển (1.2) gọi là điều khiển được hoàn toàn (GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái X q ,X\ sẽ tìm được một thời gian

> 0 sao cho X q , X \ là điều khiển được sau th ờ i gian t ị

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3: Hệ điều khiển (1.2) gọi là đạt được hoàn toàn (GR) nếu với b ấ t kỳ t r ạ n g th á i X\ £ , tồ n t ạ i m ộ t th ờ i gian t ị > 0 sao cho(0, rr 1) là điều khiển được sau thời gian tị.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4: Hệ điều khiển (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kỳ trạng thái X q E Rn , tồn tại một thời gian > 0 sao cho (íCo)O) là điều khiển được sau thời gian tị.

1.3 B ài to á n ổn định và ổn định hóa

1.3.1 B à i to á n ổn định

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1: Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, t(Ị > 0

sẽ tồn tại số ỏ > 0 (phụ thuộc vào £, to ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) :

x ( t o ) = X q th ỏ a m ãn lịrro|Ị < ô th ì ||íc(í)|| < £ với mọi t > Í q

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2: Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và

có một số ỏ > 0 sao cho nếu ||íCo|| < ỗ thì

lim ||z(í)|| = 0

í—>00Nếu số ỏ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban đầu to thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều)

Hệ là ổn định đều nếu số /i(ío) là hằng số không phụ thuộc vào to , là ổn định tiệm cận nếu

1.3.2 B à i to á n ổn đ ịn h hóa

Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính (1.2)

Đ ịnh nghĩa 1.3.1: Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại

hàm h(t) = K{t)x{t) sao cho hệ đóng (closed - loop system)

Cho t —> +00 ta được

\x (s)||2ds < 00

Ta sẽ chứng minh rằng ReA < 0 , VA € A(j4) Thật vậy giả sử có một số

Ao £ А(Л) mà ReAo > 0 Lấy X(ị £ Rn là vectơ riêng ứng với giá trị riêng

Ao này thì nghiệm của hệ (1.3) sẽ cho bởi

Xịự) = еАо‘х0,

và do đó

/00 ||íCi(t)|| 2d t = / p ỡ O e2ReXot\\x0\\2dt = + 00,

vì ReA > 0, suy ra điều mâu thuẫn Vậy ReA < 0, VAo £ A(^4)

Ngược lại, giả sử Ả là ma trận ổn định , tức là ReA < 0 , VA € A(j4) Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây:

hay là, các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn (LE) Ta chỉ còn chứng minh X là ma trận xác định dương Thật vậy, ta có

12

Do Y là xác định dương và eẢt không suy biến nên ( X x , x ) > 0 nếu

Tiếp theo, luận văn trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov Trước hết ta nhắc lại định nghĩa hàm Lyapunov

Xét phương trình vi phân phi tuyến:

tro n g đó / : R + X R n —>■ R n là h à m p h i tu y ế n cho trư ớ c

Đ ịnh nghĩa 1.4.1: Xét K là lớp các hàm liên tục tăng chặt ữ(.) : R + —>

R + , ă0) = 0 Hàm khả vi liên tục v ( t , x ) : R + X Rn —> M là hàmLyapunov cho hệ (1.5) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) V(t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

3ặ) £ K : V ( t , x ) > ữ(||íc||), v ( í,x ) £ R + X Rn

(ii) D ị V (t, x) = ^ + % f ( t , x) < 0, V(í, i ) G R + x r

Trường hợp v(t,x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm hai điều kiện:(iii) 3Ò(.) € K : V ( t , x ) < ò(||x||), V(t,x) G R+ X

(iv) 3c(.) £ K : D f V ( t , x) < —c(||íc||) < 0, với mọi nghiệm x ( t) của

hệ (1.5), thì v ( t , x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.5)

là không suy biến.

B ổ đề 1.5.2 ( Bổ đề Schur): Giả sứ s G Rn x n ỉà một ma trận đối

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N

TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

Chương này trình bày một số kết quả về bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển ôtônôm và không ôtônôm Nội dung được lấy từ tài liệu [2, 3]

2.1 H ệ phương trìn h vi phân tu y ế n tín h có điều

khiển ô tôn ôm

Xét hệ phương trình

x(t) = Axịt) + Bu(t), t > 0, (2.1)trong đó A, B , là ma trận hằng số

Đ ịnh nghĩa 2.1: Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận

K sao cho ma trận (Ả + B K) là ổn định

Đ ịnh lý 2.1 (Đ ịnh lý 3.18, [2], trang 140):

Hệ (2.1) là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn

Chứng minh: Giả sử (2.1) là điều khiển được về 0 hoàn toàn, (không mất tính tổng quát ta giả sử t(Ị = 0), theo bổ đề 1.5.1 sẽ có một số T > 0 sao cho ma trận

Để làm được điều này, ta lấy hàm Lyapunov dạng

V (X) = ( L ^ x , x ) Với nghiệm x ( t ) , x(0) = X q của hệ

^ У ( х Ш = ( T i B B Ty, y) + 2{ Bu , y ) - { у , I e AíB B Te AT‘ydt

= Ti { BTy, B Ty) - 2ĨÌ { B Ty, B Ty) - (LTty , y )

Theo định lý 1.4 hệ là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh.

2.2 H ệ phương trìn h vi phân tu y ến tín h không

ô tô n ô m có hạn chế trên điều khiển

Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t > 0 (2.2)trong đó x ( t ) e R” ,tí(í) e Rra, ^ ( í ) e R”x" ,B ( í) e R"*m - là các ma trận hàm liên tục, và điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện:

Đ ịnh nghĩa 2.1: Hệ điều khiển (2.2) là ổn định hóa được nếu có một

hàm điều khiển ngược u(t) = k(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.3) sao cho hệ đóng:

x ( t ) = A (t) X (t) + B (t) k (X ( t ) ) ,

là ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov

Chúng ta nói hệ điều khiển tuyến tính (2.2) là điều khiển được toàn cục (GC) nếu có một số N>0 sao cho với mỗi X q £ Rn có hàm điều khiển

Đ ịn h n g h ĩa 2.2: Hệ điều khiển (2.2) là điều khiển được đều (UGC) nếu

có số N > 0 và Cl, C 2 , Сз, Cị > 0 sao cho t h ỏ a m ã n các điều kiện sau cho t ấ t

(ii) Hệ phương trình vi phân Riccati RDE(2.4) với Q(t) = I có một nghiệm p(t) £ M ([0, 00] , R” ) Hơn nữa chúng ta có

||P(í)|| < 1/ci + nc5(l + nc2/ c i ) 2 Ví > 0,trong đó số dương Ci,C2 định nghĩa trong Định nghĩa 2.2

M ệnh đề 2.2: Cho hệ điều khiển (2.2) , phương trình RDE(2.4) với Q

có nghiệm p(t). Rõ ràng hệ [yl(í),5(í)] cũng là UGC; do đó, theo Mệnh

đề 2.1, phương trình RDE(2.5) có nghiệm p ( t) thỏa mãn

Và dễ thấy rằng

<[QoM - A(t )]x, x) = ^ 2 1 2азЛЧх з/,ч > 0 ,

với ĩ E R ”

C h ú ý 2.1: Chú ý rằng nếu Ả(t) là bị chặn trong Rn, khi đó ma trận

Qo(t) G p nxn có thể xác định như một ma trận hằng số Qo(t) = Qo sao cho Qo — A(t) > 0 Trước tiên theo Mệnh đề 2.4 ta chọn ma trận Qo(t):

1 n

Qi(t) = au(t) + Ị a ị i t ì + n - 1’

i=ĩ,i^j

sao cho Qo(t) > A(t) Khi đó ma trận hằng Qq xác định bởi

Ợi > sup {&(*)}

Đặt £ = min {Ei, ỉ = 1 , 2 , n}, chúng ta có Qo — e l > A(t).

M ệ n h đề 2.5: Cho các ma trận thực đối xứng A , B , ta có các kết quảsau: