Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm của phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ĐẶNG HẢI YẾN TÍNH KHẢ VI THEO DỮ KIỆN ĐẦU CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG HẢI YẾN TÍNH KHẢ VI THEO DỮ KIỆN ĐẦU CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.S TRẦN VĂN TUẤN Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Để hồn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo định hướng cho tơi suốt q trình tơi làm khóa luận Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa luận để có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Hải Yến Lời cam đoan Tơi xin cam đoan Khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn thầy ThS Trần Văn Tuấn Trong nghiên cứu, hồn thành khóa luận tơi tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài: “Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân” kết việc nghiên cứu nỗ lực học tập thân, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Hải Yến Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều 1.2 Tích vơ hướng hai véc tơ 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy nguyên lý điểm bất động 1.4 Khái quát hệ phương trình vi phân 1.4.1 Hệ phương trình vi phân 1.4.2 Định lý tồn nghiệm phương trình 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt phương trình 1.5 Bất đẳng thức Gronwall 5 11 13 13 15 16 22 Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân 25 2.1 Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân 26 2.2 Ví dụ áp dụng 32 Kết luận 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân nhánh quan trọng Toán học đề xuất nghiên cứu sớm nhiều nhà Toán học, xem [4] Những nghiên cứu thúc đẩy ứng dụng quan trọng từ nhiều tốn thực tiễn: Vật lý, Hóa học, Kinh tế, Sinh học, Các nghiên cứu phương trình vi phân tập trung trả lời câu hỏi tồn tại, tính phụ thuộc liên tục nghiệm Trên thực tế, mơ hình hóa tượng kiện ban đầu hệ số phương trình thường lấy từ đo đạc, quan sát thực tiễn Hơn trình đo đạc kiện ban đầu (dữ kiện Cauchy) tránh khỏi sai số cần sử dụng thêm yếu tố phụ (tham số) Vì câu hỏi thu hút quan tâm nghiên cứu từ sớm tính chất khả vi ánh xạ biến kiện đầu thành nghiệm phương trình Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân, tơi chọn đề tài: “Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân” để thực khóa luận Mục đích nghiên cứu a) Tìm hiểu phương trình vi phân thường; Bài tốn Cauchy phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến b) Tìm hiểu tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân hay tính khả vi ánh xạ biến kiện đầu thành nghiệm phương trình Đối tượng nghiên cứu a) Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tồn nghiệm phương trình vi phân thường b) Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân Phạm vi nghiên cứu Với thời gian kiến thức có hạn, khóa luận tơi trình bày khái niệm, định lí Đề tài tập trung vào a) Phương trình vi phân, tính ổn định nghiệm tồn nghiệm hệ phương trình vi phân b) Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu sủ dụng khóa luận là: Tìm kiếm, tổng hợp, tham khảo tài liệu từ giáo trình, sách vở, trang web chủ yếu [4] Sau phân tích, tích cực nghiên cứu bảo thầy giáo hướng dẫn, tổng hợp trình bày vấn đề cho rõ ràng, hợp lơ-gic Cấu trúc đề tài Khóa luận trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức R+ Tập số thực không âm C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b] Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử Rn , 1/2 n |xi |2 chuẩn Euclide x = , i=1 Mat(n × m, R) Tập tất ma trận cấp n × m AT Ma trận chuyển vị ma trận A zn,d Vectơ đơn thức n biến, bậc nhỏ d M Ma trận xác định khơng âm n aj Tích a1 a2 an j=1 λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A Kết thúc chứng minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm, kết liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach ánh xạ Co sử dụng khóa luận, chi tiết tham khảo [1, 4] 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều Các phần tử véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , , xn ) Đôi ta viết véc tơ x dạng ma trận cột Các số thực x1 , x2 , , xn gọi tọa độ véc tơ x Phép cộng véc tơ xác định phép cộng tọa độ, phép nhân véc tơ với số thực xác định tương tự Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), thu ánh xạ tuyến tính B : Rm → Rn , cho công thức Bx = Bx, Bx kí hiệu véc tơ cột  m  b x  j=1 1j j    m     b x 2j j   j=1 Bx :=  ,      n   bmj xj j=1 bji kí hiệu phần tử vị trí giao dòng thứ i với cột thứ j ma trận B, ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m Ngược lại, ánh xạ tuyến tính Rm → Rn có dạng Ma trận chuyển vị B ∗ B ma trận cấp m × n với phần tử b∗ji = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m Đăc biệt, với ma trận thực A cấp n × n từ ánh xạ tuyến tính khơng gian Rn vào ma trận A gọi ma trận khơng suy biến định thức số khác Khi tồn ma trận nghịch đảo, kí hiệu A−1 xác định cơng thức A × A−1 = A−1 × A = I, đó, ta kí hiệu I ma trận đơn vị cấp n Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa chuẩn) Một chuẩn Rn ánh xạ · : Rn → [0, +∞) thỏa mãn tiên đề (i) x ≥ 0, ∀x ∈ Rn chuỗi bên phải hội tụ Đồng thời d (tA)k (tA)k−1 = , dt k! (k − 1)! ∀k ≥ Nên lấy đạo hàm hai vế (1.24) e(t+h)A − etA etA ehA − etA d S(t) = lim = lim h→0 h→0 dt h h hA e −I = etA lim h→0 h ehA − I = S(t) lim h→0 h (hA)0 (hA)1 (hA)n I = S(t) lim + + + + − h→0 0!h 1!h n!h h hn−1 An = S(t) lim A + + + h→0 n! = S(t)A d S(t) = S(t)A Từ với ý xem định dt lý Liouville( xem [4, Theorem 3.4]) Tương tự ta có det(S(t)) = et.trace(A) = S(t) t=0 = I ta nhận S(t) ma trận nghiệm hệ (1.23) Định lí chứng minh Chú ý 1.8 Từ Định lí 1.7 cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân với hệ số khơng có dạng t S(t − s)b(s)ds, ∀t ∈ R, x(t) = S(t)x0 + 21 (1.25) với nghiệm x(t) hệ (1.23) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Để kết thúc mục dẫn số tích chất quan trọng ma trận S(t) Mệnh đề 1.1 Ma trận S(t) thoả mãn tính chất 1) S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R 2) S(0) = I 3) S(t)−1 = S(−t), ∀t ∈ R 4) lim S(t)x = S(t0 )x, ∀x ∈ Rn , ∀t0 ∈ R t→t0 1.5 Bất đẳng thức Gronwall Giả sử x(t), ϕ(t) ψ(t) hàm số liên tục [a, b] thoả mãn bất đẳng thức t x(t) ψ(s)x(s)ds, t ∈ [a, b] ϕ(t) + a 0, ∀t ∈ [a, b] Khi ψ(t) t x(t) ϕ(t) + t (ϕ(s)ψ(s) exp( a (ϕ(τ )dτ )ds s t Chứng minh Đặt y(t) = (ψ(s)x(s))ds y(t) ˙ = ψ(t)x(t) a t x(t) (ψ(s)x(s))ds, t ∈ [a, b], ϕ(t) + a 22 viết lại thành x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) Từ ψ(t) ≥ 0, ta có ψ(t)x(t) ≤ ψ(t)ϕ(t) + ψ(t)y(t) y(t) ˙ = ψ(t)x(t) ≤ ψ(t)ϕ(t) + ψ(t)y(t) t Nhân hai vế bất phương trình với exp(− (ψ(s))ds để có a d (y(t) exp(− dt t t (ψ(s))ds) ≤ ψ(t)ϕ(t) exp(− a (ψ(s))ds) a Kết hợp lại ta có t y(t) ≤ t (ϕ(s)ψ(s) exp( a (ϕ(τ ))dτ )ds s Do x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) nên ta có t x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) ≤ x(t) ϕ(t) + t (ϕ(s)ψ(s) exp( a (ϕ(τ ))dτ )ds s Nên ta có điều phải chứng minh Từ bất đẳng thức Gronwall ta có thêm hệ Hệ 1.2 Cho x : [a, b] → R hàm số không âm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức t x(t) ≤ M + ψ(s)x(s)ds, a M só dương ψ : [a, b] → R hàm không 23 âm liên tục Thì t x(t) ≤ M exp ψ(s)ds , ∀t ∈ [a, b] a 24 Chương Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân Như giới thiệu phần mở đầu, việc nghiên cứu tính chất ánh xạ cho tương ứng điều kiện đầu thành nghiệm phương trình vi phân khơng đóng vài trọng nghiên cứu định tính mà hữu ích giải số Một tính chất tính khả vi theo kiện đầu Khi đó, người ta tìm nghiệm xấp xỉ phương trình lân cận đủ tốt kiện ban đầu Chương này, dành để nghiên cứu tính khả vi nghiệm theo kiện đầu phương trình vi phân ứng dụng để tìm nghiệm xấp xỉ Chương viết dựa theo tài liệu [4] V Barbu 25 2.1 Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân Xét tốn Cauchy x˙ (t) =f (t, x(t)) , (t, x) ∈ Ω ⊂ Rn+1 (2.1) x (0) =x0 f : Ω → Rn liên tục (t, x) Lipschitz địa phương theo biến x Kí hiệu x (t, x0 ) nghiệm toán Cauchy (2.1) xác định khoảng tồn cực đại phải [0, T ) Dưới giả thiết cho hàm số f mà với t ∈ [0, T ) tồn η > cho ξ ∈ B (x0 , η) = {x ∈ Rn ; x − x0 ≤ η} nghiệm x (t, ξ) xác định [0, T ] ánh xạ B (x0 , η) ξ → x (t, ξ) ∈ C ([0, T ]; Rn ) liên tục Phần khóa luận chúng tơi nghiên cứu tính khả vi ánh xạ biến kiện đầu thành nghiệm phương trình Trước hết nhắc lại khái niệm đạo hàm hàm nhận giá trị véc tơ Định nghĩa 2.1 Cho hàm số f :R × Rn → Rn (t, x) → f (t, x) 26 Ta nói ma trận      Dx f (t, x) =      ∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x1 ··· ∂fn ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 ··· ∂fn ∂x2 ··· ··· ··· ··· ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂xn ··· ∂fn ∂xn           đạo hàm hàm f theo biến x điểm (t, x) Ma trận này, gọi ma trận Jacobi f (t, x) Ví dụ 2.1 Xét hàm số f : R × R2 → R2 cho   x1 + 2x2 + t  f (t, x) = f (t, x1 , x2 ) =  tx1 x2 2  Dx f (t, x) =  2x1 4x2 2tx1 x2 tx1   Định lý 2.1 Cho [0, T ) khoảng xác định khoảng cực đại phải nghiệm x(t, x0 ) (2.1), giả sử thêm hàm f khả vi theo biến x đạo hàm fx liên tục theo (t, x) Hàm số x (t, ξ) khả vi theo ξ B (x0 , η) đạo hàm X (t) := xξ (t, ξ) ma trận sở hệ tuyến tính y(t) ˙ = fx t, x(t, ξ) y(t), ≤ t ≤ T, 27 (2.2) thỏa điều kiện ban đầu X (0) = I (2.3) Chứng minh Để chứng minh hàm số x (t, ξ) khả vi ξ xem xét hai vecto ξ ξ˜ ∈ B (x0 , η) Chúng ta có đẳng thức t ˜ − x(t, ξ) − X(t)(ξ˜ − ξ) = x(t, ξ) ˜ − f (s, x(s, ξ)) f (s, x(s, ξ)) t0 − fx (s, x(s, ξ))X(s)(ξ˜ − ξ) ds, (2.4) X (t) ma trận sở hệ phương trình tuyến tính (2.2) thỏa điều kiện ban đầu (2.3) Mặt khác, theo định lí giá trị trung bình ˜ − f s, x(s, ξ) f s, x(s, ξ) ˜ − x(s, ξ) = fx s, x(s, ξ) x(s, ξ) ˜ξ + R s, ξ, ˜ Xét phương trình (2.1) tương ứng với hai kiện đầu ξ ξ Khi đó, ta có biểu diễn sau nghiệm t x t, ξ˜ = ξ˜ + ˜ ds, f s, x(s, ξ) t x (t, ξ) = ξ + f s, x(s, ξ) ds 28 (2.5) Từ đây, với t ∈ [0, T ] ta có x t, ξ˜ − x (t, ξ) t = ξ˜ − ξ + ˜ − f s, x(s, ξ) ds f s, x(s, ξ) t ≤ ξ˜ − ξ + ˜ − f s, x(s, ξ) f s, x(s, ξ) ds Vì f Lipschitz địa phương, tồn số L > cho ∀t ∈ [0, T ] , ta có t x s, ξ˜ − x (s, ξ) ds x t, ξ˜ − x (t, ξ) ≤ ξ˜ − ξ + L Đặt z(t) = x t, ξ˜ − x (t, ξ) suy t z(t) ≤ ξ˜ − ξ + L z(s)ds Áp dụng bổ đề Gronwall cho   ϕ(t) = ξ˜ − ξ  ψ(t) = L ta nhận t z(t) ≤ ξ˜ − ξ + ξ˜ − ξ Le t s Ldt t = ξ˜ − ξ eL(t−s) ds 1+L 29 ds Chúng ta tính tích phân t t L(t−s) ds e t e L(t−s) −1 Lt −Ls t e e L −1 −Lt Lt e (e − 1) = (eLt − 1) = L L ≤ eLt L Lt ds = e e−Ls ds = Do z(t) ≤ ξ˜ − ξ (1 + eLt ) ≤ ξ˜ − ξ (1 + eLT ) hay x t, ξ˜ − x (t, ξ) ≤ ξ˜ − ξ eLT , ∀t ∈ [0, T ] (2.6) Bất đẳng thức (2.6) tính liên tục vi phân fx kéo theo phần dư R (2.5) thỏa ˜ξ R s, ξ, ˜ξ ≤ ω ξ, ξ˜ − ξ , lim ˜ ξ−ξ ˜ ξ = ω ξ, →0 Sử dụng (2.5) (2.4), ta nhận đánh giá t z(t) ≤ T ω(ξ, ξ) ξ − ξ + L1 z(s)ds, 30 ∀t ∈ [0, T ], (2.7) z (t) := x t, ξ˜ − x (t, ξ) − X (t) ξ˜ − ξ tiếp tục áp dụng hệ bất đẳng thức Gronwall cho   ψ(t) = L1  M = T ω(ξ, ξ) ξ − ξ ta nhận z(t) ≤ M e t L1 t ds = M eL1 t ≤ M eL1 T Do x t, ξ˜ − x (t, ξ) − X (t) ξ˜ − ξ (2.8) ˜ξ ≤T ω ξ, ξ˜ − ξ eL1 T = o ξ˜ − ξ ˜ cuối bất đẳng thức nhận Cho ξ → ξ, xξ (t, ξ) = X (t) Định lí chứng minh Đặc biệt hàm f (t, x) = A(t)x + h(t) A(t) ma trận phụ thuộc có phần tử hàm số liên tục I h hàm số phụ thuộc vào t ta nhận kết sau 31 Hệ 2.1 Giả sử A hàm ma trận cấp n × n liên tục h hàm véc tơ cấp n × liên tục khoảng I Hơn giả sử t0 ∈ I, x0 ∈ Rn x(t, x0 ) nghiệm phương trình (2.1) x(t) ˙ = A(t)x + h(t), x(0) = x0 Thì z(t) := ∂x (t, x) kí hiệu nghiệm (2.1) ∂x0j z = A(t)z, z(0) = ej , I, ej véc tơ đơn vị thứ j Rn 2.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.2 Tìm ∂x (t; 1) nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân ∂x0 x = x − x2 , x(0) = (2.9) Ở f (t, x) = x − x2 hàm số khả vi liên tục theo biến x nên điều kiện Định lý 2.1 nên tốn (2.9) có nghiệm x(t; 1) Ta có ∂f ∂x (t, x) = − 2x Do đạo hàm nghiệm (2.9) theo kiện đầu nghiệm phương trình y = (1 − 2x(t; 1))y, y(0) = Giải phương trình ta thu ∂x ∂x0 (t; 1) = e−t Do ta tìm nghiệm xấp xỉ cấp lân cận kiện ban đầu phương trình (2.9) x(t; + h) = + e−t h, với |h| nhỏ 32 Thực tế, ta thấy (2.9) phương trình Riccati có nghiệm xác x(t; 1) = 33 Kết luận Trên toàn nội dung khố luận đề tài “Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân” Trong khóa luận này, ngồi kiến thức mở đầu chúng tơi nghiên cứu tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân Chúng tơi xét tính khả vi ánh xạ biến kiện đầu thành nghiệm phương trình vi phân Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để khóa luận đươc đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi để hồn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, phần 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2003 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] V Barbu, Differential Equations, Springer, Cham, 2016 35 ... phương trình vi phân thường; Bài tốn Cauchy phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến b) Tìm hiểu tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân hay tính. .. Gronwall 5 11 13 13 15 16 22 Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân 25 2.1 Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương trình vi phân 26 2.2 Ví... tính khả vi ánh xạ biến kiện đầu thành nghiệm phương trình Đối tượng nghiên cứu a) Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tồn nghiệm phương trình vi phân thường b) Tính khả vi theo kiện đầu nghiệm phương