MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Tp Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN ðầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñối với PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN – Khoa Toán – Tin học, Trường ðại học Sư Phạm ñã dành thời gian công sức tận tình hướng dẫn giúp hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn ñến quý Thầy Cô Hội ñồng chấm luận văn ñã dành thời gian ñọc, chỉnh sửa ñóng góp ý kiến giúp cho hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Bên cạnh ñó, xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Phòng KHCN – SðH quý Thầy Cô ñã giảng dạy, tạo ñiều kiện cho hoàn thành khóa học Và ñể có ñược kết ngày hôm nay, ñã ñược giúp ñỡ tận tình Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, nhận ñược lời ñộng viên, ñóng góp ý kiến bạn ñồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường ðH Sư phạm Tp.HCM bạn bè người thân ðặc biệt, xin dành tặng kết cho ba mẹ gia ñình thân yêu – người ñã tạo ñiều kiện, hỗ trợ ñộng viên vượt qua khó khăn bước ñường nghiên cứu khoa học Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ñược ý kiến ñóng góp bạn ñọc Mọi ý kiến ñóng góp, xin gửi theo ñịa chỉ: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM 280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM Email: nguyenvuthunhan@gmail.com Xin chân thành cảm ơn Mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục .3 Danh mục ký hiệu MỞ ðẦU .8 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN .10 Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT 12 2.1.1 ðịnh nghĩa 2.1.1 .12 2.1.2 ðịnh nghĩa 2.1.2 .12 2.1.3 Bổ ñề 2.1.1 (bổ ñề tính giải ñược phương trình vi phân hàm không nhất) 13 2.1.4 Bổ ñề 2.1.2 .15 2 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN PHI TUYẾN17 2.2.1 ðịnh nghĩa 2.2.1 .17 2.2.2 ðịnh nghĩa 2.2.2 .17 2.2.3 Mệnh ñề 2.2.1 ([8]) 17 2.2.4 Mệnh ñề 2.2.2 ([8]) 18 2.2.5 Bổ ñề 2.2.1 .18 2.2.6 Mệnh ñề 2.2.3 19 2.2.7 Mệnh ñề 2.2.4 (Tính chất tập V0 ((a; b); ℓ) 19 2.2.8 Bổ ñề 2.2.2 20 Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM .23 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) 23 3.1.1 ðịnh lý 3.1.1 23 3.1.2 Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 23 3.1.3 Hệ 3.1.1 .26 3.1.4 Hệ 3.1.2 .28 3.1.5 ðịnh lý 3.1.2 29 3.1.6 Bổ ñề 3.1.2 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 30 3.1.7 ðịnh lý 3.1.3 34 3.1.8 Bổ ñề 3.1.3 .34 ðịnh lý 3.1.3’ .38 3.1.9 Hệ 3.1.3 .38 3.1.10 Hệ 3.1.4 41 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI PHẦN CHÍNH KHÔNG TĂNG 44 3.2.1 ðịnh lý 3.2.1 44 3.2.2 Bổ ñề 3.2.1 .44 3.2.3 Bổ ñề 3.2.2 .46 3.2.4 Hệ 3.2.1 .50 3.2.5 Hệ 3.2.2 .54 3.2.6 Hệ 3.2.3 .55 3.2.7 Hệ 3.2.4 .57 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 Danh mục ký hiệu R: tâp hợp số thực R+ = [0, + ∞) N: tập hợp số tự nhiên C ([a ; b]; R) không gian ánh xạ liên tục u: [a, b] → R [a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b} C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0} C1([a ; b]; R) không gian ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R với chuẩn: u C1 = u C + u' C { } C01 ([ a ; b]; R ) = u ∈ C1 ([a; b]; R) : u (a ) = 0, u (b) = C ' ([a ; b]; R) không gian hàm liên tục tuyệt ñối [a ; b], với ñạo hàm cấp liên tục tuyệt ñối, hàm u: [a ; b] → R với b chuẩn: u C' = u ( a ) + ∫ u '( s ) ds a ' Cloc ( I ; D ) (với I ⊂ [a ; b] D ⊂ R) tập hợp ánh xạ u: I →D liên tục tuyệt ñối I cho u ∈ C ' ( I0 ; D) với tập compact I0 ⊂ I C ' ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈ C ' ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b} L ([ a; b ]; R ) không gian hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue b [a ; b] với chuẩn: f L = ∫ f ( s ) ds a L ( ( a; b ) ; R+ ) = { f ∈ L(( a; b); ℝ ) : f (t ) ≥ 0, ∀a < t < b} LP((a ; b); R), p> 1, không gian hàm f: (a ; b) → R, f P ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , với chuẩn f 1/ p Lp b  p =  ∫ f ( s ) ds  a  K ( ( a; b ) xR n ; D ) , n ∈ N , D ⊂ R , tập hợp ánh xạ f : ( a; b ) x R n → D thỏa mãn ñiều kiện Caratheodory ñịa phương, nghĩa là: f (., x ) : ( a; b ) → D ño ñược với x ∈ Rn sup { f (., x ) , x ∈ D } ∈ L ( ( a;b ) , R ) + với tập compact D0 ∈ R n f ( t ,.) : R n → D liên tục hầu khắp nơi với t ∈ (a ; b) M((a ; b); D), với D ⊂ R, tập hàm ño ñược f: (a ; b) → D L0([a;b]) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) tuyến tính, bị chặn thỏa mãn ñiều kiện: { sup ℓ ( v )(.) : v C } = ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) (*) L1((a ; b)) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) liên tục, dương thỏa mãn ñiều kiện (*) K((a ; b)) tập hợp toán tử F: C1 ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên tục thỏa mãn ñiều kiện: { sup F (v )(.) : v C1 } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , ∀r > K ((a ; b)) tập hợp toán tử F: C ' ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên tục thỏa mãn ñiều kiện: { sup F ( v )(.) : v C' } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) , ∀r > σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) toán tử ñược xác ñịnh bởi:  t  σ ( p)(t ) = exp  ∫ p( s) ds   a +b    t σ α ( p)(t ) = σ ( p )( s) ds σ ( p )(t ) α∫ t b σ ab ( p)(t ) = σ ( p)( s) ds ∫ σ ( p )( s)ds σ ( p)(t ) ∫a t [ p ]+ = ½ ( p + p ) [ p ]− = ½ ( p − p ) Ta nói toán tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không giảm nếu: Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b Ta nói toán tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không tăng nếu: Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b Nghiệm toán: u”( t) = F (u) (t) với F∈K((a ; b)) hàm u ∈ C ' ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi (a ; b) - MỞ ðẦU Lý chọn ñề tài Lý thuyết toán biên cho phương trình hàm ñược hình thành phát triển từ k ỷ XVIII ngày tìm ñược ứng dụng rộng rãi lĩnh vực kinh tế khoa học kỹ thuật Song, từ năm 1997, việc nghiên cứu phát triển theo hướng thực phát triển mạnh thu ñược nhiều kết Các kết ñược nghiên cứu nhóm nhà toán học Grudia Cộng hòa Czech dẫn dắt giáo sư viên sỹ Ivan Kiguradze - Viện trưởng viện toán học Tbilisi Trong năm gần ñây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết công trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, A.Lomtatidze Vì vậy, chọn ñề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển ñề tài theo hướng tác giả Mục ñích nghiên cứu Trong luận văn này, tiếp tục học tập nghiên cứu tồn nghiệm toán biên hai ñiểm cho phương trình: phương trình vi phân hàm cấp hai nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai không nhất, áp dụng kết ñạt ñược cho phương trình vi phân hàm cấp hai ñối số lệch ðối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, trọng việc nghiên cứu tính giải ñược nghiệm toán biên hai ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn sở ñể tiếp tục nghiên cứu lớp toán biên hai ñiểm, nhiều ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai phương trình vi phân hàm bậc cao áp dụng kết ñó cho phương trình vi phân ñối số lệch bậc cao Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Phần giới thiệu toán Chương Một số công cụ, kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày khái niệm, ñịnh nghĩa, bất ñẳng thức liên quan ñến trình xây dựng kết toán ðồng thời, xây dựng bổ ñề tính giải ñược toán biên hai ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Chương Các kết toán Dựa kết chương ñể xây dưng ñiều kiện ñủ cho tồn nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai 10 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Trong luận văn này, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình: u’’ (t) = F (u)(t) (1.1) u(a) = 0, u(b) = (1.2) thỏa mãn ñiều kiện: ñó: F ∈ K((a ; b)) Bài toán (1.1), (1.2) ñã ñược nghiên cứu chi tiết trường hợp F toán tử Nemytski, nghĩa là: F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R) Khi ñó, toán (1.1) trở thành: u '' = f (t , u (t ), u '(t )) (1.3) Các kết toán biên (1.3), (1.2), ñược trình bày công trình nhà toán học S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée Poussin, L Tonelli H Epheser Hiện nay, lý thuyết toán biên dạng (1.3), (1.2) ñã ñược hình thành cách ñầy ñủ, ñó hàm f hàm không khả tích Trong năm gần ñây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết công trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, A.Lomatatidze Vì vậy, công việc luận văn tiếp tục học tập phát triển ñề tài theo hướng tác giả Trong năm gần ñây, công trình ñều nghiên cứu lý thuyết toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, - 8], ) Hơn nữa, toán (1.3), (1.2), tiếp tục ñược nghiên cứu tỉ mỉ trường hợp tổng quát Tuy nhiên, gặp khó khăn sử dụng k ỹ thuật lý thuyết toán vi phân thường cho toán vi phân hàm, phương pháp ñể 50 X (u0 )(t ) = Từ ñó ta có: Thế vào (3.2.21) ta có: u0" (t ) = F (u0 )(t ); u0 (a ) = 0, u0 (b) = Nghĩa là: u0 nghiệm toán (1.1), (1.2) Vậy ñịnh lý 3.2.1 ñược chứng minh 3.2.4 Hệ 3.2.1 Cho ℓ ∈L0((a ; b)) toán tử không tăng b t ∫ σ ( g )( s)ds ∫ σ t t b a t a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds + a ( ) b + ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) [ p ( s )]− + ℓ(1)( s ) ds < ∫ σ ( g )( s )ds , a ≤ t ≤ b (3.2.22) a ñó : p, g ∈ L((a ; b); R+) Ngoài ra, giả sử với v ∈ C01 ([a; b]; R ) ta có: [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) ≥ p(t ) v(t ) + g (t ) v(t ) '− q(t ) , q∈L((a ; b); R+) (3.2.23) Khi ñó, toán (1.1), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.1 Trước tiên, ta chứng minh : (p, g, g) ∈ V0((a; b); ℓ) Thật vậy: Ta xét: −1 t b  b wε (t ) = ε +  ∫ σ ( g )( s )ds   ∫ σ ( g )( s ) ds ∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds + a a  t  + ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds  , với a ≤ t ≤ b a t  t b Áp dụng bất ñẳng thức (3.2.22) ta chọn ε > cho: < wε ( t ) < , với a ≤ t ≤ b (3.2.24) 51 Ta tính wε" (t ) : ðặt : b t t a t b a t wa (t ) = ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds wb (t ) = ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds t Ta có : wa' (t ) = −σ ( g )(t ).∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds + a ( b + ∫ σ ( g )( s )ds σ a ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) t ) b wb' (t ) = σ ( g )(t ).∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − t ( t − ∫ σ ( g )( s ) ds σ b ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) a ) t w (t ) = − (σ ( g )(t ) ) '.∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − " a a ( ( ) ( − (σ ( g )(t ) ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  −σ ( g )(t ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) b )) ' ' + ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) + (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) )    t Mà :  t   σ ( g )(t ) = exp  ∫ g ( s ) ds  ;  a +b    t σ a ( g )(t ) = σ ( g )( s )ds ; σ ( g )(t ) ∫a σ b ( g )(t ) = σ ( g )( s )ds σ ( g )(t ) ∫t [ p ]+ = ½ ( p + p ) ; b [ p ]− = ½ ( p − p ) 52 (σ ( g )(t ) ) ' = g (t ).σ ( g )(t ) ; Nên : t (σ a ( g )(t ) ) ' = σ ( g )(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s ) ds a σ ( g )(t ) = − g (t ).σ a ( g )(t ) b (σ b ( g )(t ) ) ' = σ ( g )(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s) ds t σ ( g )(t ) = − g (t ).σ b ( g )(t ) t Suy ra: w (t ) = − g (t ).σ ( g )(t ).∫ σ a ( g )( s ) ([ p( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − " a a ( b ) ' −2 (σ ( g )(t ) ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  + ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) )    t b ( ) b + σ ( g )( s )ds [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s ) ds.σ a ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) (3.2.25) ∫ t t b wb" (t ) = g (t ).σ ( g )(t ).∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds - Tương tự : t ( ) t −2 (σ ( g )(t ) ) σ b ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  − ∫ σ ( g )( s )ds (σ b ( g )(t ) ) ([ p (t )]− + ℓ(1)(t ) )    ' a t t + ∫ σ ( g )( s ) ds.([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) + g (t ) σ ( g )( s ) ds.σ b ( g )(t ) ∫ a ([ p(t )] − + ℓ(1)(t ) ) (3.2.26) a Mặt khác, ta lại có : −1 b  wε (t ) =  ∫ σ ( g )( s ) ds  ( wa" (t ) + wb" (t ) ) a  '' Nên từ (3.2.25) (3.2.26) ta có : −1 b  wε (t ) = ( g (t ).wε (t ) − [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) +  ∫ σ ( g )( s ) ds  a  " ' t b (σ ( g )(t ) ) ([ p (t ) ] + ℓ(1)(t ) )'  − σ ( g )( s )ds (σ ( g )(t ) ) ([ p (t ) ] + ℓ(1)(t ) )'   σ ( g )( s ) ds ∫  − −  a  ∫a  b   t 53 Mà : t b ' '       ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) [ p(t ) ]− + ℓ(1)(t )  − ∫ σ ( g )( s )ds (σ b ( g )(t ) ) [ p(t )]− + ℓ(1)(t )       a t ( ) ( ) t b  = ([ p(t )]− + ℓ(1)(t ) )  ∫ σ ( g )( s )ds.σ a ( g )(t ) − ∫ σ ( g )( s)ds.σ b ( g )(t )  a t  ' t b   σ ( g )( s ) ds σ ( g )( s ) ds b  t ∫a ∫t '  =0 = ([ p(t )]− + ℓ(1)(t ) ) ∫ σ ( g )( s)ds − ∫ σ ( g )( s)ds t σ ( g )(t ) σ ( g )(t )  a     Nên: wε" (t ) = ( g (t ).wε' (t ) − [ p(t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) Vậy: wε" (t ) = − [ p(t ) ]− + g (t ).wε' (t ) + ℓ(1)(t ) , với a < t < b (3.2.27) Kết hợp (3.2.24) ta có kết quả: wε" (t ) ≤ p(t ).wε (t ) + g (t ).wε' (t ) + ℓ( wε )(t ) , với a < t < b (3.2.28) ðiều ñó chứng tỏ với hàm g ∈ M((a ; b); R) tồn wε ∈ C '([ a ; b]; R) cho: w’’(t) ≤ p(t)w(t) + g(t)w’(t) + ℓ(w)(t), với a < t < b Nên : (p, g, g) ∈ V0((a; b); ℓ) Vậy ñiều kiện (3.2.3) ñịnh lý 3.2.1 ñược thỏa mãn Mặt khác, từ (3.2.23) ta có: [ F (v)(t ) − p(t )v(t ) − g (t )v '(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) ≥ − p(t )v (t )sgn v (t ) − g (t )v '(t )sgn v (t ) + p (t ) v(t ) + g (t ) v '(t ) − q (t ) ≥ −q (t ) Do ñó, ñiều kiện (3.2.1), (3.2.2) ñược thỏa mãn với (p1, g1, g2) ≡ (p, g, g) Vậy áp dụng ñịnh lý 3.2.1 ta có phương trình (1.1), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.1 ñược chứng minh 54 3.2.5 Hệ 3.2.2 Ta ñịnh nghĩa: def ℓ(v)(t ) = h(t )v(τ (t )), v ∈ C ([a; b]; R) Xét phương trình: u "(t ) = h ( t ) u ( t ( t ) ) + G ( u )( t ) (1.6) ñó τ ∈ M((a ; b); (a ; b)) G ∈ K((a ; b)) Giả sử với v ∈ C01 ([a; b]; R ) ta có: G (v )(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ), q ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , (3.2.29) Ngoài ra, giả sử h(t) ≤ 0, a < t < b (3.2.30) giả sử với ε ∈ (0; b – a) ta có: τ (t ) b a τ (t ) ( b − τ (t ) ) ∫ ( s − a) h( s) ds + (τ (t ) − a ) ∫ (b − s) h( s) ds ≤ b − a − ε , a < t < b (3.2.31) Khi ñó, toán (1.6), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.2: Trước tiên, ta chứng minh : (p1, g1, g2) ≡ (0,0,0) ∈ V0((a; b); ℓ) Thật vậy: t b   Xét: wε (t ) = ε + (b − t ) ∫ ( s − a) h( s) ds + (t − a) ∫ (b − s) h( s) ds  , a ≤ t ≤ b b−a b−a  Do (3.2.31) ta có : a t wε (τ (t )) ≤ 1, a < t < b  (3.2.32) Mặt khác, ta lại có : wε' (t ) = = t b   ( b − t )( t − a ) h ( t ) − ( s − a ) h ( s ) ds − ( t − a )( b − t ) h ( t ) + (b − s ) h( s ) ds   ∫ ∫ b−a a t  b t   ( b − s ) h ( s ) ds − ( s − a ) h ( s ) ds ∫  ∫a b−a t  Suy ra: wε" (t ) = ( −(b − t ) h(t ) − (t − a) h(t ) ) = − h(t ) = h(t ) (do h(t) < 0) b−a Vậy, từ (3.2.32) ta có: wε" (t ) ≤ h(t ) wε" (τ (t )) 55 Do ñó, tồn wε ∈ wε ∈ C ' ([ a; b ];R ) cho: w"(t ) ≤ ℓ ( w )( t ) , với a < t < b Nên : (0, 0, 0) ∈ V0((a; b); ℓ) u’’(t) = h(t) u(τ(t)) + G(u)(t) = F(u)(t) Xét toán: Ta có : [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) Do ñó : ñiều kiện (3.2.1), (3.2.2) ñược thỏa mãn vớ i ( p1 , p2 , g1 , g ) ≡ ( 0,0,0,0 ) Vậy áp dụng ñịnh lý 3.2.1 ta có phương trình (1.6), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.2 ñược chứng minh 3.2.6 Hệ 3.2.3 Cố ñịnh ñiều kiện (3.2.30) giả sử tồn c ∈ [a ; b] cho: c ∫σ b a ( f )( s ) h( s ) ds < 1, ∫ σ b ( f )( s ) h( s ) ds < a (3.2.33) c c h( s ) ds < 1, a < t < b ( f )( s ) σ t (t − τ (t ))σ ( f )(t ) ∫ ñó: f (t ) = h(t )(τ (t ) − t ), a < t < b (3.2.34) (3.2.35) Ngoài ra, giả sử bất ñẳng thức (3.2.31) ñúng với v ∈ C01 ([a ; b]; R ) , q ∈ L((a ; b); R+) toán (1.6), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.3: Ta chứng minh: (p1, g1, g2) ≡ (0,0,0) ∈ V0((a; b); ℓ) Thật : c Giả sử: ∫σ a b a ( f )( s ) h( s ) ds ≥ ∫ σ b ( f )( s ) h( s ) ds c b c   ∫ σ a ( f )( s ) h( s ) ds < ∫ σ b ( f )( s ) h( s ) ds  c a  (3.2.36) 56 t  c h(ξ )  wε (t ) = ε + ∫ σ ( f )( s )  ∫ dξ  ds, a < t < b a  s σ ( f )(ξ )  ðặt: b    c h(ξ )  dξ  ds, a < t < b   wε (t ) = ε − ∫ σ ( f )( s )  ∫  t  s σ ( f )(ξ )    Từ (3.2.32) (3.2.33), ta chọn ε > cho < w ε(t) < 1, với a ≤ t ≤ b Lấy ñạo hàm cấp cấp hai wε(t) Ta có :  c h( s )  wε' (t ) = σ ( f )(t )  ∫ ds  , a < t < b  t σ ( f )( s )  Khi ñó :  c h( s )   c h( s )  wε (t ) = (σ ( f )(t ) )  ∫ ds  + σ ( f )(t )  ∫ ds   t σ ( f )( s )   t σ ( f )( s )  ' ' "  c h( s )  = f (t ) (σ ( f )(t ) )  ∫ ds  − h(t )  t σ ( f )( s )   c h( s )  = h(t ) + h(t )(τ (t ) − t ) (σ ( f )(t ) )  ∫ ds   t σ ( f )( s )  = h(t ) + h(t )(τ (t ) − t ) wε' (t ) , với a < t < b Do (3.2.34) nên: wε" (t ) ≤ 0, a < t < b Do ñó, wε' (t ) không tăng, từ ñó ta có: τ (t ) ∫ wε (s)ds < wε (t ) (τ (t ) − t ) , a < t < b ' ' (3.2.37) t Kết hợp (3.2.37) với wε" (t ) ta có: wε" (t ) ≤ h(t ) + h(t ) ( wε (τ (t )) − wε (t ) ) = h(t ) (1 − wε (τ (t )) ) + h(t ) wε (t ) ≤ h(t ) wε (τ (t )) (do wε(t) < h(t) < 0, với a < t< b) Do ñó, tồn wε ∈ C '([a; b]; R ) cho: w "(t ) ≤ ℓ(w)(t), với a < t < b Nên : (0, 0, 0) ∈ V0((a; b); ℓ) 57 Xét toán: u "(t ) = h(t) u(τ(t)) + G(u)(t) = F(u)(t) Ta có : [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) ñó : Do ñiều kiện (3.2.1), (3.2.2) ñược thỏa mãn vớ i ( p1 , p2 , g1 , g ) ≡ ( 0,0,0,0 ) Vậy áp dụng ñịnh lý 3.2.1 ta có phương trình (1.6), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.3 ñược chứng minh 3.2.7 Hệ 3.2.4 Xét phương trình dạng (1.4): u "(t ) = p1( t)u( t) + p2( u)( t).u’( t) + h( t) u( τ( t) + G( u)( t) ñó: τ ∈ M((a ; b); (a ; b)), p1∈ L((a ; b); R) p2, G ∈ K((a ; b)) Giả sử ñiều kiện (3.2.2) (3.2.31) ñược thỏa mãn với v ∈ C01 ([a; b]; R ) , ñó p2, G ∈ K((a ; b)), q∈L((a ; b); R+) Ngoài ra, giả sử tồn số λi ∈ [0;1], α ij ∈ [0; +∞), i, j = 1,2 c ∈ [ a; b] cho: +∞ ∫α Và 11 (c − a ) > 1− λ1 ds + α12 s + s − λ1 +∞ , ∫α ds 21 + α 22 s + s (b − c ) > 1−λ2 − λ2 (3.2.38) ( t − a ) [ p1 (t ) + h(t )] ≥ −α11 , λ1 λ   (t − a)λ1  g1 (t ) + + (τ (t ) − t ) h(t )  ≥ −α12 , a < t < c t−a   ( b − t ) [ p1 (t ) + h(t )] ≥ −α 21 , λ2 λ   (b − t )λ2  g1 (t ) + + (τ (t ) − t ) h(t )  ≤ α 22 , c < t < b b−t   Với phiếm hàm h thỏa mãn ñiều kiện (3.2.30) Khi ñó, toán (1.4), (1.2) có nghiệm (3.2.39) 58 Chứng minh hệ 3.2.4: Ta cần chứng minh : (p, g1, g2) ∈ V0((a; b); ℓ) Hay cần chứng minh: với hàm g ∈ M ( ( a; b ) ; R ) thỏa mãn bất ñẳng thức: g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), với a < t < b tồn w ∈ w ∈ C ' ([a; b]; R ) cho: w"(t ) ≤ p ( t ) w ( t ) + g ( t ) w’ ( t ) + ℓ ( w )( t ) , với a < t < b Thật : Giả sử c ∈ (a ; b) (trường hợp c = a, c = b chứng minh hoàn toàn tương tự) Do (3.2.38) nên tồn < γi < ki < + ∞, i = 1, cho: k1 ∫α γ1 11 (c − a ) = 1−λ1 ds + α12 s + s − λ1 k2 ∫α , γ2 21 (b − c ) = 1− λ2 ds + α 22 s + s − λ2 (3.2.40) Ta xây dựng hai hàm ρ1, ρ2 cho : k1 ∫ ρ1 ( t ) ds α11 + α12 s + s k2 ∫ ρ2 ( t ) (t − a ) = ds α 21 + α 22 s + s 1−λ1 , a < t ≤ c − λ1 (b − t ) = (3.2.41) 1− λ2 − λ2 ,c ≤ t < b (3.2.42) Từ (3.2.40) ta có: γ1 < ρ1(t) < k1, a < t < c, γ2 < ρ2(t) < k2, c < t < b, Xét: ρ1 (c) = γ1, ρ2 (c) = γ2 (3.2.43)  t  − λ1 exp   ∫ ( s − a ) ρ1 ( s ) ds  , a ≤ t ≤ c  c  v(t ) =  c   − λ2  ρ exp b − s ( s ) ds ,c < t ≤ b ( )   ∫  t   (3.2.44) t   −λ1 (t − a ) ρ1 (t ).exp  ∫ ( s − a )−λ1 ρ1 ( s )ds  , a < t < c   c  Suy : v '(t ) =  (3.2.45)  c  −(b − t )−λ2 ρ2 (t ).exp  (b − s )−λ1 ρ2 ( s ) ds  , c < t < b ∫    t   59 Ta lại có :  −λ (t − a )−λ1−1.ρ (t ) + (t − a )−λ1 ρ ' (t ) + (t − a )−2λ1 ρ (t ) 1     t   −λ1  ,a < t < c exp ( s − a ) ρ ( s ) ds  ∫    c  v ''(t ) =  −λ (b − t )−λ2 −1 ρ (t ) − (b − t )−λ2 ρ ' (t ) + (b − t )−2λ2 ρ (t ) 2    c    (b − s )−λ1 ρ ( s ) ds  , c < t < b exp ∫    t    (3.2.46) Mặt khác , từ (3.2.41), (3.2.42) ta có : ρ1' (t ) = −(t − a )−λ1 (α11 + α12ρ1 (t ) + ρ12 (t )) , ρ2' (t ) = (b − t )−λ2 (α21 + α22ρ2 (t ) + ρ22 (t )) (3.2.47) Thế (3.2.47) vào (3.2.46) ta có : v ''(t ) = − =− λ1 1 v '(t ) − α + α12ρ1 (t ) + ρ12 (t )).v (t ) + ρ12 (t ).v (t ) 2λ1 ( 11 2λ1 (t − a ) (t − a) (t − a ) λ1 α12 −λ v '(t ) − α11.v(t ) − t − a ) ρ1 (t ).v(t ) 2λ1 λ1 ( (t − a ) (t − a ) (t − a )  α λ1  12  =− v (t ) −  + v '(t ) , 2λ λ1 (t − a )  (t − a )  (t − a )  α11 với a < t < c (3.2.48) Tương tự ta có :  α λ2  22  v ''(t ) = − v(t ) +  − 2λ λ2  v '(t ) , c < t < b (3.2.49) b − t b − t (b − t ) ( )   α21 Suy : v "(t ) ≤ , với a < t < b (3.2.50) ' Ngoài ra: v (t ) > 0, a ≤ t ≤ b, v ∈ Cloc ((a; b) \ {c}; R+ ), v '(t ) > , a < t < c v’(t) < 0, c < t < b ; v’(c-) ≥ v’(c+) Khi ñó, xét hàm ño ñược g : (a ; b) → R thỏa mãn : g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), Kết hợp (3.2.48), (3.2.49) (3.2.39) ta có : a Thật : ta lại có α(t) ≡ 0, β(t) = w(t), với a ≤ t ≤ b hàm hàm toán (2.1.2) Tiếp tục áp dụng bổ ñề 2.2.1 toán (2.1.2), (3.2.54) có nghiệm u0 Và : ≤ u0(t) ≤ w(t), với a ≤ t ≤ b Mà : u0(a) = v(a) > 0, u0(b) = v(b) > nên : u0(t)> Vậ y w(t) > với a ≤ t ≤ b Hay : tồn w ∈ w ∈ C ' ([ a; b]; R ) cho: w ''(t ) ≤ p (t ) w(t ) + g (t ) w '(t ) + h(t ) w(τ (t )) , với a < t < b Nghĩa : (p, g1, g2) ∈ V0((a; b); ℓ) Vậy ñiều kiện (3.2.2) ñịnh lý 3.2.1 ñược thỏa mãn Tiếp tục, xét toán : u’’( t) = p1( t)u( t) + p2( u)( t).u’( t) + h( t) u( τ( t) + G( u)( t) = F(u)(t) Ta có : [ F (v)(t ) − p1 (t )v(t ) − p2 (v)(t )v '(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) (do bất ñẳng thức (3.2.29)) nên ñiều kiện (3.2.1) ñược thỏa mãn Do ñó, áp dụng ñịnh lý 2.1 ta có toán (1.4), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.4 ñược chứng minh 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn ñã ñạt ñược mục tiêu ban ñầu ñề Qua kết luận văn, ñã nghiên cứu tính giải ñược tính nghiệm toán biên hai ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai áp dụng kết ñó cho phương trình vi phân ñối số lệch Qua ñó, câu hỏi tự nhiên ñặt là: kết ñúng hay không cho phương trình vi phân hàm bậc cao Hơn nữa, ñối với toán chưa nghiên cứu tính chất xấp xỉ nghiệm Ngoài ra, kết ñúng hay không ñối với toán biên dạng tuần hoàn, hay toán biên nhiều ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc cao Các vấn ñề nói chung mở, chưa ñược giải cặn kẽ Chính vậy, thông qua kết ñã ñạt ñược luận văn này, mong muốn ñược mở rộng tiếp tục nghiên cứu vấn ñề vừa nêu 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO I.Kiguradze and B.Puza , On boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Czechslovak Math, J 47, (1997) (No.2) , 341-373 I.Kiguradze and B.Puza , Conti–Opial type theorems for systems of functional differential equations, Differentsialnye Uravneniya, 33, (1997) (No.2) , 185-194 I.Kiguradze and B Puza , On the sovability of nonlinear boundary value problems for fuctional differential equations, Georgian Math, J, (1998) (No 3), 251-262 I T.Kiguradze, Some singluar boudary value of problem for ordinary differential quations , Tbilisi Univ Press, Tbilisi (1975) S.N.Berstein, On variational calculus equations Uspekhi mat.nauk (1940), (No.1), 32 – 74 J.Hale, Theory of functional differential equations Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg-Berlin, (1977) A.G.Lomtatidze, On a boundary value problem for second order nonlinear ordinary differential equations with singularities, Differentsial’snye Uraneniya 22 (1986), (No.3), 416 – 426 A.G.Lomtatidze and S.V Mukhigulashvili, On a two-point boundary value problem for second order functional differential equations, Mem Differential Equations Math Phys.10 (1997), 125 – 128, 150 – 152 V.V.Gudkov, Yu A.Klokov, A.J.Lepin and V.D.Ponomarev, Two-point boundary value problems for ordinary equations, Zinatne, Riga, (1973) 64 10 I.T.Kiguradze, On a priori estimates for derivatives of bounded funtions satisfying second order differential inequalities, Differentsial’nye Uravneniya (1967), (No 7), 1043 - 1052 [...]... ; b)) 12 Chương 2 MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT Trong mục này, ta xét tính giải ñược của phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến khi phương trình thuần nhất tương ứng chỉ có nghiệm tầm thường Xét phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất: u ''(t ) = p(t )u (t ) + g (t )u '(t ) + H (u )(t ) (2.1.1) và phương trình vi phân thuần nhất: u ''... (2.2.1) Cùng với phương trình (2.2.1) ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất của nó Sau ñây, ta sẽ chứng minh rằng bài toán (2.2.1), (1.2) giải ñược khi và chỉ khi bài toán thuần nhất của nó chỉ có nghiệm tầm thường Trước hết, ta nhắc lại kết quả cho bài toán biên hai ñiểm (trong [4], [7], [8], [9] ) 2.2.1 ðịnh nghĩa 2.2.1 Phiếm hàm α ∈ C([a ; b]; R2) ñược gọi là hàm dưới (trên) của bài toán (2.2.1)... là, Toán tử T là hoàn toàn liên tục Vì vậy, theo nguyên lý ñiểm bất ñộng Schauder, tồn tại ( v1 , v2 ) ∈C ([ a; b];R 2 ) sao cho: b vi (t ) = ∫ Gi (t , s ) H (v2 )( s ) ds, a ≤ t ≤ b, i = 1,2 a ðiều ñó chứng tỏ hàm số : t u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, với v1 (t ) = ∫ v2 ( s )ds, a ≤ t ≤ b a là nghiệm của bài toán (2.1), (1.2) 17 2 2 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN PHI TUYẾN Xét phương trình vi phân hàm. .. tính chất của toán tử Nemytski Trong luận văn này, chúng tôi sẽ học tập, nghiên cứu các bài toán trên và ñưa ra một số ñiều kiện ñể bài toán (1.1), (1.2) có thể giải ñược trong trường hợp F như là toán tử tựa tuyến tính Ở chương 2 và §1 chương 3, chúng tôi sẽ ñề cập ñến các ñiều kiện tổng quát ñể bài toán có nghiệm, và ở §2 chương 3, chúng tôi sẽ nghiên cứu toán tử F là toán tử ñơn ñiệu ℓ Phương pháp... và bổ ñề 2.2.1, ta có bài toán (2.2.10), (1.2) có ít nhất một nghiệm u và : α(t) ≤ u(t), a ≤ t ≤ b Mặt khác, theo trên, ta có bài toán (2.2.10), (1.2) có duy nhất một nghiệm tầm thường Do ñó, u ≡ 0 hay α(t) ≤ 0, a ≤ t ≤ b Hay ta có ñiều cần chứng minh 23 Chương 3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM 3 1 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) 3.1.1 ðịnh lý 3.1.1 (ℓ0, ℓ1) ∈ U0((a; b)) Cho: (3.1.1) và với mọi... compact Giả sử, bài toán thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường Khi ñó, bài toán (2.1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm Chứng minh: Xét C([a ; b]; R2) là không gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục tuyệt ñối v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn: v = v1 C + v2 C ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài toán (2.1.2), (1.k) và G2(t, s) = ∂ G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b ∂t Xét toán tử T =... là ngặt, thì α(t) < 0, với mọi t ∈ (a ; b) 2.2.5 Bổ ñề 2.2.1 Cho ℓ ∈ L0 ((a ; b)) là toán tử không giảm, (p, g) ∈ U 0 (( a; b)) , và cho α1 , α2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của bài toán (2.2.1) thỏa mãn ñiều kiện: α1 (t ) ≤ α 2 (t ) ; α1 (a) ≤ 0 ≤ α 2 (t ) ; α1 (b) ≤ 0 ≤ α 2 (b) , a ≤ t ≤ b Khi ñó, bài toán (2.2.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn: α1(t) ≤ u(t) ≤ α2(t), a ≤ t ≤ b (2.2.6)... thiết.(!) Do ñó, u0 là một nghiệm tầm thường của bài toán (2.2.10), (1.2) Ta chứng minh: nếu α là hàm dưới của bài toán (2.2.10) thỏa mãn bất ñẳng thức: α(a) ≤ 0 và α(b) ≤ 0 (2.2.4), thì : α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b] Thật vậy, giả sử tồn tại t* ∈ [a ; b] sao cho: α(t*) > 0 ðặt : c =1+ α (2.2.18) C min {w(t ) : a ≤ t ≤ b} Khi ñó: β(t) = c.w(t), a ≤ t ≤ b là phiếm hàm trên của bài toán (2.2.10), và β(t)... sử bài toán thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường Khi ñó, bài toán (2.1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm Chứng minh: Xét C([a ; b]; R2) là không gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn: v = max { v1 (t ) + v2 (t ) : a ≤ t ≤ b} ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài toán (2.1.2), (1.2) và G2(t, s) = ∂ G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b ∂t Xét toán. .. = 1, 2 Cho nên, bất ñẳng thức (2.2.6) ñược thỏa mãn Vì vậy, từ (2.2.7) ta có : X (v)(t ) = v(t ) ⇒ ℓɵ (v)(t ) = ℓoX (v)(t ) = ℓ(v)(t ) Do ñó : u là nghiệm của bài toán (2.2.1), (1.2) 2.2.6 Mệnh ñề 2.2.3 Cho ℓ ∈ L0 ((a ; b)) Khi ñó, nghiệm duy nhất của bài toán (2.2.1), (1.2) là ñiều kiện cần và ñủ ñể bài toán thuần nhất : u "(t ) = p(t )u (t ) + g (t )u '(t ) + ℓ(u )(t ) (2.2.10) Có duy nhất một nghiệm