PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA SỐ HẠNG KIRCHHOFF CÓ NGUỒN PHI TUYẾN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN PHÚC BÌNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA SỐ HẠNG KIRCHHOFF CÓ NGUỒN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết lời  cảm  ơn  sâu  sắc  nhất  về  sự  tận  tình  hướng  dẫn,  chỉ  bảo  của  thầy  đối  với  tôi  trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.  Qua  luận  văn  này,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  Thầy  TS.  Nguyễn Thành Long, người đã đọc và cho nhiều chỉ dẫn hết sức quý báu đối  với luận văn của tôi. Lòng say mê nghiên cứu khoa học và sự tận tụy của Thầy  đối với học trò là tấm gương sáng để thế  hệ trẻ noi theo.  Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán – Tin học trường Đại  học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt cho  tôi nhiều kiến thức khoa học trong suốt khóa học.  Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ  ‐ Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận  lợi để tôi hoàn tất chương trình học và hoàn thành luận văn.   Xin chân thành  cảm  ơn Ban Giám Hiệu,  Quý Thầy,  Cô thuộc Khoa Sư  phạm  Khoa  học  Tự  nhiên  nói  riêng  và  Quý  Thầy  Cô  của  trường  Đại  học  Sài  Gòn nói chung đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành  chương trình học.  Xin cảm ơn anh Hồ Quang Đức và các bạn lớp Cao học Toán Giải Tích  khóa  18  cùng  các  anh  chị  trong  nhóm  seminar  định  kỳ  do  Thầy  TS.  Nguyễn  Thành Long và Thầy TS. Trần Minh Thuyết tổ chức, đã trao đổi và thảo luận  các đề tài liên hệ đến luận văn này.  Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc nhất tới mọi người trong gia  đình tôi, những người đã hết lòng lo lắng cho tôi, luôn ở bên tôi, động viên và  giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.   Vì  kiến  thức  của  bản  thân  còn  nhiều  hạn  chế  nên  luận  văn  khó  tránh  khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự  góp ý chân thành của bạn bè, đồng nghiệp.  Nguyễn Phúc Bình Chương TỔNG QUAN Sự tồn nghiệm nhiều toán phương trình sóng phi tuyến đề tài quan tâm nhiều tác giả, chẳng hạn [2, – 10] tài liệu tham khảo Trong luận văn này, khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Kirchhoff liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không sau Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính có dạng utt − B(t,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u ), < x < 1, < t < T , (1.1) với điều kiện biên hỗn hợp không u(0, t ) = 0, ux (1, t ) = g(t ), (1.2) điều kiện đầu u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), (1.3) u0, u1, B, f hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau số hạng phi tuyến B(t,||ux (t )||2 ) phụ thuộc vào tích phân ||ux (t )||2 = ∫ ux2 (x , t )dx (1.4) Trong trường hợp N = Ω = (0, L), phương trình (1.1) tổng quát hóa từ phương trình sau mô tả dao động phi tuyến sợi dây đàn hồi [2] Eh ρhutt = (P0 + 2L L ∫ | ∂u (y, t ) |2 dy )) uxx , < x < L, < t < T ∂y (1.5) N T Long, A P N Định T N Diễm [4] dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để chứng minh tồn nghiệm yếu toán ( ) ⎧⎪u − b + B(||u (t )||2 ) u = f (x , t, u, u , u ), (x , t ) ∈ (0,1) × (0,T ), ⎪⎪ tt x xx x t ⎪⎪ ⎪u(0, t ) = u(1, t ) = 0, ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ) ⎩ (1.6) Trong [5] N T Long B T Dũng khảo sát tồn nghiệm cho toán ⎧ ⎪ utt − B(||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u, ux , ut ,||ux (t )||2 ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1.7) ⎨ux (0, t ) − h0u(0, t ) = u(1, t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ) ⎪ ⎪ ⎩ Sau đó, tác giả khai triển tiệm cận nghiệm đến cấp N + toán ⎧ ⎪ utt − Bε (||ux ||2 )uxx = Fε (x , t, u, ux , ut ,||ux ||2 ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ux (0, t ) − h0u(0, t ) = u(1, t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u(x , 0) = u (x ), u (x , 0) = u (x ), (Pε ) ⎨ t ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Fε (x , t, u, ux , ut ,||ux ||2 ) = f (x , t, u, ux , ut ,||ux ||2 ) + ε f1 (x , t, u, ux , ut ,||ux ||2 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Bε (||ux ||2 ) = B(||ux ||2 ) + εB1 (||ux ||2 ) ⎪ ⎪ ⎩ Trong [6] N T Long khảo sát toán utt − B(t,||u(t )||2,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u, ux , ut ,||u(t )||2 ,||ux (t )||2 ), (1.8) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp ux (0, t ) − h0u(0, t ) = ux (1, t ) + h1u(1, t ) = 0, (1.9) điều kiện đầu u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ) (1.10) Trong [9] N T Long, L T P Ngọc L X Trường nghiên cứu thuật giải lặp cấp cao cho phương trình sóng phi tuyến utt − μ(t,||u(t )||2,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u ), < x < 1, < t < T , (1.11) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp ux (0, t ) − h0u(0, t ) = ux (1, t ) + h1u(1, t ) = 0, (1.12) điều kiện đầu u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ) (1.13) Trong luận văn nầy sử dụng số công cụ giải tích hàm như: Phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên kết với điểm bất động, phương pháp khai triển tiệm cận,…để khảo sát toán nói Bố cục luận văn trình bày theo chương mục sau Chương 1, Giới thiện toán khảo sát luận văn, kết liên quan đến toán nghiên cứu thời gian gần Chương 2, trình bày số công cụ chuẩn bị bao gồm: Nhắc lại số không gian Sobolev, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 3, khảo sát thuật giải xấp xỉ tuyến tính cho toán khảo sát (1.1) – (1.3) có điều kiện biên đầu x = Trong chương này, chứng minh toán (1.1) – (1.3) tồn nghiệm yếu, cách thiết lập dãy quy nạp tuyến tính hội tụ mạnh không gian hàm thích hợp Chương 4, nghiên cứu thuật giải xấp xỉ tuyến tính cho toán khảo sát (1.1) – (1.3) có điều kiện biên đầu x = không Bằng cách đổi ẩn hàm để đưa toán có điều kiện biên khảo sát chương 3, kế thừa phương pháp thu kết tương tự chương Chương 5, Kết thu chương cho thấy hội tụ đánh giá sai số dãy quy nạp tuyến tính {um }m ∈` cấp Để tiếp nối mở rộng kết chương chúng tôi, xây dựng dãy lặp phi tuyến {um }m ∈` nhằm nâng tốc độ hội tụ dãy quy nạp tuyến tính {um }m ∈` nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) Chương 6, khảo sát toán nhiễu sau ⎧⎪u − B(t,||u (t )||2 )u = f (x , t, u ) + ε f (x , t, u ), < x < 1, < t < T , ⎪⎪ tt x xx ⎪⎪ ⎪ (Pε ) ⎨u(0, t ) = 0, ux (1, t ) = g(t ), ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u(0, x ) = u0 (x ), ut (0, x ) = u1(x ) ⎪⎩ a) nghiên cứu dáng điệu tiêm cận nghiệm u ε ε → b) khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (Pε ) theo tham số bé ε, |ε| < ε* có nghĩa xấp xỉ nghiệm u ε đa thức theo ε : N u ε (x , t ) ≈ ∑ ui (x , t )εi , i =0 đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ tiệm cận N u ε − ∑ ui εi i =0 ≤ C N |ε|N +1, * đó, số C N độc lập ε Kế đến phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Các không gian hàm thông dụng Đầu tiên, ta đặt kí hiệu sau Ω = (0,1), QT = Ω× (0,T ), T > Ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng nhưC m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω), W m ,p (Ω) Ta có L2 = L2 (Ω) không gian Hilbert tích vô hướng u, v = ∫ u(x )v(x )dx, u, v ∈ L2 , (2.1) Kí hiệu || || để chuẩn sinh tích vô hướng (2.1) nghĩa ||u||2 = 〈u, u 〉 = ∫ u (x )dx Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp H = {v ∈ L2 , vx ∈ L2 } Không gian không gian Hilbert tích vô hướng 〈u, v 〉H = 〈u, v 〉 + 〈ux , vx 〉 = ∫ [u(x )v(x ) + u (x )v (x )]dx x x Bổ đề 2.1 [1] Phép nhúng H 1 C (Ω) compact ||v||C (Ω ) ≤ 2||v||H , ∀ v ∈ H 1 Bổ đề 2.2 [3] Đồng H với H’ (đối ngẫu H) Khi đó, ta có H 1 H ≡ H ′ (H )′ , với phép nhúng liên tục trù mật 2.2 Các công cụ thường sử dụng 2.2.1 Không gian hàm Lp (0,T ; X ), ≤ p ≤ ∞ Ta định nghĩa Lp (0,T ; X ) không gian lớp tương đương chứa hàm u : (0,T ) → X đo được, cho T ∫ p u(t ) dt, X ≤ p < +∞ , hay ∃M > : u(t ) X ≤ M , t ∈ (0,T ) p = ∞ Ta trang bị Lp (0,T ; X ), ≤ p ≤ ∞ chuẩn sau: ||u|| Lp ( 0,T ; X ) ⎛t ⎞⎟p = ⎜⎜⎜ ∫ ||u(t )||Xp dt ⎟⎟ < ∞ với ≤ p < ∞, ⎜⎝ o ⎠⎟ = ess sup u(t ) u Lp ( 0,T ;X ) 0 0, T > cho với ε, |ε| < ε* , toán (Pε ) có nghiệm yếu u ε ∈ W1(M ,T ) thỏa đánh giá tiệm cận ||u ε − u 0||W (T ) ≤ C |ε|, (6.4) đó, C số phụ thuộc M ,T , ε Chứng minh Đặt v = u ε − u Khi v thỏa toán biến phân sau: ⎧ ⎪⎪〈v ′′(t ), w 〉 + B[u ]〈∇v(t ), ∇w 〉 − (B[u ] − B[u ])〈Δu (t ), w 〉 ε ε 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 〈 f [u ε ] − f [u ], w 〉 + ε〈 f1[u ε ], w 〉, ∀w ∈ V , ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v(0) = v ′(0) = ⎪ ⎪ ⎩ (6.5) Thay w = v(t ) (6.5)1 ta 〈v ′′(t ), v ′(t )〉 + B[u ε ]〈∇v(t ), ∇v ′(t )〉 − (B[u ε ] − B[u ])〈Δu (t ), v ′(t )〉 = 〈f [u ε ] − f [u ], v ′(t )〉 + ε〈 f1[u ε ], v ′(t )〉, (6.6) hay d d ||v ′(t )||2 + B[u ε ] ||∇v(t )||2 = (B[u ε ] − B[u ])〈Δu (t ), v ′(t )〉 dt dt (6.7) + 2〈 f [u ε ] − f [u ], v ′(t )〉 + 2ε〈 f1[u ε ], v ′(t )〉 Lấy tích phân (6.7) theo biến thời gian t, ta t η(t ) = ∫ t d ds B[u ε ]||∇v(s )||2ds + ∫ (B[u ε ] − B[u ])〈Δu (s ), v ′(s )〉ds 0 t t + ∫ 〈 f [u ε ] − f [u ], v ′(s )〉ds + 2ε ∫ 〈 f1[u ε ], v ′(s )〉ds 0 = L1 + L2 + L3 + L4 , (6.8) η(t ) = ||v ′(t )||2 + B[u ε ].||∇v(t )||2 (6.9) Ta đánh giá tích phân Lj , j = 1, , 4, vế phải (6.8) 56 Tích phân thứ Ta có d ds B[u ε ] ≤ |D1B(t,||∇u ε (t )||2 )| + 2|D2B(t,||∇u ε (t )||2 )〈∇u ε (t ), ∇u ε′ (t )〉| ≤ K1(M , B )(1 + 2||∇u ε (t )||.||∇uε′ (t )||) ≤ K1(M , B )(1 + 2M ), nên L1 ≤ K1 (M ,B )(1+2M ) b0 ∫ t η(s ) ds (6.10) Tích phân thứ hai Ta có B[u ε ] − B[u ] = B(t,||∇u ε (t )||2 ) − B(t,||∇u (t )||2 ) = |D2B(t, θ||∇u ε (t )||2 + (1 − θ)||∇u (t )||2 )(||∇u ε (t )||2 − ||∇u (t )||2 )| ≤ K 1(M , B ) ||∇u ε (t )||2 − ||∇u (t )||2 ≤ 2MK 1(M , B )||∇v(t )||, với θ ∈ (0,1), t L2 ≤ ∫ |B[u ε ] − B[u ]|.||Δu (s )||.||v ′(s )||ds t ≤ 4M K 1(M , B )∫ ||∇v(t )||.||v ′(s )||ds ≤ M 2K1 (M ,B ) b0 t ∫ η(s )ds (6.11) Tích phân thứ ba Ta có f [u ε ] − f [u ] = f (x , t, u ε ) − f (x , t, u ) ≤ |D3 f (x , t, θu ε + (1 − θ)u )|.|u ε (t ) − u (t )| ≤ K 1(M , f )|v(t )| , với θ ∈ (0,1), nên t t L3 ≤ ∫ ||f [u ε ] − f [u ]||.||v ′(s )||ds ≤ 2K 1(M , f )∫ ||v(s )||.||v ′(s )||ds 0 t ≤ 2K ∫ t ||∇v(s )||.||v ′(s )||ds ≤ K1 (M , f ) b0 ∫ η(s )ds (6.12) Tích phân thứ tư Ta có t t L4 ≤ 2|ε|.K (M , f1 )∫ ||v ′(s )||ds ≤ ε TK (M , f1 ) + ∫ ||v ′(s )||2ds 2 0 t ≤ ε2TK 02 (M , f1 ) + ∫ η(s )ds (6.13) 57 Từ (6.9) – (6.13) ta 2 η(t ) ≤ ε TK (M , f1 ) + ( K1 (M ,B )(1+2M ) b0 + M 2K1 (M ,B ) b0 ) ∫ η(s)ds t + K (M , f ) b0 +1 Áp dụng bồ đề Gronwall cho bất đẳng thức trên, ta thu ( ⎡ η(t ) ≤ ε2TK 02 (M , f1 ) exp ⎢ ⎢⎣ K1 (M ,B )(1+2 M ) b0 + M 2K1 (M ,B ) b0 + K1 (M , f ) b0 ) ⎤ +1 T⎥ ⎥⎦ (6.14) Điều dẫn đến ||v||W (T ) ≤ C |ε|, (6.15) ( ⎡ −1 C = T K (M , f1 )(1 + b0 ) exp ⎢ ⎣⎢ K1 (M ,B )(1+2M ) b0 + M 2K1 (M ,B )1 b0 + K (M , f ) b0 ) +1 T ⎤ ⎥ ⎦⎥ Định lý 6.1 chứng minh xong 6.2 Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số ε đến cấp N + Trước tiên, ta thành lập thêm giả thiết sau (A 2/ ) B ∈ C N +1( + ) với B(ξ, η) ≥ b0 > 0, (A 3/ ) f ∈ C N +1([0,1]× (A 5/ ) f1 ∈ C N ([0,1]× + + × × + + ∀ξ, η ≥ 0, ) thỏa f (0, t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, ) thỏa f1(0, t, 0) = 0, ∀t ≥ Giả sử u ∈ W1(M ,T ) nghiệm yếu toán (P0 ) ứng với ε = 0, nghĩa ⎧ ⎪⎪u ′′ − B[u ]u = f (x , t, u ) ≡ f [u ], < x < 1, < t < T , 0 0xx 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨u (0, t ) = 0, u 0x (1, t ) = g(t ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u (x , 0) = u (x ), u 0′ (x , 0) = u1(x ), ⎪ ⎪ ⎩ (P0 ) u1, , uN ∈ W1(M ,T ) (với M , T chọn cách thích hợp) nghiệm yếu toán ⎧⎪u ′′− B[u ]Δu = F [u ], < x < 1, < t < T , ⎪⎪ 1 1 ⎪⎪ ⎪⎨u (0, t ) = u (0, t ) = 0, 1x ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u1(0) = u1′(0) = 0, ⎩ 58 (Q1 ) F1[u1 ] = π1[ f ] + π0[ f1 ] + ρ1[B ]Δu 0, (6.16) với π0 [ f ], π1[ f ], ρ0 [B ], ρ1[B ] xác định sau: π0 [ f ] = f [u ] ≡ f (x , t, u ), π1[ f ] = π0 [D3 f ]u1, (6.17) ρ0[B ] = B[u ] ≡ B(t,||∇u (t )||2 ), ρ1[B ] = 2ρ0 [D2B ]〈∇u , ∇u1 〉, (6.18) với ≤ i ≤ N , ⎧⎪u ′′− B[u ]Δu = F [u ], < x < 1, < t < T , ⎪⎪ i i i i ⎪⎪ ⎪⎨u (0, t ) = u (0, t ) = 0, ix ⎪⎪ i ⎪⎪ ⎪⎪ui (0) = ui′(0) = 0, ⎩ (Qi ) Fi [ui ] = πi [ f ] + πi−1[ f1 ] + i ∑ ρ [B ]Δu k k =1 i −k , ≤ i ≤ N (6.19) Với πi [B ] = πi [f , u 0, u1, , ui ], ρi [B ] = ρi [B, u 0, u1, , ui ], xác định theo công thức truy hồi sau: i −1 πi [ f ] = ∑ i−i k πk [D3 f ]ui−k , ≤ i ≤ N , (6.20) k =0 ρi [B ] = i −1 i −k −1 i ∑ ∑ (i − k − j )ρ [D B ]〈∇u , ∇u k =0 j =0 k j i −k − j 〉, ≤ i ≤ N Chúng ta ý πi [ f ] làm bậc ui Thật vậy, πi [ f ] = π0[D3 f ]ui + phần tử phụ thuộc vào (i, πk [D3 f ], uk ), k = 0, i − Tương tự, ta có ρi [B ] = ρ0[D2B ]〈u 0, ui 〉 + phần tử phụ thuộc vào (i, ρk [D3B ], ∇uk ), k = 0, i − Gọi u ε ∈ W1(M ,T ) nghiệm yếu toán (Pε ) Khi N v = u ε − ∑ ui εi ≡ u ε − h, i =0 59 (6.21) thỏa toán ⎧ ⎪ v ′′ − B[v + h ]Δv = f [v + h ] − f [h ] + (B[v + h ] − B[h ]) Δh ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + ε( f1[v + h ] − f1[h ]) + E ε (x , t ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ v(0, t ) = vx (1, t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪v(0) = v ′(0) = 0, ⎪ ⎩ (6.22) với N E ε (x , t ) = ε f1[h ] + f [h ] − f [u ] + (B[h ] − B[u ]) Δh − ∑ Fi [ui ]εi (6.23) i =1 Ta có bổ đề sau Bổ đề 6.1 Các hàm πi [f ], ρi [B ] xác định công thức truy hồi sau đây: ∂i i) πi [f ] = f [h ] , ≤ i ≤ N , ε=0 i ! ∂ε i ii) ρi [B ] = (6.24) ∂i B[h ] , ≤ i ≤ N ε= i ! ∂εi (6.25) Chứng minh Chứng minh i) Ta có π0 [ f ] = f [h ] π1[ f ] = ∂ ∂ε ε=0 f [h ] = f [u ] = f (x , t, u ), = D3 f [h ] ∂∂ε (h ) ε=0 ε=0 = D3 f [h ]u1 Vậy (6.24) với i = 0, Với i ≥ 1, ta có ∂i i ! ∂εi f [h ] = ∂i −1 i ! ∂εi −1 ( f [h ]) = ∂ ∂ε i −1 i! ∑C k =0 k ∂k i −1 ∂εk i −k (D3 f [h ]) ∂∂εi −k (h ) (6.26) Từ công thức N h = ∑ ui εi , ∂ ∂ε i =0 N ∂i ∂ε i h = ∑ iui εi−1, i =0 (h ) ε= = i ! ui , (6.27) Giả sử ta xác định hàm πk [ f ], πk [D3 f ], k = 0,1, …, i − từ công thức (6.17) (6.24) Do đó, từ (6.26) ta suy rằng: ∂i i ! ∂εi i −1 f [h ] ε=0 = ∑ i1! C ik−1 k =0 ∂k ∂εk i −k (D3 f [h ]) ∂∂εi −k (h ) 60 ε=0 i −1 = ∑ ki !! C ik−1πk [D3 f ] ∂∂εi −k (h ) i −k k =0 ε=0 i −1 i −1 k =0 k =0 = ∑ k !(ii−! k )! C ik−1πk [D3 f ]ui−k = ∑ i−i k πk [D3 f ]ui−k = πi [ f ] Vậy (6.24) ∀i, ≤ i ≤ N Chứng minh ii) Ta có ρ0[B ] = B[h ] ρ1[B ] = ∂ ∂ε ε=0 B[h ] = B[u ] = B(t,||∇u (t )||2 ) ε= = D2B[h ] ∂∂ε (||∇h||2 ) ε= = 2D2B[h ]〈∇h, ∂∂ε ∇h 〉 = 2D2B[h ]〈∇u + ε∇u1, ∂∂ε (∇u + ε∇u1 )〉 ε=0 ε=0 = 2D2B[h ]〈∇u , ∇u1 〉 (6.28) Vậy (6.25) với i = 0, Với i ≥ 1, ta có ∂i i ! ∂εi ∂i −1 i ! ∂εi −1 B [h ] = ( ∂∂ε B[h ]) = i −1 i! ∑C k =0 k ∂k i −1 ∂εk i −k (D2B[h ]) ∂∂εi −k (||∇h||2 ) (6.29) Do m −1 ∂m ∂ε m (||∇h||2 ) = ∂∂εm −1 〈∇h, ∂∂ε ∇h 〉 = 2∑ C mj −1〈 ∂∂ε j ∇h, ∂∂εm −j ∇h 〉, ∂m ∂ε m (||∇h||2 ) m −1 m−j j (6.30) j =0 nên m −1 ε=0 =2 ∑ j !(m − j )!C j =0 j m −1 〈∇u j , ∇um−j 〉 (6.31) Giả sử ta xác định hàm ρk [B ], ρk [D2B ], k = 0,1, …, i − từ công thức (6.18) (6.25) Do đó, từ (6.29) ta suy rằng: ∂i i ! ∂εi i −1 B [h ] ε= = ∑ i1! C ik−1ρk [D2B ] ∂∂εi −k (||∇h||2 ) i −k k =0 i −1 i −k −1 k =0 j =0 ε= = 2∑ i1! C ik−1 ∑ j !(i − k − j )!C ij−k −1ρk [D2B ]〈∇u j , ∇ui−k −j 〉 = i −1 i − j −1 i ∑ ∑ (i − k − j ) ρ [D B ]〈∇u , ∇u k k =0 i =0 61 j i −k − j 〉 = ρk [B ] Vậy (6.25) ∀i, ≤ i ≤ N Bổ đề 6.1 chứng minh hoàn tất Bổ đề 6.2 Giả sử N ≥ 1, |ε| 0, T > cho, với ε, |ε| < ε∗ , toán (Pε ) có nghiệm yếu u ε ∈ W1(M ,T ) thoả đánh giá tiên nghiệm đến cấp N + (6.64), hàm ui , i = 0, , N nghiệm yếu toán (P0 ), (Q1 ), ,(QN ) 68 Phần kết luận Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu qua việc tìm đọc tài liệu phân tích thảo luận đề tài liên quan nhóm seminar định kỳ quí thầy hướng dẫn Tác giả học tập phương pháp chứng minh tồn nghiệm yếu toán biên phi tuyến nhờ vào phương pháp: xấp xỉ tuyến tính, xấp xỉ Galerkin, kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact kết hội tụ yếu Nội dung luận văn bao gồm chương 3, 4, 5, Trong chương 3, khảo sát toán Tìm hàm u thỏa phương trình sóng phi tuyến có dạng utt − B(t,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u ) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp Chúng thu kết tồn nghiệm yếu thuật giải xấp xỉ tuyến tính Trong chương 4, khảo sát toán giống chương 3, có điều kiện biên hỗn hợp không Kế thừa phương pháp chương 3, thu kết tồn nghiệm yếu Trong chương 5, Để tiếp nối mở rộng kết chương Chúng tôi, trình bày thuật giải tinh tế cách xây dựng dãy lặp phi tuyến {um }m∈` nhằm nâng tốc độ hội tụ um nghiệm yếu u Trong chương 6, trình bày kết dáng điệu tiệm cận khai triển tiệm cận cho toán chương Tuy nhiên, hạn chế hiểu biết thân nên tác giả chưa tìm hiểu cặn kẻ khả ứng dụng kết thu luận văn vào toán vật lý toán khác Vì tác giả kính mong nhận bảo quí Thầy, Cô hội đồng 69 Tài liệu tham khảo [1] H Brézis (1983), Analyse fonctionnele, Théorie et Application, Masson, Paris, 1983 [2] G R, Kirchhoff, Vorlesungen über Mathematische Physik: Machanik, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7 [3] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problems aux limites nonlinéares, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [4] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff – Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002) 116 – 134 [5] Nguyen Thanh Long, Bui Tien Dung (2003), On the nonlinear wave equation utt – B(||ux(t)||2)uxx = f(x, t, u, ux, ut, ||ux(t)||2) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal., Ser A: Theory Methods, 55 (5) (2003) 493 – 519 [6] Nguyen Thanh Long (2005), On the nonlinear wave equation utt – B(t, ||u(t)||2, ||ux(t)||2)uxx = f(x, t, u, ux, ut, ||u(t)||2, ||ux(t)||2) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243 – 268 [7] Nguyen Thanh Long, Tran Minh Thuyet (2003), A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4) (2003) 915 – 938 [8] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2009), On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3) (2009) 141 – 178 [9] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), Highorder iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484 [10] Le Thi Phuong Ngoc, Le Khanh Luan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11) (2009) 5799 – 5819 70 [...]... là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau và số hạng phi tuyến B(t,||ux (t )||2 ) phụ thuộc vào các tích phân ||ux (t )||2 = ∫ 1 0 ux2 (x , t )dx (3.2) Trong chương này, chúng tôi sẽ kết hợp bài toán (3.1) với một thuật giải quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh bằng phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu 3.2 Các ký hiệu và giả thiết Ta thành... ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử (A1) – (A3) đúng Khi đó với T > 0 cố định, hệ phương trình (3.14) – (3.16) có nghiệm duy nhất um(k ) xác định trên 0 ≤ t ≤ T Chứng minh bổ đề 3.1 Bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và ta viết (k ) (k ) (k ) c j (t ), αj , β j lần lượt thay cho cmj (t ), αmj , βmj Khi đó, hệ phương trình (3.14) – (3.16) được viết lại dưới dạng như sau: ⎧ ⎪ c (t ) = −λjbm (t )c... ta cần đánh giá số hạng sm(k )(0) Ta có )( ( ) sm(k )(0) = ||u1k ||2 + ||∇u1k ||2 + B 0,||∇u0||2 ||∇u 0k ||2 + ||Δu 0k ||2 (3.46) Từ giả thiết (A2) (3.9), (3.15), (3.16) và (3.46) Ta suy ra rằng tồn tại hằng số M > 0, độc lập với k và m , sao cho: sm(k )(0) ≤ M2 với mọi k và m 2 (3.47) Chú ý rằng, (3.48) lim C 1(M ,T ) = 0 T → 0+ Từ (3.44) – (3.48), chúng ta luôn chọn được hằng số T > 0 sao cho:... sử (A1) – (A3) đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M > 0, T > 0 thỏa (3.47), (3.50), (3.51) sao cho bài toán (3.1) có duy nhất nghiệm yếu u ∈ W1(M ,T ) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {um } được xác định bởi (3.10) – (3.12) hội tụ mạnh về nghiệm u trong không gian W1(T ) = {u ∈ L∞ (0,T ;V ) : u ′ ∈ L∞ (0,T ; L2 )} (3.60) Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số ||um − u||L∞ (0,T ;V ) + ||um′ − u ′||L∞ (0,T... ⎩ (4.1) trong đó u0, u1, B, f , g là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau và số hạng phi tuyến B(t,||ux (t )||2 ) phụ thuộc vào các tích phân: ||ux (t )||2 = ∫ 1 0 ux2 (x , t )dx (4.2) Đặt Φ(x , t ) = xg(t ) Bằng cách đổi ẩn hàm v(x , t ) = u(x , t ) − Φ(x , t ), ta đưa bài toán có điều kiện biên không thuần nhất (4.1) về bài toán với điều kiện biên thuần nhất như sau ⎧ ⎪ vtt... sử (A1) – (A4) đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M > 0, T > 0 thỏa (4.32), (4.34), (4.35) sao cho bài toán (4.1) có duy nhất nghiệm yếu v ∈ W1(M ,T ) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {vm } được xác định bởi (4.10) – (4.11) hội tụ mạnh về nghiệm v trong không gian W1(T ) = {v ∈ L∞ (0,T ;V ) : v ′ ∈ L∞ (0,T ; L2 )} (4.45) Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số ||vm − v||L∞ (0,T ;V ) + ||vm′ − v ′||L∞ (0,T... (3.13) j =1 (k ) với cmj thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính ⎧ ⎪ 〈um(k )(t ), w j 〉 + bm (t )〈∇um(k )(t ), ∇w j 〉 = 〈Fm (t ), w j 〉, 1 ≤ j ≤ k, ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ u (k )(0) = u 0k , um(k )(0) = u1k , ⎪ ⎪ ⎩ m (3.14) trong đó k (k ) u 0k ≡ ∑ αmj w j → u0 mạnh trong V ∩ H 2 , (3.15) j =1 k (k ) u1k ≡ ∑ βmj w j → u1 mạnh trong V (3.16) j =1 Giả sử um−1 thỏa (3.9), ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử (A1)... phương trình (3.14) – (3.16) được viết lại dưới dạng như sau: ⎧ ⎪ c (t ) = −λjbm (t )c j (t ) + 〈Fm (t ), w j 〉, 1 ≤ j ≤ k, ⎪ ⎪ j ⎨ ⎪ ⎪ c (0) = αj , cj (0) = β j ⎪ ⎪ ⎩ j (3.17) Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình tích phân τ t τ t c(t ) = αj + β jt − λj ∫ d τ ∫ bm (s )c j (s )ds + ∫ d τ ∫ 〈Fm (s ), w j 〉ds 0 0 0 Ta viết lại (3.18) dưới dạng 12 0 (3.18) c ∈ C 0 ([0,T ]; \k ), c(t ) =... ) ∈ C 0 ([0,T ]; \ k ) thỏa mãn phương trình tích phân nói trên Như vậy ta cần chứng minh toán tử H : C 0 ([0,T ]; \ k ) → C 0 ([0,T ]; \ k ) có điểm bất động Ở đây, chuẩn trong không gian Banach X = C 0 ([0,T ]; \ k ) được định nghĩa như sau: k ||c||X = sup |c(t )|1, |c(t )|1 = ∑ |c j (t )|, với mỗi c = (c1, , ck ) ∈ X 0≤t ≤T j =1 Ta bắt đầu bởi việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng: c, d... trong đó QT = (0,1) × (0,T ) 4.3 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Trong phần này, với sự lựa chọn M và T thích hợp ta xây dựng một dãy {vm } trong W1(M ,T ) bằng quy nạp Dãy {vm } sẽ được chứng minh hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (4.1) 26 Chọn số hạng ban đầu v 0 = 0 Giả sử rằng vm −1 ∈ W1(M ,T ), (4.9) Ta liên kết bài toán (4.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau Tìm vm ∈ W1(M ,T ), m ≥ 1 sao cho