Phương pháp lyapunov và phương pháp δ mở rộng giải phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— NGUYỄN THỊ LỆ THÚY PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP δ - MỞ RỘNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội – Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— NGUYỄN THỊ LỆ THÚY PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP δ - MỞ RỘNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Lệ Thúy Lời cam đoan Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị Mọi thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc cách rõ ràng Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường cam đoan Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Lệ Thúy Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kiến thức phương trình vi phân 1.1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.2 Bài toán Cauchy Một số phương trình vi phân biết cách giải 1.2.1 Phương trình vi phân có biến số phân li 1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.2.3 Phương trình Bernoulli 1.2.4 Phương trình tuyến tính cấp n với hệ số 1.3 Tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 1.4 Một số kiến thức giải tích 1.4.1 Chuỗi hàm số, chuỗi lũy thừa 1.4.2 Công thức khai triển Taylor Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng 11 2.1 Phương pháp Lyapunov 11 2.1.1 11 Bài toán giá trị ban đầu i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 NGUYỄN THỊ LỆ THÚY 2.1.2 Ví dụ 12 2.1.3 Bài tập áp dụng 14 Phương pháp δ - mở rộng 32 2.2.1 Bài toán mở đầu 32 2.2.2 Ví dụ 32 2.2.3 Bài tập áp dụng 37 Mối liên hệ phương pháp Lyapunov phương pháp phân tích Adomian 44 2.3.1 Giới thiệu phương pháp phân tích Adomian 44 2.3.2 Mối liên hệ phương pháp Lyapunov phương pháp phân tích Adomian 45 Ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng 49 3.1 Bài tốn vật lí 49 3.2 Ứng dụng phương pháp Lyapunov 51 3.3 Ứng dụng phương pháp δ - mở rộng 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 59 ii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân có nhiều ứng dụng khoa học cơng nghệ Trong thực tế có nhiều phương trình vi phân khơng thể tìm nghiệm xác Chính việc nghiên cứu phương pháp giải gần phương trình vi phân hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng phương pháp hữu hiệu để giải gần phương trình vi phân phi tuyến Nhờ phương pháp này, việc giải phương trình vi phân phi tuyến đưa giải dãy phương trình vi phân tuyến tính Với mong muốn tìm hiểu rõ phương pháp giải gần phương trình vi phân thường, em lựa chọn đề tài: “Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng giải phương trình vi phân” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng vào giải số phương trình vi phân thường phi tuyến Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng - Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng, ứng dụng giải phương trình vi phân thường phi tuyến Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu đề tài Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm ba chương: - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng - Chương 3: Ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm, tính chất phương trình vi phân số kiến thức giải tích có sử dụng chương chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 1.1.1 Một số kiến thức phương trình vi phân Các khái niệm mở đầu Định nghĩa Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát F (x, y, y , y , , y (n) ) = (1.1) F hàm xác định miền G không gian Rn+2 , x biến độc lập, y = y(x) hàm số phải tìm Trong phương trình (1.1) vắng mặt số biến x, y, y , , y (n−1) y (n) thiết phải có mặt Từ phương trình (1.1) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY phương trình (1.1) có dạng y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ) (1.2) Định nghĩa Nghiệm phương trình (1.1) hàm y = ϕ(x) khả vi n lần khoảng (a, b) cho - (x, ϕ(x), ϕ (x), , ϕn (x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b) - Nó nghiệm phương trình (1.1) (a, b) 1.1.2 Bài toán Cauchy Giả sử điểm ban đầu x0 , y0 , y0 , , y0n−1 ∈ D ⊂ Rn+1 Bài toán   y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ), (x, y, y , , y (n−1) ) ∈ D  y(x ) = y , y (x ) = y , , y (n−1) (x ) = y (n−1) 0 0 0 gọi toán Cauchy hay toán giá trị ban đầu Định lí tồn nghiệm toán Cauchy Giả sử miền G ⊂ Rn+1 hàm f (x, u1 , u2 , , un ) liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , , un (n−1) Khi với điểm (x0 , y0 , y0 , , y0 ) ∈ G tồn nghiệm y = y(x) phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (n−1) y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , , y (n−1) (x0 ) = y0 nghiệm xác định lân cận (x0 − h, x0 + h) x0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY u0 (r, t) = L 0−1 [f (r, t)] (3.4) un (r, t) = −N 0−1 [An−1 (r, t)] , n ≥ (3.5) với L 0−1 toán tử nghịch đảo L An (r, t) gọi đa thức Adomian xác định bởi: +∞ dn N0 u0 (r, t) + un (r, t)q n An (r, t) = n n! dq n=1 2.3.2 (3.6) q=0 Mối liên hệ phương pháp Lyapunov phương pháp phân tích Adomian Trong phần chứng minh biểu thức nghiệm tìm phương pháp Lyapunov tương đương với biểu thức nghiệm (3.5) tìm nhờ phương pháp phân tích Adomian Từ thấy phương pháp Lyapunov có chất tương đương với phương pháp phân tích Adomian Để mô tả ý tưởng phương pháp Lyapunov, ta xét toán phi tuyến cho bởi: N [u(r, t)] = f (r, t) (3.7) N tốn tử phi tuyến tính, u biến phụ thuộc, f (r, t) hàm số biết, r t biểu thị biến khơng gian thời gian Giả sử tốn tử phi tuyến N có phân tích N = L0 + N0 45 (3.8) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY N0 tốn tử phi tuyến tính L0 tốn tử tuyến tính Sử dụng biểu thức đưa vào tham số nhỏ tự nhiên ε, phương trình ban đầu (3.7) trở thành L0 [φ(r, t, ε)] + ε N0 [φ(r, t, ε)] = f (r, t) (3.9) φ(r, t, ε) hàm số chưa biết Khi ε = phương trình trở thành phương trình (3.7), cho φ(r, t, 1) = u(r, t) (3.10) Khai triển φ(r, t, ε) dạng chuỗi lũy thừa ε +∞ un (r, t)εn φ(r, t, ε) = u0 (r, t) + (3.11) n=1 Thay ε = vào biểu thức sử dụng (3.10) ta +∞ u(r, t) = u0 (r, t) + un (r, t) (3.12) n=1 Có dạng giống với biểu thức nghiệm (3.3) đưa phương pháp phân tích Adomian Thay phương trình (3.11) vào phương trình (3.9), ta +∞ εn L0 [un (r, t)] L0 [u0 (r, t)] + n=1 +∞ un (r, t)εn = f (r, t) + εN0 u0 (r, t) + n=1 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY +∞ εn L0 [un (r, t)] ⇔ L0 [u0 (r, t)] − f (r, t) + n=1 +∞ un (r, t)εn = + εN0 u0 (r, t) + (3.13) n=1 Kí hiệu +∞ +∞ n N0 u0 (r, t) + un (r, t)ε ωn (r, t)εn = n=1 n=0 Lấy đạo hàm cấp m hai vế biểu thức theo ε, sau cho ε = ta +∞ ∂m un (t)εn N0 u0 (r, t) + ∂εm n=1 ⇔ ωm (r, t) = m! = m!ωm (r, t) ε=0 +∞ m ∂ un (r, t)εn N0 u0 (r, t) + ∂εm n=1 ε=0 Sử dụng định nghĩa (3.6) ta có ωm (r, t) = Am (r, t) An (r, t) đa thức Adomian Thay +∞ N0 u0 (r, t) + +∞ un (r, t)ε n=1 n An (r, t)εn = n=0 vào phương trình (3.13), ta có +∞ εn {L0 [un (r, t)] + An−1 (r, t)} = {L0 [u0 (r, t)] − f (r, t)} + n=1 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY cho L0 [u0 (r, t)] − f (r, t) = L0 [un (r, t)] + An−1 (r, t) = 0, n ≥ Giải phương trình trên, ta u0 (r, t) = L−1 [f (r, t)] un (r, t) = −L−1 [An−1 (r, t)] , n ≥ Các nghiệm tương ứng nghiệm (3.4) (3.5) phương pháp phân tích Adomian Vì vậy, chất phương pháp phân tích Adomian tương tự với phương pháp Lyapunov 48 Chương Ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng Trong chương trình bày ứng dụng phương pháp Lyapunov phương δ - mở rộng giải số phương trình vi phân xuất phát từ tốn vật lí Nội dung chương tham khảo tài liệu [4], [5] 3.1 Bài toán vật lí Xét cầu rơi tự khơng khí từ trạng thái tĩnh Kí hiệu t˜ thời gian, U (t˜) vận tốc cầu, m khối lượng, g gia tốc trọng lực Giả thiết lực cản khơng khí lên cầu U (t˜), a số Theo định luật II Newton, ta có m dU (t˜) = mg − aU (t˜) ˜ dt với điều kiện ban đầu: U (0) = 49 (3.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Về mặt vật lí, tốc độ cầu rơi tự tăng lên trọng lực đến đạt vận tốc ổn định U∞ Do đó, khơng tìm cụ thể U (t˜) tìm vận tốc giới hạn U∞ trực tiếp từ phương trình (3.1), nghĩa là: U∞ = mg a (3.2) Coi U∞ U∞ /g tương ứng vận tốc đặc trưng thời gian đặc trưng, viết t˜ = U∞ g t , U (t˜) = U∞ V (t) (3.3) Ta có U (t˜) = U∞ · V (t) dU (t˜) dU∞ dV (t) dV (t) = · V (t) + · U∞ = · U∞ dt dt dt dt˜ U∞ U∞ t˜ = t ⇔ dt˜ = dt g g (3.4) (3.5) Thay phương trình (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) vào phương trình (3.1) ta dU (t˜) = mg − aU (t˜) ˜ dt g dV (t) ⇔ m· · U∞ = mg − aU∞ · V (t) U∞ dt dV (t) mg = mg − a · · V (t) ⇔ mg dt a dV (t) ⇔ = − V (t) dt m ⇔ V (t) + V (t) = 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Vậy phương trình (3.1) trở thành V (t) + V (t) = 1, t ≥ (3.6) phụ thuộc vào điều kiện ban đầu V (0) = t biểu thị biến thời gian Rõ ràng, t → +∞ t˜ → ∞, U (t˜) → U∞ Do đó, từ phương trình (3.1) ta có lim V (t) = t→+∞ 3.2 Ứng dụng phương pháp Lyapunov Trong phần ta sử dụng phương pháp Lyapunov để giải tốn vật lí đặt Sử dụng phương pháp Lyapunov, viết lại phương trình (3.6) dạng V (t) + ε V (t) = 1, t ≥ (3.7) Giả sử nghiệm phương trình (3.7) có dạng V (t) = V0 (t) + ε V1 (t) + ε2 V2 (t) + (3.8) đó, ε tham số giả nhỏ Từ phương trình (3.8) lấy đạo hàm hàm số V (t) theo biến t, ta V (t) = V0 (t) + ε V1 (t) + ε2 V2 (t) + 51 (3.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Thay phương trình (3.8), (3.9) vào phương trình (3.7), ta V0 + εV1 + ε2 V2 + ε3 V3 + + ε(V0 + εV1 + ε2 V2 + )2 = Cân hệ số lũy thừa ε bậc, ta thu hệ phương trình vi phân tuyến tính: V0 (t) = 1, V0 (t) = V1 (t) + V02 (t) = 0, V1 (0) = V2 (t) + 2V0 V1 = 0, V2 (0) = Giải phương trình với điều kiện ban đầu V(0) = dV0 = ⇔ dV0 = dt dt ⇔ dV0 = dt + C ⇔ V0 (t) = t + C Từ điều kiện ban đầu V0 (0) = ⇔ C = Suy V0 = t ⇔ dV1 dV1 + V02 = ⇔ + t2 = ⇔ dV1 = −t2 dt dt dt t3 dV1 = − t dt + C ⇔ V1 (t) = − + C Từ điều kiện ban đầu V1 (0) = ⇔ C = t3 Suy V1 = − dV2 2t4 + 2V0 V1 = ⇔ dV2 = dt dt 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ⇔ dV2 = NGUYỄN THỊ LỆ THÚY 2t4 2t5 dt + C ⇔ V2 = +C 15 Từ điều kiện ban đầu V2 (0) = ⇔ C = 2t5 Suy V2 = 15 Thay V0 , V1 , V2 , vào phương trình (3.8) cho ε = ta 17 V (t) = t − t3 + t5 − t + ··· = 15 315 +∞ α2n+1 t2n+1 (3.10) n=0 Lưu ý miền hội tụ nghiệm (3.10) phương pháp Lyapunov xác định 3.3 Ứng dụng phương pháp δ - mở rộng Sử dụng phương pháp δ - mở rộng để giải tốn vật lí đặt Áp dụng phương pháp δ - mở rộng, ta viết lại phương trình (3.6) sau: V (t) + V 1+δ (t) = 1, t ≥ (3.11) δ số thực Giả sử nghiệm phương trình có dạng +∞ Vn (t) δ n V (t) = V0 (t) + (3.12) n=1 Khai triển V 1+δ (t) dạng chuỗi lũy thừa δ V 1+δ = e(1+δ) ln y = V0 + [V1 + V0 lnV0 ] δ + V1 + V2 + V1 lnV0 + V0 ln2 V0 δ + 53 (3.13) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Thay phương trình (3.13) vào phương trình (3.11) sau cân hệ số lũy thừa δ bậc, ta hệ phương trình vi phân tuyến tính cho bởi: V0 + V0 = 1, V0 (0) = 0, V1 + V1 = −V0 ln V0 , V1 (0) = 0, V2 + V2 = −V1 (1 + lnV0 ) − V0 ln2 V0 , V2 (0) = V3 + V3 = −V2 (1 + lnV0 ) − V1 + ln V0 ln V0 2 V − V0 ln3 V0 − , V3 (0) = 2V0 Giải phương trình với điều kiện ban đầu V0 + V0 = ⇔ dV0 = −dt ⇔ V0 − dV0 = V0 − −dt + C ⇔ V0 = + C1 e−t C1 = eC Từ điều kiện ban đầu V0 (0) = ⇔ V0 = − e−t dV1 + V1 = −V0 lnV0 dt dV1 ⇔ + V1 = − − e−t ln − e−t dt Phương trình có dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp một: dV + P (t).V = Q(t) dt 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY có nghiệm: V = e− P (t)dt C+ Q(t).e P (t)dt dt Suy V1 = e− dt = e−t C + −t =e − − e−t ln − e−t · e C+ dt dt − − e−t ln − e−t · et dt et − dt (1 − e ) ln et t C+ Giải phương trình với điều kiện ban đầu ta e−t (et − 1) V1 = t − ln et − − te−t + e−t − Tương tự ta tìm giá trị V2 (t), V3 (t), ,từ thay vào phương trình (3.13) ta e−t (et − 1) V (t) = − e + −t t − ln et − − te−t + e−t − + Nhận xét: Đối với tốn vật lí trên, ngồi cách giải phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng ta sử dụng phương pháp phân tích Adomian Áp dụng phương pháp phân tích Adomian, viết lại phương trình (3.11) sau: t V (t)dt V (t) = t − 55 (3.14) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Nghiệm phương trình (3.14) cho +∞ Vk (t) V (t) = V0 (t) + k=1 Vo (t) = t t Vk (t) = − Ak−1 (t)dt, k ≥ k Ak (t) = Vn (t) Vk−n (t) n=0 gọi đa thức Adomian Giải phương trình trên, ta t3 2t5 17 V1 (t) = − , V2 (t) = , V3 (t) = − t 15 315 Vậy 17 t + ··· = V (t) = t − t3 + t5 − 15 315 +∞ α2n+1 t2n+1 (3.15) n=0 Lưu ý miền hội tụ nghiệm (3.15) phương pháp phân tích Adomian xác định 56 Kết Luận Khóa luận trình bày ba chương; Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, nêu lên số khái niệm phương trình vi phân chuỗi lũy thừa Chương trình bày phương pháp Lyapunov, phương pháp δ - mở rộng mối liên hệ phương pháp Lyapunov với phương pháp phân tích Adomian Chương trình bày ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng giải số phương trình vi phân xuất phát từ tốn Vật lí Từ đề tài “Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng giải phương trình vi phân” có nhìn tổng quan vấn đề sau: - Phương pháp Lyapunov Phương pháp δ - mở rộng giải khó khăn q trình tìm nghiệm phương trình vi phân phi tuyến tính nhờ việc đưa tìm nghiệm dãy vơ hạn phương trình tuyến tính - Ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng việc giải tốn Vật lí với mối quan hệ với số phương pháp phân tích khác 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY Tóm lại, “Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng giải phương trình vi phân” đề tài có nhiều ứng dụng thực tế, phát triển nghiên cứu để giải toán thực tiễn mà người đưa Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để khóa luận đầy đủ xác Trước kết thúc khóa luận lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cơ giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 58 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2010), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2009), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2010), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [4] P.K Bera and J Data (2007), Linear delta expansion technique for the solution of anharmonic oscillations, Pramana - Journal of Physics [5] S Liao (2004), Beyond Perturbation introduction to the Homotopy analysis method, CRC Press LLC [6] T.S.L Radhika, T.K.V Iyengar, T Raja Rani (2015), Approximate analytical methods for solving ordinary differential equations, CRC Press Taylor and Francis Group 59 ... Lyapunov phương pháp δ - mở rộng giải phương trình vi phân làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng vào giải số phương trình. .. + 1)! 10 Chương Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng Trong chương trình bày phương pháp Lyapunov, phương pháp δ mở rộng mối liên hệ phương pháp Lyapunov với phương pháp phân tích Adomian... phương trình vi phân hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng Phương pháp Lyapunov phương pháp δ - mở rộng phương pháp hữu hiệu để giải gần phương trình vi phân phi tuyến Nhờ phương pháp này, vi c