Nghiệm dương của phương trình laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘINGUYỄN VĂN NGUYỆN NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE CẤP PHÂN SỐ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN VĂN NGUYỆN

NGHIỆM DƯƠNG

CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE CẤP PHÂN SỐ

VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TỚI HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN VĂN NGUYỆN

NGHIỆM DƯƠNG

CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE CẤP PHÂN SỐ

VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TỚI HẠN

Chuyên ngành: Toán Giải tích (PTVP&TP)

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Như Thắng

HÀ NỘI-2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới Tiến sĩ Nguyễn Như Thắng người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoànthành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Tin, Đại học sư phạm Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quátrình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn

Hà Nội, ngày 20 tháng 09 năm 2016

Học viên

Nguyễn Văn Nguyện

Mục lục

Phần mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số kết quả 5

1.1.1.Hội tụ yếu 5

1.1.2.Các định lý hội tụ đối với tích phân 6

1.1.3.Phép tính vi phân đối với phiếm hàm 6

1.1.4.Tính lồi và tính nửa liên tục yếu 7

1.2 Phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn 10

1.2.1.Toán tử Laplace cấp phân số 10

1.2.2.Một số ước lượng đối với số hạng phi tuyến 13

1.2.3.Một số định lý chính 14

Chương 2 Nghiệm dương của phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn 15

2.1 Một số bổ đề 15

2.2 Nghiệm cực tiểu trênN+ 20

2.3 Nghiệm cực tiểu trênN− . 28

Kết luận 42

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lũy thừa cấp phân số của toán tử Laplace là phần tử sinh của quá trình khuếchtán ổn định Lévy và xuất hiện trong sự khuếch tán dị thường trong plasma, lantruyền lửa, các phản ứng hóa học trong chất lỏng, biến động dân số và các quyềnchọn kiểu Mỹ trong tài chính, xem trong [6] Gần đây, toán tử Laplace cấp phân

số thu hút nhiều sự quan tâm trong giải tích phi tuyến, ví dụ trong [7] Caffarelli

và Silvestre [11] đã đưa ra một cách xây dựng mới về toán tử Laplace cấp phân sốthông qua ánh xạ Dirichlet-Neumann Đây là hướng tiếp cận được sử dụng trongcác tài liệu gần đây để viết bài toán không địa phương một cách địa phương và điềunày cho phép chúng ta sử dụng các phương pháp biến phân cho những bài toán

đó Trong [10], Cabré và định nghĩa toán tử của các căn bậc hai của Laplace thôngqua sự phân tích phổ của toán tử Laplace trên Ω với điều kiện biên Dirichlet Vớicác kỹ thuật địa phương cổ điển, các tác giả đã thiết lập sự tồn tại của các nghiệm

dương của bài toán khi số hạng phi tuyến dưới tới hạn, chính qui và đưa ra L∞-đánhgiá kiểu Brezis-Kato cho các nghiệm yếu Trong [17], tác giả sử dụng các kỹ thuậtBrezis-Nirenberg để xây dựng một kết quả tương tự vấn đề trong [7], nhưng với toán

tử Laplace cấp phân sốthay cho toán tử Laplace

Các vấn đề về số mũ tới hạn đối với toán tử Laplace đã được nghiên cứu rộng rãitrong nhiều thập kỷ qua, xem ví dụ [12] và các tài liệu tham khảo trong đó Vì vậy,

chúng tôi chọn đề nghiên cứu: Nghiệm dương của phương trình Laplace cấp phân

số với số hạng phi tuyến tới hạn Cụ thể là chứng minh sự tồn tại nghiệm dương

của bài toán

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu, tổng hợp và trình bày kết quả về sự tồntại nghiệm dương của phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới

hạn Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết là tìm hiểu về lí thuyết đa tạp Nehari và kĩ thuật

ánh xạ phân thớ, và sau đó, chứng minh sự tồn tại ít nhất hai nghiệm dương của bài

toán khi tham số λ đủ nhỏ.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là một lớp bài toán elliptic với số hạng phi tuyến tới hạn.Phạm vi nghiên cứu là sự tồn tại nghiệm dương của bài toán trên

4 Định hướng và phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức đã học về phương trình elliptic, giải tích hàm phi tuyến vàviệc tham khảo tài liệu cũng như các bài báo liên quan Để giải bài toán trên, chúngtôi sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các điểm tới hạn của phiếm hàm

I(u) = 1

2Z

Ω

(−∆)α4u

2

dx−λ

qZ

Ω

f (x)|u|qdx− 1

2∗αZ

Ω

|u|2∗αdx

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán đã cho, chúng tôi kết hợp hướng tiếpcận phân thớ đề xuất bởi Drabek-Pohozaev và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một sốkiến thức cơ bản và phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạncùng một số bổ đề

Chương 2 Nghiệm dương của phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số bổ đề, định lý từ đóchứng minh sự tồn tại nghiệm dương của phương trình Laplace cấp phân số với sốhạng phi tuyến tới hạn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi trình bày một số kết quả của giải tích hàm về tính hội tụyếu, các định lý hội tụ tích phân, phép tính vi phân đối với phiếm hàm, tính lồi vàtính nửa liên tục yếu, tính cưỡng và các định lý như Định lý nhân tử Lagrange, Định

lý qua núi (xem trong [5])

Cũng trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về toán tử Laplace cấp phân số vàphương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn cùng một số ướclượng đối với số hạng phi tuyến

1.1.1 Hội tụ yếu

Xlà không gian Banach thực

Định nghĩa 1.1 Ta nói dãy{uk}∞k=1 ⊂ X hội tụ yếu đến u ∈ X nếu hu∗, uki → hu∗, ui

với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn u∗ ∈ X∗, và ký hiệu là uk *u

Dễ dàng kiểm tra được rằng: Nếu uk → uthì uk * u Và ta cũng có một dãy hội tụyếu thì bị chặn Từ đó, nếu uk *uthìkuk ≤lim inf

k → ∞ kukk

Định lý 1.2(Compac yếu) Cho X là không gian Banach phản xạ và giả sử dãy{uk}∞k=1

là bị chặn Khi đó tồn tại một dãy connukjo∞

j = 1⊂ {uk}∞k=1và u∈ X sao cho ukj *u Tức

là, dãy bị chặn trong không gian Banach phản xạ là tiền compac yếu Nói riêng, một dãy bị chặn trong không gian Hilbert chứa một dãy con hội tụ.

1.1.2 Các định lý hội tụ đối với tích phân

Định lý 1.3(Bổ đề Fatou) Giả sử Ω là một tập đo được (Lebesgue) trong RN và{un}là một dãy hàm đo được không âm trên Ω Khi đó

Z

Ω

lim inf

(i) un(x) →u(x)h.k.n trong Ω khi n→ ∞.

(ii) tồn tại v ∈ L1(Ω)sao cho, với mọi k≥1,|un(x)| ≤ v(x)h.k.n trong Ω.

(ii) với mọi n ≥1,|ukn(x)| ≤v(x)h.k.n trong Ω.

1.1.3 Phép tính vi phân đối với phiếm hàm

Giả sử X là không gian Banach, X∗ là không gian liên hợp của X, U là một tập

Phiếm hàm L như vậy là duy nhất và được gọi là đạo hàm (Fréchet) của F tại u, kí

hiệu F0(u)hay DF(u)

Nếu F khả vi (Fréchet) tại mọi điểm u∈ Xthì ta nói F khả vi (Fréchet) trên U Ánh

xạ F0 : U →X∗, u7→ F0(u)gọi là đạo hàm của F Nếu ánh xạ này liên tục trên U thì

ta nói F thuộc lớp C1trên U và viết F ∈ C1(U,R)

Định nghĩa 1.7 Giả sử H là một không gian Hilbert với tích vô hướng(., ), U ⊂ H là một tập mở và I : U →R là một phiếm hàm khả vi tại u ∈ U Vì I0(u)là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H nên theo định lý biểu diễn Riesz, tồn tại phần tửw∈ H sao cho

1.1.4 Tính lồi và tính nửa liên tục yếu

Định nghĩa 1.10 Giả sử I : X→R là một phiếm hàm trên không gian Banach X, u ∈ X

được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của I nếu

I(u) = inf

v ∈ XI(v)

u được gọi là điểm tới hạn I nếu I0khả vi tại u và I0(u) =0 Nếu u là một điểm tới hạn của

I thì c= I(u)gọi là giá trị tới hạn của I.

Nhận xét:Nếu I khả vi trên X thì mọi điểm cực tiểu toàn cục của I đều là điểm tớihạn

Định nghĩa 1.11 Phiếm hàm I : X → R trên không gian vecto X gọi là lồi nếu với mọi

u, v∈ X và với mọi số thực t∈ [0,1] có bất đẳng thức sau

I(tu+ (1−t)v) ≤ tI(u) + (1−t)I(v)

Phiếm hàm I gọi là lồi nghiêm ngặt nếu bất đẳng thức

I(tu+ (1−t)v) <tI(u) + (1−t)I(v)

đúng với mọi u, v∈ X, u 6=v, và mọi số thực t∈ (0,1).

Ta nói I là lõm (lõm nghiêm ngặt) nếu−I là lồi (lồi nghiêm ngặt).

Định nghĩa 1.12 Phiếm hàm I : X →R được gọi là nửa liên tục dưới yếu (theo dãy) nếu

I(u) ≤lim inf

n → ∞ I(un)

với mọi dãy{un}trong X hội tụ yếu đến u ∈ X

Mệnh đề 1.13 Nếu I : X → R là một phiếm hàm lồi liên tục trên không gian Banach X

thì I là nửa liên tục dưới yếu.

Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm I : X → R xác định trên không gian Banach X được gọi là

cưỡng nếu, với mọi dãy{un}trong X,

kunk → +∞ ⇒ I(un) → +∞

Mệnh đề 1.15 Nếu X là không gian Banach phản xạ và I : X →R là một phiếm hàm lồi,

liên tục và cưỡng thì I đạt cực tiểu toàn cục.

Mệnh đề 1.16 Nếu phiếm hàm I : X→R là lồi nghiêm ngặt thì I có nhiều nhất một điểm

cực tiểu toàn cục.

Định lý 1.17(Nhân tử Lagrange) Giả sử X là không gian Banach và I, F ∈ C1(X,R) Đặt

Định nghĩa 1.18 Giả sử X là một không gian Banach, I ∈ C1(X,R) Với c ∈ R cho

trước, ta nói I thỏa mãn điều kiện Palais - Smale tại mức c (nói ngắn gọn, I thỏa mãn(PS)c) nếu, với mỗi dãy{un} ⊂ X,

⇒c là một điểm tới hạn của I.

(nghĩa là tồn tại u∈ X sao cho I(u) =c và I0(u) =0).

Ta nói I thỏa mãn điều kiện Palais - Smale (nói ngắn gọn, I thỏa mãn(PS)) nếu I thỏa mãn

(PS)cvới mọi c ∈R.

Định lý 1.19(Định lý qua núi) Giả sử H là không gian Hilbert và I ∈ C1(H,R)thỏa mãn(PS) Giả sử thêm rằng các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) I(0) =0.

(ii) Tồn tại ε , γ>0 sao cho I(u) ≥ γ nếukuk = ε.

(iii) Tồn tại u0 ∈ H sao choku0k > ε và I(u) <γ.

Hệ quả 1.20 Giả sử H là không gian Hilbert và I ∈ C1(H,R) thỏa mãn (PS) Giả sử thêm rằng các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) I(0) =0.

(ii) Tồn tại ε , γ>0 sao cho I(u) ≥ γ nếukuk = ε.

(iii) Tồn tại u0 ∈ H sao choku0k > ε và I(u) <γ.

Khi đó tồn tại c≥γ và u∈ H sao cho I(u) = c và∇I(u) = 0.

1.2.1 Toán tử Laplace cấp phân số

Kí hiệu nửa không gian bởiRN + 1

+ =z= (x, y) = (x1, x2, xn, y) ∈RN + 1|y>0 ,nửa trụ đứng trong miền bị chặn biên trơnΩ ⊂RN làCΩ =Ω× (0,∞) ⊂ RN + 1

+ và

phần biên của nó được ký hiệu bởi ∂LCΩ = ∂Ω× [0,∞) Giả sử 

ϕj là cơ sở trựcchuẩn của không gian L2(Ω)gồm các hàm riêng của bài toán biên Dirichlet đối vớitoán tử−∆ trong miền Ω

<∞} với tích vô

(−∆)α4u