phương trình parapolic liên kết với bài toán cauchy cho một phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trần Quang Vinh Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Nguyễn Thành Long hướng dẫn tận tình suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS Trần Minh Thuyết có nhận xét, bảo, góp ý quan trọng trình thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy, Quý Thầy hội đồng dành cho thời gian, công sức để đọc có góp ý sâu sắc cho luận văn Xin trân trọng cảm ơn TS Lê Thị Phương Ngọc có nhận xét bảo trình thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập trường Xin cảm ơn anh chị bạn lớp Cao học giải tích khóa 17, anh chị bạn nhóm xemina Thầy hướng dẫn tổ chức hỗ trợ nhiều mặt thời gian học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh An Giang, trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Thầy ThS Nguyễn Đình Phùng tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hoàn thành luận văn Và cuối cùng, lời thân thương xin gửi đến gia đình tôi, nơi tạo cho điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn NGUYỄN TRẦN QUANG VINH DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU - a.e : hầu hết i.e : nghĩa -    0,1 , QT     0, T  - C [0, T ]  C [0, T ] không gian hàm liên tục đoạn [0, T ] - D 0,T  tập hợp hàm số khả vi vô hạn lần có giá compact  0,T  - D  0,T  không gian đối ngẫu D 0,T  không gian hàm phân bố  0,T  - L  X ;Y   { f : X  Y f tuyến tính, liên tục} - X ↪ Y : phép nhúng liên tục từ không gian X vào không gian Y - Lp  Lp ()  {v :    p  | v( x) | dx  } với  p     - L  L     v :     M : v  x   M a.e x   - ||  ||X dùng để chuẩn không gian X - ||  || chuẩn không gian L2    1 neáu x  A, - Hàm đặc trưng  A  x    0 neáu x  A - Ký hiệu u (t ) , u (t )  ut (t )  u (t ) , u x (t )  u(t ) , uxx (t )  u (t ) , để u( x, t ),  2u u ( x , t ) , ( x, t ) x x u ( x, t ) , t Chương PHẦN TỔNG QUAN  ©  Trong luận văn này, xét phương trình parabolic phi tuyến t u   u     h ( x, t )u     x, t  u  f ( x, t )     u   k  t    u( x, )d , (1.1) t x  x  0  x  1,  t  T , liên kết với điều kiện biên  u  x (0, t )  h(0, t )u (0, t )  0,   u (1, t )  h(1, t )u (1, t )  0,  t  T ,  x (1.2) điều kiện đầu u( x,0)  u0  x  ,  x  1, (1.3) đó, hàm số f , k , h,  , u0 số  ,  cho trước Bài toán (1.1) – (1.3) có liên quan đến toán khuếch tán hóa học (xem [5] - [8] tài liệu tham khảo đó) mà mấu chốt vấn đề mặt toán học dẫn đến toán sau Cho    0,1 , ta đặt QT     0, T  , T  Tìm cặp hàm  u, v  thỏa toán sau: u   u   t  x  x  h ( x, t )u   F1  u, v  ,  x  1,  t  T ,     u  (0, t )  h (0, t )u (0, t )  0,  t  T ,  x  u  (1, t )  h (1, t )u (1, t )  0,  t  T ,  x u ( x,0)  u0 ( x ),  x  1, (1.4)  v   F2  u, v  ,  x  1,  t  T ,  t v ( x,0)  v0 ( x ),  x  1, (1.5) đó, h( x, t ), u0  x  , v0  x  cho trước, số hạng F1  u, v  , F2  u, v  có dạng cụ thể  F1  u , v   1  2 u  3 v   uv,   F2  u , v   1   u  3 v,    0,   0, i  1, 2,3 i  i (1.6) Ta xem (1.5) phương trình vi phân thường  v   3v  1  2 u,  x  1,  t  T ,  t  v( x,0)  v0 ( x ),  x  (1.7) Giải phương trình này, ta t   v ( x, t )  exp   3t  v0  x    exp  3   1   2u ( x, ) d    t  1   exp   3t   exp  3t   1  v0  x     exp  3  u ( x, ) d   3   t 1 1  exp   3t    exp   3t  v0  x   2  exp   3  t     u( x, )d 3 Đặt A  x, t   1 1  exp   3t   exp   3t  v0  x  , 3  t B  x, t    exp   3  t     u ( x, ) d Ta viết lại F1  u, v  dạng F1  u , v   1   u  3  A   B    u  A   B   1  3 A      A  u   3     u  B (1.8) t F1  u, v   f ( x, t )    x, t  u     u   k  t    u( x, )d , (1.9)   f ( x, t )  1  3  1  exp   3t   exp   3t  v0  x    ,  3   1  1  exp   3t   exp   3t  v0  x    ,  3    x, t       k  t   exp   3t  , t   0, T  ,   3 2  0,   4 2  Thay F1  u, v  vào (1.4) ta thu toán (1.1) – (1.3) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) Bài toán (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa khoa học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu thời gian gần (xem thêm [5] - [10]) Trường hợp  ( x, t )  1,   0, toán (1.1) – (1.3) nghiên cứu [3] - [4] Luận văn trình bày theo chương mục sau: Chương 1: Phần mở đầu tổng quan toán (1.1) – (1.3), kết mà tác giả khác khảo sát trước đó, đồng thời nêu tóm tắt chương mục trình bày luận văn Chương 2: Nhắc lại số kết cần thiết cho việc trình bày luận văn Chương 3: Khảo sát tồn nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) với giả thiết u0  L2 (), f  L2 (QT ), h,   L (QT ), k  H (0, T ) Trong chương sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm, với kỹ thuật hội tụ yếu tính compact Chương 4: Với điều kiện đầu u0  H (),   L (QT ),   x, t   0  0, h  C1 (QT ), f  L2 (QT ), k  H (0, T ), luận văn chứng tỏ nghiệm thu toán (1.1) – (1.3) có tính trơn tốt hơn, cụ thể u  L  0, T ; H   L2  0, T ; H   C  0, T ; H  , ut  L2 (QT ) Chương 5: Với điều kiện đầu u0  L2 (), u0  x   , a.e x   , với số điều kiện khác, tính không âm nghiệm toán (1.1) – (1.3) khảo sát Cuối phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  ©  Trong chương trình bày ngắn gọn số không gian hàm sử dụng luận văn Một số bổ đề, định lý quan trọng sử dụng đánh giá sau luận văn 2.1 Không gian Hilbert H    : Cho    0,1 , ta định nghĩa L2    không gian Hilbert tích vô hướng u, v   u  x  v  x  dx, u, v  L2    (2.1) Ký hiệu    để chuẩn sinh tích vô hướng (2.1), nghĩa 1 2  u   u , u     u  x  dx  , u  L2    0  (2.2) Ta định nghĩa không gian Sobolev H    : H ( )  {u  L2 ( ) : u x  L2 ()}, (2.3) ux hiểu đạo hàm theo nghĩa phân bố Ta trang bị H    tích vô hướng u, v H  u, v  ux , vx    [u ( x)v( x)  ux ( x)vx ( x)]dx, u, v  H (2.4) Khi H  H () không gian Hilbert tích vô hướng (2.4) Ký hiệu ||  ||H1 để chuẩn sinh tích vô hướng (2.4), nghĩa  v  H   v, v H 1 2     v ( x)  vx2 ( x)  dx  , v  H 0  Khi ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.1 Phép nhúng H ↪ C () compact (2.5)  v C     v H , với v  H (2.6) Bổ đề 2.1.2 Đồng không gian L2 với L2  (đối ngẫu không gian L2 ) Khi ta có   H ↪ L2  ( L2 ) ↪ ( H ) , với phép nhúng liên tục trù mật 2.2 Không gian Lp  0, T ; X  : Cho X không gian Banach thực Ký hiệu Lp (0, T ; X ) ,  p  , không gian lớp hàm tương đương chứa hàm u : (0, T )  X cho T -   u (t )  p X dt  ,  p   - M  : u (t ) X  M , a.e t  (0, T ), p   Trên Lp (0, T ; X ),  p   , ta trang bị chuẩn sau: - T p  u Lp (0,T ; X )     u (t ) Xp dt  ,  p   0  -  u L (0,T ; X )  sup ess  u (t ) X  t T  inf M  : u (t ) X  M , a.e t  (0, T ) p   Chú ý X  Lp () Lp (0, T ; X )  Lp (  (0, T )) Khi ta có kết sau mà chứng minh tìm Lions [11] Bổ đề 2.2.1 Với  p   , Lp  0, T ; X  không gian Banach Bổ đề 2.2.2 Gọi X  không gian đối ngẫu X 1   1,  p   Khi p p Lp  0, T ; X    Lp  0, T ; X   đối ngẫu Lp  0, T ; X  Hơn nữa, X phản xạ Lp  0, T ; X  phản xạ Bổ đề 2.2.3 L1  0, T ; X    L  0, T ; X  Hơn không gian L1  0, T ; X  , L  0, T ; X   không  phản xạ  2.3 Phân bố có trị vectơ: Định nghĩa 2.3.1 Cho X không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D 0,T  vào X gọi phân bố có giá trị X Tập hàm phân bố có giá trị X ký hiệu D  0, T ; X  D  0, T ; X   L  D  0, T  ; X  Định nghĩa 2.3.2 Cho u  D  0, T ; X  Ta định nghĩa đạo hàm du theo nghĩa phân bố u công dt thức  du d ,    u ,  ,   D 0, T  dt dt (2.7) Nhận xét: i/ Cho v  Lp  0, T ; X  Ta làm tương ứng ánh xạ Tv : D  0, T   X sau: T Tv ,     v  t    t  dt ,   D  0, T  , (2.8) Tv  D  0, T ; X  ii/ Ánh xạ v  Tv đơn ánh, tuyến tính từ Lp  0, T ; X  vào D  0, T ; X  Do ta đồng Tv  v Khi ta có kết sau mà tham khảo Lions [11], Chipot [9] Mệnh đề 2.3.3 Nếu X , Y hai không gian Banach cho X ↪ Y phép nhúng liên tục, D  0, T ; X  ↪ D  0, T ;Y  , Lp  0, T ; X  ↪ Lp  0, T ;Y  Bổ đề 2.3.4 Lp  0, T ; X  ↪ D  0, T ; X  với phép nhúng liên tục Bổ đề 2.3.5 Nếu u  Lp  0, T ; X  u  Lp  0, T ; X  , 1  p    , đồng u với hàm t liên tục [0, T ] lấy giá trị X Bổ đề 2.3.6 (Bổ đề tính compact Lions) Cho ba không gian Banach X , X , X với X ↪ X ↪ X phép nhúng liên tục cho: (i) X , X phản xạ, (ii) Phép nhúng X vào X compact Với  T  ,  pi  , i  0,1 , ta đặt   W (0, T )  v  Lp0 (0, T ; X ) : v   Lp1 (0, T ; X ) Khi không gian W (0, T ) không gian Banach với chuẩn  v W (0,T )  v Lp0 (0,T ; X )   v Lp1 (0,T ; X ) (2.9) Hơn nữa,  T  ,  pi  , i  0, 1, phép nhúng W (0, T ) vào Lp0 (0, T ; X ) compact 2.4 Không gian H  a,b;V,V'  Cho V ↪H ↪ V  phép nhúng liên tục, V trù mật H , a , b   Ta đặt nên u  L2  QT  Kết hợp (4.17) với (4.21) ta (4.21) u  L2  0, T ; H   L  0, T ; H  (4.22)   Do u  L2  0, T ; H  u  L2  0, T ; L2  ↪ L2 0, T ;( H ) Nên theo định lý 2.4.2 ta suy u  C  0, T  , H  Bước 3: Tính nghiệm Tương tự chương (4.23) Chương KHẢO SÁT TÍNH KHÔNG ÂM CỦA NGHIỆM  ©  Trong chương ta chứng minh toán (3.1) - (3.3) có nghiệm yếu Trong chương ta tiếp tục nghiên cứu tính chất nghiệm yếu u Mà đặc biệt trường hợp u  x, t   Ta dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính tăng thêm số giả thiết Cụ thể ta xét hai trường hợp   i/ k  t   0, a.e t  0, T *   ii/ k  t   0, a.e t  0, T * 5.1 Ta xét toán (3.1) - (3.3) với k(t) = 0, a.e t(0,T*): u   u   t  x  x  h( x, t )u     x, t  u  f ( x, t ),    u  (0, t )  h(0, t )u (0, t )  0,  t  T ,  x  u  (1, t )  h(1, t )u (1, t )  0,  t  T ,  x u ( x, 0)  u0  x  ,  x    x  1,  t  T , (5.1) Với giả thiết (C1) u0  L2    , u0  x   0, a.e x   , (C2)  , h  L  QT  , (C3) f  L2 QT * , f  x, t   0, a.e QT * , (C4) k  t   0, a.e t   0, T *  ;  ,  số dương *   Khi ta có định lý sau: Định lý 5.1 Giả sử giả thiết (C1) – (C4) Khi toán (3.1) - (3.3) có nghiệm yếu u  L2  0, T * ; H   L  0, T * ; L2  u  x, t   , a.e  x, t   QT * Chứng minh định lý 5.1 Tương tự cách chứng minh định lý 3.1, ta dễ dàng chứng minh toán (5.1) có nghiệm yếu u  L2  0, T * ; H   L  0, T * ; L2  , ut  L2 (0, T * ;( H ) ) cho u  t  , v  a  t ; u (t ), v    f (t ), v ,  t  T * , (5.2) u  x,   u0  x  ,  x  Đặt u   Max u , 0   u  u ; u   Max u , 0   u u Khi u  u   u  (5.3) Do u  L2  0, T * ; H  nên u  , u   L2  0, T * ; H  Do v  H nên thay v  u   t  vào (5.2) ta u  t  , u   t   a  t ; u (t ), u   t     f (t ), u   t  (5.4) Ta có u  t  , u   t       u  u    t  , u   t   t u   u   , u  t    , u  t  t t    u  0   u u   ,  u  0 u  t    , u  t  t t u   d , u  t     u   t  2 t dt (5.5) Tương tự, ta có u  t  , u   t   u   t  , u   t  , (5.6)  h  t  u  t  , u   t    h  t  u   t  , u   t , (5.7)    t  u  t  , u   t     t  u   t  , u   t  (5.8) Thay vào (5.4) ta d  u   t    a  t; u  (t ), u   t     f (t ), u   t  dt (5.9) Lấy tích phân hai vế (5.9) theo biến t , ta t t  u   t  2   u    2 2 a  ; u  ( ), u  ( )  d     f ( ), u  ( ) d  0 Ta có (5.10) t t t 2 a  ; u ( ), u ( )  d  2   u ( )     H1 d  2   u  ( ) 2 d (5.11) Do u  x,   u0  x   0, a.e x  , nên u   x,   a.e x  , hay  u      Thay vào (5.10), ta suy t u  t   t 2   u ( )   H1 d  2   u  ( )  d (5.12) Đặt t U  t   u   t  2 2   u  ( ) H2 d (5.13) Ta viết lại (5.12) t U  t   2  U ( )d (5.14) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta U  t   0, t  [0, T * ] Vậy u   (5.15) (5.16) Nên từ (5.3) (5.16), suy u  u  Vậy u  x, t   0, a.e  x, t   QT * 5.2 Ta xét toán (3.1) – (3.3) với với k(t) ≥ 0, a.e t(0,T*): Với giả thiết (D1) u0  L2    , u0  x   0, a.e x   , (D2)  , h  L  QT  , (D3) k  L2  0, T *  , k  t   0, a.e t   0, T *  , (D4) f  L2 QT * , f  x, t   0, a.e QT * ;  ,  số dương *   Định lý 5.2 Giả sử giả thiết (D1) – (D4) Khi đó, tồn T  (0, T * ] để toán (3.1) - (3.3) có nghiệm yếu u  L2  0, T ; H   L  0, T ; L2  u  x, t   , a.e  x, t   QT Chứng minh định lý 5.2 Với T  (0, T * ] , ta có bổ đề sau Bổ đề 5.3 Không gian W T   L2  0, T ; H   L  0, T ; L2  không gian Banach với chuẩn  w W2 T   w L2  0,T ; L2  2  w L22  0,T ; H  , w W  T  , (5.17) đó, số  định nghĩa (3.9) Chứng minh bổ đề 5.3 không khó khăn Ta thiết lập dãy hàm u n  sau: (i) Cho trước u0  a.e QT ,   (ii) un1  W  M , T   v  W T  : v W T   M , v  Ta xét toán tìm un , nghiệm yếu toán t  un   un  h ( x , t ) u  x , t u f ( x , t )   u            n n n 1  k  t    u n 1 ( ) d  t x x         x  1,  t  T ,   un (5.18) (0, t )  h(0, t )un (0, t )  0,  x    un  x (1, t )  h(1, t )un (1, t )  0,  t  T ,  un ( x,0)  u0  x  ,  x   Đặt t  n ( x, t )   k  t    un ( x, )d ,   F x, t  f ( x, t )     u ( x, t )  ( x, t )   n1 n 1  n1     Rõ ràng Fn 1  L2 QT * , Fn 1  a.e QT * Nên áp dụng định lý 5.1 toán (5.18) có nghiệm nghiệm yếu un  W (T * ), với un  x, t   , a.e  x, t   QT * Ta cần chứng minh a Với M, T chọn thích hợp un W  M , T  b un hội tụ mạnh u nghiệm toán (5.18) với chuẩn thích hợp Khi đó, dĩ nhiên ta có u  x, t   a.e  x, t   QT , u nghiệm yếu toán (3.1) – (3.3) Bước 1: chứng minh với M, T chọn thích hợp un W(M,T) Tương tự với nhận xét đoạn (3.91) – (3.94), ta nhân tích đối ngẫu hai vế (5.18) un  t  , lấy tích phân theo biến t ta t  un (t ) 2 2 a  ; un ( ), un ( )  d  u0 2 (5.19) t t 2  f   , un ( ) d  2    un 1 ( )  n 1   , un ( ) d 0 Chú ý a  t; un (t ), un (t )     un (t ) H2   un (t ) 2 (5.20) Do t t  un (t ) 2 2   un ( ) H2 d  u0 2 2   un ( ) 2 d (5.21) t t 2  f   , un ( ) d  2  n 1   , un ( ) d 0 t 2  un 1 ( )n 1   , un ( ) d   u0 2  L1  t   L2  t   L3  t   L4  t  Đặt t Z n  t   un (t ) 2 2   un ( ) H2 d (5.22) Ta đánh giá số hạng vế phải (5.21) Đánh giá số hạng L1(t) t t L1  t   2   un ( ) 2 d  2  Z n   d (5.23) Đánh giá số hạng L2(t) t t L2  t   2  f   , un ( ) d  2  f    un ( )  d 0 t t    f    d    un ( ) 2 d 0 t  f  2   L Q T*   Z n   d (5.24) Đánh giá số hạng L3(t) t  t L3  t   2  n 1   , un ( ) d  2  d   k   s  un 1 ( s )ds, un ( ) 0 (5.25)  t  2   un ( )  d  k   s   un 1 ( s )  ds 0 t   2   un ( )  d  k   s   un 1 ( s )  ds 0 t      d   k   s   un 1 ( s)  ds      un ( ) 2 d 0 0  t t   T  k L2  0,T   u n 1 L  0,T   un 1   0,T  M    Z n   d 2 *  0,T ; L    Z n   d t   T  k L2 2 * W T    Z n   d t   T  k L22 * Đánh giá số hạng L4(t) t L4  t   2  d un 1 ( )n 1   , un ( ) (5.26)  t  2  d un 1 ( )  k   s  un 1 ( s )ds , un ( ) 0 t   2   un 1 ( ) H d   k   s  un 1 ( s )ds , un ( ) t   2   un 1 ( ) H  un ( )  d  k   s   un 1 ( s)  ds 0 t    t      u n 1 ( ) H d   k   s   un 1 ( s )  ds     un ( )  d    0    t t  2      un 1 ( ) H d  k   s  ds   un 1 ( s)  ds    un ( ) 2 d  0 0  t    2  T  k L22 0,T *  un 1 L22 (0,T ; H )  un 1 L2 (0,T ; L2 )    un ( ) 2 d      t      TM  k L2 0,T *   Z n   d     2  Đặt CT    u0 2   f L22 Q  T*  T  k L22  0,T *  TM  k L2 0,T ,   2 M2   C     2     * (5.27) (5.28) Từ đánh giá từ L1(t) – L4(t), kết hợp với (5.21) ta t Z n  t   CT   C  8  Z   d n Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có Z n  t   CT  exp(TC   ), m  * , t  0, T  (5.29) Suy  un W2 T   CT  exp(TC   ) (5.30) Chọn M cho  u0 2   f L22 Q   T* M2 (5.31) Đặt 7 Do CT M2 exp(TC )   u0    f L2 Q  , T   T*   8 2 Nên ta chọn T  đủ nhỏ cho CT  exp(TC   )  M Từ cách chọn M, T từ (5.30) - (5.32) ta suy  un W2 T   M Vậy un W  M , T  Bước 2: chứng minh un→u mạnh W(T) Đặt wn  un 1  un Khi wn nghiệm yếu toán (5.32) t   w n    wn  h  x, t  wn     x, t  wn     un   k  t    un   d  t       un1   k  t    un1   d ,   w  n (0, t )  h (0, t ) wn (0, t )  0,  t  T, (5.33)   x  wn  t  T,  x (1, t )  h(1, t ) wn (1, t )  0,   x  1,  wn ( x,0)  0,   Ta nhân tích đối ngẫu hai vế (5.33) wn (t ), lấy tích phân theo biến t ta t  t  wn  t  2 2 a  ; wn ( ), wn ( )  d  2  d   k   s  wn 1  s  ds , wn ( ) (5.34) 0  t 2  d  wn 1 ( )  k   s  un  s  ds, wn ( ) 0  t 2  d un 1 ( )  k   s  wn 1  s  ds, wn ( ) 0 Do t t  wn  t   2   wn  t   2 H1 d  2   wn  t  2 d (5.35)  t 2  d   k   s  wn 1  s  ds, wn ( ) 0  t 2  d  wn 1 ( )  k   s  un  s  ds, wn ( ) 0  t 2  d un 1 ( )  k   s  wn 1  s  ds, wn ( ) 0  M1 t   M  t   M t   M  t  Đặt t Wn  t   wn (t ) 2 2   wn ( ) H2 d Ta đánh giá số hạng vế phải (5.35) Đánh giá số hạng M1(t) (5.36) t t M1  t   2   wn  t   d  2  Wn   d (5.37) Đánh giá số hạng M2(t)  t M  t   2  d   k   s  wn 1  s  ds, wn ( ) (5.38)  t  2   wn ( )  d  k   s   wn 1  s   ds 0   t    d   k   s   wn 1  s   ds     wn ( ) 2 d 0  t t   T  k L2 2 0,T   wn 1  0,T   wn 1  2 L (0,T ; L2 ) *   Wn   d t   T  k L2 2 2 W T  *   Wn   d Đánh giá số hạng M3(t)  t M  t   2  d  wn 1 ( )  k   s  un  s  ds, wn ( ) (5.39)  t  2   wn 1 ( ) H d  k   s  ds un  s  , wn ( ) 0  t  2   wn 1 ( ) H  wn ( )  d  k   s   un  s   ds 0 t   d   k   s   un  s   ds     wn ( ) 2 d 0  t  2  w n 1 ( )  H1 t  2 2T  k L22  0,T  *  wn 1 L22 (0,T ; H )  un L2  0,T ; L     wn ( ) 2 d  t  2T  k L2 0,T  wn 1 W2 T   un W2 T    Wn   d     t  2T M  k L2 0,T  wn 1 W2 T    Wn   d    * * Đánh giá số hạng M4(t) (tương tự M3(t)) t  M  t   2  d un 1 ( )  k   s  wn 1  s  ds, wn ( ) 0 (5.40) t  2T 2  M  k L 0,T  wn 1 W T    Wn   d    * Đặt CT    2T  k L22 C 10   0,T  * 2  2T M  k L2 0,T ,    (5.41) *   2 (5.42) Từ đánh giá từ M1(t) – M4(t), kết hợp với (5.35) ta t Wn  t   CT   wn 1 W2 T  C  10   W   d (5.43) n Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có 10 Wn  t   CT   wn 1 W2 T  exp(TC   ) , t  0, T  (5.44) Ta có CT  exp(TC   )  , T  10 Do chọn T  (cùng lúc với cách chọn T (5.32)) cho kT2  CT  exp(TC   )  10 (5.45) Từ (5.44) (5.45) ta suy  wn W2 T   kT2  wn 1 W2 T  , hay  wn W T   kT  wn 1 W T  (5.46) Từ (5.45) (5.46) ta suy un  dãy Cauchy W T  Vậy tồn u  W T  un  u mạnh W T  , (5.47) hay  un  u W T   0, n   Nên  u n  u L2  0,T ; L  2  un  u L22 0,T ; H   , n   Ta suy  un  u L 0,T ; L2  0,      un  u L2  0,T ; H    Bước 3: Qua giới hạn Do un nghiệm yếu (5.18) nên (5.48) d un  t  , v  a  t ; u n (t ), v    f (t ), v dt (5.49) t    un1   k  t    un1 ( )d , v, v  H Nhân hai vế (5.49) với   D  0,T  , sau lấy tích phân theo biến t , ta T T T   un  t  , v   t  dt   a  t ; un (t ), v    t  dt    f (t ), v  t  dt 0 (5.50) T t      un 1   k  t    un 1 ( ) d , v  t  dt , 0 v  H ,   D  0, T  Ta có t t   k  t    un 1 ( ) d   k  t    u ( )d 2 0 t    dx   k  t     un 1 ( x, )  u ( x, )  d  0  1 t t   dx  k  t    d   un 1 ( x, )  u ( x, )  d 0 t  k L22 0,T    u n 1 ( x, )  u ( x, )  d dx 0  T  k L22 0,T  un 1  u  L 0,T ; L2  Nên t t   k  t    un 1 ( )d   k  t    u ( )d L2 0  0,T ; L   T  k L22  0,T   un 1  u L2  0,T ; L   Vậy t t   k  t    un 1 ( )d   k t    u( )d mạnh L  0, T ; L  (5.51) Từ kết trên, qua giới hạn (5.50) (tương tự bước qua giới hạn chương 3), ta T T T   u  t  , v   t  dt   a  t ; u (t ), v    t  dt    f (t ), v  t  dt 0 T t      u   k  t    u ( ) d , v  t  dt 0 (5.52)   D  0, T  , v  H Đẳng thức (5.52) có nghĩa t d u (t ), v  a  t; u (t ), v    f (t ), v     u (t )   k  t    u ( )d , v dt (5.53) D  0,T  , v  H Tương tự chương 3, ta chứng minh u  x,   u0  x  (5.54) Kết hợp (5.53) (5.54) ta suy u nghiệm yếu toán (3.1) - (3.3), un  a.e QT nên u  a.e QT (điều phải chứng minh) PHẦN KẾT LUẬN  Cho đến lúc này, luận văn giải vấn đề đặt chương mở đầu luận văn Nội dung luận văn trình bày chương 3, Trong chương 3, tác giả chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương toán (3.1) – (3.3) với giả thiết u0  L2    , f  L2  QT  , k  H  0, T  , h ,   L  QT  Trong chương 4, với giả thiết tốt u0  H    , f  L2  QT  , k  H  0, T  ,   h  C1 QT ,   L  QT  , tác giả thu nghiệm toán (3.1) – (3.3) có tính trơn tốt hơn, cụ thể u  L  0, T ; H   L2  0, T ; H   C  0, T  ; H  , ut  L2  QT  Trong chương 5, với số điều kiện chương 3, tác giả thiết lập tính không âm nghiệm yếu Qua luận văn này, tác giả làm quen với công việc nghiên cứu khoa học nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập, có dịp vận dụng phương pháp Giải tích hàm phi tuyến phương pháp xấp xỉ Galerkin, phép tuyến tính hoá, phép nhúng compact, định lý điểm bất động Schauder việc khảo sát tồn nghiệm toán Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi nhiều từ đóng góp quý Thầy, Cô hội đồng TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tiếng Việt [1] Đỗ Công Khanh (2001), Giải tích toán học áp dụng, Đề tài nghiên cứu khoa học Cơ bản, Mã số 1.3 11/98, Báo cáo nghiệm thu (2001) [2] Nguyễn Thành Long (2008), Phương trình vi phân hệ động lực, Đề tài nghiên cứu khoa học Cơ bản, Mã số: 100106, Báo cáo tổng hợp kết thực đề tài giai đoạn 2007 – 2008 [3] Nguyễn Thanh Sang (2007), Phương trình parabolic chứa tích chập, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Cần Thơ, Khóa 11, 2007, 43 trang [4] Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang (2007), Về phương trình parabolic chứa tích chập, Tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp HCM, tập 46, số 12 (2007), 54 – 64 Tiếng Anh [5] R Alexandre, Alain Phạm Ngọc Định, A Simon, Nguyễn Thành Long (2003), A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel froplet inside an infinite vessel, Nolinear Analysis and Applications: to V Lakshmikantham on his 80th birthday Vol 1, 2, 117 – 140, kluwer Acad Publ., Dordrecht, 2003 [6] R Alexandre, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (2008), A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear contraints, Applied Mathematics and Computation 199 (1) (2008) 139 – 154 [7] R Bader, W Mers (2001), Local existance result of the single dopant diffusion including cluster reactions of high order, Abstract and Applied Analysis (1) (2001) 13 – 14 [8] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (2006), On a nonlinear parabolic equation involving Bessel’s operator associated with a mixed inhomogeneous condition, Journal of Computational and applied Mathematics, 196 (1) (2006) 267 – 284 [9] M Chipot (2000), Elements of nonlinear analysis, Birkhauser Verlag, Basel – Boston – Berlin, 2000 Tiếng Pháp [10] H Brézis (1983), Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 [11] J L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [...]... Fréchet) Cho H là không gian Hilbert, H  là không gian đối ngẫu của H Khi đó, mọi   H  thì tồn tại duy nhất f  H sao cho  , v   f , v  , v  H , (2.15) trong đó   ,   là tích vô hướng của H Định lý 2.5.4 (Định lý Lax – Milgram) Cho H là một không gian Hilbert thực Giả sử a  u, v  là một song tuyến tính trên H sao cho (i) a là liên tục, i.e tồn tại một hằng số C  0 sao cho a  u...   0 sao cho   1  L  2 Q     L T* h L Q  T* Bổ đề 3.2 được chứng minh Chứng minh định lý 3.1 gồm các bước Q  T*  0 , và do đó   0 (3.10) Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Lấy một cơ sở w j  đếm được của H 1 Ta tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin của bài toán (3.1) - (3.3) dưới dạng m um (t )   cmj  t  w j , (3.11) j 1 trong đó, cmj  t  là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường sau... của bài toán (3.1) - (3.3) Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact Ta thành lập các giả thiết (A1) u0  L2    , (A2) h,   L QT * , (A3) f  L2 QT * , (A4) k  H 1  0, T *  ,  ,  là hằng số dương     Định lý 3.1 Giả sử rằng các giả thiết (A1) – (A4) đúng Khi đó, tồn tại hằng số T  (0, T * ] sao cho. .. là hằng số dương     Định lý 3.1 Giả sử rằng các giả thiết (A1) – (A4) đúng Khi đó, tồn tại hằng số T  (0, T * ] sao cho bài toán (3.1) (3.3) có duy nhất một nghiệm yếu u  L  0, T ; L2   L2  0, T ; H 1  , ut  L2 (0, T ;( H 1 ) ) Tức, u là nghiệm của bài toán biến phân t d u  t  , v  a  t ; u (t ), v    f (t ), v     u   k  t    u   d , v dt 0 trong D  0, T...  0 : f  X  M , f  Y ii) Y liên tục đồng bậc (đẳng liên tục), tức là m   0,   0 : t , t   0, T  , t  t    thì sup  f j  t   f j  t    f Y j 1 Khi đó Y compact tương đối trong X Định lý 2.5.6 (Định lý Schauder) Cho X là một tập lồi, đóng, khác trống và bị chặn trong không gian Banach E và T là một ánh xạ compact từ X vào X Khi đó T có một điểm bất động trong X Định... ; u , v  là dạng tuyến tính liên tục trên H 1 a.e t   0, T  , và với mỗi u  H 1 Khi đó áp dụng định lý biểu diễn Riesz, ta suy ra tồn tại một phần tử mà ta ký hiệu là B  t  u   H 1  sao cho b  t ; u, v   B  t  u , v , u , v  H 1 , a.e t   0, T  (3.72) Rõ ràng với a.e t   0, T  u  B t  u (3.73) là một toán tử tuyến tính từ H 1 vào H 1  Hơn nữa từ (3.70) ta suy ra   ... , u     u  2H , u  H (2.17) (Ký hiệu    H là chuẩn trong H ứng với tích vô hướng   ,   ) Khi đó với mọi f  H , có duy nhất u  H a  u, v    f , v, v  H (2.18) Định lý 2.5.5 (Định lý Ascoli – Arzela) Cho T  0 , ký hiệu X  C  0, T  ;  m  là không gian Banach các hàm liên tục f : 0, T    m đối với chuẩn m f X  sup  f t  , j f   f1 , , f m   X t[0,T ] j 1 Định... , b;V ,V  , thì với mọi v  V d  u  , v   ut  , v dt trong D  0, T  (2.12) 2.5 Một số định lý quan trọng: Định lý 2.5.1 Cho  là tập mở bị chặn trong  n và f m , f  Lp    , 1  p   , sao cho  f m Lp   C  const  , m     f m  f a.e  Khi đó f m  f yếu trong Lp    Chứng minh định lý 2.5.1 có thể xem trong Lions [11], trang 12 Định lý 2.5.2 Cho  mở, bị chặn... ; L2   L2  0, T ; H 1  (3.39) Bước 3: Qua giới hạn Từ (3.39) ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của dãy u m  vẫn ký hiệu là u m  , sao cho um  u yếu trong L2  0, T ; H 1  , (3.40) um  u yếu* trong L  0, T ; L2  (3.41) Cố định j , với m  j , ta nhân (3.12) với   D  0,T  , sau đó lấy tích phân theo biến t ta được T T   um  t  , w j    t  dt   a  t ; um (t ), w j ...  liên tục, nên từ (3.53), ta suy ra m  bị chặn trong L2  QT  Do tính bị chặn của m  trong H 1  QT  , dẫn đến rằng tồn tại một dãy con của m  vẫn ký hiệu là m  sao cho mạnh trong L2  QT  m   (3.54) t Từ (3.43) và (3.54), ta suy ra   x, t     x, t    k  t    u  x,  d 0 Vậy m   mạnh trong L2  QT  được chứng minh Cố định j , với m  j , ta nhân (3.12) với