Một số bài toán điều khiển phương trình vi phân mờ (tóm tắt)

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ Như biết, lý thuyết tối ưu hệ thống tồn 03 toán lớn, là: toán quy hoạch tuyến tính, toán quy hoạch phi tuyến toán quy hoạch động Với toán quy hoạch động hệ thống có vấn đề cần giải sau: • Một số tính chất định tính nghiệm (tồn nhất, ổn định, ); • Bài toán điều khiển được; • Bài toán điều khiển ngược; • Bài toán điều khiển tối ưu Điều khiển hệ thống trở thành Lý thuyết toán học vào đầu năm 60 kỷ 20, bắt đầu ý giới khoa học công nghệ (Wilde Kokotovic [?]) Nhiều toán mô hình hóa có kết nghiên cứu chuyên sâu Theo xu hướng tất yếu, lý thuyết điều khiển hệ thống nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, hoàn thiện có đóng góp lớn để lý thuyết ngày hoàn thiện, chặt chẽ có ý nghĩa thực tiễn Trong năm gần đây, lý thuyết điều khiển hệ thống nhà toán học xây dựng cho đối tượng tổng quát đa dạng như: giải số toán kỹ thuật, toán môi trường với đối tượng cần nghiên cứu vệt dầu loang, khối khí độc di chuyển không gian Động học chất điểm thay động học cho tập trình Mô hình toán học mô sử dụng cho nghiệm bó hệ động lực Vấn đề thường nhà toán học nghiên cứu đối tượng giá trị tập, giá trị mờ, v.v Đề tài luận án liên quan tới khảo sát số toán điều khiển phương trình vi phân mờ - đối tượng mô hình hệ động lực mờ Lý thuyết tập mờ (fuzzy set theory) Zadeh giới thiệu vào năm 1965 báo [?] mở rộng lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải hạn chế logic đơn trị điều khiển học Sau có nhiều ứng dụng có ý nghĩa thực tiễn, lý thuyết mờ cộng đồng khoa học giới ghi nhận Theo xu hướng phát triển tất yếu, lý thuyết giải tích mờ (fuzzy analysis) nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng hoàn thiện phép toán cần thiết để ngày chặt chẽ lý thuyết hiệu ứng dụng Tóm tắt luận án gồm: Tổng quan vấn đề, Nội dung luận án (3 chương), Kết luận, Danh mục công trình tác giả Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức cần sử dụng luận án: bao gồm khái niệm tập, tập mờ số mờ Hơn nữa, kiến thức không gian mêtric Hausdorff, giải tích tập, không gian mêtric mờ, giải tích mờ, không gian vectơ trình bày đầy đủ có hệ thống nhằm sử dụng cho kết luận án Chương Bài toán nghiệm bó mờ Chương thứ hai trình bày khái niệm nghiệm toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tập dạng bó, điều khiển bó mờ mờ có chậm không gian metric mờ Ed Nội dung chương công bố [Tri1], [Tri2] Chương Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ Chúng trình bày số kết đánh giá tính chất định tính phương pháp giải cho số lớp toán nghiệm bó mờ; Nghiên cứu tính chất tồn nghiệm toán điều khiển nghiệm bó mờ tham gia điều khiển mờ Nội dung chương công bố thảo gửi đăng [Tri3] Các kết luận án viết dựa kết báo công bố [Tri1], [Tri2] tác giả (chung với người hướng dẫn khoa học tác giả khác) gửi tạp chí Các kết tác giả trình bày buổi seminar nhóm phương trình vi phân người hướng dẫn khoa học, Hội nghị toán học phối hợp Việt - Pháp [Tri4] Đại hội toán học Việt Nam lần thứ VIII [Tri5] Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian mêtric Hausdorff Họ tập lồi, compact khác rỗng Rd Cho A, B ⊂ Rd λ ∈ R, phép cộng Minkowski phép nhân vô hướng (xem [?]) định nghĩa sau: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A} Ta ký hiệu KCC (Rd ) họ tập lồi, compact khác rỗng Rd Định nghĩa 1.1.1 ([?]) Cho A, B ∈ KCC (Rd ) Nếu tồn C ∈ KCC (Rd ) cho A = B + C C gọi hiệu Hukuhara A B Ta ký hiệu C = A B Định nghĩa 1.1.2 ([?]) Cho A, B hai tập lồi, compact khác rỗng Rd Khoảng cách Hausdorff từ B đến A xác định bởi: dH (B, A) = sup inf ||a − b|| b∈B a∈A khoảng cách Hausdorff từ A đến B xác định bởi: dH (A, B) = sup inf ||a − b|| a∈A b∈B Định nghĩa 1.1.3 ([?]) Cho A, B ∈ KCC (Rd ) Khoảng cách Hausdorff hai tập A, B xác định bởi: D[A, B] = max{dH (B, A), dH (A, B)} Định lý 1.1.1 ([?]) (KCC (Rd ), D) không gian mêtric đầy đủ, tách compact địa phương 1.1.2 Một số kiến thức giải tích tập Cho [t0 , T] ⊆ R+ Xét ánh xạ F từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) Hàm tập (giá trị tập) hiểu ánh xạ đa trị F : [t0 , T] → KCC (Rd ) Khi đó, F(t) ∈ KCC (Rd ), ∀t ∈ [t0 , T] Định nghĩa 1.1.4 ([?]) Hàm F từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) gọi liên tục t ∈ (t0 , T) với > tồn δ = δ( , t) > cho với s ∈ (t0 , T): |t − s| < δ ta có D[F(t), F(s)] < Hơn nữa, hàm F : [t0 , T] → KCC (Rd ) gọi liên tục [t0 , T] liên tục điểm [t0 , T] Ta kí hiệu B([t0 , T]), B(KCC (Rd )) σ− đại số tập Borel [t0 , T] (KCC (Rd ), D) Định nghĩa 1.1.5 ([?]) Hàm F từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) gọi đo {t ∈ [t0 , T] : F(t) ∈ B} ∈ B([t0 , T]) với B ∈ B(KCC (Rd )) Định nghĩa 1.1.6 (Đạo hàm Hukuhara hàm tập, [?]) Cho hàm F : [t0 , T] → KCC (Rd ) Ta nói hàm F(t) khả vi Hukuhara điểm t ∈ [t0 , T] tồn DH F(t) ∈ KCC (Rd ) cho với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t + h) F(t), F(t) F(t − h) tồn tại, giới hạn sau tồn thỏa mãn: lim+ h→0 F(t + h) h F(t) = lim+ F(t) h→0 F(t − h) = DH F(t) h Định nghĩa 1.1.7 (Đạo hàm Hukuhara tổng quát hàm tập, [?]) Cho F : (t0 , T) → KCC (Rd ) Ta nói F có đạo hàm Hukuhara tổng quát t ∈ (t0 , T) g tồn DH F(t) ∈ KCC (Rd ) cho (i) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t + h) lim+ h→0 F(t + h) h F(t) = lim+ F(t) h→0 (ii) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t) lim+ h→0 F(t) F(t), F(t) F(t − h) tồn F(t − h) g = DH F(t) h F(t + h), F(t − h) F(t) tồn F(t + h) F(t − h) F(t) g = lim+ = DH F(t) h→0 −h −h 1.2 Không gian mêtric mờ Ed 1.2.1 Tập mờ - Số mờ Định nghĩa 1.2.1 (Tập mờ - số mờ, [?]) Ký hiệu Ed = {ω : Rd → [0, 1] cho ω thỏa tính chất (i)-(iv) sau} : (i) ω chuẩn, nghĩa tồn z0 ∈ Rd cho ω(z0 ) = 1; (ii) ω mờ lồi, nghĩa ω(λz1 + (1 − λ)z2 ) ≥ min{ω(z1 ), ω(z2 )}, ∀λ ∈ [0, 1], z1 , z2 ∈ Rd ; (iii) ω nửa liên tục trên; (iv) cl{z ∈ Rd : ω(z) > 0} tập compact Khi đó, Ed gọi họ tập mờ (không gian tập mờ Rd ) E1 gọi họ số mờ (không gian số mờ R) Định nghĩa 1.2.2 ([?]) Cho ω ∈ Ed Với α ∈ (0, 1], ta ký hiệu [ω]α = {u ∈ Rd | ω(u) ≥ α} [ω]0 = cl{u ∈ Rd | ω(u) > 0} Khi đó, [ω]α gọi là nhát cắt−α tập mờ ω (hay gọi tập mức α tập mờ ω), [ω]1 lõi [ω]0 giá tập mờ ω Định nghĩa 1.2.3 ([?]) Cho ω1 , ω2 ∈ Ed Khoảng cách Hausdorff hai tập mờ ω1 ω1 xác định sau: D0 [ω1 , ω2 ] = sup D [ω1 ]α , [ω2 ]α , α∈[0,1] với D khoảng cách Hausdorff KCC (Rd ) Định nghĩa 1.2.4 ([?]) Cho hai tập mờ ω1 , ω2 ∈ Ed Nếu tồn ω3 ∈ Ed cho ω1 = ω2 + ω3 ω3 gọi hiệu Hukuhara ω1 , ω2 Ta ký hiệu ω3 = ω1 ω2 Định nghĩa 1.2.5 ([?]) Hiệu Hukuhara tổng quát hai tập mờ u1 , u2 ∈ Ed định nghĩa sau u1 gH (i) u1 = u2 + u3 , u2 = u3 ⇔ (ii) u = u1 + (−1)u3 Tiếp theo, để thực mở rộng tập mờ lên không gian vectơ, phần sau trình bày số khái niệm không gian vectơ tập mờ (số mờ) Với ωi ∈ E1 , i = 1, 2, , d (d > 1) ta gọi lớp số mờ chiều thứ tự ω1 , ω2 , , ωd (tức là, tích Descartes số mờ chiều ω1 , ω2 , , ωd ) thành vectơ d chiều, ký hiệu (ω1 , ω2 , , ωd ) Ta gọi tập tất vector số mờ d chiều (tức tích Descartes E1 × E1 × · · · × E1 ) không gian vector mờ d chiều, kí hiệu E d d lần Định nghĩa 1.2.6 ([?]) Nếu ω ∈ Ed (không gian tập mờ Rd ) tập mức [ω]α khối hộp, tức là, [ω]α biểu diễn d [ωi (α), ωi (α)], i=1 hay [ω1 (α), ω1 (α)] × [ω2 (α), ω2 (α)] × · · · × [ωd (α), ωd (α)], ∀α ∈ [0, 1], ωi (α), ωi (α) ∈ R với ωi (α) ≤ ωi (α) với α ∈ (0, 1], i = 1, 2, , d, ta gọi ω ∈ Ed số mờ d−chiều, ta ký hiệu ω ∈ Ed Nhận xét 1.2.1 ([?]) Khoảng cách Hausdorff vectơ mờ Ed xác định Định nghĩa 1.2.3 Khi đó, (Ed , D0 ) không gian mêtric đầy đủ 1.2.2 Một số kiến thức giải tích mờ Định nghĩa 1.2.7 ([?]) Cho hàm thực g : Rd × Rd → Rd Mở rộng hàm thực g Ed × Ed → Ed xác định công thức  −1    sup−1 {ω1 (x1 ), ω2 (x2 )} , g (z) ∅, (x1 ,x2 )∈g (z) gˆ (ω1 , ω2 ) (z) =   0, g−1 (z) = ∅, với z ∈ Rd Trong đó, g−1 (z) = {(x1 , x2 ) ∈ Rd × Rd : g(x1 , x2 ) = z} khác rỗng (hoặc chứa điểm chứa nhiều điểm) Khi đó, ta nói gˆ thu từ g nguyên lý mở rộng Zadeh Nguyên lý đóng vai trò quan trọng lý thuyết mờ ứng dụng việc nghiên cứu toán mờ Định nghĩa 1.2.8 Hàm mờ x : (t0 , T) → Ed gọi liên tục t ∈ (t0 , T) với > tồn δ = δ(t, ) > cho với s ∈ (t0 , T) : |t − s| < δ, ta có D0 [x(t), x(s)] < Nếu x liên tục điểm t ∈ (t0 , T) ta nói x liên tục (t0 , T) Ta ký hiệu C([t0 , T], Ed ) không gian hàm mờ liên tục, C([t0 , T], Ed ) = {x : [t0 , T] → Ed | x liên tục} Ta thấy C([t0 , T], Ed ) không gian mêtric đầy đủ ([?]) với metric ˆ = sup D0 [x(t), x(t)], ˆ D∗0 [x, x] với x, xˆ ∈ C([t0 , T], Ed ) (1.1) t∈[t0 ,T] Định nghĩa 1.2.9 ([?]) Cho hàm mờ x : (t0 , T) → Ed Ta nói x có đạo hàm Hukuhara t ∈ (t0 , T) tồn DH x(t) ∈ Ed cho giới hạn lim+ h→0 x(t) x(t − h) , h lim+ h→0 tồn DH x(t) x(t + h) h x(t) Định nghĩa 1.2.10 ([?]) Cho x : (t0 , T) → Ed t ∈ (t0 , T) Ta nói x có đạo hàm g Hukuhara tổng quát t tồn DH x(t) ∈ Ed cho (i) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara x(t + h) x(t) x(t) x(t − h) tồn tại, giới hạn sau tồn thỏa mãn: lim+ h→0 x(t + h) h x(t) = lim+ x(t) h→0 x(t − h) g = DH x(t) h (ii) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara x(t) tồn tại, giới hạn sau tồn thỏa mãn: lim+ x(t + h) x(t − h) x(t) x(t + h) x(t − h) x(t) g = lim+ = DH x(t) h→0 −h −h x(t) h→0 (iii) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara x (t + h) x(t), x(t−h) x(t) tồn tại, giới hạn sau tồn thỏa mãn: lim+ h→0 x (t + h) h x(t) = lim+ h→0 x (t − h) x(t) g = DH x(t) −h (iv) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara x (t) x(t + h), x(t) x(t − h) tồn tại, giới hạn sau tồn thỏa mãn: lim+ x (t) h→0 x(t + h) x (t) = lim+ h→0 −h x(t − h) g = DH x(t) h Để thuận tiện, x khả vi Hukuhara tổng quát loại (i) (hoặc (ii)) ta viết gọn x khả vi-(i)(hoặc (ii)) Định nghĩa 1.2.11 ([?]) Hàm x : [t0 , T] → Ed gọi đo mạnh với α ∈ [0, 1], hàm xα : [t0 , T] → KCC (Rd ) xác định xα (t) = [x(t)]α đo được, tức là, tập t ∈ [t0 , T] | [x(t)]α ∩ C ∅ đo Lebesgue, với tập lồi, đóng, khác rỗng C ⊂ Rd Định nghĩa 1.2.12 ([?]) Cho hàm mờ x : [t0 , T] → Ed , tích phân x T [t0 , T], ký hiệu t0 α T x(t)dt x(t)dt, xác định bởi: T = t0 [x(t)]α dt t0 T = cl ˜ x(t)dt | x˜ : [t0 , T] → Rd chọn đo [x]α , t0 với α ∈ [0, 1] 1.2.3 Trường hợp E1 Định nghĩa 1.2.13 ([?]) Cho x : [t0 , T] → E1 Đường kính (độ rộng) x hàm diam([x(·)]α ) : [t0 , T] → R+ xác định bởi: diam([x(t)]α ) = x(t, α) − x(t, α), [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] với α ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2.14 ([?]) Tích phân Riemann hàm mờ x : [a, b] → E1 [a, b] số mờ Ξ với > 0, tồn δ > 0, với phân hoạch a = t0 < t1 < t2 < < td = b mà ti − ti−1 < δ, i = 1, , d ξi ∈ [ti−1 , ti ] d x(ξi )(ti − ti−1 ), Ξ < D0 i=1 Khi đó, x gọi khả tích Riemann [a, b] ký hiệu (R) 1.2.4 b a x(t)dt = Ξ Khái niệm nghiệm bó Khi tiếp cận mô hình hệ động lực mà vế phải hàm thực hệ thống đầu vào giá trị thuộc bó lồi, compact, khác rỗng Rd (tức hệ thống đầu vào x0 ∈ H0 ⊂ Rd ), ta thu đầu hệ thống bó hay tập lồi compact, khác rỗng Rd Cách tiếp cận có lợi ích cho việc nghiên cứu đầu hệ thống đầu vào hệ thống thường không đo đạt xác hay bị nhiễu vài yếu tố khách quan trình vận hành hệ thống Chẳng hạn, hàm biểu diễn trình chuyển đổi hệ thống hàm giá trị tập, hàm mờ Dựa vào cách tiếp cận này, thu đầu dạng nghiệm bó Ta xét d x(t) = f (t, x(t)), dt x(t0 ) = x0 ∈ H0 ⊂ Rd , (1.2) t ∈ [t0 , t0 + ζ], H0 tập lồi, compact, khác rỗng Rd f : [t0 , t0 + ζ] × Rd → Rd hàm giá trị thực Ta nhận thấy rằng, nghiệm x(·) (1.2) biết hàm liên tục x : [t0 , t0 + ζ] → Rd thỏa (1.2) ứng với x0 ∈ H0 Cho trạng thái hệ thống (t, x) ∈ [t0 , t0 + ζ] × Rd đạo hàm biết đạo hàm thông thường cổ điển cho hàm thực Nghiệm toán (1.2) biểu diễn dạng tập bó: X = {x : [t0 , t0 + ζ] → Rd | x(·) nghiệm toán (1.2) ứng với x0 ∈ H0 } Khi đó, nghiệm bó toán (1.2) t ∈ [t0 , t0 + ζ] định nghĩa lại sau: Ht,x = {x(t, t0 , x0 ) | x(·) ∈ X} Tuy nhiên, mở rộng với lớp toán mà hàm vế phải f (1.2) hàm mờ Hay ta xét toán (1.2) với vế phải hàm mờ, tức f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed đầu vào hệ thống tập mờ Khi đó, nghiệm hệ thống (1.2) với vế phải hàm mờ xác định x : [t0 , t0 + ζ] → Ed , Ed không gian tập mờ Rd với tập mức tập lồi, compact, khác rỗng Hiện nay, với cách tiếp cận cho toán dạng này, ta gọi toán nghiệm bó mờ có hai cách tiếp cận để xây dựng nghiệm mờ cho toán Đầu tiên nghiên cứu toán nghiệm bó mờ đạo hàm Hukuhara cách tiếp cận thứ hai dựa vào đạo hàm Hukuhara tổng quát Bằng hai cách tiếp cận xây dựng toán sau g DH x(t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed , (1.3) Ed tập mờ f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed hàm mờ Trong toán (1.3) chúng tôi, sử dụng nguyên lý mở rộng Zadeh cho hàm mờ vào hệ động lực (1.3) nghiệm hệ thống đầu tập lồi, compact khác rỗng Rd Trong toán gọi nghiệm toán nghiệm bó dạng mờ Chúng ta xét hai toán sau để làm rõ kết đầu hệ thống (1.2) (1.3) Ví dụ 1.2.1 Xét toán giá trị đầu dạng bó: d x(t) = −λx(t), dt x(t0 ) = x0 ∈ H0 = [H0 , H0 ] ⊂ R, (1.4) x : [t0 , T] → R λ > Nghiệm toán (1.4) cho dạng tập (hay bó) sau Ht,x = {x(t) = x(t, t0 , x0 ) : x(t) = x0 e−λt , x0 ∈ [H0 , H0 ]} Ta biểu diễn nghiệm bó thời điểm t dạng Ht,x = [H0 e−λt , H0 e−λt ] = H0 e−λt Trong chương tiếp theo, nghiên cứu số lớp toán liên quan đến phương trình vi phân mờ: phương trình vi phân mờ có chậm phương trình vi phân bó mờ Một số kết đánh giá tính chất định tính phương pháp giải cho số lớp toán nghiệm bó mờ nghiên cứu Tính chất tồn nghiệm toán điều khiển nghiệm bó mờ tham gia điều khiển mờ trình bày Chương Bài toán nghiệm bó mờ 2.1 2.1.1 Bài toán giá trị đầu dạng mờ Bài toán nghiệm bó mờ Xét toán giá trị đầu dạng mờ: g DH x(t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed , (2.1) f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm mờ x : [t0 , t0 + ζ] → Ed khả vi loại (i) (loại (ii)) g Nếu x đạo hàm DH x thỏa mãn toán (2.1) ta nói x nghiệm loại (i) (loại (ii)) toán (2.1) Nghiệm x (2.1) thỏa mãn ˆ D0 [x(t), x(t)] = 0, với xˆ : [t0 , t0 + ζ] → Ed nghiệm khác toán (2.1) Định nghĩa 2.1.2 Cho α ∈ [0, 1] Nghiệm bó mờ toán (2.1) đạo hàm Hukuhara tổng quát thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] tập t (i) Ht,x α = [x(t)] = x0 + α f (s, x(s))ds , t0 x(t) nghiệm toán (2.1) khả vi loại (i); t (ii) Ht,x α = [x(t)] = x0 α f (s, x(s))ds , (−1) t0 x(t) nghiệm toán (2.1) khả vi loại (ii) 10 Tồn nghiệm bó mờ Cho B(x0 , ρ) = {z ∈ Ed : D0 [z, x0 ]) ≤ ρ}, ρ > Định lý 2.1.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Hàm f : [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ) → Ed liên tục, tồn M1 > cho ˆ ≤ M1 , ∀(t, z) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ); D0 [ f (t, z), 0] (ii) Hàm g ∈ C([t0 , t0 + ζ] × [0, ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, tồn M2 > cho ≤ g(t, k) ≤ M2 , ∀t ∈ [t0 , t0 + ζ], ≤ k ≤ ρ, g(t, k) không giảm theo k toán giá trị đầu thực dk = g(t, k(t)), k(t0 ) = dt (2.2) có nghiệm k(t) ≡ [t0 , t0 + ζ]; (iii) D0 [ f (t, x1 ), f (t, x2 )] ≤ g(t, D0 [x1 , x2 ]), ∀(t, x1 ), (t, x2 ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ), tồn M3 > cho D0 [x1 , x2 ] ≤ M3 ; (iv) Tồn q > cho với t ∈ [t0 , t0 + q], dãy xm : [t0 , t0 + q] → Ed sau t x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0 f (s, xm (s))ds (−1) t0 xác định hợp cách (nghĩa hiệu Hukuhara trước tồn tại) với m ∈ N Khi đó, toán (2.1) có nghiệm cho loại khả vi (loại (i) loại (ii)) x, x : [t0 , t0 + r] → B(x0 , ρ), r = min{ζ, q, ρ/M1 , ρ/M2 } dãy t x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0 + f (s, xm (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ], (2.3) t0 cho trường hợp khả vi loại (i), t x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0 f s, xm (s) ds, t ∈ [t0 , t0 + q], (−1) t0 cho trường hợp khả vi loại (ii), hội tụ nghiệm x(t), x(t) 11 (2.4) Giải toán nghiệm bó mờ Xét toán giá trị đầu dạng mờ g DH x(t) = f (t, x(t)), x(0) = x0 ∈ E1 , (2.5) f : [0, b] × E1 → E1 Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] Bằng việc sử dụng nguyên lý mở rộng Zadeh, thu [ f (t, x(t))]α = [ f (t, α, x(t, α), x(t, α)), f (t, α, x(t, α), x(t, α))], với α ∈ [0, 1] g Trường hợp Nếu x(t) khả vi loại (i) [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) Khi toán (2.5) chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:     x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 , (2.6)    x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 g Trường hợp Nếu x(t) khả vi loại (ii) [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) Khi toán (2.5) chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:     x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 , (2.7)    x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 2.1.2 Bài toán nghiệm bó tập mờ Xét toán giá trị đầu dạng tập mờ đạo hàm Hukuhara tổng quát: g DH x(t) = f (t, x(t)), x(t) = x0 ∈ H0 ⊂ Ed , (2.8) f ∈ C([t0 , t0 + ζ] × Ed , Ed ), t ∈ [t0 , t0 + ζ] Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm bó tập mờ (2.8) thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] đạo hàm Hukuhara tổng quát tập t (i) Ht,x = x(t) = x0 + f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0 , t0 x(t) khả vi loại (i) nghiệm (2.8) với x0 ∈ H0 ; t (ii) Ht,x = x(t) = x0 f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0 , (−1) t0 x(t) khả vi loại (ii) nghiệm (2.8) với x0 ∈ H0 12 Định lý 2.1.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Hàm f : [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ) → Ed liên tục, tồn M0 > cho ˆ ≤ M0 , ∀(t, z) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ); D0 [ f (t, z), 0] (ii) Tồn L0 > cho với x, y ∈ B(x0 , ρ), ta có D0 [ f (t, x), f (t, y)] ≤ L0 D0 [x, y]; (iii) Tồn q > cho với t ∈ [t0 , t0 + q], dãy xm : [t0 , t0 + q] → Ed sau t x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0 f (s, xm (s))ds (−1) t0 xác định hợp cách (nghĩa hiệu Hukuhara trước tồn tại) với m ∈ N Khi đó, toán (2.8) có nghiệm bó tập mờ loại (i) (tương ứng loại (ii)) [t0 , t0 + r], r = min{ζ, q, ρ/M0 , 1/L0 } 2.2 2.2.1 Bài toán giá trị đầu dạng mờ có chậm Bài toán nghiệm bó mờ có chậm Cho σ > 0, ta gọi Cσ = C([−σ, 0], Ed ) không gian ánh xạ mờ liên tục từ [−σ, 0] vào Ed Khoảng cách Dσ không gian Cσ định nghĩa Dσ x, y = sup D0 x(t), y(t) t∈[−σ,0] Cho ζ > 0, ta xét khoảng [t0 , t0 + ζ], [t0 − σ, t0 ] ∪ [t0 , t0 + ζ] = [t0 − σ, t0 + ζ] Với t ∈ [t0 , t0 + ζ], phần tử xt Cσ định nghĩa xt (s) = x(t + s), s ∈ [−σ, 0] Xét toán giá trị đầu dạng bó mờ có chậm: g DH x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , x(t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 ∈ Cσ , t0 − σ ≤ t ≤ t0 , g (2.9) f : [t0 , t0 + ζ] × Cσ → Ed , ϕ ∈ Cσ DH x(t) đạo hàm Hukuhara tổng quát x(t) Nghiệm (2.9) ánh xạ mờ x ∈ C([t0 − σ, t0 + ζ], Ed ) thỏa mãn x(t) = ϕ(t − t0 ) với t ∈ [t0 − σ, t0 ]; x khả vi [t0 , t0 + ζ] g DH x(t) = f (t, xt ), t ∈ [t0 , t0 + ζ] 13 Định nghĩa 2.2.1 Cho hàm mờ x : [t0 − σ, t0 + ζ] → Ed khả vi-(i) (khả vi-(ii)) g Nếu x DH x thỏa mãn (2.9) ta nói x nghiệm loại (i) (loại (ii)) (2.9) Chú ý 2.2.1 Dựa vào nguyên lý mở rộng Zadeh, ta định nghĩa nghiệm toán (2.9) dạng phân lớp α ∈ [0, 1] Khi đó, nghiệm biểu diễn dạng phân lớp gọi nghiệm bó mờ toán (2.9) Cho α ∈ [0, 1], nghiệm bó mờ toán (2.9) đạo hàm Hukuhara tổng quát thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] tập  t     [ϕ(0) + f (s, xs )ds]α , t ∈ [t0 , t0 + ζ], (i) Ht,x = [x(t)]α =    [ϕ(t − t t0)]α , t ∈ [t − σ, t ], 0 x(t) nghiệm toán (2.9) khả vi-(i);  t     [ϕ(0) (−1) f (s, xs )ds]α , t ∈ [t0 , t0 + ζ], (ii) , Ht,x = [x(t)]α =    [ϕ(t − t )]α , t0 t ∈ [t − σ, t ], 0 x(t) nghiệm toán (2.9) khả vi-(ii) (i) (ii) Ta thấy nghiệm bó mờ Ht,x Ht,x toán (2.9) hai tập lồi, compact khác rỗng Rd Bài toán (2.9) với nghiệm bó gọi toán nghiệm bó mờ có chậm Tồn nghiệm bó mờ có chậm ∗ Nghiệm địa phương Định lý 2.2.1 Cho m ∈ C([t0 − σ, ∞), R) thỏa mãn bất đẳng thức D+ m(t) ≤ g(t, |mt |σ ), t > t0 , g ∈ C([t0 , ∞) × R+ , R+ ) |mt |σ = sup |m(t + s)|, s ∈ [−σ, 0] t∈[−σ,0] Giả sử r(t) = r(t, t0 , u0 ) nghiệm cực đại toán giá trị đầu thực d u = g(t, u), u(t0 ) = u0 ≥ 0, dt [t0 , ∞) Khi đó, |mt0 |σ ≤ u0 m(t) ≤ r(t), t ∈ [t0 , ∞) 14 (2.10) Cho ρ số dương, Ω(x0 , ρ) = {x ∈ Ed : D0 [x, x0 ] ≤ ρ} S(x0 , ρ) = {ξ ∈ Cσ : Dσ [ξ, x0 ] ≤ ρ} Ta xét ánh xạ f : [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ) → Ed , g : [t0 , t0 + ζ] × [0, ρ] → R+ , x0 (t) = ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] , ϕ(0), t ∈ [t0 , t0 + ζ] Định lý 2.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) f ∈ C([t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ), Ed ), tồn M5 > cho ˆ ≤ M5 , ∀(t, ξ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ); D0 [ f (t, ξ), 0] (ii) g ∈ C([t0 , t0 + ζ] × [0, ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, tồn M6 > cho ≤ g(t, u) ≤ M6 , ∀t ∈ [t0 , t0 + ζ], ≤ u ≤ ρ g(t, u) hàm không giảm theo u toán giá trị đầu du = g(t, u(t)), u(t0 ) = dt (2.11) có nghiệm thực u(t) ≡ [t0 , t0 + ζ]; (iii) D0 [ f (t, ξ), f (t, ψ)] ≤ g(t, Dσ [ξ, ψ]), ∀(t, ξ), (t, ψ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ) tồn M7 > cho Dσ [ξ, ψ] ≤ M7 Khi đó, dãy xấp xỉ cho   ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,    [t ] ϕ(t − t ), t ∈ − σ, t ,  t 0 x0 (t) = xn+1 (t) =   ϕ(0) + f s, xns ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ], ϕ(0), t ∈ [t0 , t0 + ζ],    t0 (2.12) (n = 0, 1, 2, ) cho trường hợp khả vi loại (i);   ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,    ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,  t n+1 x (t) = x (t) =   ϕ(0) (−1) f s, xns ds, t ∈ [t0 , t0 + η], ϕ(0), t ∈ [t0 , t0 + η],    t0 (2.13) (n = 0, 1, 2, ) cho trường hợp khả vi loại (ii) (trong η > cho dãy xấp xỉ (2.13) xác định hợp cách), hội tụ nghiệm x(t), x(t) (2.9) [t0 , t0 + r], với r = min{ζ, ρ/M5 , ρ/M6 , η} 15 ∗ Nghiệm toàn cục ˆ ≤ B} Ω(B) = {x ∈ Cho số B > 0, ký hiệu S(B) = {ξ ∈ Cσ : Dσ [ξ, 0] d ˆ ≤ B} E : D0 [x, 0] Định lý 2.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) f ∈ C(R+ ×Cσ , Ed ), f bị chặn tập bị chặn tồn nghiệm địa phương loại (i) loại (ii) (2.9) với (t0 , ϕ0 ) ∈ R+ × Cσ ; (ii) hàm V ∈ C([−σ, +∞) × Ω(B) × S(B), R+ ), tồn L1 > cho |V(t, y, ξ) − V(t, z, ξ)| ≤ L1 D0 [y, z], ∀(t, y, ξ), (t, z, ξ) ∈ R+ × Ω(B) × S(B), ˆ → +∞ với t > t0 , y ∈ V(t, y, ξ) → +∞ [t0 , t0 + ζ] D0 [y(t), 0] Ω(B), ξ ∈ S(B), đạo hàm Dini V thỏa mãn V(t + h, y + h f (t, yt ), yt+h ) − V t, y, yt h→0 h ≤ g t, V t, y, ξ , D+ V t, y, ξ ≡ lim+ sup cho trường hợp x khả vi loại (i), V t + h, y h→0 h ≤ g t, V t, y, ξ , D+ V t, y, ξ ≡ lim+ sup (−1)h f (t, yt ), yt+h − V t, y, yt cho trường hợp x khả vi loại (ii), g ∈ C(R+ × R+ , R); (iii) nghiệm cực đại r(t) = r(t, t0 , u0 ) toán du = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0 ≥ dt (2.14) tồn [t0 , ∞) r(t) > u0 > Khi đó, với (ϕ(0), ϕ0 ) ∈ Ω(B) × S(B) thỏa mãn V(t0 , ϕ(0), ϕ0 ) ≤ u0 , toán (2.9) có nghiệm toàn cục loại (i) loại (ii) x(t0 , ϕ0 )(t) tương ứng [t0 , +∞) thỏa mãn đánh giá V(t, x(t0 , ϕ0 )(t), xt (t0 , ϕ0 )) ≤ r(t, t0 , u0 ), t ≥ t0 (2.15) Tính ổn định nghiệm bó mờ có chậm Định nghĩa 2.2.2 Nghiệm tầm thường x = 0ˆ toán (2.9) gọi (S1) ổn định, với ε > t0 ∈ R, tồn hàm dương ˆ < δ δ = δ(t0 , ε) liên tục theo t0 với ε cho Dσ [ϕ0 , 0] ˆ < ε, t ≥ t0 ; D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0] (S2) ổn định đều, δ (S1) không phụ thuộc t0 ; 16 Định lý 2.2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) V ∈ C([−σ, +∞) × Ω(B) × S(B), R+ ), tồn L3 > cho |V(t, y, ξ) − V(t, z, ξ)| ≤ L3 D0 [y, z], ∀(t, y, ξ), (t, z, ξ) ∈ R+ × Ω(B) × S(B); (ii) với t > t0 , (x, ξ) ∈ Ω(B) × S(B) D+ V t, y, ξ ≤ 0; ˆ ≤ V(t, x, ξ) ≤ a(D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0]), ˆ (iii) b(D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0]) (t, x, ξ) ∈ [t0 , +∞) × Ω(B) × S(B), b, a ∈ K Khi đó, nghiệm tầm thường toán (2.9) ổn định 2.2.2 Bài toán nghiệm bó tập mờ có chậm Xét toán giá trị đầu dạng bó tập mờ đạo hàm Hukuhara tổng quát: g DH x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , x(t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 ∈ H0 , t0 ≥ t ≥ t0 − σ, (2.16) f ∈ C[[t0 , t0 + ζ] × Cσ , Ed ], H0 ⊂ Cσ Định nghĩa 2.2.3 Nghiệm bó tập mờ có chậm (2.16) thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] đạo hàm Hukuhara tổng quát tập   x (t) = ϕ (t − t0 ) ∈ H0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ]       t   (i) , (2.17) Ht,x =     (0) x(t) = ϕ + f (s, x(s))ds, t ∈ [t , t + ζ]   0   t0 x(t) khả vi loại (i) nghiệm (2.16) với ϕ(t − t0 ) ∈ H0 ⊂ Cσ ;   x (t) = ϕ (t − t0 ) ∈ H0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ]       t   (ii) (2.18) Ht,x =     (0) x(t) = ϕ (−1) f (s, x(s))ds, t ∈ [t , t + ζ]   0   t0 x(t) khả vi loại (ii) nghiệm (2.16) với ϕ(t−t0 ) ∈ H0 ⊂ Cσ 17 Chương Một số toán điều khiển nghiệm bó mờ 3.1 Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ Xét toán điều khiển nghiệm bó mờ: g DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed , (3.1) f : [t0 , t0 + ζ] × Ed × Ep → Ed điều khiển mờ u(t) ∈ Ep Định nghĩa 3.1.1 Cho x : [t0 , t0 + ζ] → Ed hàm mờ khả vi khả vi loại (i) g (hoặc loại (ii)) [t0 , t0 + ζ] Nếu x DH x thỏa mãn (3.1) ta nói x nghiệm loại (i) (hoặc loại (ii)) (3.1) Nghiệm x (3.1) ˆ D0 [x(t), x(t)] = 0, với xˆ : [t0 , t0 + ζ] → Ed nghiệm toán (3.1) Định nghĩa 3.1.2 Cho α ∈ [0, 1] Nghiệm bó mờ toán (3.1) đạo hàm Hukuhara tổng quát thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] tập t Ht,x,u = [x(t)]α = x0 + (i) α f (s, x(s), u(s))ds , t0 x(t) nghiệm toán (3.1) khả vi loại (i); t Ht,x,u = [x(t)]α = x0 (ii) α f (s, x(s), u(s))ds , (−1) t0 x(t) nghiệm toán (3.1) khả vi loại (ii) Định nghĩa 3.1.3 Hàm u : [t0 , t0 + ζ] → Ep gọi hàm điều khiển chấp nhận u(t) hàm đo 18 3.1.1 Bài toán điều khiển Định nghĩa 3.1.4 (Điều khiển được) Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Ed Cặp (x0 , x1 ) gọi điều khiển tồn điều khiển u(t) ∈ Ep cho sau khoảng thời gian t1 ∈ [t0 , T] nghiệm x(t) toán (3.1) thỏa mãn điều kiện: x(t1 ) = x(t0 , x0 , t1 , x(t1 )) = x1 (3.2) Khi đó, toán (3.1) gọi điều khiển theo u(t) Tiếp theo, ta xét toán (3.1) giả thiết sau: (A1) f : [t0 , t0 + ζ] × Ed × Ep → Ed liên tục (A2) Tồn L5 > cho D0 [ f (t, x1 , u1 ), f (t, x2 , u2 )] ≤ L5 (D0 [x1 , x2 ] + D0 [u1 , u2 ]), với x1 , x2 ∈ Ed , u1 , u2 ∈ Ep t ∈ [t0 , t0 + ζ] (A3) X(ii) tập khác rỗng, nghĩa tồn x ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ed ) cho hiệu t Hukuhara x0 f (s, x(s), u(s))ds tồn với t ∈ [t0 , t0 + ζ] (−1) t0 (A4) Nếu x ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ed ) cho hiệu Hukuhara t x0 f (s, x(s), u(s))ds tồn với t ∈ [t0 , t0 + ζ], (−1) t0 hiệu Hukuhara t x0 f (s, (Px)(s), u(s))ds tồn với t ∈ [t0 , t0 + ζ] (−1) t0 Định nghĩa toán tử T : X(i) → {x | x : [t0 , t0 + ζ] → Ed } : t f (s, x(s), u(s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ] (Tx)(t) = x0 + (3.3) t0 dãy xấp xỉ liên tiếp (xm )m∈N ⊂ X(i) cho bởi: x0 (t) = x0 xm (t) = (Txm−1 )(t), t ∈ [t0 , t0 + ζ] Trong giả thiết (A4), xét ánh xạ P : X(ii) → {x | x : [t0 , t0 + ζ] → Ed } xác định bởi: t (Px)(t) = x0 f (s, x(s), u(s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ], (−1) t0 dãy xấp xỉ (xm )m∈N ⊂ X(ii) cho bởi: x0 (t) = x0 xm (t) = (Pxm−1 )(t), t ∈ [t0 , t0 + ζ] 19 (3.4) Định lý 3.1.1 Cho u ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ep ) điều khiển chấp nhận Giả sử giả thiết (A1)-(A4) thỏa Hơn nữa, C = L5 ζ < (i) toán (3.1) có nghiệm bó mờ loại (i) (nghiệm bó mờ loại (ii)) xác định [t0 , t0 + ζ] (ii) nghiệm bó mờ loại (i) (nghiệm bó mờ loại (ii)) toán (3.1) bị chặn liên tục Lipschitz 3.1.2 Bài toán điều khiển ngược Định nghĩa 3.1.5 Hàm điều khiển chấp nhận u(t) ∈ Ep gọi điều khiển ngược toán (3.1) u(t) phụ thuộc vào trạng thái mờ x(t) toán (3.1) có dạng u(t) = h(t, x(t)), h : [t0 , ∞) × Ed → Ep Cho hàm mờ h : [t0 , ∞) × Ed → Ep Ta xét toán (3.1) với giả thiết sau: (U1) Hàm h : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ep liên tục (U2) Tồn Lu > cho D0 [h(t, x1 ), h(t, x2 )] ≤ Lu D0 [x1 , x2 ], với x1 , x2 ∈ Ed t ≥ t0 ˆ ≤ Ku , với t ≥ t0 (U3) Tồn Ku > cho D0 [h(t, x1 ), 0] Định lý 3.1.2 Cho u(t) = h(t, x(t)) điều khiển ngược, h : [t0 , ∞) × Ed → ˆ = ˆ Giả sử hàm f thỏa mãn giả thiết (A1)-(A4), h thỏa mãn Ep h(t, 0) giả thiết (U1)-(U3) max{L5 , Lu } ζ < Khi đó, toán (3.1) có nghiệm loại (i) (loại (ii)) xác định [t0 , t0 + ζ] 3.1.3 Thuật toán giải g DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), x(0) = x0 ∈ E1 , (3.5) f : [0, b]×E1 ×E1 → E1 Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] Sử dụng nguyên lý mở rộng Zadeh, ta thu [ f (t, x(t), u(t))]α = [ f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ), f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 )], f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), với α ∈ [0, 1] Phương pháp giải sau tương tự cách thức mục 2.1 mục 2.2 Dựa vào hai loại khả vi hàm mờ, ta có hai trường hợp sau: 20 g Trường hợp Nếu x(t) khả vi loại (i) [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) Khi toán (3.5) chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:     x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 , (3.6)    x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 Giải hệ phương trình (3.6) ta thu cặp nghiệm (x(t, α), x(t, α)) Nếu cặp nghiệm tạo thành tập mờ [x(t, α), x(t, α)] đạo hàm loại (i) tập mờ, ta kết luận nghiệm bó mờ loại (i) (i) toán (3.5) tồn với Ht,x,u = [x(t, α), x(t, α)] g Trường hợp Nếu x(t) khả vi loại (ii) [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) Khi toán (3.5) chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:     x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 , (3.7)    x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 Tương tự, giải hệ phương trình (3.7) ta thu cặp nghiệm (x(t, α), x(t, α)) Nếu cặp nghiệm cấu thành thỏa tập mờ [x(t, α), x(t, α)] đạo hàm loại (ii) tập mờ, ta kết luận nghiệm bó (ii) mờ loại (ii) toán (3.5) tồn với Ht,x,u = [x(t, α), x(t, α)] 3.2 Bài toán điều khiển cho hệ điều khiển bó mờ Không gian vectơ mờ trường hợp riêng không gian mờ tách dạng khối Nghĩa tập tất vector số mờ d chiều (tích Descartes E1 × E1 × · · · × E1 ), kí hiệu Ed d lần Tiếp theo, nghiên cứu tính điều khiển cho hệ điều khiển bó mờ sau: g DH x(t) = f (t, x(t)) + u(t), (3.8) x(t0 ) = x0 ∈ Ed , f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed hàm mờ dạng vectơ hàm điều khiển u ∈ Ed Nhận xét 3.2.1 Nghiệm toán (3.8) nghiệm hai phương trình tích phân dạng bó mờ sau: t (i) Ht,x,u = [x(t)]α = x0 + t f (s, x(s))ds + t0 t0 21 α u(s)ds , (3.9) x(t) nghiệm toán (3.8) khả vi-(i); t (ii) Ht,x,u = [x(t)]α = x0 t f (s, x(s))ds + (−1) t0 u(s)ds α , (3.10) t0 x(t) nghiệm toán (3.8) khả vi-(ii) Chú ý 3.2.1 Nghiệm hệ điều khiển bó dạng mờ biểu diễn (3.9) (3.10) tương ứng dạng vectơ theo sau: d (·) Ht,x,u α [xi (t, , α), xi (t, α)], α ∈ [0, 1] = [x(t)] = i=1 Định nghĩa 3.2.1 Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Ed Cặp (x0 , x1 ) gọi điều khiển tồn điều khiển u(t) ∈ Ed cho sau khoảng thời gian t1 ∈ [t0 , T] nghiệm x(t) toán (3.8) thỏa mãn điều kiện: x(t1 ) = x(t0 , x0 , t1 , u(t1 )) = x1 (3.11) Khi đó, toán (3.8) gọi điều khiển theo u(t) Ta xét giả thiết sau: (A5) f : [t0 , T] × Ed → Ed thỏa điều kiện Lipschitz tổng quát, nghĩa ∃ k > : dH ([ f (s, x(s))]α , [ f (s, y(s))]α ) ≤ k.dH ([x(s)]α , [y(s)]α ), ∀x(s), y(s) ∈ Ed (A6) Giả sử hệ (3.8) trường hợp f ≡ điều khiển Định lý 3.2.1 Giả sử giả thiết (A5), (A6) thỏa mãn Khi đó, hệ điều khiển bó mờ (3.8) điều khiển cho trường hợp khả vi loại (i) KẾT LUẬN Các đóng góp luận án Luận án thu kết sau: Chứng minh tồn nghiệm bó toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân dạng mờ toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân dạng mờ có chậm Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương pháp Lyapunov 22 Nghiên cứu mô hình nghiệm bó mờ với tham gia điều khiển mờ toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân dạng mờ Chứng minh tồn tại, nghiệm số toán điều khiển nghiệm bó mờ: toán điều khiển được, toán điều khiển ngược Đối với toán điều khiển cho hệ phương trình vi phân mờ: tác giả nghiên cứu toán điều khiển Hướng phát triển vấn đề cần nghiên cứu Bài toán điều khiển nghiệm bó mở rộng theo hướng sau đây: Khảo sát cho đối tượng khác nhau, ví dụ: hàm giá trị khoảng, hàm ngẫu nhiên, hàm mờ random không gian mờ Ed Cho nhiều hàm mục tiêu khác nhau, ví dụ: T Tối ưu Lagrange: I(u) = F0 (t, x(t), u(t))dt; t0 Tối ưu Meyer: I(u) = ϕ(T, x(t)), t ∈ [t0 , T]; T F0 (t, x(t), u(t))dt + ϕ(T, x(t)) Tối ưu Bolza: I(u) = t0 Bài toán Vùng mờ - The Fuzzy Partition Problems - FPP dạng đặc biệt toán điều khiển tối ưu nghiệm bó mờ, với điều kiện ban đầu vùng mờ (Fuzzy Partition) bỏ ngỏ: g DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), t x(t0 ) ∈ H0 = A(t0 ) t0 , (3.12) với f : [a, b] × En × Ed → En , H0 = A(t0 ) điều kiện vùng mờ ban đầu, ứng với điều khiển u(t) tạo nên vùng mờ: Ai (t) = {x(t) = x(t, x0 , u)| x0 ∈ H0 } , c Ai (t) = i=1 b cho phiếm hàm J(A, v) = b c (Ai (t))m tdt (Ai (t) tk − vi dt → min, vi = a i=1 a b (Ai (t))m dt a 23 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Các công trình tác giả liên quan đến luận án [Tri1] N V Hoa, P.V Tri, T T Dao, Ivan Zelinka, Some global existence results and stability theorem for fuzzy functional differential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 28 (2015), 393–409 (SCI-E, IF 1.812) [Tri2] P V Tri, N.V Hoa, N D Phu, Sheaf fuzzy problems for functional differential equations, Advances in Difference Equations 2014, 2014 : 156 (SCI-E, IF 0.64) [Tri3] N D Phu, P V Tri, S Salahshour, A Ahmadian, D Baleanu, Some kinds of the controllable problems for fuzzy control dynamic systems, Journal of Vibration and Control (revision 03/2017) Hội nghị khoa học tham gia [Tri4] P.V Tri, L.D Thang, N.D Phu, On the Interval valued Integro differential Equations, VMS - SMF joint congress, August 20 - 24, 2012, Hue [Tri5] P V Tri, N.V Hoa, N D Phu, Sheaf fuzzy problems under generalized Hukuhara derivative, The 8th Vietnamese Mathematical Conference, August 10 - 14, 2013, Nha Trang 24 ... nghiên cứu số lớp toán liên quan đến phương trình vi phân mờ: phương trình vi phân mờ có chậm phương trình vi phân bó mờ Một số kết đánh giá tính chất định tính phương pháp giải cho số lớp toán nghiệm... nghiệm bó mờ với tham gia điều khiển mờ toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân dạng mờ Chứng minh tồn tại, nghiệm số toán điều khiển nghiệm bó mờ: toán điều khiển được, toán điều khiển ngược... bó mờ nghiên cứu Tính chất tồn nghiệm toán điều khiển nghiệm bó mờ tham gia điều khiển mờ trình bày Chương Bài toán nghiệm bó mờ 2.1 2.1.1 Bài toán giá trị đầu dạng mờ Bài toán nghiệm bó mờ Xét