NGUYỄN THÀNH LONG Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM TRẦN ĐÌNH GIÁP Đại học Kinh Tế TP.HCM Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học
Trang 1LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Trang 2-# " -
TRẦN ĐÌNH GIÁP
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG
KIRCHHOFF
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
TP HỒ CHÍ MINH 2008
Trang 3TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH
TS TRẦN MINH THUYẾT
Khoa Toán – Thống kê
Đại học Kinh Tế TP.HCM
PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY
Khoa Toán –Tin học
Đại học Sư phạm TP.HCM
TS NGUYỄN THÀNH LONG
Khoa Toán – Tin học
Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM
TRẦN ĐÌNH GIÁP
Đại học Kinh Tế TP.HCM
Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh vào lúc… giờ… phút, ngày……tháng… năm 2008
Có thể tìm hiểu luận văn tại phòng sau Đại học, Thư viện ĐH khoa học tự nhiên TP Hồ Chí Minh
Trang 4LỜI CẢM ƠN
lời cảm ơn sâu sắc về sự giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt thời gian qua, nhất là trong quá trình hoàn thành luận văn này
Xin chân thành cảm ơn Thầy TS Nguyễn Thành Long đã đọc và cho
những chỉ dẫn hết sức quí báu đối với luận văn này khi còn ở bản thảo
Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy là Thầy dạy của tôi
từ những năm Đại học về những nhận xét bổ ích cho luận văn
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quí Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quí giá và những nhận xét sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn
Xin cảm ơn quí Thầy, Cô khoa Toán tin Trường ĐHKHTN - ĐHQG
TP HCM, khoa Toán tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tận tình giảng dạy và truyền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức khoa học
Xin cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn và anh Nguyễn Kim Âu về những
đóng góp cho bản luận văn này
Tôi xin cảm ơn quí Thầy, Cô thuộc phòng quản lý sau đại học trường ĐHKHTN TP HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi suốt khóa học
Xin cảm ơn Thầy Ths Lê Khánh Luận cùng các anh chị em trong
nhóm seminar định kỳ và bạn bè cùng khóa qua những trao đổi - thảo luận các đề tài liên hệ đến luận văn này
Đặc biệt, tôi xin gởi đến các bậc Cha Mẹ cùng mọi thành viên trong gia đình tôi, nơi cho tôi những điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu lòng tri ân cao cả nhất
TP HCM Xuân Mậu Tý
L
Trang 5MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Mục lục
Chương 0 : Phần mở đầu 1
Chương 1 : Một số công cụ chuẩn bị 5
Chương 2 : Nghiên cứu phương trình vớif u ( )t = λ ut β−2ut 14
2.1 : Giới thiệu 14
2.2 : Các giả thiết……… 15
2.3 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm………16
2.4 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khiλ → 0+ 30
Chương 3 : Nghiên cứu phương trình vớif u u ( , )t = K u α−2u + λ ut β−2ut 37
3.1 : Giới thiệu 37
3.2 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ……… 37
3.3 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi K → 0 ,+ λ → 0+……… 48
3.4 : Sự ổn định nghiệm……….55
Kết luận 61 Tài liệu tham khảo
Trang 6CHƯƠNG 0
Phần mở đầu Trong luận văn này, chúng tôi xét hai bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây
ở đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi
dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P là lực căng lúc ban đầu 0
Trang 7Khi f = 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [4]
Medeiros trong [13] đã nghiên cứu bài toán (0.1) – (0.4) với f = f u( )=bu2,
trong đó b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của \ 3
K Nishihara trong [14] đã xét bài toán (0.1) – (0.4) với µ =0
( )t t
f = f u =λ u , λ > 0 là hằng số cho trước
Hosoya và Yamada trong [5] đã xét bài toán (0.1) với f = f u( )= −δ u u α ,
trong đó δ >0, α ≥0 là các hằng số cho trước
Dmitriyeva trong [3] nghiên cứu bài toán hai chiều
2 1
0
i
u u
này, bài toán mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh
N.T Long và các tác giả [7] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
Trang 8trong đó λ > 0, ε>0, 0<α <1 là các hằng số cho trước
Bằng sự tổng quát hóa của [7], N.T Long và T.M Thuyết trong [10] đã
nghiên cứu bài toán
Trong [9], Long, Alain và Diễm đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán
Mặt khác nhiều kết quả gần đây thuộc loại phương trình sóng có dạng tương
tự cũng được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem [8], [11]
Nội dung của luận văn bao gồm các phần sau:
Phần mở đầu, Chương 0 khái quát về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm
qua các kết quả đã có trước đó đồng thời nêu bố cục luận văn
Chương 1, là chương công cụ, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị
bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, các ký hiệu, một số kết quả về phép
nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài toán
(0.1) (0.4) − với
2
f u =λ u β− u β > λ>
Trang 9Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, toán tử đơn điệu và kỹ thuật về tính compact Sau đó khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1) (0.4) − với
Trang 10với tích vô hướng
Trang 12Bổ đề 1.3 (Lions [12]): L p(0, ; ), 1T X ≤ ≤ +∞p là không gian Banach
Bổ đề 1.4 (Lions [12]): Gọi X/ là đối ngẫu của X. Khi đó L p/(0, ;T X/) với
Chứng minh của bổ đề 1.6 đơn giản nên ta bỏ qua
3 Phân bố có giá trị vectơ
Trên D(0,T ta định nghĩa sự hội tụ như sau )
Trang 13ϕ :Ω → \, ϕ∈ D( ),Ω
Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục
từ D((0, )T vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong ) X. Tập các phân bố có giá trị trong X ký hiệu là
D/(0, ; )T X = ( L D(0, ); ) T X = { f : D(0, ) T →X/ f tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.3 Ta ký hiệu D(0, ) T thay cho D((0, )T hoặc ) C c∞((0, )T ) để chỉ không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong (0, ).T
Định nghĩa 1.2 Cho f ∈ D/(0, ; ).T X Ta định nghĩa đạo hàm df
T ϕ = ∫ v t ϕ t dt ∀ ∈ϕ D(0, ) T (1.11)
Ta có thể nghiệm lại rằng T ∈ v D/(0, ; )T X Thật vậy,
j) Ánh xạ T v : D(0, ) T → X là tuyến tính
jj) Ta nghiệm lại ánh xạ T v : D(0, ) T →X là liên tục
Giả sử { }ϕ ⊂ j D(0, ), T sao cho ϕ → trong j 0 D(0, ). T Ta có
Trang 14j X
ii Ánh xạ v 6T v là một đơn ánh, tuyến tính từ L p(0, ; )T X vào D/(0, ; )T X Do
đó, ta có thể đồng nhất T v = v Khi đó ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.7 (Lions [12]) (0, ; )L p T X 1 D/(0, ; )T X với phép nhúng liên tục
4 Đạo hàm trong (0, ; )L p T X
Do bổ đề 1.7, phần tử f ∈L p(0, ; )T X ta có thể coi f và do đó df
dt là các phần tử
của D/(0, ; )T X Ta có các kết quả sau
Bổ đề 1.8 (Lions [12]) Nếu f ∈L1(0, ; )T X và f/ ∈L1(0, ; ),T X thì f bằng hầu
Trang 15Ta giả sử v =H− Ta có f v/ = theo nghĩa phân bố (do bước 1) Ta sẽ chứng 0
minh rằng: v C= theo nghĩa phân bố Thật vậy, v = tương đương với / 0
Trang 175 Bổ đề về tính compact của Lions [12]
Cho ba không gian Banach X X X với 0, 1, X 10 X1X1 sao cho:
v = v + v (1.19)
Khi đó (0, )W T là một không gian Banach
Hiển nhiên ta có W(0, )T 1L p0(0, ; ).T X
Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact
Bổ đề 1.10 (Bổ đề về tính compact của Lions [12])
(0, )
W T 1L p0(0, ; )T X là compact
Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong Lions [12]
6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( ).L Q p
Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong ( )L Q p
Trang 18f t ≤C e với hầu hết t ∈[0, ].T
Trang 19B F u u là các hàm cho trước Các giả thiết đặt ra cho các hàm này sẽ được chỉ ra
sau Trong phương trình (2.1), số hạng phi tuyến ( 2)
xác định bởi hàmB thỏa điều kiện (0.5), (0.6)
2.2 Các ký hiệu và giả thiết
Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau:
Ω( ),
p p
L =L H k =H k( ),Ω H0k =H0k( ),Ω Q T = ×Ω (0, )T
Ta ký hiệu ⋅ ⋅ , để chỉ tích vô hướng trong L hay cặp tích đối ngẫu giữa 2
một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm Ký hiệu
⋅ để chỉ chuẩn trong L và ký hiệu 2 X để chỉ chuẩn trong không gian Banach
Trang 20
Chúng ta thiết lập các giả thiết sau:
Nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) được thành lập từ bài toán biến phân sau:
Tìm u ∈L∞(0, ;T H02) sao cho u/ ∈L∞(0, ; )T L2 và thỏa
Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) (2.4)− với các
giả thiết (0.5), (0.6) Chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ sau:
Trang 219 Phương pháp xấp xỉ Galerkin,
9 Phương pháp compact yếu,
9 Toán tử đơn điệu
2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 2.1
Giả sử ( ) ( )A1 − A3 là đúng Cho β >1 và T >0. Khi đó bài toán (2.1) – (2.4)
có ít nhất một nghiệm yếu u sao cho
2 0
Trang 22Từ giả thiết của định lý, hệ (2.8) – (2.9) có nghiệm u t trên khoảng m( )
0≤ ≤t T m với T m ∈(0, )T nào đó Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy
m
T =T với mọi m
Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm
Nhân mỗi phương trình trong (2.8) với c t , sau đó lấy tổng theo j , ta được mj/ ( )
Trang 24trong đó C chỉ phụ thuộc vào T và độc lập với T m.
Vậy ta có thể lấy T m =T với mọi m và do đó ta suy từ (2.15), (2.16) rằng
Trang 25Bước 3 Qua giới hạn
Từ (2.24), (2.25) và (2.27), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của { },u m mà
vẫn ký hiệu là { },u m sao cho
Dùng bổ đề 1.10 ta có thể suy từ (2.29) – (2.30) rằng tồn tại một dãy con của
{u m}, mà ta vẫn ký hiệu là {u m}, sao cho:
u m →u trong L2(0, ;T H10) mạnh và a.e.( , )x t trong Q T (2.35)
Trang 27Với mỗi j cố định, từ (2.43) – (2.44) và định lý nhúng compact trong không gian
Sobolev ta có thể trích được dãy con { }u m sao cho
Trang 28( ), ( )
t
s u s ds χ
Trang 29Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán
/ 0
Trang 31∀ ∈v L Q β( T) (2.66) Trong (2.66) ta lấy v =u/ −ε w, 0< < ε 1, ∀ ∈w L Q β( T),
Vậy do (2.70) ta có: χ = u/ β−2u/ a.e ( , )x t trong Q T
Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1) (2.4)− đã được chứng minh
Trang 32Bước 4 Tính duy nhất nghiệm
Giả sử u và v là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) (2.4) − Khi đó
w = −u v thỏa mãn bài toán sau
Trang 33v x = ∫ v y dy ∀ ∈ Ωx
Suy ra
1 2
Trang 34( 2 )
/ 0
0
t R
Sử dụng giả thiết ( )A4 và theo (2.73) – (2.75) ta suy ra rằng với r = R2,
tồn tại D > r 0 sao cho
Trang 35Từ (2.80) ta suy ra ( ) 0X t = nhờ bổ đề Gronwall và suy ra u =v
Định lý 2.1 được chứng minh đầy đủ
2.4 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi λ →0+.
Trong phần này, ta giả sử rằng ( ) ( )A1 − A4 đúng Do định lý 2.1 bài toán biến
phân (2.6) tương ứng với mỗi λ > , có một nghiệm duy nhất 0 u =u λ Ta sẽ
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u λ khi λ →0+
Ta bổ sung giả thiết như sau
( )A5 1< β ≤2
Khi đó ta có định lý
Định lý 2.2.
Cho T >0 và các giả thiết ( ) ( )A1 − A5 là đúng Khi đó
Trang 36trong đó hằng số C T xác định như (2.22) Giới hạn của dãy hàm u mtheo
(2.8) – (2.11) cho ta nghiệm yếu duy nhất ˆu
Trang 37Bây giờ, giả sử rằng ,
u λ u λ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1) (2.4)−
tương ứng với các tham số λ λ m, nlần lượt
Trang 382 m( ) m( )
t r
ˆ
m m
Trang 39Từ (2.93) – (2.97) ta thu được
v t/( )2 + µ ∆ v t ( )2 ≤ N1 λm − λn 2
( / 2 2)
2 0
là các hằng số không phụ thuộc vào λ λ m, n
Dùng bổ đề Gronwall cho (2.98) ta thu được
Trang 42CHƯƠNG 3
Nghiên cứu phương trình với
2 2
dương cho trước; B F u u là các hàm cho trước Các giả thiết đặt ra cho các , , 0, 1hàm này sẽ được chỉ ra sau
Trong phương trình (3.1), số hạng phi tuyến ( 2)
Chương II
Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (3.1) – (3.3),
chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ như chứng minh của định lý 2.1
3.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Nghiệm yếu của bài toán (3.1) – (3.3) được thành lập từ bài toán biến phân sau: Tìm u ∈L∞(0, ;T H02) sao cho u/ ∈L∞(0, ; )T L2 và thỏa
Trang 43Giả sử (A ) (A )1 − 3 là đúng Cho α>1, β >1 và T > 0. Khi đó bài toán
(3.1) – (3.3) có ít nhất một nghiệm yếu u sao cho
2 0
Trang 44Từ giả thiết của định lý, hệ (3.5) – (3.6) có nghiệm u t m( ) trên khoảng
0≤ ≤t T m với T m ∈ (0, T) nào đó Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy
m
T =T với mọi m
Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm
Nhân mỗi phương trình trong (3.5) với c t sau đó lấy tổng theo j, ta được mj/ ( ),
Trang 46Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thu được từ (3.16) rằng
Z t m( )≤M expt T ≤M expT T với mọi t ∈[0,T m], (3.18)
trong đó M T chỉ phụ thuộc vào T và độc lập với m.
Vậy ta có thể lấy T m= với mọi T m
Bước 3 Qua giới hạn
Dùng bổ đề về tính compact của Lions ta có thể suy từ (3.19) – (3.20) rằng tồn
tại một dãy con của {u m},mà ta vẫn ký hiệu là {u m} sao cho:
Trang 48
/ 0
Trang 50Vậy do (3.43) ta có: χ= u/β−2u/ a.e trong Q T.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) – (3.3) đã được chứng minh
Bước 4 Tính duy nhất nghiệm
Ta giả thiết α ≥ và 2 ( )A thỏa 4
Giả sử u và v là hai nghiệm yếu của bài toán (3.1) – (3.3) Khi đó
w = −u v thỏa mãn bài toán sau:
Trang 51t
Trang 52trong đó r = R2.
Trang 53Định lý 3.1 được chứng minh đầy đủ
3.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi K → 0 ,+ λ→ 0 +
Trong phần này, ta giả sử rằng α ≥2, 1< ≤β 2, ( ) ( )A0 − A4 đúng Do
định lý 3.1 bài toán biến phân (3.4) tương ứng với mỗi K >0, λ>0, có một
nghiệm duy nhất u =u K,λ Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u K,λ
Trang 54Định lý 3.2
Với mỗi T > , giả sử có các giả thiết 0 ( ) ( )A0 − A4 , α≥2, 1< ≤β 2 Khi đó
i) Bài toán (3.1) (3.3) − tương ứng với K = 0,λ = 0 có nghiệm duy nhất
Trang 56M được định nghĩa như (3.54)
Đánh giá vế phải của (3.57) ta có
Trang 570 * 2
0
2
t r
µ µ
Trang 59là các hằng số không phụ thuộc vào K1, K2,λ λ1, 2
Dùng bổ đề Gronwall cho (3.69) ta được
R R T M
µ
=
Coi {K m , λ m} là một dãy số thực sao cho
Trang 60Bằng cách qua giới hạn như trong chứng minh của định lý 2.1 ta suy ra rằng u0,0 là
nghiệm của bài toán biến phân (3.8) tương ứng với K =0, λ=0
Trong phần này, chúng tôi sẽ khảo sát tính ổn định đối với K, ,λ Fcủa
nghiệm bài toán (3.1) – (3.3) Giả sử rằng α≥2, β ≥2 và tương ứng với
, ,
K λ F lần lượt thỏa các giả thiết ( ) ( )A0 − A4 , bài toán (3.1) – (3.3) có một
nghiệm yếu duy nhất u ∈L∞(0, ;T H02), u t ∈L∞(0, ; )T L2 ∩L Q β( T) Nghiệm này
phụ thuộc vàou =u K( , , )λ F Ta sẽ chứng minh nghiệm này ổn định đối với
, ,
Trang 61T > nghiệm bài toán (3.1) (3.4)− là ổn định đối với K, ,λ F theo nghĩa:
Nếu ( , , ), (K λ F K j, , )λ j F j ∈(0,+∞ ×)2 L Q2( T) sao cho
Trang 62
1 /
0
( , 0) ( , 0) 0,(0, ; ), (0, ; ),
Trang 63
Bằng các lý luận quen thuộc ta có các đánh giá như (3.54) bởi một hằng số độc lập
với j (chỉ phụ thuộc vào K K0, *, λ λ0, *,F*)
/ 0
* 2
0
2
t r
Trang 640 0
0
2
c β λ β β ε
Trang 65T j
1 (0, ; ) ( ) ˆ ( , ),
Trang 66PHẦN KẾT LUẬN
Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp nghiên cứu qua việc tìm đọc tài liệu và sự phân tích thảo luận các đề tài liên quan trong nhóm seminar định kỳ của các Thầy hướng dẫn Chúng tôi cũng học tập được phương pháp chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và các kết quả từ sự hội tụ yếu Phần chính của luận văn bao gồm các Chương II và Chương III
Trong Chương II, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán điều kiện đầu (2.1) – (2.3) với các giả thiết trên các hàm
khi K → 0 ,+ λ → 0 + Cuối cùng tính ổn định của nghiệm đối với K, ,λ Fcũng được nghiên cứu với α ≥2, β ≥2