Bài viết đề cập đến bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng tuyến tính; đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên chuyên ngành Toán và những ai đang nghiên cứu phương trình sóng tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Phạm Thanh Sơn*, Lê Khánh Luận†, Trần Minh Thuyết‡ Giới thiệu Bài báo đề cập đến tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng tuyến tính sau ìï u - m(t )u + K u + l u = f (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï tt xx t a- ïï í m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l u t (1, t ) u t (1, t ), ïï ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1( x ), ïỵ (1.1) K , l , l 1, a số cho trước; m, f , u%0, u%1 hàm cho trước thoả điều kiện đặt sau; ẩn hàm u (x , t ) giá trị biên chưa biết Y (t ) thoả mãn tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường sau ïìï Y ¢¢(t ) + pY ¢(t ) + qY (t ) = b u tt (0, t ), < t < T , í ïï Y (0) = Y , Y ¢(0) = Y 1, î (1.2) p, q, b , Y , Y số cho trước, với p - 4q < Bài toán (1.1), (1.2) dạng tương tự với điều kiện biên khác quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả (xem [1] – [8]) tài liệu tham khảo Trong trường hợp m(t ) º 1, tác giả Nguyễn Thúc An Nguyễn Đình Triều [1] xét toán (1.1)1,3, (1.2), với f (x , t ) = 0, p = 0, q > 0, u%0 = u%1 = 0, Y = 0, (1.3) điều kiện biên (1.1)2 thay u x (0, t ) = Y (t ), u (1, t ) = (1.4) * Học viên Cao học Giải Tích K18, ĐHSP Tp HCM, ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, ‡‡ TS, Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, † 39 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Trong trường hợp này, tốn (1.1)1,3, (1.2), (1.3), (1.4) mơ tả dao động vật rắn đàn hồi nhớt tựa cứng Trong [2], Bergounioux, Long, Dinh, nghiên cứu toán (1.1)1,3, (1.2), với (1.5) m(t ) º 1, p = 0, q > 0, điều kiện biên (1.1)2 thay u x (0, t ) = Y (t ), - u x (1, t ) = l 1u t (1, t ) + K 1u (1, t ), (1.6) với số cho trước l > 0, K ³ Như tốn chúng tơi xét với điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.6) tương ứng với K = Từ (1.2), ta biểu diễn Y (t ) theo dạng t Y (t ) = g(t ) + b u (0, t ) - ò k (t - s )u (0, s )ds, (1.7) g(t ) = e - a t éê(Y - u (0))cos wt + w- (aY + Y + a u (0) - u 1(0))sin wt ùú, ë û k (t ) = bw- 1e - a t éê2a w cos wt + (w2 - a ) sin wt ùú, ë û với a = p , w= 4q - p Do tốn (1.1), (1.2) đưa (1.1), (1.7) Bài báo gồm phần Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, chúng tơi chứng minh tốn (1.1), (1.7) tồn nghiệm yếu toàn cục Các phần sau xét trường hợp a = Phần khảo sát tính trơn tính ổn định nghiệm phụ thuộc vào kiện toán Phần nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu l ® 0+ Cuối cùng, phần trình bày khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) đến cấp N + 40 theo ba tham số bé K , l , l Kết Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả thu tổng quát hóa cách tương đối kết [1 – 5] Các kí hiệu Đặt W= (0,1) Trong này, kí hiệu Lp = Lp (W), H m = H m (W) sử dụng cho phép bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng Tích vơ hướng L2 chuẩn sinh tích vơ hướng kí hiệu á×× , đ || ×|| Kí hiệu á×× , đ dùng để tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử khơng gian hàm Kí hiệu || ×||X chuẩn khơng gian Banach X Kí hiệu Lp (0,T ; X ), £ p £ ¥ , để không gian Banach hàm thực u : (0,T ) ® X đo được, cho || u ||L ( 0,T ;X ) < + ¥ với p ìï ïï ỉ T ư÷p p , ùù ỗỗũ || u (t ) ||X dt ữ ứữ || u ||Lp ( 0,T ;X ) = ốỗ ïï ïï ess sup || u (t ) || , X ïïỵ 0< t < T £ p < + ¥ , p = ¥ Ta kí hiệu W (T ) = {v Ỵ LƠ (0,T ; H ) : vt ẻ LƠ (0,T ; L2 )} không gian Banach thực với chuẩn định || v ||W (T ) = || vt ||L¥ (0,T ;L2 ) + || v ||L¥ (0,T ;H ) Bổ đề 2.1 Phép nhúng H ↪ C (W) compact v C ( W) £ v H1 , " v Î H Tồn nghiệm Ta thành lập giả thiết (A1) (u%0, u%1 ) Î H ´ L2 , (A2) f Î L1(0,T ; L2 ), (A3) m Ỵ C ([0,T ]), m(t ) m0 > 0, mÂẻ L1(0,T ), 41 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM 1,1 Số 18 năm 2009 (A4) g, k Ỵ W (A5) a ³ 2, b > 0, l Ỵ ¡ + , K , l Ỵ ¡ (0,T ), Khi đó, ta có định lí sau Định lí 3.1 Cho T > Giả sử (A1) – (A5) Khi đó, toán (1.1), (1.7) tồn nghiệm yếu (u,Y ) ẻ W (T ) LƠ (0,T ) cho u (0, ì) ẻ LƠ (0,T ), u(1, ×) Ỵ W 1, a (0,T ) (3.1) Chứng minh định lí 3.1 Chứng minh định lí gồm bước Bước Xấp xỉ Galerkin Chọn sở đặc biệt {w j } H 1, nghiệm xấp xỉ (1.1), (1.7) tìm dạng m å u m (t ) = (3.2) cmj (t )w j , j= đó, cm j (t ) nghiệm hệ phương trình phi tuyến sau ìï u ¢¢(t ), w + m(t ) u (t ), w + Y (t )w (0) + H (u ¢(1, t ))w (1) ïï m j mx jx m j a m j ïï ¢ + Ku m (t ) + l u m (t ), w j = f (t ), w j , j = 1, m , ïï ïï ïï ïí u (0) = u , u ¢(0) = u , 0m m 1m ïï m t ïï ïï Y m (t ) = g(t ) + b u m (0, t ) - ò k (t - s )u m (0, s )ds, ïï a- ïï z, ïïỵ H a (z ) = z (3.3) đó, m u 0m = å a m jw j ® u%0 mạnh H 1, (3.4) b m jw j ® u%1 mạnh L2 (3.5) j=1 m u 1m = å j=1 42 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả Với T > cho trước, sử dụng định lí điểm bất động Schauder để chứng minh hệ (3.3) có nghiệm c(t ) = (c1(t ), , cm (t )) khoảng [0,T m ] Ì [0,T ] Bổ đề 3.2 Cho T > Giả sử (A1) – (A5) Khi đó, tồn T m > cho hệ (3.3) có nghiệm c(t ) = (c1(t ), , cm (t )) khoảng [0,T m ] Ì [0,T ] Đánh giá tiên nghiệm sau cho phép ta lấy T m = T , " m ¢ (t ) lấy tổng theo j , Bước Đánh giá tiên nghiệm Nhân (3.3)1 với cmj sau tích phân theo biến thời gian với cận từ đến t , cuối áp dụng bổ đề Gronwall, thu kết bổ đề sau: Bổ đề 3.3 Tồn số C T(1) phụ thuộc vào T cho t || u m¢(t ) ||2 + || u mx (t ) ||2 + u m2 (0, t ) + l ò | u m¢(1, s ) |a ds £ C T(1), " t Ỵ [0,T ], " m Bước Qua giới hạn Từ kết Bổ đề 3.3 định lí nhúng compact, ta thu dãy dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm yếu tốn Trong q trình chuyển qua giới hạn số hạng phi tuyến sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3.4 Giả sử u nghiệm yếu tốn sau ìï u ¢¢- m(t )u = F , < x < 1, < t < T , ïï xx ïï m(t )u (0, t ) = b u (0, t ) + Y (t ), - m(t )u (1, t ) = Z (t ), x x ïí ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u ¢(x , 0) = u%1(x ), ùù Ơ ùùợ u ẻ W (T ), u (0, ì) ẻ L (0,T ), u (1, ì) Î H (0,T ), Y Î W (3.6) 1,1 (0,T ) Khi đó, ta có t 1 1 || u ¢(t ) ||2 + m(t ) || u x (t ) ||2 ³ || u ||2 + m(0) || u 0x ||2 + ò m¢(s ) || u x (s ) ||2 ds 2 2 t - ò Z (s )u ¢(1, s ) ds b b u (0, t ) + u 02 (0) - Y (t )u (0, t ) + Y (0)u (0) 2 43 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM t Số 18 năm 2009 t + ò Y ¢(s )u (0, s ) ds + ò áF (s ), u ¢(s )đds, a.e t Ỵ [0,T ] (3.7) Hơn nữa, u = u = (3.7) xảy đẳng thức Bổ đề 3.4 chứng minh kĩ thuật tương tự [8] Bước Sự nghiệm Để chứng minh nghiệm yếu sử dụng bổ đề 3.4 lần kết hợp với bất đẳng thức Gronwall Từ định lí 3.1 chứng minh Chú thích Kết thu tổng qt hóa kết trước xem [12] Tính trơn nghiệm Trong phần này, tăng cường thêm giả thiết sau: (B1) (u%0 , u%1 ) Ỵ H ´ H 1, (B2) f , ft Ỵ L1(0,T ; L2 ), (B3) m Ỵ C 1([0,T ]), m(t ) m0 > 0, mÂÂẻ L1(0,T ), (B4) g, k Ỵ W (B5) a = 2, b > 0, l Ỵ ¡ + , K , l Ỵ ¡ 2,1 (0,T ), Khi đó, chúng tơi thu nghiệm yếu (u,Y ) có tính trơn tốt sau: Định lí 4.1 Cho T > Giả sử (B1) – (B5) Khi đó, tốn (1.1), (1.7) tồn nghiệm yếu (u,Y ) cho ỡù u ẻ LƠ (0,T ; H ), u ẻ LƠ (0,T ; H ), u ẻ L¥ (0,T ; L2 ), ï t tt í ïï u (0, ì) ẻ W 1,Ơ (0,T ), u (1, ì) ẻ H (0,T ), Y ẻ W 1,Ơ (0,T ) ïỵ (4.1) Chứng minh định lí 4.1 Trong (3.3)1, thay a = 2, sau lấy đạo hàm ¢¢(t ) lấy tổng theo j , sau tích theo biến thời gian t nhân hai vế với cmj 44 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả phân với cận từ đến t , cuối áp dụng bổ đề Gronwall, thu kết bổ đề sau Bổ đề 4.2 Tồn số C T( 2) phụ thuộc vào T cho t 2 ¢ (t ) || + | u m¢(0, t ) | + l ò | u m¢¢(1, s ) |2 ds £ C T( 2), " t Ỵ [0,T ], " m || u m¢¢(t ) || + || u mx Từ bổ đề 3.3 4.2, định lí 4.1 chứng minh Chú thích Ta suy từ (4.1) ìï u Ỵ C ([0,T ]; H ) ầ C 1([0,T ]; L2 ) ầ LƠ (0,T ; H ), ï í ïï u t ẻ C ([0,T ]; L2 ) ầ LƠ (0,T ; H ), u tt ẻ LƠ (0,T ; L2 ) ïỵ (4.2) Do đó, u , u x , u t , u xx , u xt , u tt ẻ LƠ (0,T ; L2 ) è L2 (QT ) Điều dẫn đến u Ỵ H (QT ) ầ LƠ (0,T ; H ) (4.3) Từ (4.3) (u%0, u%1 ) Ỵ H ´ H thành phần u nghiệm yếu (u,Y ) thuộc vào không gian hàm H 2(QT ) Ç L¥ (0,T ; H ) Nghiệm giống với nghiệm cổ điển thuộc C 2(QT ), mà (u%0 , u%1 ) không thiết thuộc C 2( W) ´ C 1( W) Sự ổn định nghiệm vào kiện toán Trong phần này, chúng tơi khảo sát tính ổn nghiệm toán (1.1), (1.7) tương ứng với a = Giả sử hàm (u%0 , u%1 ) thỏa giả thiết (B1) Theo định lý 4.1, tốn (1.1), (1.7) có nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào K , l , b , l 1, m, f , g, k u = u (K , l , b , l 1, m, f , g, k ), Y = Y (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) (5.1) (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) thỏa giả thiết (B2) – (B5) Đặt Á( m0 ) = {(K , l , b , l 1, m, f , g, k ) : (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) thỏa (B2) – (B5) } 45 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 với m0 > số cho trước Khi đó, ta có định lý sau Định lý 5.1 Giả sử (B1) – (B5) thỏa Khi đó, với T > 0, nghiệm toán (1.1), (1.7) ổn định với kiện (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) Á( m0 ), nghĩa là: Nếu (K , l , b , l 1, m, f , g, k ), (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ) Ỵ Á( m0 ) cho ìï ïï | K j - K | + | l j - l | + | l 1j - l |® 0, ïï j j j í || m - m ||C ([0,T ]) ® 0, || f - f ||L2 (Q ) + || ft - ft ||L2 (Q ) ® 0, j đ + Ơ , (5.2) ùù T T ùù || g j - g || 2,1 ® 0, || k j - k || 2,1 ® 0, W (0,T ) W ( 0,T ) ïỵ (u , u (1, ì),Y ) đ (u, u(1, ì),Y ), j j j W (T ) ´ H 1(0,T ) ´ L2 (0,T ) j đ + Ơ , (5.3) u j = u (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ), Y j = Y (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ) Dáng điệu tiệm cận nghiệm l ® 0+ Trong phần này, ta giả sử a = (u%0, u%1, g, k , m, f , K , l , b ) thỏa giả thiết (A1) – (A5) Với l > 0, định lí 3.1 tốn (1.1), (1.7) có nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào l : u = ul , Y = Yl (6.1) Ta xét toán nhiễu sau, với l > tham số nhỏ ìï u - m(t )u + K u + l u = f (x , t ), < x < 1, < t < T , xx t ïï tt ïï ïï m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1u t (1, t ), ïï í u (x , 0) = u%0( x ), u t ( x , 0) = u%1(x ), ïï ïï t ïï Y ( t ) = g ( t ) + b u (0, t ) ïï ò k (t - s )u(0, s )ds ïỵ 46 (Pl ) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả Ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu (u,Y ) toán (Pl ) phụ thuộc vào tham số l 1 Khi đó, ta có định lí sau Định lí 6.1 Cho T > Giả sử (A1) – (A5) Khi (i) Bài tốn (P0 ) tương ứng với l = có nghiệm (u 0,Y ) Ỵ W (T ) LƠ (0,T ) tha u (0, ì) ẻ LƠ (0,T ), u (1, ì) ẻ H 1(0,T ) (6.2) (ii) Nghiệm (ul ,Y l ) hội tụ mạnh W (T ) ´ L¥ (0,T ) (u ,Y ) 1 l ® 0+ Hơn nữa, có đánh giá tiệm cận || u l - u ||W (T ) + l || u lÂ(1, ì) - u 0Â(1, ì) ||L2 ( 0,T ) + | Y l - Y ||L¥ ( 0,T ) £ C T l , (6.3) 1 đó, C T số dương phụ thuộc vào T Chứng minh định lí 6.1 i) Tương tự chứng minh Định lí 3.1 ii) Xét dãy {l 1m } cho l 1m ® 0+ , m đ Ơ , ta chng minh c rng {(u l 1m ,Y l )} dãy Cauchy W (T ) ´ L¥ (0, T ) Từ ta suy nghiệm 1m (u l ,Y l ) hội tụ (u 0,Y ) mạnh W (T ) ´ L¥ (0,T ) l ® 0+ 1 Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số bé K , l , l Trong phần này, ta giả sử a = 2, b ³ (u%0, u%1, m, f , g, k ) thỏa giả thiết (A1) – (A4) Với (K , l ) Ỵ ¡ , l Ỵ ¡ + từ định lí 3.1, tốn (1.1), (1.7) có nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào (K , l , l ) : u = u (K , l , l ), P = P (K , l , l ) 47 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Ta xét toán nhiễu theo ba tham số bé K , l , l thỏa | K | £ K *, | l | £ l *, £ l £ l 1* ( K *, l *, l 1* số cố định) ìï A u º u - m(t )u = - K u - l u + f (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï tt xx t ïï ïï m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1u t (1, t ), ï í ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ), ïï t ïï ïï Y (t ) = g(t ) + b u (0, t ) - ò k (t - s )u (0, s )ds ỵ (PK ,l ,l ) Chúng tơi khai triển tiệm cận nghiệm yếu tốn (PK ,l ,l ) º (Per ) theo ba tham số bé K , l , l tức ta xấp xỉ nghiệm yếu u đa thức theo ba biến K , l , l đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Ở đây, ta dùng kí hiệu sau, với đa số g = ( g1, g2 , g ) ẻ  3+ r e = (K , l , l ) Ỵ ¡ 3, ta đặt ìï | g | = g + g + g , g ! = g ! g ! g !, ïï 3 ïï r r ïí e g = K g1l g2 l g3 , || e ||= K + l + l , 1 ùù ùù ùùợ a , b ẻ  + , b £ a Û b i £ a i , " i = 1, 2, (7.1) Giả sử u 0r º u 0,0,0 nghiệm yếu toán (P%0r ) º (P%0,0,0 ) (như định lí 3.1) ứng với (K , l , l ) = (0, 0, 0), tức ïìï ïï A u 0r = F0r º f (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï ïï m(t )u r (0, t ) = Y r (t ), - m(t )u r (1, t ) = 0, 0x 0x ïï (P%0r ) ïí u 0r (x , 0) = u%0(x ), u 0r¢(x , 0) = u%1(x ), ïï ïï t ïï Y 0r (t ) = g(t ) + b u 0r (0, t ) - ò k (t - s )u 0r (0, s )ds , ïï ïï (u r ,Y r ) Ỵ W (T ) ´ LƠ (0, T ), u r (0, ì) ẻ LƠ (0,T ), u r (1, ì) ẻ H 1(0, T ) ïïỵ 0 0 48 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả Xét dãy hữu hạn nghiệm yếu (u g ,Y g ), g ẻ  3+ , Ê g £ N xác định toán sau ìï ïï A u = F , < x < 1, < t < T , g g ïï ïï ïï m(t )u gx (0, t ) = Y g (t ), - m(t )u gx (1, t ) = Z g , ï (P%g ) ïí u g (x , 0) = 0, u gt (x , 0) = 0, ïï ïï t ïï Y g (t ) = g(t ) + b u g (0, t ) - ò k (t - s )u g (0, s )ds, ùù ùù Ơ Ơ ùùợ (u g ,Y g ) Ỵ W (T ) ´ L (0,T ), u g (0, ì) ẻ L (0,T ), u g (1, ì) ẻ H (0,T ) Fg , Z g (t ), g £ N , xác định công thức truy hồi sau ìï f (x , t ), ïï ïï ïï 0, ïï ï Fg = ïí - u g - 1, g ,g , ïï ïï ïï - u g¢1, g2 - 1,g3 , ïï ïï - u - u g¢, g - 1, g , ïỵ g1- 1, g2 ,g3 g = 0, g1 = g = 0, £ g £ N g1 ³ 1, g = 0, £ g £ N , (7.2) g1 = 0, g ³ 1, £ g £ N , g1 ³ 1, g ³ 1, £ g £ N, ìï g(t ), ïï ïï ïï 0, Z g = ïí ïï u r¢(1, t ), ïï ïï ïï u gÂ1 ,g2 , g3 - 1(1, t ), ợ g = 0, g = 0, £ g £ N (7.3) g = g = 0, £ g £ N , £ g £ N Giả sử (u ,Y ) = (u er ,Y er ) nghiệm yếu toán (Per ) Khi v= u- å g£N r uge g, R =Y - å r Y ge g, (7.4) g£N thỏa tốn sau 49 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 ìï A v + K v + l v = E (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï t N ïï ïï m(t )vx (0, t ) = R (t ), - m(t )vx (1, t ) = l 1vt (1, t ) + E%N (t ), ï í ïï v(x , 0) = vt (x , 0) = 0, ïï t ïï ïï R (t ) = b v(0, t ) - ò k (t - s )v(0, s )ds, ỵ (7.5) E N (x , t ) = - å (Ku g r r + l u g¢)e g , E%N (t ) = l å u g¢(1, t )e g g=N (7.6) g=N Bổ đề 7.1 Giả sử (A1) – (A4) thỏa Khi ta có i) r || E N ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ C%1N || e ||N + 1, (7.7) r ii) || E%N ||L ( 0,T ) £ C%2N || e ||N + 1, (7.8) C%1N C%2N số dương phụ thuộc vào số r || e* ||, || u g ||L ( 0,T ;H ) , || u gt ||L ( 0,T ;L ) , || u g (0, ×) ||L ( 0,T ) , || u gt (1, ×) ||L ( 0,T ) , | g | = N ¥ ¥ ¥ Kế tiếp, ta có định lí sau Định lí 7.2 Giả sử (A1) – (A4) thỏa Thì (K , l ) Ỵ ¡ , l Ỵ ¡ + thỏa | K | £ K *, | l | £ l *, £ l £ l 1* toán ( PK ,l ,l ) có nghiệm yếu (u ,Y ) = (u er ,Y er ) Ỵ W (T ) ´ L¥ (0,T ) thỏa đánh giá tiệm cận tới cấp N + sau || u - å r u g e g ||W (T ) + l || u Â(1, ì) - gÊN r u gÂ(1, ì)e g ||L2 ( 0,T ) g£N + || Y - å r r N+1 Y g e g ||L¥ ( 0,T ) £ C%N* || e || , (7.9) g£N với (K , l ) Ỵ ¡ , l Ỵ ¡ + thỏa | K | £ K *, | l | £ l *, £ l £ l 1*, (u g ,Y g ) nghiệm yếu toỏn (P%g ), g ẻ  3+ , | g | £ N , C%N* số độc lập với r e = (K , l , l ) 50 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Phạm Thanh Sơn tác giả Chú thích Trong [4], với trường hợp đặc biệt toán (1.1), (1.7), Long, Út, Trúc, đạt khai triển tiệm cận nghiệm tới cấp N + theo hai tham số bé (K , l ) Theo hiểu biết chúng tơi, chưa có nhiều cơng trình nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số bé, số kết vấn đề tìm thấy [6, 7] tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR Vietnam, 13 (2), – [2] Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long (2001), Alain Phạm Ngọc Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (5), 547 – 561 [3] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl, (3) 337 – 358 [4] Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 63 (2), 198 – 224 [5] Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4), 915 – 938 [6] Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3), 842 – 864 [7] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819 51 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 [8] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2009), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11), 3943 – 3965 Tóm tắt Bài báo nghiên cứu tốn biên cho phương trình sóng tuyến tính u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), < x < 1, < t < T , điều kiện biên x = liên kết với phương trình vi phân thường cấp hai có vế phải b u tt (0, t ) điều kiện biên điểm x= có dạng - m(t )u x (1, t ) = l u t (1, t ) a- u t (1, t ), với K 1, l 1, a , b số dương cho trước Sự tồn nghiệm yếu chứng minh phương pháp Faedo – Galerkin Trong trường hợp a = 2, tính ổn định tính trơn nghiệm khảo sát Cuối cùng, thu khai triển tiệm cận nghiệm toán tới cấp N + theo ba tham số bé K , l , l Abstract A linear wave equation associated with a cauchy problem for an ordinary differential equation We consider the initial boundary value problem for the linear wave equation u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), < x < 1, < t < T , where the boundary condition at x = associated with a second order differential equation and the boundary condition at x= in the form - m(t )u x (1, t ) = l u t (1, t ) a- u t (1, t ), where K 1, l and a are given positive constants Existence and uniqueness of a weak solution are proved by using the Faedo – Galerkin method In the case of a = 2, the stability and regularity of solutions are also discussed Finally, we obtain an asymptotic expansion of the solution of the problem up to order N + parameters K , l , l 52 in accordance with three small ... Tóm tắt Bài báo nghiên cứu toán biên cho phương trình sóng tuyến tính u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), < x < 1, < t < T , điều kiện biên x = liên kết với phương trình vi phân thường. .. + (w2 - a ) sin wt ùú, ë û với a = p , w= 4q - p Do toán (1.1), (1.2) đưa (1.1), (1.7) Bài báo gồm phần Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, chúng... (1, t ) = l 1u t (1, t ) + K 1u (1, t ), (1.6) với số cho trước l > 0, K ³ Như toán xét với điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.6) tương ứng với K = Từ (1.2), ta biểu diễn Y (t ) theo dạng