1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff

68 160 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 68
Dung lượng 740,33 KB

Nội dung

NGUYỄN THÀNH LONG Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM TRẦN ĐÌNH GIÁP Đại học Kinh Tế TP.HCM Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học

Trang 1

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Trang 2

-# " -

TRẦN ĐÌNH GIÁP

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG

KIRCHHOFF

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

TP HỒ CHÍ MINH 2008

Trang 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH

TS TRẦN MINH THUYẾT

Khoa Toán – Thống kê

Đại học Kinh Tế TP.HCM

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Khoa Toán –Tin học

Đại học Sư phạm TP.HCM

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Khoa Toán – Tin học

Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM

TRẦN ĐÌNH GIÁP

Đại học Kinh Tế TP.HCM

Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh vào lúc… giờ… phút, ngày……tháng… năm 2008

Có thể tìm hiểu luận văn tại phòng sau Đại học, Thư viện ĐH khoa học tự nhiên TP Hồ Chí Minh

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

lời cảm ơn sâu sắc về sự giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt thời gian qua, nhất là trong quá trình hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Thầy TS Nguyễn Thành Long đã đọc và cho

những chỉ dẫn hết sức quí báu đối với luận văn này khi còn ở bản thảo

Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy là Thầy dạy của tôi

từ những năm Đại học về những nhận xét bổ ích cho luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quí Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quí giá và những nhận xét sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn

Xin cảm ơn quí Thầy, Cô khoa Toán tin Trường ĐHKHTN - ĐHQG

TP HCM, khoa Toán tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tận tình giảng dạy và truyền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức khoa học

Xin cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn và anh Nguyễn Kim Âu về những

đóng góp cho bản luận văn này

Tôi xin cảm ơn quí Thầy, Cô thuộc phòng quản lý sau đại học trường ĐHKHTN TP HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi suốt khóa học

Xin cảm ơn Thầy Ths Lê Khánh Luận cùng các anh chị em trong

nhóm seminar định kỳ và bạn bè cùng khóa qua những trao đổi - thảo luận các đề tài liên hệ đến luận văn này

Đặc biệt, tôi xin gởi đến các bậc Cha Mẹ cùng mọi thành viên trong gia đình tôi, nơi cho tôi những điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu lòng tri ân cao cả nhất

TP HCM Xuân Mậu Tý

L

Trang 5

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn

Mục lục

Chương 0 : Phần mở đầu 1

Chương 1 : Một số công cụ chuẩn bị 5

Chương 2 : Nghiên cứu phương trình vớif u ( )t = λ ut β−2ut 14

2.1 : Giới thiệu 14

2.2 : Các giả thiết……… 15

2.3 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm………16

2.4 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khiλ → 0+ 30

Chương 3 : Nghiên cứu phương trình vớif u u ( , )t = K u α−2u + λ ut β−2ut 37

3.1 : Giới thiệu 37

3.2 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ……… 37

3.3 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi K → 0 ,+ λ → 0+……… 48

3.4 : Sự ổn định nghiệm……….55

Kết luận 61 Tài liệu tham khảo

Trang 6

CHƯƠNG 0

Phần mở đầu Trong luận văn này, chúng tôi xét hai bài toán giá trị biên và ban đầu cho

phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây

ở đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi

dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P là lực căng lúc ban đầu 0

Trang 7

Khi f = 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) đã được

nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [4]

Medeiros trong [13] đã nghiên cứu bài toán (0.1) – (0.4) với f = f u( )=bu2,

trong đó b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của \ 3

K Nishihara trong [14] đã xét bài toán (0.1) – (0.4) với µ =0

( )t t

f = f u =λ u , λ > 0 là hằng số cho trước

Hosoya và Yamada trong [5] đã xét bài toán (0.1) với f = f u( )= −δ u u α ,

trong đó δ >0, α ≥0 là các hằng số cho trước

Dmitriyeva trong [3] nghiên cứu bài toán hai chiều

2 1

0

i

u u

này, bài toán mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh

N.T Long và các tác giả [7] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của

Trang 8

trong đó λ > 0, ε>0, 0<α <1 là các hằng số cho trước

Bằng sự tổng quát hóa của [7], N.T Long và T.M Thuyết trong [10] đã

nghiên cứu bài toán

Trong [9], Long, Alain và Diễm đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để

chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán

Mặt khác nhiều kết quả gần đây thuộc loại phương trình sóng có dạng tương

tự cũng được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem [8], [11]

Nội dung của luận văn bao gồm các phần sau:

Phần mở đầu, Chương 0 khái quát về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm

qua các kết quả đã có trước đó đồng thời nêu bố cục luận văn

Chương 1, là chương công cụ, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị

bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, các ký hiệu, một số kết quả về phép

nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng

Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài toán

(0.1) (0.4) − với

2

f u =λ u βu β > λ>

Trang 9

Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, toán tử đơn điệu và kỹ thuật về tính compact Sau đó khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1) (0.4) − với

Trang 10

với tích vô hướng

Trang 12

Bổ đề 1.3 (Lions [12]): L p(0, ; ), 1T X ≤ ≤ +∞p là không gian Banach

Bổ đề 1.4 (Lions [12]): Gọi X/ là đối ngẫu của X. Khi đó L p/(0, ;T X/) với

Chứng minh của bổ đề 1.6 đơn giản nên ta bỏ qua

3 Phân bố có giá trị vectơ

Trên D(0,T ta định nghĩa sự hội tụ như sau )

Trang 13

ϕ :Ω → \, ϕD( ),Ω

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục

từ D((0, )T vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong ) X. Tập các phân bố có giá trị trong X ký hiệu là

D/(0, ; )T X = ( L D(0, ); ) T X = { f : D(0, ) TX/ f tuyến tính, liên tục}.

Chú thích 1.3 Ta ký hiệu D(0, ) T thay cho D((0, )T hoặc ) C c∞((0, )T ) để chỉ không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong (0, ).T

Định nghĩa 1.2 Cho f ∈ D/(0, ; ).T X Ta định nghĩa đạo hàm df

T ϕ = ∫ v t ϕ t dt ∀ ∈ϕ D(0, ) T (1.11)

Ta có thể nghiệm lại rằng T ∈ v D/(0, ; )T X Thật vậy,

j) Ánh xạ T v : D(0, ) TX là tuyến tính

jj) Ta nghiệm lại ánh xạ T v : D(0, ) TX là liên tục

Giả sử { }ϕ ⊂ j D(0, ), T sao cho ϕ → trong j 0 D(0, ). T Ta có

Trang 14

j X

ii Ánh xạ v 6T v là một đơn ánh, tuyến tính từ L p(0, ; )T X vào D/(0, ; )T X Do

đó, ta có thể đồng nhất T v = v Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.7 (Lions [12]) (0, ; )L p T X 1 D/(0, ; )T X với phép nhúng liên tục

4 Đạo hàm trong (0, ; )L p T X

Do bổ đề 1.7, phần tử fL p(0, ; )T X ta có thể coi f và do đó df

dt là các phần tử

của D/(0, ; )T X Ta có các kết quả sau

Bổ đề 1.8 (Lions [12]) Nếu fL1(0, ; )T X và f/ ∈L1(0, ; ),T X thì f bằng hầu

Trang 15

Ta giả sử v =H− Ta có f v/ = theo nghĩa phân bố (do bước 1) Ta sẽ chứng 0

minh rằng: v C= theo nghĩa phân bố Thật vậy, v = tương đương với / 0

Trang 17

5 Bổ đề về tính compact của Lions [12]

Cho ba không gian Banach X X X với 0, 1, X 10 X1X1 sao cho:

v = v + v (1.19)

Khi đó (0, )W T là một không gian Banach

Hiển nhiên ta có W(0, )T 1L p0(0, ; ).T X

Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.10 (Bổ đề về tính compact của Lions [12])

(0, )

W T 1L p0(0, ; )T X là compact

Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong Lions [12]

6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( ).L Q p

Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong ( )L Q p

Trang 18

f tC e với hầu hết t ∈[0, ].T

Trang 19

B F u u là các hàm cho trước Các giả thiết đặt ra cho các hàm này sẽ được chỉ ra

sau Trong phương trình (2.1), số hạng phi tuyến ( 2)

xác định bởi hàmB thỏa điều kiện (0.5), (0.6)

2.2 Các ký hiệu và giả thiết

Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau:

Ω( ),

p p

L =L H k =H k( ),Ω H0k =H0k( ),Ω Q T = ×Ω (0, )T

Ta ký hiệu ⋅ ⋅ , để chỉ tích vô hướng trong L hay cặp tích đối ngẫu giữa 2

một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm Ký hiệu

⋅ để chỉ chuẩn trong L và ký hiệu 2 X để chỉ chuẩn trong không gian Banach

Trang 20

Chúng ta thiết lập các giả thiết sau:

Nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) được thành lập từ bài toán biến phân sau:

Tìm uL∞(0, ;T H02) sao cho u/ ∈L∞(0, ; )T L2 và thỏa

Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) (2.4)− với các

giả thiết (0.5), (0.6) Chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ sau:

Trang 21

9 Phương pháp xấp xỉ Galerkin,

9 Phương pháp compact yếu,

9 Toán tử đơn điệu

2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 2.1

Giả sử ( ) ( )A1 − A3 là đúng Cho β >1 và T >0. Khi đó bài toán (2.1) – (2.4)

có ít nhất một nghiệm yếu u sao cho

2 0

Trang 22

Từ giả thiết của định lý, hệ (2.8) – (2.9) có nghiệm u t trên khoảng m( )

0≤ ≤t T m với T m ∈(0, )T nào đó Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy

m

T =T với mọi m

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

Nhân mỗi phương trình trong (2.8) với c t , sau đó lấy tổng theo j , ta được mj/ ( )

Trang 24

trong đó C chỉ phụ thuộc vào T và độc lập với T m.

Vậy ta có thể lấy T m =T với mọi m và do đó ta suy từ (2.15), (2.16) rằng

Trang 25

Bước 3 Qua giới hạn

Từ (2.24), (2.25) và (2.27), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của { },u m

vẫn ký hiệu là { },u m sao cho

Dùng bổ đề 1.10 ta có thể suy từ (2.29) – (2.30) rằng tồn tại một dãy con của

{u m}, mà ta vẫn ký hiệu là {u m}, sao cho:

u mu trong L2(0, ;T H10) mạnh và a.e.( , )x t trong Q T (2.35)

Trang 27

Với mỗi j cố định, từ (2.43) – (2.44) và định lý nhúng compact trong không gian

Sobolev ta có thể trích được dãy con { }u m sao cho

Trang 28

( ), ( )

t

s u s ds χ

Trang 29

Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán

/ 0

Trang 31

∀ ∈v L Q β( T) (2.66) Trong (2.66) ta lấy v =u/ −ε w, 0< < ε 1, ∀ ∈w L Q β( T),

Vậy do (2.70) ta có: χ = u/ β−2u/ a.e ( , )x t trong Q T

Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1) (2.4)− đã được chứng minh

Trang 32

Bước 4 Tính duy nhất nghiệm

Giả sử uv là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) (2.4) − Khi đó

w = −u v thỏa mãn bài toán sau

Trang 33

v x = ∫ v y dy ∀ ∈ Ωx

Suy ra

1 2

Trang 34

( 2 )

/ 0

0

t R

Sử dụng giả thiết ( )A4 và theo (2.73) – (2.75) ta suy ra rằng với r = R2,

tồn tại D > r 0 sao cho

Trang 35

Từ (2.80) ta suy ra ( ) 0X t = nhờ bổ đề Gronwall và suy ra u =v

Định lý 2.1 được chứng minh đầy đủ

2.4 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi λ →0+.

Trong phần này, ta giả sử rằng ( ) ( )A1 − A4 đúng Do định lý 2.1 bài toán biến

phân (2.6) tương ứng với mỗi λ > , có một nghiệm duy nhất 0 u =u λ Ta sẽ

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u λ khi λ →0+

Ta bổ sung giả thiết như sau

( )A5 1< β ≤2

Khi đó ta có định lý

Định lý 2.2.

Cho T >0 và các giả thiết ( ) ( )A1 − A5 là đúng Khi đó

Trang 36

trong đó hằng số C T xác định như (2.22) Giới hạn của dãy hàm u mtheo

(2.8) – (2.11) cho ta nghiệm yếu duy nhất ˆu

Trang 37

Bây giờ, giả sử rằng ,

u λ u λ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1) (2.4)−

tương ứng với các tham số λ λ m, nlần lượt

Trang 38

2 m( ) m( )

t r

ˆ

m m

Trang 39

Từ (2.93) – (2.97) ta thu được

v t/( )2 + µv t ( )2 ≤ N1 λmλn 2

( / 2 2)

2 0

là các hằng số không phụ thuộc vào λ λ m, n

Dùng bổ đề Gronwall cho (2.98) ta thu được

Trang 42

CHƯƠNG 3

Nghiên cứu phương trình với

2 2

dương cho trước; B F u u là các hàm cho trước Các giả thiết đặt ra cho các , , 0, 1hàm này sẽ được chỉ ra sau

Trong phương trình (3.1), số hạng phi tuyến ( 2)

Chương II

Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (3.1) – (3.3),

chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ như chứng minh của định lý 2.1

3.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Nghiệm yếu của bài toán (3.1) – (3.3) được thành lập từ bài toán biến phân sau: Tìm uL∞(0, ;T H02) sao cho u/ ∈L∞(0, ; )T L2 và thỏa

Trang 43

Giả sử (A ) (A )1 − 3 là đúng Cho α>1, β >1 và T > 0. Khi đó bài toán

(3.1) – (3.3) có ít nhất một nghiệm yếu u sao cho

2 0

Trang 44

Từ giả thiết của định lý, hệ (3.5) – (3.6) có nghiệm u t m( ) trên khoảng

0≤ ≤t T m với T m ∈ (0, T) nào đó Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy

m

T =T với mọi m

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

Nhân mỗi phương trình trong (3.5) với c t sau đó lấy tổng theo j, ta được mj/ ( ),

Trang 46

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thu được từ (3.16) rằng

Z t m( )≤M expt TM expT T với mọi t ∈[0,T m], (3.18)

trong đó M T chỉ phụ thuộc vào T và độc lập với m.

Vậy ta có thể lấy T m= với mọi T m

Bước 3 Qua giới hạn

Dùng bổ đề về tính compact của Lions ta có thể suy từ (3.19) – (3.20) rằng tồn

tại một dãy con của {u m},mà ta vẫn ký hiệu là {u m} sao cho:

Trang 48

/ 0

Trang 50

Vậy do (3.43) ta có: χ= u/β−2u/ a.e trong Q T.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) – (3.3) đã được chứng minh

Bước 4 Tính duy nhất nghiệm

Ta giả thiết α ≥ và 2 ( )A thỏa 4

Giả sử uv là hai nghiệm yếu của bài toán (3.1) – (3.3) Khi đó

w = −u v thỏa mãn bài toán sau:

Trang 51

t

Trang 52

trong đó r = R2.

Trang 53

Định lý 3.1 được chứng minh đầy đủ

3.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi K → 0 ,+ λ→ 0 +

Trong phần này, ta giả sử rằng α ≥2, 1< ≤β 2, ( ) ( )A0 − A4 đúng Do

định lý 3.1 bài toán biến phân (3.4) tương ứng với mỗi K >0, λ>0, có một

nghiệm duy nhất u =u K,λ Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u K,λ

Trang 54

Định lý 3.2

Với mỗi T > , giả sử có các giả thiết 0 ( ) ( )A0 − A4 , α≥2, 1< ≤β 2 Khi đó

i) Bài toán (3.1) (3.3) − tương ứng với K = 0,λ = 0 có nghiệm duy nhất

Trang 56

M được định nghĩa như (3.54)

Đánh giá vế phải của (3.57) ta có

Trang 57

0 * 2

0

2

t r

µ µ

Trang 59

là các hằng số không phụ thuộc vào K1, K2,λ λ1, 2

Dùng bổ đề Gronwall cho (3.69) ta được

R R T M

µ

=

Coi {K m , λ m} là một dãy số thực sao cho

Trang 60

Bằng cách qua giới hạn như trong chứng minh của định lý 2.1 ta suy ra rằng u0,0 là

nghiệm của bài toán biến phân (3.8) tương ứng với K =0, λ=0

Trong phần này, chúng tôi sẽ khảo sát tính ổn định đối với K, ,λ Fcủa

nghiệm bài toán (3.1) – (3.3) Giả sử rằng α≥2, β ≥2 và tương ứng với

, ,

K λ F lần lượt thỏa các giả thiết ( ) ( )A0 − A4 , bài toán (3.1) – (3.3) có một

nghiệm yếu duy nhất uL∞(0, ;T H02), u tL∞(0, ; )T L2 ∩L Q β( T) Nghiệm này

phụ thuộc vàou =u K( , , )λ F Ta sẽ chứng minh nghiệm này ổn định đối với

, ,

Trang 61

T > nghiệm bài toán (3.1) (3.4)− là ổn định đối với K, ,λ F theo nghĩa:

Nếu ( , , ), (K λ F K j, , )λ j F j ∈(0,+∞ ×)2 L Q2( T) sao cho

Trang 62

1 /

0

( , 0) ( , 0) 0,(0, ; ), (0, ; ),

Trang 63

Bằng các lý luận quen thuộc ta có các đánh giá như (3.54) bởi một hằng số độc lập

với j (chỉ phụ thuộc vào K K0, *, λ λ0, *,F*)

/ 0

* 2

0

2

t r

Trang 64

0 0

0

2

c β λ β β ε

Trang 65

T j

1 (0, ; ) ( ) ˆ ( , ),

Trang 66

PHẦN KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp nghiên cứu qua việc tìm đọc tài liệu và sự phân tích thảo luận các đề tài liên quan trong nhóm seminar định kỳ của các Thầy hướng dẫn Chúng tôi cũng học tập được phương pháp chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff nhờ vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và các kết quả từ sự hội tụ yếu Phần chính của luận văn bao gồm các Chương II và Chương III

Trong Chương II, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán điều kiện đầu (2.1) – (2.3) với các giả thiết trên các hàm

khi K → 0 ,+ λ → 0 + Cuối cùng tính ổn định của nghiệm đối với K, ,λ Fcũng được nghiên cứu với α ≥2, β ≥2

Ngày đăng: 03/10/2014, 10:07

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w