Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp thuật giải lặp đơn, lặp cấp hai, sự tồn tại, duy nhất và khai triển tiệm cận của nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thành Long Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy - người ñã bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài kinh nghiệm thực ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền ñạt kiến thức quí báu suốt trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Giải Tích, khoa Toán – Tin trường ðại học Sư Phạm ðại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ Sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu ñồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cám ơn bạn lớp với trao ñổi góp ý ñộng viên tác giả suốt trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Bùi Công Sơn MỤC LỤC Trang Lời cám ơn Mục lục MỞ ðẦU Chương : CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu không gian hàm 1.2 Các công cụ thường sử dụng Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 10 2.1 Giới thiệu 10 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10 2.3 Sự tồn nghiệm 25 Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 32 Chương : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN 48 Chương : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 64 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỞ ðẦU Các toán phi tuyến xuất khoa học ña dạng, nguồn ñề tài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong luận văn muốn sử dụng công cụ giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact ñơn ñiệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với ñiều kiện biên hỗn hợp Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban ñầu sau u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, < t < T, (0.1) u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.2) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x), (0.3) ñó λ, h , h1 số không âm cho trước; u , u1 , µ số hạng phi tuyến f hàm cho trước thỏa mãn số ñiều kiện mà ta sau Trong [5], Ficken Fleishman ñã chứng minh tồn tại, nghiệm phương trình u xx − u tt − 2α1u t − α u = εu + b , với ε > bé (0.4) Rabinowitz [14] ñã chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình u xx − u tt + 2α1u t = f (x, t,u x ,u t ), (0.5) ñó ε tham số bé f hàm tuần hoàn theo thời gian Trong [2], Caughey Ellison ñã hợp xấp xỉ trường hợp trước ñây ñể bàn tồn tại, tính ổn ñịnh tiệm cận nghiệm cổ ñiển cho lớp hệ ñộng lực phi tuyến liên tục 4 Trong [3], Alain Phạm ñã nghiên cứu tồn tại, dáng ñiệu tiệm cận ε → nghiệm yếu toán (0.1), (0.3) liên kết với ñiều kiện biên Dirichlet u(0,t) = u(1,t) = 0, (0.6) ñó số hạng phương trình (0.1) cho µ(t) ≡ 1, λ = 0, f = εf1 (t,u), f1 ∈ C1 ([0, ∞) ×ℝ ) (0.7) Bằng tổng quát hóa [3], Alain Phạm Long [4] ñã xét toán (0.1), (0.3), (0.6) với µ(t) ≡ số hạng phi tuyến có dạng f = εf1 (t,u,u t ) (0.8) Trong [7,8], Long Alain Phạm ñã nghiên cứu toán (0.1), (0.3) với µ(t) ≡ , số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u,u t ) (0.9) Trong [7], tác giả xét với ñiều kiện biên hỗn hợp không u x (0, t) = hu(0, t) + g(t), u(1, t) = 0, (0.10) ñó h > số dương cho trước [8] với ñiều kiện biên tổng quát t u x (0, t) = hu(0, t) + g(t) − ∫ k(t − s)u(0,s)ds, u(1, t) = (0.11) Trong [9], Long Diễm ñã nghiên cứu toán (0.1), (0.3) với ñiều kiện biên hỗn hợp u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.12) ñó h0, h1 số không âm cho trước với h0 + h1 > số hạng phi tuyến vế phải có dạng f = f (x, t,u,u x ,u t ) + εf1 (x, t, u,u x ,u t ) (0.13) Trong trường hợp f ∈ C ([0,1]×[0, ∞) × ℝ ),f1 ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞) × ℝ ) tác giả ñã thu ñược khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε ñến cấp hai theo ε, với ε ñủ nhỏ Trong [12], Nguyễn Thành Long Lê Thị Phương Ngọc ñã nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tồn hội tụ dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận toán:       u tt − B u r u rr + u r  = f (u, r), < r < 1, < t < T,    r       lim+ ru(r, t) < ∞,u r (1, t) + hu(1, t) = 0, r →0     2   u(r,0) = u (r), u t (r,0) = u1 (r), u r = ∫ r u r (r, t) dr,     { ( ) ñó B, f, u0, u1 hàm cho trước, h > số Trong luận văn nghiên cứu tồn nghiệm ñịa phương toán (0.1) – (0.3) Chứng minh ñược dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với ñánh giá tiên nghiệm với kĩ thuật hội tụ yếu tính compact Chúng nghiên cứu tồn hội tụ dãy lặp cấp hai {u m } nghiệm yếu u toán (0.1) – (0.3) thỏa ñánh giá sai số m u m − u ≤ Cρ , (0.14) ñó C, ρ số dương < ρ < Tiếp theo, khảo sát toán nhiễu sau ñây theo tham số bé ε :  u tt − µ ε (t)u xx + λuɺ t = Fε (x, t,u), < x < 1, < t < T,    u x (0, t) − h 0u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (Pε )    ɺ = u1 (x), u(x,0) = u (x), u(x,0)      Fε (x, t,u) = f (x, t,u) + εf1 (x, t,u), µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), ñó số h0, h1, λ cố ñịnh hàm số u0, u1, µ, µ1 , f , f1 cố ñịnh thỏa giả thiết thích hợp Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε, tức ta xấp xỉ nghiệm u ña thức theo ε N u(x, t) = ∑ U i (x, t)ε i , (0.15) i=0 theo nghĩa cần phải hàm Ui (x, t), i = 0,1, , N thiết lập ñánh giá: N ∂u ε ∂ Ui − ∑ εi ∂t ∂t i=0 N + u ε − ∑ εi Ui ∞ L (0,T;L ) i=0 ≤ CT ε ∞ N +1 , (0.16) L (0,T;H ) với tham số ε ñủ bé, số CT ñộc lập với tham số ε Luận văn ñược trình bày theo chương sau ñây: Phần mở ñầu: tổng quan toán khảo sát luận văn, ñiểm qua kết ñã có trước ñó, ñồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: nhằm giới thiệu số kết chuẩn bị, kí hiệu không gian hàm thông dụng, số kết phép nhúng compact Chương 2: nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (0.1) – (0.3) Chương 3: nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai hội tụ Chương 4: nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε Chương 5: xét toán cụ thể ñể minh họa phương pháp tìm nghiệm toán Tiếp theo phần kết luận luận văn sau danh mục tài liệu tham khảo 7 Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu không gian hàm Chúng ta bỏ qua ñịnh nghĩa không gian hàm thông dụng ñể cho tiện lợi, ta kí hiệu: Ω = (0,1), QT = Ω× (0,T), T > 0, Lp (Ω) = Lp , H m (Ω) = H m = W m,2 , W m,p (Ω) = W m,p , , chuẩn tích vô hướng L2 Ta kí hiệu X chuẩn không gian Banach X Ta kí hiệu Lp (0,T;X), ≤ p ≤ ∞ không gian Banach hàm u : (0,T) → X ño ñược cho T p p  u Lp (0,T;X) =  ∫ u(t) Xdt  < +∞, (1 ≤ p < ∞),   u L∞ (0,T;X) = esssup u(t) X , (p = ∞) 0 : a(v, v) ≥ α v V , ∀v ∈ V Khi ñó ta có kết sau: Bổ ñề 1.4 Với giả thiết (1.3), (1.4), (1.5) Khi ñó tồn sở trực chuẩnt {w j} H gồm hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λ j cho < λ1 ≤ λ ≤ ≤ λ j , lim λ j = +∞, j→∞ ɶ j , v) = λ j w ɶ j , v , ∀v ∈ V, ∀j = 1, a (w { ɶ j / λj Hơn nữa, dãy w } sở trực chuẩn V ñối với tích vô hướng a(.,.) Chứng minh bổ ñề tìm thấy [15: p.87, ðịnh lý 7.7] Ta dùng bổ ñề ñánh giá sau ñây mà chứng minh không khó khăn Bổ ñề 1.5 Cho dãy {ψ m } thỏa mãn ψ(0) = 0, ≤ ψ m ≤ σψ m−1 + δ, m = 1,2, ñó ≤ σ < 1, δ ≥ số cho trước Khi ñó ψm ≤ δ , ∀m ≥ 1− σ 10 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giới thiệu Trong chương này, xét toán giá trị biên giá trị ñầu sau: u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, < t < T, (2.1) u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (2.2) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x), (2.3) ñó λ, h , h1 số không âm cho trước; u , u1 , µ số hạng phi tuyến f hàm cho trước thỏa mãn số ñiều kiện mà ta sau Trong chương trình bày thuật giải lặp ñơn: uɺɺ m − µ(t)∆u m + λuɺ m = f (x, t, u m−1 ), x ∈ Ω, < t < T, (2.4) ∇u m (0, t) − h u m (0, t) = ∇u m (1, t) + h1u m (1, t) = 0, (2.5) u m (x,0) = u (x), uɺ m (x,0) = u1 (x), (2.6) u bước lặp ban ñầu cho trước nằm không gian hàm thích hợp Trong phần một, thiết lập tồn dãy lặp {u m } phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin phương pháp compact yếu Phần hai ñề cập ñến hội tụ dãy lặp {u m } nghiệm yếu toán (2.1) - (2.3) 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập giả thiết sau: (A1) u ∈ H (0,1), u1 ∈ H1 (0,1), (A2) f ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞)×ℝ), (A3) µ ∈ C1 ( ℝ + ), µ(t) ≥ µ > 0, (A4) λ, h , h1 ≥ 0, h + h1 > 11 Trên H1 ta sử dụng chuẩn tương ñương sau: 1  2 2  v =  v (0) + ∫ v / (x) dx    Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính H1 sau: a(u, v) = ∫ u x (x)v x (x)dx + h u(0)v(0) +h1u(1)v(1), ∀u, v ∈ H1 (2.7) Ta có bổ ñề sau: Bổ ñề 2.1 Phép nhúng H ֓ C ( Ω ) compact v C (Ω) ≤ v , ∀v ∈ H Bổ ñề 2.2 Với giả thiết (A4), dạng song tuyến tính ñối xứng xác ñịnh (2.7) liên tục H1×H1 cưỡng H1, tức là: i) a(u, v) ≤ C1 u v , ∀u, v ∈ H1 , ii) a(v, v) ≥ C0 v , ∀v ∈ H1 , ñó C0 = min(1,h ), C1 = max(1, h , 2h1 ) Chứng minh 1 1 2  2    2  2   i) a(u, v) ≤  ∫ u x dx + h u (0) + h1u (1)  ∫ v x dx + h v (0) + h1v (1)     1 1 2  2 2 2    ≤  ∫ u x dx + h u (0) + 2h1 u  ∫ v x dx + h v (0) + 2h1 v      ðặt C1 = max{1, h0, 2h1}, ta có: a(u, v) ≤ C1 u v , ∀u, v ∈ H1 12 ii) a(u,u) = ∫ u 2x (x)dx + h 0u (0) + h1u (1) ≥ ∫ u 2x (x)dx + h u (0), ∀u ∈ H1 ðặt C0 = min{1, h0}, ta có a(u,u) ≥ C0 u , ∀u ∈ H1 Bổ ñề 2.3 Tồn sở trực chuẩn {w j } L2 gồm hàm riêng w j ứng với trị riêng λ j cho < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞, (2.8) a( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈ H , j = 1, 2, (2.9) j→+∞ { Hơn dãy w j / λ j } sở trực chuẩn H tương ứng với tích vô hướng a( , ) Mặt khác, có hàm w j thỏa mãn toán giá trị biên sau: −∆w j = λ j w j Ω, (2.10) w jx (0) − h0 w j (0) = w jx (1) + h1 w j (1) = 0, (2.11) w j ∈ C ∞ (Ω) (2.12) Bổ ñề 2.3 ñược chứng minh cách áp dụng bổ ñề 1.4, chương 1, với V = H1, H = L2 a (.,.) ñược cho (2.7) Với M > 0, T > 0, ta ñặt K = K (M,T,f ) = sup f (x, t,u) , (2.13) K1 = K1 (M,T,f ) = sup ( f x/ + f t/ + f u/ ) (x, t,u), (2.14) sup (2.13), (2.14) ñược lấy miền ≤ x ≤ 1, ≤ t ≤ T, u ≤ 2M (2.15) 13 Với M > 0, T > 0, ta ñặt: W(M,T) = {v ∈ L∞ (0,T;H ) : v t ∈ L∞ (0,T;H1 ), v tt ∈ L2 (QT ), v L∞ (0,T;H ) ≤ M, v t L∞ (0,T;H1 ) ≤ M, v tt L2 (QT ) } ≤M W1 (M,T) = {v ∈ W(M,T) : v tt ∈ L∞ (0,T;L2 )} (2.16) (2.17) Trong phần này, với lựa chọn M, T thích hợp, ta xây dựng dãy {u m } W1(M,T) quy nạp chứng minh hội tụ nghiệm toán (2.1) - (2.3) Chọn số hạng ban ñầu u0 ∈ W1 (M,T) Giả sử u m−1 ∈ W1 (M,T) (2.18) Ta liên kết toán (2.1) – (2.3) với toán biến phân tuyến tính sau: Tìm hàm um ∈ W1 (M,T) thỏa toán uɺɺ m , v + µ (t)a(u m , v) + λ uɺ m , v = Fm , v , ∀v ∈ H1 , (2.19) u m (0) = u , uɺ m (0) = u1 , (2.20) Fm (x, t) = f (x, t,u m−1 (x, t)) (2.21) ñó Sự tồn um cho ñịnh lý sau ñây: ðịnh lý 2.1 Giả sử (A1) – (A4) ñúng Khi ñó tồn số M, T > cho ñối với u0 ∈ W1 (M,T) cho trước, tồn dãy quy nạp tuyến tính {u m } ⊂ W1 (M,T) xác ñịnh (2.19) – (2.21) Chứng minh Gồm bước ñây: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } sở trực chuẩn H1 ( ) bổ ñề (2.3) w j = w j / λ j Dùng phương pháp Galerkin ñể xây dựng ) nghiệm xấp xỉ u (k m (t) (2.19) – (2.20) theo dạng 14 k u (t) = ∑ c(k) mj (t)w j , (k) m (2.22) j=1 ñó c(k) mj (t) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: ) (k) ɺ (k) uɺɺ (k m (t), w j + µ(t)a(u m (t), w j ) + λ u m (t), w j = Fm (t), w j , ≤ j ≤ k, ) ɺ (k ) u (k m (0) = u 0k , u m (0) = u1k , (2.23) (2.24) ñó k u 0k = ∑ α(k) mj w j → u mạnh H , (2.25) j=1 k u1k = ∑ β (k) mj w j → u1 mạnh H , (2.26) j=1 Fm(t) = Fm(x,t) = f(x,t,um-1) Hệ (2.19) – (2.20) viết thành dạng khác sau: (k) ɺɺc(k) ɺ (k) mj (t) + µ(t)λ jc mj (t) + λc mj (t) = wj Fm (t), w j ,1 ≤ j ≤ k, (k) (k) ɺ (k) c(k) mj (0) = α mj , c mj (0) = β mj (2.27) (2.28) Từ (2.27) ta suy ra: (k) mj c (t) = α (k) mj + t (β t (k) mj + λα (k) mj )+ t t wj r ∫ dr ∫ Fm (s), w j ds r (2.29) ) (k ) − λ ∫ c(k mj (s)ds − λ j ∫ dr ∫ µ(s)c mj (s)ds, ≤ j ≤ k 0 Bổ ñề 2.4 Giả sử u m−1 thỏa (2.18) Khi ñó hệ (2.26) – (2.27) có )  (k)  nghiệm u (k m (t) khoảng  0,Tm  ⊂ [ 0,T ] 15 Chứng minh Bỏ qua số m, k cách viết, ta viết c j (t), α j , β j (k ) (k) thay cho c(k) mj (t), α mj , β mj Ta viết lại (2.29) thành phương trình ñiểm bất ñộng c(t) = H[c](t), (2.30) ñó c = (c1 , ,c k ), H[c] = (H1[c], ,H k [c]), t t r H j[c](t) = γ j (t) − λ ∫ c j (s)ds − λ j ∫ dr ∫ µ(s)c j (s)ds, γ j (t) = α j + t (β j + λα j ) + 0 t wj r ∫ dr ∫ Fm (s), w j ds, ≤ j ≤ k Với Tm(k) ∈ (0,T] ρ > (sẽ chọn sau), ta ñặt X = C0 (  0,Tm(k)  ; ℝ k ), S = {c ∈ X : c X ≤ ρ} , ñây ta dùng chuẩn X sau: k c = sup c(t) , c(t) = ∑ c j (t) , c ∈ X X 0≤t≤Tm( k ) j=1 Rõ ràng S tập ñóng, khác rỗng toán tử H : X → X Ta chứng minh tồn ρ > Tm(k) > cho: i) H biến tập S thành ii) Tồn n ∈ ℕ cho H n ≡ H(H n−1 ) :S → S ánh xạ co Thật vậy: k i) Với c = (c1 , ,ck ) ∈ S, ta có cX ≤ ρ H[c](t) = ∑ H j[c](t) j=1 t i H j[c](t) ≤ γ j (t) + λ ∫ c j (s) ds + λ k µ t ∞ r ∫ dr ∫ 0 c j (s)ds 16 Suy ra: t t i H[c](t) ≤ γ(t) + λ ∫ c(s) ds + λ k µ ∞ r ∫ dr ∫ c(s) ds 1  ≤ γ T + σ k  t + t  c X ,   (2.31) ñó γ T = sup γ(t) , µ 0≤t≤T ∞ = sup µ(t) , 0≤t≤T σ k = σ(k,T, λ,µ) = λ + λ k µ Chọn ρ > γ T ∞ Tm(k) ∈ (0,T] cho < Tm(k ) ≤−1 + + σk Từ (2.31), ta suy ra:  ρ  H[c] X ≤ + σ k Tm(k ) + σ k (Tm(k ) ) ρ ≤ ρ, ∀c ∈ S   Vậy toán tử H biến tập S thành ii) Sau ñây quy nạp ta chứng minh với n ∈ ℕ, với c, d ∈ S , với t ∈  0,Tm(k )  , ta có H n [c](t) − H n [d](t) 1 n−1 n−1 n  C0n t n C t C t C n n n ≤ (σ k t ) c − d X  + + + +   (2n)! (2n −1)! (n + 1)! n!   n ñó σ k = λ + λ k µ ∞ , µ ∞ = sup µ(t) 0≤t≤T Thật vậy: • Với n = 1, ∀j = 1,2, ,k, ∀t ∈  0,Tm(k)  , ta có H[c](t) − H[d](t) (2.32) 17  t ≤ ∑  λ ∫ c j (s) − d j (s) ds + λ k µ j=1  t k t r ≤ σ k ∫ dr ∫ ∞ ∫  dr ∫ c j (s) − d j (s) ds  r k t j=1 ∑( c j (s) − d j (s) )ds + σ k ∫ 0 t t t 0 k ∑( c (s) − d (s) )ds j j j=1 ≤ σ k ∫ dr ∫ ( c(s) − d(s) ) ds + σ k ∫ ( c(s) − d(s) ) ds  t2   C10 t C11   ≤ σ k c − d X  + t  = (σ k t)  +  c − d X 1!     2! (2.33) Vậy (2.32) ñúng với n = • Giả sử (2.32) ñúng với n ≥1 Ta chứng minh: ∀c, d ∈ S, ∀t ∈ [0,Tm(k) ] H n+1[c](t) − H n+1[d](t)  C0 t n+1 C1 t n Cn t Cn+1  c − d X  n+1 + n+1 + + n+1 + n+1  (2.34)  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 2)! (n + 1)!  n +1 ≤ (σ k t ) Thật H n+1[c](t) − H n+1[d](t) = H (H n [c])(t) − H (H n [d])(t) t r ( ) t ( ) ≤ σ k ∫ dr ∫ H [c](t) − H [d](t) ds + σ k ∫ H n [c](t) − H n [d](t) ds n n  C0 s 2n C1 s 2n−1 Cn−1s n+1 Cnns n  ds dr ∫  n + n + + n +  (2n)! (2n −1)!  (n + 1)! n!   t ≤σ n +1 k c−d X r ∫ t +σ n +1 k c−d X ∫ ≤σ n +1 k  C0n s 2n C1n s 2n−1 Cnn−1s n+1 C nn s n   + + + + ds  (2n)! (2n − 1)! (n + 1)! n!    C0n t 2n+2 C1n t 2n+1 Cnn−1t n+3 Cnn t n+2    c−d X + + + +  (2n + 2)! (2n + 1)!  (n + 3)! (n + 2)!   18 +σ ≤σ n +1 k n +1 k ≤ (σ k t)  C0n t 2n+1 C1n t 2n Cnn−1t n+2 Cnn t n+1   + + + + c−d X   (2n + 1)! (2n)!  (n + 2)! (n + 1)!    C0n+1t 2n+2 C1n+1t 2n+1 Cnn+1t n+2 Cnn++11t n+1   c−d X + + + +  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 2)! (n + 1)!   n +1  C0n+1t n+1 C1n+1t n Cnn+1t Cnn++11    c−d X + + + +  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 2)! (n + 1)!  Vậy (2.32) ñúng với n ∈ ℕ, ∀t ∈  0,Tm(k )  Từ (2.32) ta suy rằng: H n [c] − H n [d] = sup X ≤ (σ k Tm(k) ) c − d n ≤ 0≤t≤Tm( k ) ( H [c](t) − H [d](t) ) n n  C0n (Tm(k) ) n C1n (Tm(k) ) n−1 Cnn−1Tm(k) Cnn   + + + +  X n! n! n! n!   [σ k Tm(k) (Tm(k) + 1)]n c−d n! X [σ k T(T + 1)]n ≤ c−d X n! (2.35) [σ k T(T + 1)]n [σ k T(T + 1)]n Mà lim = nên tồn n0 ∈ Ν cho ≤ < n→+∞ n0 ! n! Tức toán tử H n0 : S → S ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co H có ñiểm bất ñộng S, tức hệ (2.26) – (2.27) có nghiệm (k) u (k) m (t) [0,Tm ] Bổ ñề 2.4 ñược chứng minh xong Các ñánh giá sau ñây cho phép ta lấy Tm(k) = T với m k Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm ðánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với cɺ (k) mj (t) lấy tổng theo j ta ñược: ) (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) uɺɺ (k m (t),u m (t) + µ(t)a(u m (t), u m (t)) + λ u m (t),u m (t) [...]... một không gian hàm thích hợp Trong phần một, chúng tôi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp {u m } bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Phần hai ñề cập ñến sự hội tụ của dãy lặp {u m } về nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.3) 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau: (A1) u 0 ∈ H 2 (0,1), u1 ∈ H1 (0,1), (A2) f ∈ C1 ([0,1]×[0,... ñiều kiện mà ta chỉ ra sau Trong chương này chúng tôi trình bày thuật giải lặp ñơn: uɺɺ m − µ(t)∆u m + λuɺ m = f (x, t, u m−1 ), x ∈ Ω, 0 < t < T, (2.4) ∇u m (0, t) − h 0 u m (0, t) = ∇u m (1, t) + h1u m (1, t) = 0, (2.5) u m (x,0) = u 0 (x), uɺ m (x,0) = u1 (x), (2.6) u 0 là bước lặp ban ñầu cho trước nằm trong một không gian hàm thích hợp Trong phần một, chúng tôi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp. .. n0 : S → S là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co H có ñiểm bất ñộng duy nhất trong S, tức là hệ (2.26) – (2.27) có duy nhất nghiệm (k) u (k) m (t) trên [0,Tm ] Bổ ñề 2.4 ñược chứng minh xong Các ñánh giá sau ñây cho phép ta lấy Tm(k) = T với mọi m và k Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm ðánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với cɺ (k) mj (t) và lấy tổng theo j ta ñược: ) (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) uɺɺ (k m (t),u...9 Cho a : V × V → ℝ là dạng song tuyến tính ñối xứng, liên tục trên V × V và cưỡng bức trên V (1.5) Chính xác hơn, ta gọi a là: j) Dạng song tuyến tính nếu u ֏ a(u, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi v ∈ V , và v ֏ a(u, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi u ∈ V jj) ðối xứng nếu a(u, v) = a(v,u), ∀u, v ∈ V, jjj) Liên tục nếu ∃M ≥ 0 : a(u, v)... trong ñó Sự tồn tại của um cho bởi ñịnh lý sau ñây: ðịnh lý 2.1 Giả sử (A1) – (A4) ñúng Khi ñó tồn tại các hằng số M, T > 0 sao cho ñối với mọi u0 ∈ W1 (M,T) cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính {u m } ⊂ W1 (M,T) xác ñịnh bởi (2.19) – (2.21) Chứng minh Gồm các bước dưới ñây: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } là cơ sở trực chuẩn của H1 như ( ) trong bổ ñề (2.3) w j = w j / λ j Dùng phương pháp... 1 1− σ 10 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ñầu sau: u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, 0 < t < T, (2.1) u x (0, t) − h 0 u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (2.2) u(x,0) = u 0 (x), u t (x,0) = u1 (x), (2.3) trong ñó λ, h 0 , h1 là các hằng số không âm cho trước; u 0 , u1 , µ và số hạng phi tuyến f cũng là hàm... ∈ W(M,T) : v tt ∈ L∞ (0,T;L2 )} (2.16) (2.17) Trong phần này, với sự lựa chọn M, T thích hợp, ta xây dựng một dãy {u m } trong W1(M,T) bằng quy nạp và chứng minh nó hội tụ về nghiệm của bài toán (2.1) - (2.3) Chọn số hạng ban ñầu u0 ∈ W1 (M,T) Giả sử rằng u m−1 ∈ W1 (M,T) (2.18) Ta liên kết bài toán (2.1) – (2.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau: Tìm hàm um ∈ W1 (M,T) thỏa bài toán uɺɺ m , v... 1 , ∀u ∈ H1 Bổ ñề 2.3 Tồn tại một cơ sở trực chuẩn {w j } của L2 gồm các hàm riêng w j ứng với trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞, (2.8) a( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈ H 1 , j = 1, 2, (2.9) j→+∞ { Hơn nữa dãy w j / λ j } cũng là cơ sở trực chuẩn của H 1 tương ứng với tích vô hướng a( , ) Mặt khác, chúng ta cũng có hàm w j thỏa mãn bài toán giá trị biên sau: −∆w j = λ j w... (s), w j ds, 1 ≤ j ≤ k 0 Với mỗi Tm(k) ∈ (0,T] và ρ > 0 (sẽ chọn sau), ta ñặt X = C0 (  0,Tm(k)  ; ℝ k ), S = {c ∈ X : c X ≤ ρ} , ở ñây ta dùng chuẩn trong X như sau: k c = sup c(t) 1 , c(t) 1 = ∑ c j (t) , c ∈ X X 0≤t≤Tm( k ) j=1 Rõ ràng S là tập ñóng, khác rỗng và toán tử H : X → X Ta chứng minh tồn tại ρ > 0 và Tm(k) > 0 sao cho: i) H biến tập S thành chính nó ii) Tồn tại n ∈ ℕ sao cho H n... v V , ∀v ∈ V Khi ñó ta có kết quả sau: Bổ ñề 1.4 Với giả thiết (1.3), (1.4), (1.5) Khi ñó tồn tại một cơ sở trực chuẩnt {w j} của H gồm các hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ j , lim λ j = +∞, j→∞ ɶ j , v) = λ j w ɶ j , v , ∀v ∈ V, ∀j = 1, 2 a (w { ɶ j / λj Hơn nữa, dãy w } cũng là một cơ sở trực chuẩn của V ñối với tích vô hướng a(.,.) Chứng minh bổ ñề này có