THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦANGHIỆM THEO HAI THAM SỐ BÉ CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

HCMHỒ QUANG ĐỨC THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO HAI THAM SỐ BÉ CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: To

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

HỒ QUANG ĐỨC

THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA

NGHIỆM THEO HAI THAM SỐ BÉ CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

Thành phố HCM 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS Nguyễn Thành Long, Khoa

Toán – Tin học, Trường ĐHKHTN TP HCM lời cảm ơn sâu sắc nhất Thầy đã tận tâm giảng dạy và hướng dẫn tôi từng bước làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc Đức tính say mê, nghiêm túc trong nghiên cứu khoa học của Thầy là tấm gương để thế hệ chúng tôi noi theo.

Nhân đây, tôi cũng biết ơn sâu sắc Thầy TS Trần Minh Thuyết đã dành nhiều

thời gian, công sức hướng dẫn và đưa ra nhiều góp ý quý báu cho luận văn của tôi.

Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ

-Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho

tôi hoàn thành chương trình học và quá trình hoàn thành luận văn.

Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trường THPT

Vĩnh Kim – Tiền Giang, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất, tinh thần cũng

như thời gian để tôi hoàn thành tốt chương trình học tập và trong thời gian viết luận văn.

Lời thân thương nhất xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này;

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp.

Tiền Giang, tháng 10 năm 2010.

Hồ Quang Đức

Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung xét bài toán giá trị biên và ban đầu chophương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây

tt xx t

u  t u  u  f x t u  x  t T (1.1)(0, ) 0, x(1, ) (1, ) ( ),

( , 0) ( ), t( , 0) ( ),

trong đó ,  là các hằng số; , u0, u ,1,f g là các hàm cho trước thỏa các điều kiện

mà ta sẽ chỉ ra sau Phương trình (1.1) mô tả dao động phi tuyến của một sợi dây đàn

hồi, ở đây, u là độ võng, các hằng số ,   và các hàm , u0, u ,1, f g xuất hiện trongbài toán có một ý nghĩa Cơ học nào đó Bài toán (1.1) − (1.3) cũng được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, xem [3 – 13], [15 – 17] và cáctài liệu tham khảo trong đó

Phương trình (1.1) với các dạng khác nhau của , f  và các điều kiện biên khácnhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn

Trong [3], N T Long, A P N Định, T N Diễm đã khảo sát phương trình (1.1)với  1,  0, f  f x t u u u( , , , , )x t  g x t u u u( , , , , )x t với điều kiện biên hỗn hợpkhông thuần nhất

Trong [5], N T Long, N C Tâm, N T T Trúc khảo sát phương trình (1.1) với

1, 0,f f x t u u u( , , , , )x t

   với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

Trong [6] N T Long đã nghiên cứu bài toán (1.1) với   B t u( , x 2),

0,f f x t u u u( , , , , )x t

   với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bàitoán (1.1) – (1.3) với ( ) 0.g t  Chứng minh được dựa vào phương pháp Galarkin liênkết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bàitoán (1.1)(1.3) bằng cách đổi ẩn hàm, ta đưa bài toán (1.1)(1.3) về bài toán của cóđiều kiện biên thuần nhất đã xét ở chương 3

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai{ }u m về nghiệm yếu của bài toán (1.1)(1.3) thỏa một đánh giá sai số

trong đó, , , , ,f g u u 0 1 là các hàm cho trước

a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu u u  , của bài toán (P  , ) khi

0 , 0

     

b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u u  , của bài toán (P  , ) theo 2tham số bé ( , )  , có nghĩa là có thể xấp xỉ nghiệm u  , bởi một đa thức theo hai biến,

Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau

Chương 1: Tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn và nêu các kết quả liên quan

đến bài toán, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 2: Chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số

không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm

Chương 3: Chúng tôi nghiên cứu một thuật giải xấp xỉ tuyến tính, sự tồn tại và duy

nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1)(1.3) với ( ) 0g t 

Chương 4: Sự dụng kết quả của chương 3 để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm

yếu của bài toán (1.1)(1.3)

Chương 5: Nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai cho bài toán (1.1)(1.3)

Chương 6: Dáng điệu tiệm cận và khai triển tiệm cận của bài toán (1.1) – (1.3).

Chương 7: Xét một ví dụ cụ thể.

Kế đến là Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết quả đã thực hiện trong luận văn và cuốicùng là danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 2 MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

Ta cũng ký hiệu || || X để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X và gọi X  là

không gian đối ngẫu của X

Bổ đề 2.3 (0, ; ), 1   L p T X p là không gian Banach.

Bổ đề 2.4 Gọi X  là đối ngẫu của X Khi đó L p(0, ;T X  với) p  p p( 1) , 1

1  p , là đối ngẫu của (0, ; ) L p T X

Hơn nữa, nếu X phản xạ thì (0, ; ) L p T X cũng phản xạ.

2.3 Phân bố có giá trị vectơ

Định nghĩa 2.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ

((0, ))T

D vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X Tập các phân bố

có giá trị trong X ký hiệu là

(0, ; )T X



D = ((0, ); )L T X ) = { :f D(0, ) T X f, tuyến tính, liên tục}

Chú thích 2.2 Ta ký hiệu ((0, ))D T thay cho ((0, ))D T hoặc (0, )

c

C T để chỉ khônggian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong (0, ).T

Định nghĩa 2.2 Cho f D(0, ; )T X Ta định nghĩa đạo hàm df

dt theo nghĩa phân bố của

jj) Ta nghiệm lại ánh xạ :T v D(0, )T  X là liên tục

Giả sử { }  j D(0, )T , sao cho  j  0 trong (0, )D T Ta có

Do đó T v, j 0 trong X khi   j VậyT v  D(0, ; )T X

ii/ Ánh xạ v T v là một đơn ánh, tuyến tính từ (0, ; )L p T X vào D(0, ; )T X Do đó,

ta có thể đồng nhấtT v  v Khi đó ta có kết quả sau

Bổ đề 2.7 (Lions [2]) (0, ; )L p T X ↪ (0, ; )D T X với phép nhúng liên tục.

2.4 Đạo hàm trong (0, ; )L p T X

Do bổ đề 2.7, phần tử f L p(0, ; )T X ta có thể coi f và do đó df

dt là các phần tửcủa D(0, ; )T X Ta có các kết quả sau

Bổ đề 2.8 Nếu f L1(0, ; )T X và f L1(0, ; )T X , thì f bằng hầu hết với một hàm liên

2.5 Một số kết quả sử dụng trong luận văn

Cho ba không gian Banach X X X0, 1, với X0 ↪X ↪ X1 sao cho:

0, 1

Phép nhúng X0↪X là compact, X ↪ X1 liên tục (2.12)Với 0T  , 1 p i  , i 0,1

Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 2.10 (Bổ đề về tính compact của Lions trang 57) Với giả thiết (2.11), (2.12) và

nếu 1p i  , i 1,2, thì phép nhúng W(0, )T ↪L p0(0, ; )T X là compact.

Chứng minh bổ đề 2.10 có thể tìm thấy trong Lions [2]

Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong ( ).L Q p

Bổ đề 2.11 (Lions [2], trang 12) Cho Q là tập mở bị chận của  N và , p( ),

.,

m

G G a e trong Q

Khi đó, ta có: G m G trong ( ) L Q p yếu.

Bổ đề sau liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết cho việcđánh giá tiên nghiệm trong các chương sau

Bổ đề 2.12 (Bổ đề Gronwall) Giả sử :[0, ]  f T là hàm khả tích, không âm trên [0, ] T

( , ) || || ,

a v v C v trong đó 0 1, 1 1

0 [ 0,1]

|| ||v C   || v|| || ||v V,

1

2|| ||v H   || v|| || ||v V  1 2 || ||  v H

Vì vậy trên V ta có ba chuẩn tương đương là|| || , ||v H1 v||, || || v V

Phép chứng minh là đơn giản, xin phép được bỏ qua

Bổ đề 2.15 Tồn tại cơ sở Hilbert { } w j j trong L2(0,1)gồm các hàm riêng w j ứng với trị riêng  j sao cho



u x t x





Nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) là một hàm uL(0, ;T V H2), sao cho(0, ; ),

3.2 Các ký hiệu và giả thiết

Ta thành lập các giả thiết sau:

*( ) {( , , ) [0,1] [0, ] : | | }

A M  x t u   T  u M

Ta đặt

3.3 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến

Trong phần này, với sự lựa chọn M và T thích hợp ta xây dựng một dãy { } u m

trongW M T1( , ) bằng quy nạp Dãy { }u m sẽ được chứng minh hội tụ về nghiệm yếu củabài toán (1.1) – (1.3)

Chọn số hạng ban đầuu 0 0 Giả sử rằng

Sự tồn tại u m cho bởi định lý sau đây

Định lý 3.1 Giả sử (A1) – (A4) đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M 0 và T  0

sao cho, với u 0 0 tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính { }u m W M T1( , ) xác định bởi

(3.6) – (3.8)

Chứng minh định lý 3.1 Gồm các bước sau.

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Giả sử { }w j là cơ sở của V Dùng phương pháp xấp xỉ

Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ của (3.7) dưới dạng

Giả sử u m1 thỏa (3.6), ta có bổ đề sau.

Bổ đề 3.1 Giả sử (A1) – (A4) đúng Khi đó, với T  0 cố định, hệ phương trình

2 1

n k

X

t

c d n

n n

X X

n

T n

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm.

Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân I j , j 1, 5, trong vế phải của (3.29).

Tích phân thứ nhất Từ giả thiết (A3) và (3.30) Ta có

( ) 0 0

( )

t k m

C K M T

S s ds C

1( , ) [4 0 0 1 1(1 ) ],

D M T T K C C K M (3.39)

2 2

Từ các giả thiết (A1), (A3) và (3.11), (3.12) Ta suy ra rằng tồn tại hằng số M 0, độc

lập với k và m , sao cho:

m

S t M e e M e e M 0 t T (3.47)Vậy ta có

( )k ( , ),

m

u W M T m k, (3.48)

Bước 3 Qua giới hạn.

Từ (3.47) – (3.48) ta có thể suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy { ( )k },

Do vậy, u m W M T1( , ).

Định lý 3.1 được chứng minh hoàn tất

3.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 3.2 Giả sử (A1) – (A4) đúng, khi đó tồn tại M  0, T 0 sao cho (1.1) –

(1.3) có duy nhất nghiệm yếu u W M T 1( , ) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính { } u m xác định bởi (3.6) – (3.8) hội tụ về nghiệm yếu u trong không gian

Ta chứng minh rằng { }u m là dãy Cauchy trongW T1( )

Đặtv m u m1u m Khi đó, v m thỏa bài toán biến phân sau

m T

W T T

K

v K



Vậy { }u m là dãy Cauchy trongW T1( ), do đó tồn tại u W T 1( ) sao cho:

Từ (3.62) – (3.66), qua giới hạn, ta được u W M T ( , ) thỏa bài toán biến phân

t K

Chương 4 BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG THUẦN NHẤT

4.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên thuần nhất

Thuật toán xấp xỉ tuyến tính

Nghiệm yếu của bài toán (4.2) là nghiệm của bài toán sau:

Sự tồn tại của  m cho bởi định lí sau

Định lí 4.1 Giả sử (A1) – (A5) đúng Khi đó, tồn tại M T , 0 sao cho với  0 0, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính { m}W M T1( , ) xác định bởi (4.6) – (4.8).

Chứng minh Gồm các bước sau:

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Gọi { }w j là cơ sở của V Dùng phương pháp xấp xỉGalerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ ( )k ( )

m t

 của (4.5) – (4.6) dưới dạng

c d n

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

Trong (4.10)1thay w j bởi ( )k ( )

I a F s s ds C F s s ds

C K M

T S s ds C

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 4.2 Giả sử (A1) – (A5) đúng Khi đó, tồn tại M 0, T 0 sao cho (4.2) có duy nhất nghiệm yếu   W M T1( , ) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính { }  m xác định bởi (4.6) – (4.8) hội tụ về nghiệm yếu  trong không gian

0

0 0

1(1 )exp[( 2 1) ]T 1

a/ Sự tồn tại nghiệm Ta chứng minh rằng { } m là dãy Cauchy trongW T1( )

Chú ý rằng, v m   m1  m thỏa bài toán biến phân

||F m( )t F t m( )||K v|| m( )||,t (4.37)Khi đó, từ (4.36) – (4.37), ta có

1 0

0 0

0

( 1) ( )

t K

C  z s ds

Vậy từ (4.47) – (4.48), ta được

u x t  x t  x t là nghiệm yếu của (1.1) – (1.3).

Vậy bài toán (1.1) – (1.3) tồn tại nghiệm yếu

b/ Sự duy nhất

Xét u u1, 2 là 2 nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) Khi đó, u u1u2 ta có u là

nghiệm của phương trình biến phân sau

t K

Chương 5 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Ta dùng thuật giải lặp cấp hai để khảo sát bài toán (4.2)

Với ,c d X ,  t [0, ]T thì bất đẳng thức sau đúng

2 1

k t

.2

t k

t k

n t

X n

X

Ds

H c t H d t D d c d ds

n Dt

c d n

Áp dụng định lý Banach, ta suy ra H có một điểm bất động duy nhất c X Bổ

đề 5.1 được chứng minh

Khi đó hệ phương trình vi phân (5.8) có nghiêm duy nhất ( )k ( )

m t

 trên một khoảng[0, ].T

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm

Sau đây ta sẽ đánh giá các tích phân I j với j 1, 5 trong vế phải của (5.18).

Tích phân thứ nhất: Từ giả thiết (A3) và (5.19), ta có

0 2 4

K k m C

2 4

t k m

2

2 1

Bước 3: Qua giới hạn

Từ (5.29), (5.30) ta có thể suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy { ( )k }

Định lý 5.1 được chứng minh hoàn tất

Tiếp theo ta nghiên cứu sự hội tụ bậc hai của dãy { } m về nghiệm yếu của bài toán (4.2)

    (lưu ý là điều này luôn thỏa khi lấy T 0 thích hợp)

Chứng minh Ta cần chứng minh rằng { } m là dãy Cauchy trongW T1( ) Muốn vậy, tađặt v m  m1 m và khi đó v m thỏa bài toán biến phân

0 4 1

( ) ( ) ( ( ), ( )) 2   ( )

( ) [ ], ( ),

z t s a v s v s ds v s ds

v s D f v s ds

v s D f v s ds J

Bằng cách lập luận tương tự như trong định lý 3.2 ta chỉ ra được rằng   W M T1( , ) lànghiệm yếu duy nhất của bài toán (4.2).

Chương 6 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

m   là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( )P  thỏa u  W M T1( , )

Khi đó, ta có thể chứng minh tương tự định lý 4.2 rằng giới hạn u0 trong các khônggian hàm thích hợp của họ { }u  khi    0 là nghiệm yếu duy nhất u0 của bài toán

Định lý 6.1 Giả sử (A1) − (A5) đúng, khi đó M 0,T 0 sao cho  thỏa

trong đó C T là hằng số chỉ phụ thuộc vào C0, , , ,0 M T K1

Chứng minh Đặtu u  u0, khi đó u thỏa bài toán biến phân sau

z t s a u s u s ds s u s u s ds

u s u s ds f u f u u s ds I

I t u t u t

M u t M u t

M z t C

T z s ds C

T z s ds C

T C

Định lý 6.1 được chứng minh hoàn toàn ■

6.2 Khai triển tiệm cận theo hai tham số bé

Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u  đến cấp1

N  theo  với  đủ nhỏ

Trong phần này giả thiết (A2) sẽ được thay bởi

1 2

( ) :A f C N ([0,1] [0,  ) ), (0, , 0),f t  t 

Ta dùng các ký hiệu sau đây, với 2

1 2

( , )

     và ( , )   2.Đặt

[ ] ,

m

m m

1 1

1 1

L T L

N N

L T L

N N

N N

Chứng minh Chứng minh bổ đề 6.2 tiến hành tương tự như trong [10].

Bây giờ ta định nghĩa dãy hàm { }u m như sau

0 0

( ) 2

m W T m W T N

N

W T

N N N m W T t

0 0

0 0

(2) 1 (1) 1

ˆ

.ˆ

C T T

C T

C C

Vì vậy ta đã chứng minh được định lý

Định lý 6.2 Cho N 1 Giả sử các giả thiết ( ),(A1 A2),( ) ( )A3  A5 đúng Khi đó tồn tại các hằng số M T , 0 sao cho   ( , )  thỏa    1 bài toán ( ) P  có duy nhất nghiệm yếu u  W M T1( , ) thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N 1 như trong (6.33), trong đó các hàm u  là nghiệm yếu của bài toán ( ), Q    N

u u u u h h E x t

E x t x t T P

4 (2) 1

Định lý 7.1 Cho N 2 Giả sử các giả thiết (A 1 ), (A2), (A3) – (A5) đúng Khi đó tồn

tại các hằng số M T , 0 sao cho   ( , )  thỏa     1 Bài toán P  có duy nhất nghiệm yếu u  W ( , )1 M T thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp 3 như sau

Phần kết luận

Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa họcmột cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp nghiên cứu quaviệc tìm đọc tài liệu và sự phân tích thảo luận các đề tài liên quan trong nhóm seminar định kỳ

do quí thầy hướng dẫn Tác giả cũng học tập được phương pháp chứng minh sự tồn tại và duynhất nghiệm yếu của bài toán biên phi tuyến nhờ vào các phương pháp: xấp xỉ Galerkin, xấp xỉtuyến tính, các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và các kết quả về sựhội tụ yếu

Phần chính của luận văn gồm các chương 3, 4, 5, 6

Trong chương 3, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếucủa bài toán (3.1)

Trong chương 4, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếucủa bài toán (1.1) – (1.3)

Trong chương 5, chúng tôi trình bày các kết quả về thuật giải lặp cấp hai cho bài toán(1.1) – (1.3)

Trong chương 6, chúng tôi trình bày các kết quả về dáng điệu tiệm cận và khai triểntiệm cận cho bài toán (1.1) – (1.3)

Ngoài ra, việc xét bài toán cụ thể để minh hoạ khai triển tiệm cận của nghiệm theo haitham số ở chương 7 đã giúp tác giả có cái nhìn chính xác và cụ thể hơn về việc khai triển tiệmcận của nghiệm ở chương 6

Tuy nhiên, do sự hạn chế của hiểu biết bản thân nên tác giả chưa tìm hiểu cặn kẻ khảnăng ứng dụng của các kết quả thu được trong luận văn vào các bài toán vật lý và các bài toánkhác Vì vậy tác giả kính mong nhận được sự chỉ bảo của quí Thầy, Cô trong và ngoài hộiđồng