Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Laplace liên kết với điều kiện biên Newman phi tuyến trong nửa không gian trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Minh Chính SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN PHI TUYẾN TRONG NỬA KHÔNG GIAN TRÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN PHI TUYẾN TRONG NỬA KHÔNG GIAN TRÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1. 01. 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – tin học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. HCM. Học viên cao học: Phan Minh Chính THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2005 LÔØI CAÛM ÔN 1 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN Trong luận văn nầy, chúng tôi xét bài toán Neumann phi tuyến sau (1.1) },0,:),{(,0 1// >∈=∈=Δ − + n n n n xIRxxxIRxu (1.2) .)),0,(,()0,( 1//// − ∈=− n x IRxxuxgxu n Trong [1] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky đã nghiên cứu bài toán (1.1), (1.2) với 2 = n và phương trình Laplace (1.1) theo dạng tọa độ trụ (1.3) ,0,0,0 1 >>=++ zruu r u zzrrr và với điều kiện biên phi tuyến có dạng cụ thể như sau (1.4) ),0,()exp()0,( 2 0 2 0 ru r r Iru z α + − =− ,0≥r trong đó α ,, 00 rI là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.3), (1.4) là bài toán dừng liên quan đến vấn đề đốt cháy bởi bức xạ. Trong trường hợp 20 ≤< α các tác giả trong [1] đã chứng minh rằng bài toán (1.3), (1.4) không có nghiệm dương. Từ khi bài báo [1] xuất hiện đã có nhiều tác giả nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau[1-12]. Các tác giả Long, Ruy [7] đã được mở rộng một kết quả trong [1] với (1.4) được thay bởi điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.5) .0)),0,(,()0,( ≥=− rrurgru z 2 Trong [8] Ruy, Long, Bình đã xét bài toán (1.1), (1.2) với 3=n và hàm g là liên tục, không giảm và bò chận dưới bởi một hàm lũy thừa bậc α đối với biến u và đã chứng minh rằng nếu 20 ≤ < α thì bài toán như thế không có nghiệm dương. Các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long [2]; Bình, Long [3]; Long, Bình [9]; Ruy [12]; Long, Ruy [10]; và Long [11] đã xét bài toán (1.1), (1.2) với .3>n Hàm số ++ − →× IRIRIRg n 1 : là liên tục, không giảm đối với biến ,u thỏa điều kiện (1.6) :0,0 >∃≥∃ M α ,),( / α Muuxg ≥ ,,0 1/ − ∈∀≥∀ n IRxu và một số điều kiện phụ. Trong [5, 6] các tác giả đã chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của bài toán (1.1), (1.2) với (1.7) ,),( / α uuxg = ởû đó [5] Hu và Yin[5] đã xét với ),2/()1(1 − − < ≤ nn α 3≥n và Hu [6] với ),2/(1 −<< nn α .3≥n Cũng cần chú ý rằng hàm α uuxg =),( / không thỏa các điều kiện trong các bài báo [2, 7, 8]. Trong luận văn nầy, chúng tôi xét bài toán (1.1), (1.2) với .3≥n Hàm ),( / uxg liên tục thỏa điều kiện (1.6) mà (1.7) là một trường hợp riêng. Bằng cách xây dựng một dãy hàm thích hợp chúng tôi chứng minh rằng nếu, ),2/()1(0 −−≤≤ nn α ,3≥n bài toán (1.1), (1.2) không có nghiệm liên tục dương. Cũng chú ý rằng các tác giả trước đây khi xét 3=n đã không chú ý đến trường hợp .0 = α 3 Luận văn nầy ngoài phần kết luận và phần tài liệu tham khảo sẽ được trình bày trong 4 chương. Trong chương 1, là phần tổng quan về bài toán, trình bày sơ lược về tình hình bài toán và nội dung cần trình bày trong các chương sau đó của luận văn. Trong chương 2, là phần thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo giá trò biên xuất phát từ phương trình Laplace − n chiều trong nửa không gian trên liên kết với điều kiên biên Neumann. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của bài toán (1.1), (1.2) cụ thể với .3 = n Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của bài toán (1.1), (1.2) với .3>n Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 4 CHƯƠNG 2 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Trong chương nầy, chúng ta thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo ẩn hàm là hàm giá trò biên xuất phát từ phương trình Laplace −n chiều trong nửa không gian trên liên kết với điều kiên biên Neumann. Trước hết, ta đặt các ký hiệu sau },0,:),({ 1// >∈∈== − + n nn n n xIRxIRxxxIR },0,:),({ 1// ≥∈∈== − + n nn n n xIRxIRxxxIR , n IRx ∈ ),,(), ,,( / 21 nn xxxxxx == .)( 2 1 2 2 / 2 1 1 2 n n i i xxxx += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = Xét bài toán tìm một hàm u có tính chất () 1 S () ( ) , 2 nn IRCIRCu ++ ∈ I ( ) , n x IRCu n + ∈ () 2 S ,0)(sup)(suplim 0, 0, = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + >= >= +∞→ x u Rxu n n xRx xRx R ν và thỏa phương trình Laplace (2.1) },0,:),{(,0 1// >∈=∈=Δ − + n n n n xIRxxxIRxu và điều kiện biên Neumann (2.2) ,),()0,( 1// 1 / − ∈=− n x IRxxgxu n 5 trong đó ν ∂ ⋅∂ chỉ đạo hàm theo hướng véctơ pháp tuyến đơn vò trên nửa mặt cầu ,0, >= n xRx hướng ra ngoài và 1 g là hàm số cho trước liên tục trên . 1−n IR Để đơn giản ký hiệu đôi lúc ta viết ν u thay cho . ν ∂ ∂u Ta xét hàm Green G cho phương trình Laplace với điều kiện Neumann như sau (2.3) ], ~ [ )2( 1 ),( 22 nn n xaxa n xaG −− −+− − = ω trong đó ,),( / n n IRxxx ∈= ),,( ~ / n xxx −= , n IRa + ∈ n ω là diện tích của quả cầu đơn vò trong . n IR Ta chú ý rằng với n IRa + ∈ cố đònh, hàm ).,(aG thuộc lớp ∞ C trong } ~ ,{\ aaIR n và (2.4) ,0),( 1 2 2 = ∂ ∂ =Δ ∑ = n i i xaG x G , ~ , axax ≠ ≠ ∀ Ta cố đònh n IRa + ∈ và số thực .0>R Chọn 0> ε đủ nhỏ sao cho RR nn BIRaxIRxS Ω≡∩⊂≤−∈= ++ }:{ ε ε với }.:{ RxIRxB n R <∈≡ Áp dụng công thức Green cho hai hàm Gu, trên miền ,\ ε S R Ω ta viết (2.6) .)()()( \ ∫∫∫ =−Ω∂ Ω −−−=Δ−Δ ε νννν ε ax S dSuGGudSuGGudxGuuG R R Ta có bổ đề sau 6 Bổ đề 2.1. Với giả thiết () 1 S ta có (2.7) ).()(lim 0 audSuGGu ax =− ∫ =− → + ε νν ε Chứng minh. Ta phân tích hàm Green ),( xaG dưới dạng tổng (2.8) ),,(),(),( xaxasxaG Ψ += trong đó , )2( 1 ),( 2 n n xa n xas − − − = ω và ). ~ ,( ~ )2( 1 ),( 2 xasxa n xa n n =− − =Ψ − ω Ta có (2.9) ∫∫∫ =−=−=− −+Ψ−Ψ=− ε νν ε νν ε νν axaxax dSsuusdSuudSuGGu )()()( ).,(),( 21 ε ε aIaI + = i/ Do giả thiết () , 1 S hàm ),(),(),(),( xaxauxauxax νν Ψ − Ψ a liên tục trên ε S nên (2.10) .0),(lim 1 0 = + → ε ε aI ii/ Đổi biến , y a x ε += ta chuyển tích phân mặt trên mặt cầu tâm a bán kính ε thành tích phân mặt trên mặt cầu đơn vò tâm .O (2.11) .0khi,0)( )2( )(),( 1 1 1 + = = − =− →→+ − = ++= ∫ ∫∫ εωε ω ε ωεεε ν ν ε ν y n y n ax dyau n dyauyaasdSus 7 Tương tự (2.12) .0khi),()( 1 ),()( 1 1 1 + = = − =− →→+= ++−=− ∫ ∫∫ εωε ω ωεεε ν ε ν audyau dyaasyaudSus y n y n ax Vậy (2.11), (2.12) dẫn đến (2.13) ).(),(lim 2 0 auaI = + → ε ε Từ (2.9), (2.10), (2.13) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh. Từ (2.6), thay ,0=ΔG ax ≠∀ và ,0 = Δ u sau đó cho + → 0 ε ta thu được (2.14) ,)()( dSuGGuau R νν −= ∫ Ω∂ với mọi . R a Ω ∈ Khi đó ta có Bổ đề sau. Bổ đề 2.2. Giả sử u là nghiệm của (2.1), (2.2) thỏa các điều kiện () , 1 S () , 2 S ta có (2.15) .)(lim 1 / ∫∫ − −=− Ω∂ +∞→ n n R IR x R dxuGdSuGuG νν Chứng minh bổ đề 2.2. Ta có , RRR SD ∪=Ω∂ },:)0,{( // RxxD R ≤= }.0,:),({ / >=== nnR xRxxxxS Ta tích phân sau thành tồng hai tích phân [...]... cho dưới dạng của một chuỗi hàm Chú thích 3.4 Kết quả của đònh lý 3.2 không còn đúng với α > 2 Ta xét phản ví dụ sau đây với α = 3 và g ( x, y, u ) = u 3 Ta có g thỏa các giả thiết (G1 ), (G2 ) Khi đó hàm số u ( x, y, z ) = 1 x 2 + y 2 + ( z + 1) 2 * * bài toán (3.1), (3.2) và thỏa (S1* ), (S 2 ), (S3 ) 27 là nghiệm dương của CHƯƠNG 4 SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG VỚI TRƯỜNG HP N > 3 Trong phần nầy... IR+ cho trước thỏa các điều kiện sau: (G1 ) g là hàm liên tục, (G2 ) ∃α ≥ 0, ∃M > 0 : g ( x / , u ) ≥ Mu α , ∀u ≥ 0, ∀x / ∈ IR n −1 , và một số điều kiện phụ sẽ đặt sau Nhờ kết quả trong phần thiết lập phương trình tích phân trong chương 2, đònh lý 2.1, khi đó, nếu g là hàm liên tục và nghiệm u bài toán (4.1), (4.2) có các tính chất (S1 ), (S 2 ), thì u là nghiệm của phương trình tích phân sau đây... Đònh lý 3.1 Nếu nghiệm u của bài toán (3.1), (3.2) với g : IR 2 × IR+ → IR+ * là hàm liên tục thỏa các tính chất (S1* ), (S 2 ) Khi đó u là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến (3.3) u ( x, y, z ) = 1 2π ∫∫ R2 g (ξ ,η , u (ξ ,η ,0)) ( x − ξ ) + ( y − η) + z 2 2 13 2 3 dξ dη , ∀( x, y, z ) ∈ IR+ Ta cũng giả sử rằng giá trò biên u ( x, y,0) của nghiệm bài toán (3.1), (3.2) thỏa điều kiện (S ) * 3... xong Kết quả sau đây được suy ra từ (2.14) và Bổ đề 2.2 Bổ đề 2.3 Giả sử u là nghiệm của (2.1), (2.2) thỏa các điều kiện (S1 ), (S 2 ), ta có (2.34) u (a) = − ∫ Gu IR n −1 xn dx / = ∫ G (a ; x ,0) g ( x )dx , ∀a ∈ IR / / 1 IR n −1 Ta có đònh lý sau 11 / n + Nếu nghiệm u của bài toán (1.1), (1.2) với g : IR × IR+ → IR+ là hàm liên tục thỏa các tính chất (S1 ), (S 2 ), khi đó u là nghiệm của phương trình. .. x / , x n ) ∈ IR+ , trong đó ω n là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR n Ta cũng giả sử rằng giá trò biên u ( x / ,0) của nghiệm u của bài toán (4.1), (4.2) thỏa tính chất: g ( y / , u ( y / ,0) ) (S 3 ) Tích phân ∫ y −x / IR n −1 / n−2 dy / tồn tại, ∀x / ∈ IR n −1 Khi đó, ta phát biểu kết quả chính trong phần nầy như sau: Đònh lý 4.1 Nếu g thỏa các giả thiết (G1 ), (G2 ) với n > 3 và 0 ≤ α ≤... (S1 ), (S 2 ), khi đó u là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến sau Đònh lý 2.1 n −1 (2.35) u (a / , a n ) = 2 (n − 2)ω n ∫ IR n −1 g ( x / , u ( x / ,0)) dx / ⎛ x/ − a ⎜ ⎝ 12 / 2 2 + an ⎞ ⎟ ⎠ ( n−2) 2 , n ∀(a / , a n ) ∈ IR+ CHƯƠNG 3 SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN VỚI N = 3 Chúng tôi xét bài toán (1.1), (1.2) cụ thể với n = 3 như sau: (3.1) (3.2) 3 Δu = 0, ( x, y, z ) ∈ IR+ = {(... ,0)) ( x − ξ ) 2 + ( y − η) 2 dξ dη tồn tại ∀( x, y ) ∈ IR 2 Ta phát biểu kết quả chính trong phần nầy như sau: Đònh lý 3.2 Giả sử rằng g thỏa các giả thiết (G1 ), (G2 ) với 0 ≤ α ≤ 2 Khi * đó bài toán (3.1), (3.2) không có nghiệm dương thỏa (S1* ), (S 2 ), (S3* ) Chứng minh đònh lý 3.2 Bằng phương pháp phản chứng, giả sử rằng bài toán (3.1), (3.2) có * * nghiệm dương u = u ( x, y, z ) thỏa (S1* ),... v))(u − v) ≥ 0, ∀x, y ∈ IR, ∀u, v ≥ 0 (G4 ) Tích phân ∫∫ R 2 g ( x, y,0) dxdy 1+ x + y 2 2 tồn tại và dương Tuy nhiên, trong chứng minh của đònh lý 3.2 không sử dụng đến các giả thiết (G3 ) và (G4 ) Chú thích 3.2 Chú ý rằng với 0 < α ≤ 2, trong [8] không giải được với hàm g ( x, y, u ) = u α vì giả thiết (G4 ) không thỏa Chú thích 3.3 Trường hợp α = 2, các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov,... (4.1), (4.2) không có nghiệm dương thỏa (S1 ) − (S 3 ) n −1 n−2 Chú thích 4.1 Trong [2] các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long cũng thu được kết quả như đònh lý 4.1 nhưng phải bổ sung thêm các giả thiết sau: (G3 ) g ( x / , u ) là hàm không giảm đối với biến u, i.e., ( g ( x , u) − g ( x , v) )(u − v) ≥ 0 / / (G4 ) Tích phân ∫ IR n −1 g ( x / ,0) ( 1+ x / ) n−2 ∀u, v ≥ 0, ∀x / ∈ IR n −1 tồn tại và dương dx... ∈ IR n −1 tồn tại và dương dx / Tuy nhiên, trong chứng minh của đònh lý 4.1 sau đây sẽ không sử dụng đến các giả thiết (G3 ) và (G4 ) Chứng minh đònh lý 4.1 Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử rằng bài toán (4.1), (4.2) có nghiệm dương u = u ( x / , x n ) thỏa các điều kiện (S1 ) − (S 3 ) Dùng đònh lý hội tụ bò chận Lebesgue, cho xn → 0 + trong phương trình tích phân (4.3), nhờ vào (S 3 ) , ta thu . Toán – tin học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. HCM. Học viên cao học: Phan Minh Chính THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 200 5 LÔØI CAÛM ÔN 1 CHƯƠNG 1 . LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 200 5 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Minh Chính SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN