Một phương trình sóng tuyến tính liên kết với điều kiện biên phi tuyến: Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của nghiệm theo bốn tham số bé

Trong bài viết này xét bài toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN : SỰ TỒN TẠI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO BỐN THAM SỐ BÉ Trần Minh Thuyết *, Lê Khánh Luận † Trần Văn Lăng ‡ , Võ Giang Giai § Mở đầu Trong này, chúng tơi xét tốn giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng tuyến tính (1) utt   (t )u xx  Ku   ut  F ( x, t ),  x  1,  t  T ,  (t )ux (0, t )  K0 u(0, t )   (t )u x (1, t )  K1 u (1, t ) p0  p1  u (0, t )  0 ut (0, t ) u (1, t )  1 ut (1, t ) q0  q1  ut (0, t )  g (t ), ut (1, t ), (2) (3) (4) u ( x,0)  u0 ( x), ut ( x,0)  u1 ( x), trong p0 , q0 , p1 , q1  2, K , K , K1 ,   0, 0 , 1  số cho trước u0 , u1,  , F , g hàm cho trước thỏa số điều kiện rõ sau Bài tốn (1)-(4) mơ hình tốn học mơ tả dao động dọc đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi nhớt phi tuyến biên Gần đây, toán (1)-(4) nhiều nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều chủ đề tồn tại, tính trơn, tính chất định tính định lượng nghiệm, xấp xỉ tuyến tính nghiệm, khai triển tiệm cận nghiệm,…[1-3, 5-15] Bài báo gồm ba phần Trong phần 1, điều kiện (u0 , u1 )  H  L2 , * / ( F , g ,  )  L2 (QT )  Lq0 (0,T )  H (0, T ), TS, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM ‡ PGS.TS, Phân viện Cơng nghệ Thơng tin Tp.HCM § ThS, Cộng tác viên khoa Toán – Tin, Trường ĐH Kinh tế Tp.HCM † 42  (t )  0  0,  / (t )  0, Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM p0 , q0 , p1 , q1  2, Số 12 năm 2007 q0/  q0 ( q0  1) 1, (K, , K , K1 )   , chứng minh định lí tồn tồn cục nghiệm yếu u toán (1)-(4) Chứng minh nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với số đánh giá tiên nghiệm lí luận quen thuộc hội tụ yếu, toán tử đơn điệu tính compact Trong phần 2, chúng tơi chứng minh nghiệm yếu u  L (0, T ; H ), với u t  L (0, T ; H ), u tt  L (0, T ; L2 ), u 0,, u 1,  H (0, T ), ta giả sử (u0 , u1 )  H  H 1, q0  q1  2, p0 , p1  2, số điều kiện khác Cuối cùng, phần 3, thu khai triển tiệm cận nghiệm u toán (1)-(4) đến cấp N  theo bốn tham số K ,  , K0 , K1 Các kết thu tổng quát hoá tương đối kết [1-3, 5-15] Định lí tồn nghiệm Đặt   (0,1), QT    (0, T ), T  Chúng ta bỏ qua định nghĩa không gian thông dụng C m (), L p (), W m , p () Ta kí hiệu W m , p  W m, p (), L p  W 0, p (), H m  W m, (),  p  , m  0,1, Chuẩn L2 kí hiệu  Ta kí hiệu , tích vơ hướng L2 hay cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Ta kí hiệu  X chuẩn không gian Banach X X / khơng gian đối ngẫu X Ta kí hiệu Lp (0, T ; X ),  p   cho không gian Banach hàm u : (0, T )  X đo được, cho 1/ p u Lp ( ,T ; X ) T  p    u (t ) X dt  0    với  p  , u L ( ,T ; X )  ess sup u (t ) t T X   với p   Kí hiệu u(t ), u / (t )  ut (t ), u // (t )  utt (t ), u x (t ), u xx (t ) để u ( x, t ), u ( x, t ), t  2u  2u u ( x , t ), ( x , t ), ( x, t ), x t x 43 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai Trên H ta dùng chuẩn tương đương v H   v  vx  1/  , v  v (1)  vx  1/ (5) Ta thành lập giả thiết sau : ( H1 ) (u0 , u1 )  H  L2 , (H ) F  L2 (QT ), (H )   H (0,T ),  (t )  0  0,  / (t )  0, (H ) g  Lq0 (0,T ), q0/  q0 ( q0  1) 1, (H ) (K, , K , K1 )   (H6 ) p0 , q0 , p1 , q1  2, (H7 ) 0 , 1  / , Khơng làm tính tổng qt ta giả sử 0  1  Khi ta có định lí sau Định lí Cho T  Giả sử ( H1 )  ( H ) Khi đó, tồn nghiệm yếu u toán (1)-(4) cho  u  L (0, T ; H ), ut  L (0,T ; L2 ),   u (0,  )  W 1, q0 (0, T ), u (1,  )  W 1, q1 (0, T ) (6) Hơn nữa, p , p1  {2}  [3, ) nghiệm có Chú thích Định lí chưa khẳng định tính nghiệm  p0   p1  Tuy nhiên, việc xây dựng giả thiết ( H1 )  ( H ) với p0 , p1 ( H ) thỏa  p0   p1  cho toán (1)-(4) có hai nghiệm thỏa (6) tốn mở Trong định lí 2, chúng tơi tăng cường giả thiết ( H1 )  ( H ) thu tính nghiệm trường hợp p0 , p1  2, q0  q1  Chứng minh Định lí Sự tồn nghiệm chứng minh nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin [4] kết hợp với số đánh giá tiên nghiệm 44 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 lí luận quen thuộc hội tụ yếu kĩ thuật qua giới hạn số hạng phi tuyến phương pháp đơn điệu Tính nghiệm dựa vào bổ đề Gronwall  Phần sau đây, để thu nghiệm tốt hơn, ta tăng cường thêm giả thiết sau ( H1/ ) (u0 , u1 )  H  H 1, ( H 2/ ) F , Ft  L2 (QT ), ( H 3/ )   W 2,1 (0, T ),  (t )  0  0, ( H 4/ ) g  H (0, T ), ( H 5/ ) K,   ; K , K1  0, ( H 6/ ) p0 , p1  2, q0  q1  Khi ta có định lí sau Định lí Cho T  Giả sử ( H1/ )  ( H 6/ ) Khi đó, tồn nghiệm yếu u toán (1)-(4) cho  u  L (0, T ; H ), ut  L (0, T ; H ), utt  L (0, T ; L2 ),   u (0,  ), u (1,  )  H (0, T ) (7) Chú thích Từ (7), ta suy  u  L (0, T ; H )  C (0, T ; H )  C (0, T ; L2 ),     ut  L (0, T ; H ), utt  L (0, T ; L ),   u (0,  ), u (1,  )  H (0, T ) (8) Mặt khác, từ (7) ta nhận thấy u , u x , ut , u xx , u xt , utt  L (0, T ; L2 )  L2 (QT ), u  H (QT ) Từ (u0 , u1 )  H ()  H () nghiệm yếu u thuộc vào không gian hàm H (QT )  L (0, T ; H ) Và nghiệm phần giống với nghiệm cổ điển thuộc C (QT ), kiện đầu (u0 , u1 ) không cần thiết thuộc C ()  C () 45 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai Chứng minh Phần chứng minh định lí gồm bước Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, từ rút dãy hội tụ yếu nghiệm không gian hàm thích hợp nhờ số phép nhúng compact Chú thích Trong trường hợp p0 , p1  K0  K1  0, tồn nghiệm toán (1)-(4) câu hỏi mở Khai triển tiệm cận theo tham số Trong phần này, ta kí hiệu u , u1 u~0 , u~1 , Giả sử q0  q1  2, p0 , p1  N  1, N  2, 0  1  1, u~ , u~1 , F ,  , g  thỏa mãn giả thiết ( H1 )  ( H ) Với (K, , K , K1 )   , theo Định lí 1, tốn (1)-(4) có nghiệm yếu u phụ thuộc ( K ,  , K , K1 ) : u  u ( K ,  , K , K1 ) Xét toán nhiễu sau, K ,  , K , K1 tham số bé,  K  K  ,     ,  K  K 0 ,  K  K 1 :  Au  utt   (t )u xx   Ku  ut  F ( x, t ),  x  1,  t  T ,  u (0, t )  K H (u (0, t ))  u (0, t )  g (t ), p0 t ~  x ( PK ,  , K , K )   u x (1, t )  K1H p1 (u (1, t ))  ut (1, t ),  u ( x,0)  u~ ( x), u ( x,0)  u~ ( x), t  H p ( z )  z Với p2 z , p  { p0 , p1} đa  K   K, , K , K1    , số    ,  ,  ,    Z 4 vectơ ta đặt           ,  !  1! 2! 3! 4!,     K  K  2  K 02  K12 , K   K   K 0 K1 ,    ,   Z ,        , i  1, 2, 3, 4,  i i  !    C   !   !  Trước tiên, ta có bổ đề sau chi tiết chứng minh xem [11] [13] 46 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 v   ,   Z4 ,    N Khi đó, Bổ đề Cho m, N  m       v K     T ( m) [v] K  ,  1   N  m   mN   (9) hệ số T ( m) [v] , m    mN phụ thuộc vào v  (v ),   Z 4 ,    N thỏa mãn công thức qui nạp sau  (1)  T [v]  v ,    N ,  ( m) ( m 1) [v] , m    mN , m  2,  T [v]   v   T ( m)  I    I ( m )    Z :    ,      N , m     (m  1) N     (10)  ~ Gọi u0 u 0,0, 0, nghiệm yếu toán ( P0,0,0,0 ) Định lí 1, tương ứng với ( K ,  , K , K1 )  (0,0,0,0), i.e.,   ~  ( P0,0,0,0 )     Au  F0, 0,  F ( x, t ),  x  1,  t  T , u x (0, t )  u 0/ (0, t )  g (t ),  u x (1, t )  u1/ (1, t ), u ( x,0)  u~ ( x), u / ( x,0)  u~ ( x), 0  /  u  L (0, T ; H ), u  L (0, T ; L2 ), u (0,  ), u (1,  )  H (0, T ) Ta xét dãy hữu hạn nghiệm yếu u ,   Z 4 ,    N , xác định toán sau Au  F ,  x  1,  t  T ,   /  u  x (0, t )  Pˆ (t )  u  (0, t ), ~  ( P )   u  x (1, t )  Qˆ  (t )  u / (1, t ),  /  u  ( x,0)  u  ( x,0)  0,   /   u   L (0, T ; H ), u   L (0, T ; L ), u  (0,  ), u  (1,  )  H (0, T ), F , Pˆ , Qˆ ,   N , xác định công thức qui nạp sau 47 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai     F       F,   0, 0,     0,    N ,  u , 1, , ,   0,   1,    N ,  u 1, , , ,   1,   0,    N , (11)  u 1, , ,  u , 1, , ,   1,   1,    N ,  g (t ),   0,    0,    N ,  0,  Pˆ (t )   H p u0 (0, t ) ,   1,   1,   1 (m)  (m)   m! H p0 u0 (0, t ) T [u (0, t )] , , 1, ,   1,    N ,  m 1 (12) 0,   0,    N ,    1,   1,  H p1 u0 (1, t ) ,  ˆ Q (t )     1 ( m)  H p1 u0 (1, t ) T ( m ) [u (1, t )] , , , 1,   1,    N ,   m ! m 1 (13) đây, ta kí hiệu u  (u  ),   N Gọi u  u ( K ,  , K , K1 ) nghiệm yếu ~ toán ( PK ,  , K , K1 ) Khi đó, v  u   u K    thỏa toán N ~  Av   Kv  v /  EN , K ( x, t ),  x  1,  t  T ,   vx (0, t )  R(t ),  vx (1, t )  S (t ),  /  v( x,0)  v ( x,0)  0, ~   /  R(t )  K H p0 (v  h)(0, t )  H p0 h (0, t )  v (0, t )  E0 N , K (t ), ~   /  S (t )  K1 H p1 (v  h)(1, t )  H p1 h(1, t )  v (1, t )  E1N , K (t ),   /   v  L (0,T ; H ), v  L (0,T ; L ) , v(0,  ), v(1,  )  H (0,T ),   48   (14) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007   h   u K  ,   N  ~ /  EN , K ( x, t )    ( Ku  u ) K ,  N   ~  E0 N , K (t )  K H p0 h(0, t )   Pˆ (t ) K , 1   N   ~  ˆ (t ) K  E ( t )  K H  h ( , t )   Q  p  N , K  1   N  (15) Khi ta có bổ đề sau Bổ đề Giả sử p0 , p1  N  1, N  2, q0  q1  2, 0  1  1, ( H1 )  ( H ) Khi        ~ EN , K  L ( ,T ; L ) ~ E0 N , K ~ E1N , K  với K   K, ,K ,K1    2 L ( ,T ) L2 ( ,T ) , ~   CN K ~   C0 N K ~   C1N K N 1 N 1 N 1 , (16) , , với  K  K  ,     ,  K  K 0 , ~ ~ ~  K1  K1 , C N , C0 N , C1N số tùy thuộc vào số K ,  , K 0 , K1 , u L ( 0, T ; H ) , u/ L ( ,T ; L2 ) ,   N Chứng minh bổ đề Dùng khai triển Taylor hàm H p , H p u đến cấp N , sau số bước đánh giá, ta thu (16)  Kết sau cho khai triển tiệm cận nghiệm u toán (1)(4) đến cấp N  theo bốn tham số bé K ,  , K0 , K1 Định lí Giả sử p0 , p1  N  1, N  2, q0  q1  2, 0  1  1, ( H1 )  ( H )  Khi đó, với K   K, ,K , K1    3 , với  K  K  ,     , ~  K  K  ,  K1  K1 , toán ( PK ,  , K , K ) có nghiệm yếu u  u ( K ,  , K , K1 ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N  sau 49 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai u/   u K    / N  u  u K    N L ( 0, T ; L2 )  u / ( 0,  )   u (0,) K    / N L ( ,T ; H )   u (1,  )   u (1,) K  /  với K   K, , K , K1   ,  ~   DN* K /   N L2 ( ,T ) N 1 (17) , L2 ( ,T ) với  K  K  ,     ,  K  K0 , ~  K1  K1 , D N* số tùy thuộc vào K * , * , K 0* , K 1* hàm ~ u  ,   Z 4 ,    N nghiệm yếu toán P ,   Z 4 ,   N   Chú thích Trong [8], trường hợp đặc biệt toán (1)-(4), Long, Định, Diễm thu kết khai triển tiệm cận nghiệm theo hai tham số K ,   đến cấp N  Chứng minh định lí Bằng cách nhân hai vế (14)1 với v / , sau tích phân phần theo t sử dụng bổ đề 2, ta thu  ~ ~ ~ Z (t )  5C02N  5C12N  TC12N K   2N 2  1  K T t  Z ( s)ds t  10 K 20  H p0 (v(0, s )  h(0, s))  H p0 (h (0, s )) ds (18) t  10 K 12  H p1 (v(1, s )  h(1, s ))  H p1 (h(1, s )) ds, t 2 Z (t )  v / (t )   (t ) vx (t )  2  v / (s ) ds t (19)    v (0, s )  v (1, s) ds   / / Sau số bước đánh giá sử dụng bổ đề Gronwall, ta suy từ (18), (19), v/ L ( ,T ; L2 )  v L ( , T ; H )  v / (0,  )  v / (1,  ) 50 L2 ( ,T ) L ( ,T ) ~   DN* K N 1 (20) , Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM  với K   K, , K , K1   Số 12 năm 2007  , với  K  K  ,     ,  K  K 0 ,  ~  K1  K1 , DN* số độc lập với K Từ (20), ta suy đánh giá tiệm cận (17) Định lí chứng minh Chú thích Trong trường hợp  (t )  1, (u0 , u1 )  H  H 1,  p1  q0  q1  2, p0  N  1, thu kết khai triển tiệm cận nghiệm yếu u toán (1)-(4) theo ba tham số K ,  , K [11] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đ.Đ Áng, A.P.N Định (1998), Mixed problem for some semilinear wave equation with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 12, 581 – 592 [2] N.T An, N.Đ Triều (1991), Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR Vietnam, 13 (2), 1-7 [3] M Bergounioux, N.T Long, A.P.N Định (2001), Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43, 547561 [4] J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier-Villar, Paris [5] N.T Long, A.P.N Định(1992), On the quasilinear wave equation : u tt  u  f (u , u t )  associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19, 613-623 [6] N.T Long, A.P.N Định (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24, 1261-1279 [7] N.T Long, T.N Diễm(1997), On the nonlinear wave equation utt  u xx  f ( x, t , u , u x , u t ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29, 1217 -1230 [8] N.T Long, A.P.N Định, T.N Diễm (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, J Boundary Value Problem, Hindawi Publishing Corporation, No.3, 337-358 [9] N.T Long, T.M Thuyet (2003), A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4), 915-938 51 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai [10] N.T Long, V.G Giai (2007), A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions : Global existence and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Anal 66 (7), 1526-1546 [11] N.T Long, V.G Giai (2007), A nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions : Existence and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Anal 66 (12), 2852- 2880 [12] N.T Long, V.G Giai (2007), Existence and asymptotic expansion for a nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions, Nonlinear Anal (accepted for publication) [13] N.T Long, L.X Trường (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 67 (3), 842-864 [14] N.T Long, L.X Trường (2007), Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary, Electron J Diff Eqns., Vol 2007, No 48, pp 1-19 ISSN : 10726691 [15] N.T Long, V.G Giai, L.X Truong (2007), A shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition, Demonstratio Math Vol 41 (accepted for publication) Tóm tắt Một phương trình sóng tuyến tính liên kết với điều kiện biên phi tuyến : Sự tồn khai triển tiệm cận nghiệm theo bốn tham số bé Bài báo đề cập đến toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến (*)  utt   (t )u xx  Ku   ut  F ( x, t ),  x  1,  t  T ,  p0  q 2 u (0, t )  ut (0, t ) ut (0, t )  g (t ),   (t )u x (0, t )  K u (0, t )  p1  q 2 u (1, t )  ut (1, t ) ut (1, t ),    (t )u x (1, t )  K1 u (1, t )   u ( x,0)  u0 ( x), ut ( x,0)  u1 ( x), p0 , q0 , p1 , q1  2, K , K , K1 ,   số cho trước u0 , u1,  , F , g hàm cho trước Bài báo gồm ba phần Trong phần 1, chúng tơi chứng minh định lí tồn nghiệm yếu u cho 52 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 tốn (*) Trong phần 2, chúng tơi chứng minh nghiệm yếu u  L (0, T ; H ), với ut  L (0, T ; H ), u tt  L (0, T ; L2 ), u0,, u1,  H (0, T ), ta giả sử (u0 , u1 )  H  H 1, số điều kiện khác Cuối cùng, phần 3, thu khai triển tiệm cận nghiệm u toán (*) đến cấp N  theo bốn tham số K ,  , K , K1 Abstract A linear wave equation associated with nonlinear boundary conditions : Existence and asymptotic expansion of solutions in four small parameters The paper deals with the initial-boundary value problem for the linear wave equation (*)  utt   (t )u xx  Ku   ut  F ( x, t ),  x  1,  t  T ,  p0  q 2 u (0, t )  ut (0, t ) ut (0, t )  g (t ),   (t )u x (0, t )  K u (0, t )  p1  q 2 u (1, t )  ut (1, t ) ut (1, t ),    (t )u x (1, t )  K1 u (1, t )   u ( x,0)  u0 ( x), ut ( x,0)  u1 ( x), where p0 , q0 , p1 , q1  2, K , K , K1 ,   are given constants and u0 , u1 ,  , F , g are given functions The paper consists of three parts In Part 1, we prove a theorem of existence and uniqueness of a weak solution u of problem (*) In Part 2, we prove that the weak solution u  L (0, T ; H ), with u t  L (0, T ; H ), u tt  L (0, T ; L2 ), u0,, u1,  H (0, T ), if we assume (u0 , u1 )  H  H 1, and some others Finally, in Part we obtain an asymptotic expansion of the solution u of the problem (*) up to order N  via four small parameters K ,  , K , K1 53 ... tắt Một phương trình sóng tuyến tính liên kết với điều kiện biên phi tuyến : Sự tồn khai triển tiệm cận nghiệm theo bốn tham số bé Bài báo đề cập đến toán giá trị biên- ban đầu cho phương trình sóng. .. 2, số điều kiện khác Cuối cùng, phần 3, thu khai triển tiệm cận nghiệm u toán (1)-(4) đến cấp N  theo bốn tham số K ,  , K0 , K1 Các kết thu tổng quát hoá tương đối kết [1-3, 5-15] Định lí tồn. .. sau cho khai triển tiệm cận nghiệm u toán (1)(4) đến cấp N  theo bốn tham số bé K ,  , K0 , K1 Định lí Giả sử p0 , p1  N  1, N  2, q0  q1  2, 0  1  1, ( H1 )  ( H )  Khi đó, với K