Phương trình sóng chứa điều kiện biên tích phân phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN PHONG PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 Người hướng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học : Nguyễn Văn Phong THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS. TS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê Toán – Tin học Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học: Nguyễn Văn Phong LUẬN VĂN ĐƯC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Nguyễn Thành Long, người Thầy đã hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Bích Huy và Thầy Trần Minh Thuyết đã đọc và cho tôi nhiều nhận xét bổ ích. Xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Bộ môn Giải tích, Khoa Toán – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong toàn bộ khoá học. Xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Phòng sau Đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành các thủ tục cần thiết. Tôi xin cảm ơn các Anh Chò các khoá trước và các Bạn cùng lớp Cao học khoá 14, cũng như các Thầy cùng Anh Chò và các Bạn ở lớp semina do Thầy hướng dẫn tổ chức đã động viên tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi không quên nói lời cảm ơn sâu sắc và lòng yêu thương dành cho gia đình, nơi có người thân thương nhất của tôi. MỤC LỤC Trang Chương 0. Phần mở đầu 3 Chương 1. Các công cụ chuẩn bò 8 Chương 2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 13 Chương 3. Sự ổn đònh của nghiệm 28 Chương 4. Khai triển tiệm cận nghiệm theo một tham số 33 Chương 5. Khai triển tiệm cận nghiệm theo hai tham số 38 Phần kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 3 CHƯƠNG 0. PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp hàm (, )uP thỏa (,),0 1,0 , tt xx t uu Ku uFxt x tT λ −++ = << << (0.1) (0, ) ( ), x utPt = (0.2) 1 (1, ) (1, ), x ut Kut=− (0.3) 01 (,0) (), (,0) (), t ux u x u x u x== (0.4) trong đó 1 ,,KK λ là các hằng số không âm cho trước và 01 ,,uuF là các hàm số cho trước thỏa các điều kiện nào đó mà chúng ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết (,)uxt và giá trò biên chưa biết ()Pt thoả một phương trình tích phân tuyến tính sau đây 0 () () (0,) ( ) (0, ) , t P t g t hu t k t s u s ds=+ − − ∫ (0.5) trong đó h là hằng số không âm cho trước và ,gk là các hàm cho trước. Bài toán tương tự với dạng (0.1) – (0.5) đã được chú ý nghiên cứu bởi nhiều tác giả [1, 2, 4, 6 – 10]. Xét bài toán (0.1) – (0.4) trong đó, hàm số ()Pt trong (0.2) chưa biết thoả một bài toán Cauchy sau đây cho phương trình vi phân thường // 2 () () (0,), 0 , tt Pt Pt hu t tT ω += << (0.6) / 01 (0) , (0) ,PPP P== (0.7) trong đó 01 0, 0, ,hPP ω >≥ là các hằng số cho trước. Bài toán (0.1) – (0.4) và (0.6), (0.7) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi. Từ (0.6), (0.7) ta biểu diễn ()Pt theo 01 ,,,, (0,) tt PP hu t ω và sau đó tích phân từng phần, ta thu được ()Pt như công thức (0.5), trong đó 4 00 11 1 ( ) ( (0))cos ( (0))sin ,gt P hu t P hu t ω ω ω =− + − (0.8) () sin .kt h t ω ω = (0.9) Bằng cách khử ẩn hàm (),Pt ta thay thế điều kiện biên (0.2) bởi 0 (0, ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) . t x u t g t hu t k t s u s ds=+ − − ∫ (0.10) Khi đó ta đưa bài toán (0.1) – (0.4) và (0.6), (0.7) về (0.1) – (0.5), (0.8) và (0.9) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.10). Trong [1], bằng phép biến đổi Laplace, Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (0.1), (0.2), (0.4), (0.6), (0.7) liên kết với điều kiện biên Dirichlet (1, ) 0,ut= (0.11) với 010 0, ( , ) 0 .uuP Fxt=== = Trong trường hợp sau bài toán (0.1), (0.2), (0.4), (0.6), (0.7) và (0.11) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1]. Trong [2] cũng dùng phép biến đổi Laplace các tác giả Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đăng Tộ, Nguyễn Tiến Triển đã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.2), (0.4), (0.6), (0.7), (0.11) với 010 0,===uuP 0, ( , ) , 0== =− >KFxtx λ γγ là hằng số. Trong trường hợp này bài toán là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi tựa trên nền cứng, có kể đến yếu tố ngoại lực là lực cản ở mặt bên tỉ lệ với tọa độ thiết diện của thanh: (,) , 0 = −>Fxt x γ γ là hằng số. (xem hình vẽ). Như vậy bài toán nghiên cứu trong luận văn này là tương tự với các bài toán được xét trong [1, 2, 10]. 5 0 x = 1 x = x 0 v (0, ) ( ) x utPt= (1, ) 0 x ut = M A B M : Vật rắn, AB : Cọc Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bò bao gồm việc nhắc lại một số khái niệm về các không gian hàm và một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1) – (0.5). Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact. phần này, đònh lý ánh xạ co cũng được sử dụng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Trong chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm (, )uP của bài toán (0.1) – (0.5) là ổn đònh đối với các hằng số ,,Kh λ và các hàm ,,.Fkg Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu bài toán i ()Q λ sau đây i 1 01 0 ,0 1,0 , (0, ) ( ), (1, ) (1, ) 0, () (,0) (), (,0) (), () () (0,) ( ) (0, ) , tt xx t xx t t uu Ku uF x tT utPtutKut Q ux ux ux ux P t g t hu t k t s u s ds λ λ −+=−+ << << ⎧ ⎪ =+= ⎪ ⎨ == ⎪ ⎪ =+ − − ⎩ ∫ trong đó λ là một tham số bé. 6 Ta giả sử rằng 1 0, 0, 0KKh>≥≥ là các số thực cố đònh và các hàm  01 (,,,uuF ,)gk cho trước cố đònh thoả các giả thiết nào đó sao cho, với mỗi λ + ∈\ cho trước, bài toán i ()Q λ có duy nhất một nghiệm yếu (, )uP nghiệm này phụ thuộc vào một tham số :, .uu PP λ λ λ = = Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán i ()Q λ theo một tham số bé , λ tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo biến : λ 11 (,) (,) , () () , NN ii ii ii uxt u xt Pt Pt λ λ == ≈≈ ∑∑ theo nghóa cần phải chỉ ra các hàm ( , ), ( ), 0,1,2, , ii uxt Pt i N = và thiết lập các đánh giá theo các chuẩn *** || || , || || ⋅ ⋅ trong các không gian hàm thích hợp có dạng i i *** 11 11 *** ,, NN iN i N NN ii ii uu C PP C λλ λ λ + + == −≤ − ≤ ∑∑ với tham số λ đủ bé, các hằng số i i *** , NN CC độc lập với . λ Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu bài toán i , ()P η λ theo hai tham số bé , η λ sau đây i ()  i  i 1 , 00 11 0 ,0 1,0 , (0, ) ( ), (1, ) (1, ) 0, (,0) () (), (,0) () (), () () (0,) ( ) (0, ) . −+=−+ << << ⎧ ⎪ =+= ⎪ ⎪ ⎨ =+ =+ ⎪ ⎪ =+ − − ⎪ ⎩ ∫ tt xx t xx t t uu Ku uF x tT utPtutKut P ux u x U x u x u x U x P t g t hu t k t s u s ds ηλ λ ηη Ta giả sử rằng 1 0, 0, 0KKh>≥≥ là các số thực cố đònh và các hàm  i i 01 0 1 (, , , ,,,)uuUUFgk cho trước cố đònh thoả các giả thiết nào đó sao cho, với mỗi (,) η λ + ∈×\\ cho trước, bài toán i , ()P η λ có duy nhất một nghiệm yếu (, )uP nghiệm này phụ thuộc vào hai tham số ,, ,: , .uu PP η ληλ η λ = = Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán i , ()P η λ theo hai tham số bé ,, η λ tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo hai biến ,: η λ 7  l 12 12 12 12 12 12 12 12 , , ,, (,) (,) , () () , NN uxt u xt Pt P t γ γγγ γγ γγ γγ γγ γγ γγ η λ η λ ++ +≤ +≤ ∈∈ ≈≈ ∑∑ ]] theo nghóa cần phải chỉ ra các hàm  l 12 12 , , 12 12 (,), (), , ,uxtPt N γγ γγ γγ γγ + +≤ ∈] và thiết lập các đánh giá theo các chuẩn 1* 2* || || , || || ⋅ ⋅ trong các không gian hàm thích hợp có dạng  ( ) 12 12 12 12 1 (1*) 2 2 , ,, 1* , + + +≤ ∈ −≤+ ∑ ] N N N uuC γγ γγ γγ γγ ηλ η λ l ( ) 12 12 12 12 1 (2*) 2 2 , ,, 2* , + + +≤ ∈ −≤+ ∑ ] N N N PPC γγ γγ γγ γγ ηλ η λ với các tham số , η λ đủ bé, các hằng số (1*) N C và (2*) N C độc lập với các tham số ,. η λ Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo nhiều tham số đã được một số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Alain Phạm, Diễm [10], Long, t, Trúc [9], Long, Giai [11], Long, Trường [12]. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. [...]... (2.32) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có đánh giá cho hai tích phân cuối trong vế phải của (2.32), như sau Tích phân thứ nhất : 1 β ∫ t 0 2 k (t − τ )um (0,τ )dτ ≤ 1 β ∫ t 0 t 2 k 2 (θ )dθ ∫ um (0,τ )dτ 0 t t 0 0 ≤ (C 0 / β ) ∫ k 2 (θ )dθ ∫ Sm (τ )dτ 2 2 ≤ (C 0 / β ) k 2 L2 (0,T ) ∫ t 0 Sm (τ )dτ (2.33) Tích phân thứ hai : 1 β∫ t 0 ds ∫ s 0 k / ( s − τ )um (0,τ )dτ 2 ≤ t β∫ t 0 t 2... 1.1 Nếu X = Lp thì Lp (0, T ; X ) = Lp (Ω × (0, T )) 1.3 Phân bố có giá trò véctơ Đònh nghóa 1.1 Cho X là một không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D (0, T ) vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trò trong X Tập các phân bố có giá trò trong X , ký hiệu là: D / (0, T ; X ) = L( D(0, T ); X ) = { f : D(0, T ) → X | f tuyến tính liên tục } Chú thích 1.2 Ta ký hiệu D (0, T )... động duy nhất trong Y , nghóa là hệ (2.10) – (2.11) có một nghiệm duy nhất um (t ) trên đoạn [0, T ] Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm I / Thay (2.8) vào (2.7) Khi đó nhân phương trình thứ j của (2.7) bởi cmj (t ) và lấy tổng theo j , sau đó tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t , ta được t / S m (t ) = Sm (0) −2∫ g ( s )um (0, s )ds 0 t s t 0 0 0 / / +2 ∫ um (0, s ) ds ∫ k ( s − τ )um (0,τ )dτ +2 ∫ F (... biến t ta được /// / / / um (t ), w j + umx (t ), w jx + K1um (t ) w j (1) + Pm (t ) w j (0) / // + Kum (t ) + λ um (t ), w j = Ft , w j , 1 ≤ j ≤ m (2.40) // Nhân phương trình thứ j của (2.40) bởi cm (t ) , lấy tổng theo j , sau đó tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t , sau khi sắp xếp lại ta có t // X m (t ) = X m (0) −2 ∫ g / ( s )um (0, s ) ds 0 t s // +2 ∫ ⎡ k (0)um (0, s ) + ∫ k / ( s − τ... xỉ Galerkin Xét một dãy {w j } là một cơ sở đếm được trong H 2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.1) – (2.5) dưới dạng m um (t ) = ∑ cmj (t ) w j , (2.6) j =1 trong đó cmj (t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân sau // um (t ), w j + umx (t ), w jx + K1um (1, t ) w j (1) + Pm (t ) w j (0) / + Kum (t ) + λ um (t ), w j = F (t ), w j , 1 ≤ j ≤ m, t (2.7) Pm (t ) = g (t ) + hum (0, t ) − ∫ k (t − s )um... 0) = u0 ( x), ut ( x, 0) = u1 ( x), (2.4) t P (t ) = g (t ) + hu (0, t ) − ∫ k (t − s )u (0, s )ds, 0 (2.5) trong đó u0 , u1 , F , g , k là các hàm số cho trước thỏa các điều kiện nào đó mà ta sẽ chỉ ra sau Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu về nghiệm trong các không gian hàm thích hợp nhờ vào một số phép nhúng compact... ⋅), Pi ∈ W 1, ∞ (0, T ), i = 1, 2 (2.67) Khi đó u = u1 − u2 , P = P − P2 thỏa mãn bài toán biến phân sau 1 u // , v + u x , vx + K1u (1) v (1) + P (t )v(0) + Ku + λ u / , v = 0, ∀v ∈ H 1 , (2.68) u (0) = u / (0) = 0, t P(t ) = hu (0, t ) − ∫ k (t − s )u (0, s )ds 0 Ta lấy v = u / trong (2.68), sau đó tích phân theo t , ta có t τ 0 0 δ (t ) = 2∫ u / (0,τ )dτ ∫ k (τ − s )u (0, s )ds, trong đó (2.69) 27... ∫ F ( s ), um ( s ) ds, (2.24) trong đó 2 / S m (t ) = um (t ) + umx (t ) + K um (t ) 2 2 t 2 2 / + K1um (1, t ) + hum (0, t ) +2λ ∫ um ( s ) ds 2 0 (2.25) Sử dụng các giả thiết (H 4 ), (H 5 ) , lấy tích phân từng phần theo biến thời gian từ 0 đến t , ta được t S m (t ) = S m (0) +2 g (0)u0 m (0) −2 g (t )um (0, t ) +2∫ g / ( s )um (0, s )ds 0 t t 0 0 2 +2um (0, t ) ∫ k (t − τ )um (0,τ )dτ −2k (0) ∫... khăn rằng (1.8) df ∈ D / (0, T ; X ) và gọi là đạo hàm của f dt theo nghóa phân bố Các tính chất : 1) Cho v ∈ Lp (0, T ; X ) ta làm tương ứng với nó bởi ánh xạ Tv : D (0, T ) → X như sau: T Tv , ϕ = ∫ v(t )ϕ (t )dt , ∀ϕ ∈ D(0, T ) 0 Ta có thể nghiệm lại rằng Tv ∈ D / (0, T ; X ) Thật vậy : i) Ánh xạ Tv : D (0, T ) → X hiển nhiên là tuyến tính ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D (0, T ) → X là liên tục Giả... dạng véc tơ ⎧ A ( c // (t ) + λ c / (t ) ) + Bc(t ) = f (t ) + t k (t − s ) Dc( s ) ds, ⎪ ∫0 ⎨ / ⎪c(0) = α , c (0) = β ⎩ (2.13) Chú ý rằng A khả đảo và không mất tính tổng quát ta giả sử rằng λ > 0 Tích phân (2.13) ta thu được t r 0 0 c(t ) = f (t ) − ∫ e − λ ( t − r ) dr ∫ A−1 Bc(τ )dτ t r τ 0 0 0 + ∫ e − λ (t − r ) dr ∫ dτ ∫ k (τ − s ) Dc( s )ds, (2.14) với f (t ) = α + (1 − e ) β + ∫ e λ 1 − λt . 7  l 12 12 12 12 12 12 12 12 , , ,, (,) (,) , () () , NN uxt u xt Pt P t γ γγγ γγ γγ γγ γγ γγ γγ η λ η λ ++ +≤ +≤ ∈∈ ≈≈ ∑∑ ]] theo nghóa cần phải chỉ ra các hàm  l 12 12 , , 12 12 (,),. trong các không gian hàm thích hợp có dạng  ( ) 12 12 12 12 1 (1*) 2 2 , ,, 1* , + + +≤ ∈ −≤+ ∑ ] N N N uuC γγ γγ γγ γγ ηλ η λ l ( ) 12 12 12 12 1 (2*) 2 2 , ,, 2* , + + +≤ ∈ −≤+ ∑ ] N N N PPC γγ γγ γγ. () () () 12 /// / 12 // // // // 12 ( ) ( ), ( ), , ( ) , ( ) ( ), ( ), , ( ) , ( ) ( ), ( ), , ( ) , T m T m T m ct c t c t c t ct ct ct c t ct ctct ct ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎩ (2 .12) (), (),